Tích phân riemann trong không gian banach

Trong giải tắch cổ điển chúng ta đãđược nghiên cứu về tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian số thực $\mathbb{R}$.. Ở đó không trình bày tắch phân của hàm nhận giá trị trong khô

\def\tp{{không gian tôpô}}

\def\kgdc{{không gian định chuẩn}}

\hspace*{220pt}\textbf{Cán bộ hướng dẫn khóa luận:}

\hfill{\sc PGS.TS ĐINH HUY HOÀNG}

%\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viên thực hiện:} {\sc LÊ THỊ HOAN}

%\hspace*{220pt}\textbf{Lớp:} {42E$_2$ - Toán}

nhiều ngành khoa học khác Trong giải tắch cổ điển chúng ta đã

được nghiên cứu về tắch phân của hàm nhận giá trị trong không

gian số thực $\mathbb{R}$ Ở đó không trình bày tắch phân của hàm

nhận giá trị trong không gian Banach tổng quát Để tìm hiểu vấn đề

này

định nghĩa tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach

chứng minh một số kết quả tương tự như tắch phân của hàm nhận giá

trị trong $\mathbb{R}$ vẫn đúng đối với hàm nhận giá trị trong

không gian Banach Sau đó chúng tôi đưa ra các vắ dụ minh họa cho

tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach

Nội dung khóa luận được chia làm hai phần:

\textbf{Phần I Các khái niệm cơ bản.} Phần này đưa ra các khái

niệm cơ bản để sử dụng trong khóa luận

\textbf{Phần II Tắch phân Riemann của hàm nhận giá trị trong

không gian Banach.} Trong phần này

các tắnh chất của tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian

Banach tổng quát Cuối cùng là giới thiệu công thức Newton-Leibniz

và các vắ dụ minh họa

Khóa luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình

của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu

s¡c đến thầy Tác giả xin cảm ơn các thầy giáo cô giáo trong Khoa

Toán đã giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập tại khoa

Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận không thể tránh

khỏi những thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những đóng góp

của các thầy giáo

\addtocounter{section}{1} % Đua vào cái này

\setcounter{subsection}{0} % và cung cái này n?a

\section*{\S1 Các khái niệm cơ bản}

\vskip 0.4cm

Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ

bản cần dùng cho các mục sau Trong suốt khóa luận

trường vô hướng ($K = \mathbb{R}$ hoặc $K = \mathbb{C}$)

\subsection{Định nghĩa.}\label{dn11} Cho $E$ là một $K$-không gian vectơ Một \textit{chuẩn} trên $E$ là một hàm $x \mapsto \|x\|$ từ $E$ vào

$\mathbb{R}$ thỏa mãn các điều kiện sau:

(iii) $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$

Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ với mêtric sinh

\subsection{Định nghĩa.}\label{dn13} Giả sử $F$ là không gian định chuẩn Ta nói ánh xạ $\varphi: [a

\textit{liên tục tại điểm} $x_0 \in [a

dãy $\{x_n\} \subset [a

\to \varphi(x_0)$

Hàm $\varphi$ \dgl \ \textit{liên tục trên} $[a

liên tục tại mọi điểm thuộc $[a

\subsection{Định nghĩa.}\label{dn14} Giả sử $E$ là không gian định chuẩn và

$\varphi$ là hàm từ $(a

\mathbb{R}$ Nếu tồn tại giới hạn $\lim\limits_{x \to

x_0}\dfrac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0}$

$\varphi$ \textit{có đạo hàm} hay khả vi tại $x_0$ và gọi giới hạn

này là đạo hàm của hàm $\varphi$ tại $x_0$ Khi đó

hàm của hàm $\varphi$ tại $x_0$ là $\varphi'(x_0)$ Như vậy

$$

\varphi'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{\varphi(x)

-\varphi(x_0)}{x - x_0}

$$

\subsection{Định nghĩa.}\label{dn15} Cho $c \in [a

có \textit{đạo hàm trái} hay khả vi trái (\textit{đạo hàm phải}

hay khả vi phải) tại $c$

Ta ký hiệu các giới hạn đó lần lượt là $\varphi'_{-}(c)

