Tích phân lơbe của các hàm nhận giá trị trong không gian banach

Khác với tích phân Riman, ý cơ bản của tích phân Lơbe là các điểm x đợc nhóm lại không theo dấu hiệu gần nhau trên trục x mà theo sự gần nhau của giá trị hàm tại những điểm đó.. Ngoài ra

Lời nói đầu

Trong giáo trình cơ sở của Giải tích ta đã biết đến khái niệm tích phân Riman

Nó chỉ áp dụng cho những hàm liên tục hoặc không có “quá nhiều” điểm gián

đoạn Hàm đo đợc có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác định của nó, cho nên cấu trúc của tích phân Riman trở nên không thuận tiện Để thay cho khái niệm tích phân Riman đối với những hàm nh thế Lơbe đã đa ra khái niệm tích phân hoàn hảo

và linh hoạt hơn

Khác với tích phân Riman, ý cơ bản của tích phân Lơbe là các điểm x đợc nhóm lại không theo dấu hiệu gần nhau trên trục x mà theo sự gần nhau của giá trị hàm tại những điểm đó Điều đó cho khả năng mở rộng khái niệm tích phân cho những lớp hàm rất rộng

Ngoài ra tích phân Lơbe đợc định nghĩa hoàn toàn nh nhau đối với các hàm cho trên mọi không gian có độ đo Điều đó đợc thể hiện rõ trong khoá luận này Trong [2] chúng ta đã biết đến tích phân Lơbe đối với các hàm đo đợc nhận giá trị trong không gian R Vấn đề đợc đặt ra ở đây là tìm hiểu khái niệm và tính chất của tích phân Lơbe của các hàm nhận giá trị trong không gian Banach mà chúng đã đợc trình bày trong [1] Sau đó nghiên cứu quan hệ giữa cách trình bày một số khái niệm trong [1] và [2]

Với mục đích đó khoá luận đợc trình bày thành 2 chơng Chơng 1 dành cho việc xây dựng không gian đo và hàm đo đợc nhận giá trị trong không gian tôpô Sau đó xây dựng tích phân Lơbe của hàm nhận giá trị trong không gian Banach ở chơng 2.Dới sự hớng dẫn của PGS.TS Đinh Huy Hoàng, khoá luận đã hoàn thành tại Tr-ờng Đại học Vinh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu vừa qua Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, trong Khoa Toán, các bạn trong Lớp 40E3 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt bản khoá luận này

Vinh tháng 3 năm 2004.

Tác giả.

Chơng 1

Không gian đo và hàm đo đợc

Ta gọi không gian đo là một bộ ba (T, F , à), trong đó F là δ đại số các tập con của tập hợp T và à là một độ đo trên F

Trong phần này ta giả thiết rằng à là độ đo dơng, đủ và δ hữu hạn

Đ1 Định nghĩa hàm đo đợc và các ví dụ

tôpô tách Hausdoff Ta nói rằng hàm f : T→ Y là đo đợc (theo độ đo à) nếu nó

thoả mãn các điều kiện sau

1) f -1(G) ∈ F , với mọi tập mở G ⊂ Y.

2) f có ảnh hầu khả li tức là tồn tại một tập đếm đợc H⊂ Y và một tập N⊂ T

có độ đo 0 sao cho f (T\N) ⊂ H

* Nếu T là một tập đo đợc Lơbe trong Rk và F là δ đại số các tập con đo đợc Lơbe của T thì hàm đo đợc f sẽ đợc gọi là hàm đo đợc Lơbe

* Ta nói rằng một tính chất p thoả mãn hầu khắp nơi trên T nếu tập tất cả các phần tử thuộc T mà tại đó tính chất p không thoả mãn có độ đo 0

Ví dụ: Hai hàm f và g: T → Y bằng nhau hầu khắp nơi trên T nếu tập {x ∈ T: f(x) ≠ g(x)}có độ đo 0