\varphi'_{+}(c)$ và gọi chúng thứ tự là đạo hàm trái

của $\varphi$ tại $c$

\addtocounter{section}{1} % Đua vào cái này

\setcounter{subsection}{0} % và cung cái này n?a

\section*{\S2 Tắch phân Rimann trong không gian \bn}

Trong mục này

giá trị trong không gian thực) ta sẽ giới thiệu định nghĩa tắch

phân của hàm nhận giá trị trong không gian \bn \ bất kỳ Sau đó

ta sẽ chứng minh một số kết quả tương tự như của hàm số vẫn đúng

cho tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian \bn

\subsection{Khái niệm cơ bản.}\label{dn21}

Cho hàm $\varphi: [a

\mathbb{R}

của $\varphi$ trên $[a

Chia đoạn $[a

$$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b.$$

Mỗi phép chia như vậy \dgl \ một \textit{phân hoạch} của đoạn $[a

b]$ và được ký hiệu là chữ $\pi$ Các điểm $x_0

gọi là các \textit{điểm chia} Trên mỗi đoạn chia $[x_{k - 1}

Tổng \eqref{Eq:1} nhận giá trị trong $F$ và gọi là \textit{tổng

tắch phân} của hàm $\varphi$ ứng với phân hoạch $\pi$ và các điểm

Ta nói rằng các tổng $\sigma_\pi$ nói trên \textit{dần tới giới

hạn} $I \in F$ hay hội tụ tới $I$ khi $d(\pi) \to 0$

số $\epsilon

> 0$ cho trước

\begin{equation}\label{Eq:2}

\|\sigma_\pi I\| = \|\sum_{k = 1}^n(x_k x_{k

-1})\varphi(\xi_k) - I\| < \epsilon

với mọi điểm chọn $\xi_1

thuộc các đoạn chia của $\pi_1$ và $\pi_2$ tương ứng

Ngược lại

rằng nếu $\sigma_\pi$ là họ cơ bản thì nó hội tụ

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}\label{dl213} \textit{Cho hàm $\varphi: [aF$ Nếu $\varphi$ khả tắch trên $[a

chặn ắt nhất tại một đoạn chia nào đó

x_{k_0}]$ Khi đó ta có thể chọn điểm $\xi_{k_0} \in [x_{k_0 - 1}

\|\sigma_\pi I\| &=& \left\|(x_{k_0} x_{k_0

1})\varphi(\xi_{k_0}) \left[I \sum_{j \not= k_0}(x_j x_{j

1})\varphi(\xi_j)\right]\right\|\\

&\geq& 1 + 2\|I\| +

\|\sum_{j \not= k_0}(x_j - x_{j - 1})\varphi(\xi_j)\| \\

&& \left[\|I\| + \|\sum_{j \not= k_0}(x_j x_{j

\subsubsection{\em \textbf{Nhận xét.}}\label{nx214} (i) Định lý \ref{dl213} chỉ

là điều kiện cần mà không đủ Một hàm bị chặn vẫn có thể không khảtắch Chẳng hạn ta xét hàm Dirichlet $D: [a

cho bởi

\begin{equation*}\label{Eq: 12}

D(x) =

\begin{cases}

1 & \text{ nếu $x$ hữu tỷ}\\

0 & \text{ nếu $x$ vô tỷ}

Dưới đây ta giới thiệu một số điều kiện đủ để hàm $\varphi$ khả

tắch

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}\label{dl221} \textit{Nếu hàm $\varphi: [a

F$ liên tục trên $[a

\textit{Chứng minh.} Theo Nhận xét \ref{nx212} và Định lý

Vì hàm $\varphi$ liên tục trên đoạn $[a

trên đó Do đó với $\epsilon > 0$

$\pi^3$ tạo bởi hợp các điểm chia của $\pi^1$ và $\pi^2$ và chọn

$\xi^3_p \in \Delta^3_p

&\leq& \|\sum_{j = 1}^{n_2}\sum_{\Delta^3_p \subset

\Delta^2_j}\left(\varphi(\xi^2_j)

-\varphi(\xi^3_p)\right)|\Delta^3_p|\| + \|\sum_{k =

1}^{n_1}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^1_k}\left(\varphi(\xi^3_p)

- \varphi(\xi^1_k)\right)|\Delta^3_p|\|\\

&\leq& \frac{\epsilon}{2(b - a) + 1}\sum_{j =

1}^{n_2}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^2_j}|\Delta^3_p| +

\frac{\epsilon}{2(b - a) + 1}\sum_{k = 1}^{n_1}\sum_{\Delta^3_p

một số hữu hạn điểm thì hàm $\varphi$ khả tắch trên $[a

\textit{Chứng minh.} Ta chỉ xét trường hợp $\varphi$ có một điểm

gián đoạn $c \in [a

c- \epsilon] \subset [a

b]$

Theo giả thiết $\varphi$ liên tục trên các đoạn $[a

\epsilon]$ và $[c + \epsilon

$\varphi$ khả tắch trên các đoạn đó Chọn $\delta > 0$ thỏa mãn

định nghĩa tắch phân của $\varphi$ trên đoạn $[a

[c + \epsilon

Giả sử $\pi^1$ và $\pi^2$ là hai phân hoạch tùy ý của $[a

$d(\pi^1)

xem rằng mỗi đoạn chia của $\pi^2$ được bao hàm trong một đoạn

chia nào đó của $\pi^1$ Ngoài ra $c - \epsilon$ và $c + \epsilon$

luôn là các điểm chia Ta có

\epsilon]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j) - \sum_{\Delta^1_k \subset [a

&+& \|\sum_{\Delta^2_j \subset [c - \epsilon

\epsilon]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j)\| + \|\sum_{\Delta^1_k

\subset [c - \epsilon

\epsilon]}|\Delta_k^1|\varphi(\xi^1_k)\|\\

&+& \|\sum_{\Delta^2_j \subset [c + \epsilon

b]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j) - \sum_{\Delta^1_k \subset [c +

l_p &=& \bigg\{\{x_n\} \subset \mathbb{R}: \sum_{n =

\sigma_\pi(f) = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - x_{i - 1})f(\xi_i) =

\sum^{n}_{i = 1}\frac 1n f(x_i) = \sum_{i = 1}^{n}\frac 1na = a

trong đó $u$ là phần tử cho trước thuộc $C_{[a

liên tục nên theo Định lý \ref{dl221}

\sigma_\pi(f) = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - x_{i - 1})f(\xi_i) =

\sum^{n}_{i = 1}\frac 1n f(x_i) = \frac 1n\sum_{i = 1}^{n}ux_i =

\frac 1n\sum_{i = 1}^{n}\frac inu = \frac u2

\sigma_\pi(g) = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - x_{i - 1})g(x_i) = \frac

1n\sum^{n}_{i = 1}ux_i^2 = \frac 1n\sum^{n}_{i = 1}u\left(\frac

in\right)^2 = \frac u3

\subsection{Tắnh chất của tắch phân} Bây giờ ta phát biểu và chứng

minh một số tắnh chất cơ bản của tắch phân nhận giá trị trong

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}\label{dl232} \textit{Cho hai hàm

$\varphi$ và $\psi$ từ $[a

\int\limits_{a}^{b}(\varphi + \psi)dx = \int\limits_{a}^{b}\varphi

\textit{ChĐng minh.} (a) SØ døng иnh nghỵa \ref{dn211}

phân hoÕch $\pi$ tùy ý cüa $[a

Chuy¬n qua gi¾i hÕn t±ng trên khi $d(\pi) \to 0$ v½i lßu ý r¢ng

$\varphi$ và $\psi$ khä tích trên $[a

\begin{eqnarray*}

\lim_{d(\pi) \to 0}\sigma_\pi &=& \lim_{d(\pi) \to 0}\sum_{k =1}^{n}(x_k - x_{k - 1})\varphi(\xi_k) + \lim_{d(\pi) \to 0}\sum_{kErr:508