1.2 Chú ý: 1) Nếu f và g là 2 hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên T và nếu g đo

Vì à là độ đo đủ nên f -1(G) ∩ N đo đợc Theo giả thiết g là hàm đo đợc nên g

-1(G) đo đợc, do đó g-1(G) ∩ (T\N) đo đợc ((T\N) đo đợc) Nh vậy f -1(G) đợc biểu diễn dới dạng hợp của 2 tập đo đợc Vì thế f -1(G) đo đợc Điều kiện 1) đợc thoả mãn

Từ giả thiết g đo đợc, tồn tại một tập đếm đợc H ⊂ Y và tập N’ có độ đo 0 sao cho g(T\ N’) ⊂ H Đặt N0 = N’ ∪ N ta có

f(T\N0) ⊂ g(T\N’) ⊂ H và à (N0) = 0

Vậy f thoã mãn điều kiện 2)

2) Trong [2] ta đã học định nghĩa hàm đo đợc f: (T, F, à) → R nh sau: Hàm f

đợc gọi là đo đợc trên T(theo độ đo à) nếu với mọi a ∈R, tập {x ∈ T: f(x) < a} là

đo đợc

Một câu hỏi đợc đặt ra một cách tự nhiên là trong trờng hợp Y = R thì định nghĩa 1.1 và định nghĩa trong [2] có trùng nhau hay không? Mệnh đề sau sẽ trả lời câu hỏi này

chỉ khi với mỗi a ∈ R tập {x ∈ T: f(x) < a} đo đợc.

Chứng minh Giả sử f đo đợc và a ∈ R ta có {x ∈ T: f(x) < a} = f-1([-∞, a) là đo

đợc vì ([-∞ ; a) là tập mở trong R

Ngợc lại, giả sử với mỗi a ∈ R, tập {x∈ T: f(x) < a} đo đợc

Ta dễ dàng chứng minh đợc ∀a ∈ R tập {x ∈ T: f(x) > a} đo đợc (1)

Do đó ∀a, b ∈ R tập {x∈ T: a < f(x) < b} (a ≤ b) là đo đợc (2)Giả sử G là tập mở trong R Khi đó xảy ra một trong bốn trờng hợp sau

G mở trong R, G = E ∪ {+∞}; G = E ∪{-∞}; G = E ∪{-∞; +∞}, trong đó E là tập con mở trong R

1 Giả sử G mở trong R Khi đó tồn tại đếm đợc các khoảng (an , b n) sao cho

1.4 Các ví dụ về hàm đo đợc

Ví dụ 1: Nếu f : ∆→ Y là hàm liên tục trên gian đóng và bị chặn trên ∆⊂ R k thì

f là hàm đo đợc Lơbe trên ∆

Chứng minh * Với mọi G mở ⊂ Y ta cần chứng minh f-1(G) đo đợc Lơbe Vì

G mở ⊂ Y, f liên tục nên f-1(G) mở trong ∆ Suy ra f-1(G) đo đợc hay f-1(G) ∈ F

* f có ảnh hầu khả li

Vì ∆ compact ⊂ Rk mà Rk khả li suy ra ∆ khả li

Do f là hàm liên tục, ∆ khả li nên tồn tại tập D ⊂ ∆ mà D đếm đợc và D = ∆

Do f liên tục nên f(D) đếm đợc và f (D) = f(∆) Suy ra tồn tại H ⊂ f(∆) ⊂ Y mà H

đếm đợc, H = f(∆)

Lấy tập N = {x ∈∆: f(x) không liên tục}, N = φ, suy ra à(N) = 0 mà

f(∆\ N) ⊂ f(∆) = H Do đó f (∆\ N) ⊂ H

Vậy f có ảnh hầu khả li Do đó f là hàm đo đợc Lơbe trên ∆

Ví dụ 2: Giả sử X là tập con của R k đo đợc theo Lơbe và f : X → Y liên tục hầu

khắp nơi trên X Khi đó f đo đợc.

Chứng minh Đặt N = {x ∈ X : f không liên tục tại x} Khi đó N đo đợc và à(N)

= 0

Giả sử G là tập mở bất kỳ của Y Vì f liên tục trên X \ N nên f-1(G) là mở trong

X\N, nghĩa là tồn tại tập U mở ⊂ R k sao cho f-1(G) ∩ (X\N) = U ∩ (X\N) Vì U và

Đặt H = f(E) ta thấy H không quá đếm đợc Ta sẽ chứng tỏ f (X\N) ⊂ H

Thật vậy, với mỗi y ∈f(X\N) và V là tập mở bất kỳ trong Y sao cho y∈ V Ta

có F = f-1(V) ∩ (X\N) là tập mở trong X\N, khi đó ắt tồn tại x ∈ X \N sao cho y =

x  ϕ(x) = ρ(f(x), f(x0)).

Xét hàm g : Y → R

y  ρ(y, y0)

Ta đã biết g liên tục và ϕ = g°f.

* Với mọi G mở trong R, do g liên tục nên g-1(G) mở trong Y Vì f đo đợc nên f

Do đó ϕ có ảnh hầu khả li Vậy ϕ đo đợc

Ví dụ 4: Ký hiệu M là không gian Banach tất cả các hàm thực bị chặn trên

đoạn [0, 1] với chuẩn sup Giả sử K là tập Cantor của đoạn [0, 1], ta định nghĩa hàm f : [0, 1] → M nh sau

Chứng minh Xét hàm g đồng nhất bằng 0: g(t) = 0 ∈ M với mọi t ∈ [0, 1], g là

hàm liên tục trên [0, 1] nên theo ví dụ 1 nó đo đợc trên [0, 1].

2.1 Khái niệm hàm bậc thang và hàm bậc thang đo đợc

giá trị trong không gian tôpô tách Haussdoff Y đợc gọi là hàm bậc thang trên T nếu

f chỉ nhận một số hữu hạn giá trị a1, a2, , an

- Hàm bậc thang f đo đợc khi và chỉ khi f-1(ai) là đo đợc (i = 1 ,n)

Thật vậy, nếu f đo đợc thì f-1(Y\ ai) là đo đợc vì (Y\ ai) là tập mở Do đó f

2.2 Các phép toán đối với hàm bậc thang đo đợc.

2.2.1 Định lý Giả sử Y là một không gian Banach

1) Nếu f,g : T → Y là những hàm bậc thang đo đợc thì f +g cũng là hàm bậc thang đo đợc.

2) Nếu f : T → Y là hàm bậc thang đo đợc thì αf cũng là hàm bậc thang đo

∑(ai + b j)χA i∩B j.

Suy ra f + g là hàm bậc thang đo đợc

i 1=

∑χA iαa i Do đó αf là hàm bậc thang đo đợc.

2.2.2 Ký hiệu: e(T, F, à, Y) là tập hợp tất cả các hàm bậc thang à đo đợc trên

T với giá trị trong không gian Banach Y.

Định lý 2.2.1 chứng tỏ rằng e(T, F, à, Y) là một không gian vectơ.

Đ3 D y hàm hội tụ hầu khắp nơi ã

và hội tụ theo độ đo

3.1 Dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi (h k n)

3.1.1 Định lý (Egôrop): Giả sử {f n} là dãy hàm đo đợc trên T với giá trị trong không gian metric Y Nếu {f n} hội tụ hầu khắp nơi đến f thì với mọi tập đo

đợc A ⊂ T với à(A) <+ ∞ với mọi ε > 0 cho trớc, tồn tại một tập đo đợc B ⊂ A,

à(A\ B) < ε để dãy {f n} hội tụ đều đến f trên B.