&= & \int\limits_{a}^b\varphi dx + \int\limits_{a}^b\psi dx

(b) G÷i $\pi$ là mµt phân hoÕch tùy ý cüa $[a

ði¬m chia $\xi_k \in [x_{k - 1}

(a) \textit{Nªu $\varphi$ khä tích trên các ðoÕn $[a

b]$ (a < c <b) thì $\varphi$ khä tích trên $[a

nĩ khä tích trên m÷i ðoÕn con $[c

\textit{ChĐng minh.} Theo иnh lý \ref{dl222}

trên ðoÕn $[a

luơn coi $c$ là ði¬m chia Ði«u này suy ra

$$

\int\limits_{a}^{b}\varphi dx = \int\limits_{a}^{c}\varphi dx +

\int\limits_{c}^{b}\varphi dx

$$

\|\sigma_{\pi^2}(\xi^2_1

\sigma_{\pi^1}(\xi^1_1

$$

với mọi $\xi^2_{j} \in \Delta^2_j$

$\xi^1_k \in \Delta^1_k$

Bây giờ cho hai phân hoạch $\widetilde{\pi}^1$ và

$\widetilde{\pi}^2$ của $[c

\delta

và $\xi^2_j$ thuộc vào mỗi đoạn chia của $\widetilde{\pi}^1$ và

$\widetilde{\pi}^2$ ta thêm vào các điểm chia của

$\widetilde{\pi}^1$ và $\widetilde{\pi}^2$ các điểm chia của hai

đoạn $[a

$\pi^2$ của $[a

\delta$ Trên các đoạn chia của $[a

$\xi^1_k = \xi^2_j$ khi đó

định $(a)$ của Định lý \ref{dl234} cho trường hợp hàm $\varphi$

khả tắch trên $n$ đoạn con $[a

b]$ của đoạn $[a

ta thay đổi giá trị của $\varphi$ tại một số hữu hạn điểm.}

\textit{Chứng minh.} Giả sử ta thay đổi giá trị của $\varphi$ tại

với $\xi_i \in \Delta_i$ tùy ý

$$

\|\sum_{i = 1}^{m}|\Delta_i|\psi(\xi_i) - \sum_{i =

1}^{m}|\Delta_i|\varphi(\xi_i)\| = \|\sum_{i \in

J}|\Delta_i|(\psi(\xi_i) - \varphi(\xi_i))\| \leq 2Mp\delta_2 <

với mọi phân hoạch $\pi$ của $[a

\delta_2\}$ và $\xi_i \in \Delta_i$

lý được chứng minh

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}\label{dl237} \textit{Nếu các hàm $\varphi$ và

$\|\varphi(x)\|$ đều khả tắch trên $[a

không khả tắch Tuy nhiên ta có nếu $\varphi: [a

tục thì $\varphi$ và $\|\varphi\|$ đồng thời khả tắch

Thật vậy

$[a

Định lý sau đây tổng quát hóa Định lý \ref{dl232}

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}} \textit{Nếu $T: E \to F$ là một toán tử tuyếntắnh liên tục từ không gian Banach $E$ vào không gian Banach $F$

và gọi là \textit{dao độ} của hàm $\varphi$ tại $x$.

\subsubsection{\em \textbf{Nhận xét.}} (a) $\varphi$ liên tục tại

\|\varphi(z) - \varphi(y)\| \leq \|\varphi(z) - \varphi(x)\| +

\|\varphi(x) - \varphi(y)\| <\epsilon

\sup\{\|\varphi(z) - \varphi(y)\|: |z - x| < \delta

<\delta\} \leq \frac{\epsilon}{2}

\subsubsection{\em \textbf{Định nghĩa.}} Tập con $B$ của $\r$ gọi

là có \textit{độ đo} $0$ nếu mọi số $\epsilon > 0$

các khoảng (mở) $I_j = (a_j

$$

B \subset \bigcup\limits_{j = 1}^{\infty}I_j \text{ và } \sum_{j =

1}^{\infty}|b_j - a_j| <\epsilon

$$

Chú ý rằng hợp đếm được các tập đo không là tập có độ đo không

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}\label{dl2313} \textit{Cho hàm $\varphi: [aF$ bị chặn trên đoạn hữu hạn $[a

\bn Khi đó

có độ đo 0

Giả sử $\pi^1$ và $\pi^2$ là hai phân hoạch tùy ý của $[a

Lập phân hoạch $\pi^3$ sao cho mỗi đoạn chia của $\pi^1$ và

$\pi^2$ là hợp của các đoạn chia của $\pi^3$ Ta đánh giá

\subsubsection{\em \textbf{Nhận xét.}} Điều ngược lại của Định lý

\ref{dl2313} không đúng Thật vậy

1]}$ các hàm bị chặn trên $[0

B_{[0

\begin{equation*}

0 & \text{ nếu } s \notin \{\xi_1

|\Delta_i| & \text{ nếu } s = \xi_i

\subsection{Công thức Newton - Leibniz} Cho hàm $\varphi: [a

\to F$ khả tắch và $a \leq x \leq b$ Khi đó $\varphi$ khả tắchtrên $[a

Từ \eqref{Eq:25} ta suy ra rằng với mỗi $x \in [a

\eqref{Eq:25} hoàn toàn xác định Vậy tắch phân \eqref{Eq:25} xácđịnh một hàm từ $[a

$$

x \mapsto \int\limits_{a}^{x}\varphi(t)dt

$$

Đặt

\phi(x + \Delta) - \phi(x) &=& \int\limits_{a}^{x +

\Delta x}\varphi(t)dt - \int\limits_{a}^{x}\varphi(t)dt\\

& = & \int\limits_{x}^{x + \Delta x}\varphi(t)dt

\|\int\limits_{x}^{x + \Delta x}\varphi(t)dt\| < \epsilon|\Delta

x| \text{ khi } |\Delta x| <\delta

\|\int\limits_{x}^{x + \Delta x}\varphi(t)dt - \varphi(x)\Delta

x\| &=& \|\int\limits_{x}^{x + \Delta x}\varphi(t)dt - \int\limits_{x}^{x + \Delta x}\varphi(x)dt\|\\