Chứng minh Giả sử A là một tập con đo đợc của T có độ đo à(A) < +∞ với mỗi

n ≥ 1, tồn tại một tập Nn, à(Nn) = 0 và một tập Hn⊂ Y, Hn đếm đợc sao cho

f n(T\ Nn) ⊂ H Nếu đặt N0= n∞=1N n và H = n∞=1H n thì f n(T\N0) ⊂ H , ∀n ≥ 1 vàà(N0) = 0

Mặt khác do dãy hàm {f n} hội tụ hầu khắp nơi đến f nên tìm đợc một tập N0 ′

với à(N0 ′)= 0 sao cho fn(x) → f(x), ∀x ∈ T\ N0 ′.

Đặt N = N0 ∪ N0 ′, A0 = A\ N Khi đó à(N) = 0, à(A) = à(A0) Dãy {f n} sẽ hội

tụ tại mọi điểm x ∈A0 và fn(A0) ⊂ H, ∀n ≥ 1

Với mọi α > 0 xét tập hợp {x ∈ A: ρ(fp(x), fq(x)) < α} Tập này đo đợc vì nó biểu diễn đợc dới dạng hợp đếm đợc của các tập đo đợc dới dạng sau

{x ∈ A0 : ρ(fn(x), a) < α - α n }∩{x ∈ A0 : ρ(fq(x), a) <

n

α }, a ∈ H, n ≥ 2.Với mỗi cặp (n, r) các số tự nhiên đặt

A n,r = p,q ≥n{x ∈ A0 : ρ(fp(x), fq(x) < 1 r }.

Hiển nhiên với mỗi r ≥ 1, {A n,r}n là dãy tăng các tập đo đợc và n∞=1A n,r = A0 Do đó

à(A0)= lim à(An,r), hay là nlim → ∞à(A0\ An,,r) = 0 (vì à(A0) < +∞)

Bởi vậy với mỗi r ≥ 1, ∃n r để à(A0\ A n r,r) < r

gian metric Y Nếu {f n} hội tụ h.k.n đến một hàm f thì f cũng là hàm đo đợc.

Để chứng minh định lý trên ta cần đến bổ đề sau

1) Đối với mọi hình cầu đóng S ⊂ Y, tập f-1(S ) là đo đợc

2) Tồn tại tập N ⊂ T có à(N) = 0 và một tập đếm đợc H⊂ Y sao cho f(T\N)

⊂H

Chứng minh Nếu f đo đợc thì hiển nhiên các điều kiện 1), 2) đợc thoả mãn

Ng-ợc lại giả sử f thoả mãn các điều kiện 1) và 2) để chứng minh f là hàm đo đNg-ợc ta chỉ cần chứng tỏ rằng đối với f tạo ảnh của mọi tập đóng là đo đợc Muốn vậy trớc hết

ta chứng tỏ rằng đối với mọi tập đếm đợc M ⊂ Y, f-1(M ) là đo đợc

Với mỗi ε > 0, đặt Uε = a∈M S (a, ε), với S (a, ε) là hình cầu đóng tâm a bán kính ε Ta có

1 (F ∩ H ) ∩ T0 đo đợc vì tập đóng F ∩ H có chứa một tập con đếm đợc trù mật trong nó.

Ta còn phải chứng minh f thoả mãn điều kiện 1) của bổ đề 1

Cho S là một hình cầu đóng tuỳ ý trong Y Do T là tập có độ đo δ hữu hạn nên

có thể viết

T = n∞=1A n, à(An) < +∞, ∀n ≥ 1

Ta có f-1(S ) = f-1(S ) ∩ T = n∞=1[f-1(S ) ∩ An]