&= & \|\int\limits_{x}^{x + \Delta x}[\varphi(t)

\subsubsection{\em \textbf{Nhận xét.}} Khi nói đến đạo hàm tại $a$ hoặc tại

$b$ ta phải hiểu lần lượt là đạo hàm phải tại $a$ hoặc đạo hàm

trái tại $b$

\subsubsection{\em \textbf{Định nghĩa.}} Cho hàm $\varphi: [a

\subsubsection{\em \textbf{Nhận xét.}}\label{nx244} (a) Nếu $\phi$ là một nguyên hàm củahàm $\varphi$ thì $\phi + c$ cũng là nguyên hàm của $\varphi$ với

mọi $c \in F$

(b) Từ Định lý \eqref{dl241}

liên tục trên $[a

\subsubsection{\em \textbf{Định lý.}}(Newton - Leibniz) \textit{Nếu $\psi$ là một

trong các nguyên hàm của $\varphi$ liên tục trên đoạn $[a

thì}

\begin{equation}\label{Eq:27}

\int\limits_{a}^{b}\varphi(x)dx = \psi(b) - \psi(a)

\end{equation}

\textit{Chứng minh.} Giả sử $\psi$ là một nguyên hàm nào đó của

$\varphi$ trên $[a

\subsubsection{\em \textbf{Vắ dụ.}} Bây giờ ta dùng công thức Newton

Leibniz để tắnh tắch phân của các hàm trong Vắ dụ \ref{vd223}

\int\limits_{0}^{1}g(x)dx = \psi(1) \psi (0) = \frac121^2 a

-\frac 120^2 a = -\frac a2

\int\limits_{0}^{1}f(x)dx = \phi(1) \phi (0) = \frac12u 1^2

-\frac 12u 0^2 = -\frac u2

$$

Tương tự hàm $g(x) = ux^2$ có một nguyên hàm là $\psi(x) = \dfrac

13 ux^3$

$$

\int\limits_{0}^{1}g(x)dx = \psi(1) \psi (0) = \frac13u 1^3

-\frac 13u 0^3 = -\frac u3

$$

\newpage

1) Dựa vào tài liệu tham khảo \cite{Gru}

tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach và chứng

minh một số tắnh chất tương tự tắch phân của hàm số vẫn đúng cho

tắch phân của hàm nhận giá trị trong không gian Banach

2) Đưa ra các vắ dụ minh họa cho Định nghĩa và công thức

Newton-Leibniz đối với tắch phân nhận giá trị trong không gian

reqno

amssymb}

bottom=3.5cm

#2>{\langle#1

\

dựa vào tài liệu tham khảo \cite{Gru}

chúng tôi đưa ra định nghĩa và

cô giáo và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện

tháng 4 năm 2006}}

ký hiệu $K$ là

\subsection{Định nghĩa.}\label{dn11} Cho $E$ là một $K$-không gian vectơ Một \textit{chuẩn} trên $E$ là một hàm $x \mapsto \|x\|$ từ $E$ vào

dựa vào định nghĩa tắch phân của hàm số (hàm nhận

nếu với mọi

tồn tại số $\delta > 0$ sao cho với mọi phân hoạch $\pi$ mà $d(\pi) < \delta$ và mọi $\xi_k \in [x_{k - 1}

ta viết

thì $I$ \dgl \ \textit{tắch phân

$\varphi$ \dgl \ \textit{hàm khả tắch} trên đoạn $[a

$\varphi$ \dgl \ hàm dưới dấu tắch

$a$ là cận dưới

ta suy ra nếu $\varphi$ khả tắch trên $[a

với

tồn tại $\delta > 0$ sao cho nếu $\pi_1$

b]$ với $d(\pi_1) < \delta

nªu ch÷n $\xi_k \in [x_{k - 1}

khi $d(\pi) \to 0$

nghĩa là tìm một vài lớp hàm khả tắch.

b] \to

b]$ thì nó khả tắch trên đoạn đó.}

với mọi $\epsilon > 0$ cho trước

b]$ thỏa mãn $d(\pi^1) < \delta

$\varphi$ khä tích trên $[a

với mọi phân hoạch $\pi$ của đoạn

b]$ và với mọi cách chọn $\xi_k \in [x_{k - 1}

b]$ vào $F$ đều khả tắch trên $[a