Nếu mỗi tập trong hợp ở vế phải là đo đợc thì f-1(S ) đo đợc

Nh vậy, ta chỉ còn phải chứng minh rằng đối với mọi tập A ⊂ T, à(A) < +∞ thì f

-1(S ) ∩ A đo đợc

Theo định lý 3.1.1, ∀ε > 0, ∃B ⊂ A với à(A\B) < ε để dãy hàm {f n} hội tụ đều

đến f trên B Do đó với mỗi số tự nhiên r tồn tại một số tự nhiên n r sao cho

Từ đẳng thức này suy ra f-1(S (y, α)) ∩ B là tập đo đợc

Sử dụng định lý 3.1.1 bằng quy nạp dễ dàng xây dựng đợc một dãy các tập

đo đợc, rời nhau từng đôi một {B k} (Bk ⊂ A) sao cho  

3.2 Hội tụ theo độ đo

giá trị trong không gian metric (Y, ρ) Ta nói rằng dãy hàm {f n} hội tụ theo độ đo

à đến f và ký hiệu f n   →à f nếu với mọi số ε > 0 Ta có

∞

→

nlimà({x ∈ A: ρ(fn(x), f(x)) ≥ε}) = 0

và {f n} là dãy hàm đo đợc trong A với giá trị trong không gian metric (Y, ρ)

Nếu f n   →h .n f trên A và nếu à(A) < +∞ thì f đo đợc và f n   →à f.

Chứng minh Vì {f n} là dãy hàm đo đợc trên A với giá trị trong không gian metric (Y, ρ), fn  →h .n f Suy ra f đo đợc (theo định lý 3.1.2) Bây giờ ta chỉ cần

chứng minh fn   →à f.

Đặt D = {x ∈ A : fn(x) →/ f(x)}

Cho ε > 0, ta có n∞=1 k∞=0{x ∈ A : ρ(fn+k(x), f(x)) ≥ε}⊂ D Do đó

gian metric (Y, ρ).

NÕu f n   →µ f th× tån t¹i mét d·y con h → n

< n2 < < nk < sao cho víi mäi k ta cã

một dãy các hàm bậc thang đo đợc hội tụ đến f trên T.

Chứng minh Giả sử y1, y2, là những giá trị của f Khi đó các tập Tn = f-1(yn) là

đo đợc Ta xác định dãy hàm bậc thang {f n} nh sau Cố định a∈Y và đặt mỗi n ≥1

và một dãy {f n} các hàm đo đợc trên T chỉ nhận một số đếm đợc giá trị hội tụ đều

Rõ ràng {f n} hội tụ dều đến f trên T0.

Trong trờng hợp đặc biệt Y là một không gian định chuẩn, ta đặt

a

a α,

= 0 nếu ap = 0Với mỗi phần tử tuỳ ý x ∈ T0, chọn p để x ∈ Bn,p Ta có

pα −

p

p n

hàm bậc thang đo đợc hội tụ hầu khắp nới đến f.

Đặc biệt nếu Y là một không gian định chuẩn thì các hàm f n có thể chọn sao cho

||f n(x)||≤||f(x)||, ∀n, ∀x ∈ T.

Chứng minh Điều kiện đủ: Cho f : T → Y tồn tại dãy hàm bậc thang đo đợc

hội tụ hầu khắp nơi đến f ta cần chứng minh f đo đợc.

Theo định lý 3.1.2 vì Y là không gian metric, {f n} là dãy hàm bậc thang đo

đợc trên T, {f n} h  →.n f suy ra f đo đợc.

Điều kiện cần: Từ f đo đợc ta cần chứng minh tồn tại dãy hàm bậc thang đo

đ-ợc hội tụ hầu khắp nơi đến f.

a) Theo bổ đề 4.2 tồn tại dãy {f n} các hàm đo đợc với tập giá trị của một hàm

không quá đếm đợc sao cho {f n} hội tụ hầu khắp nơi đến f, tức là tồn tại tập N’ có

độ đo 0 để fn(x) → f(x), ∀x ∈ T’= T\N’ và

ρ(fn(x), f(x)) ≤ n2 , ∀x ∈ T’ (1)Theo bổ đề 4.1, với mỗi fn tồn tại dãy hàm bậc thang đo đợc {f n,p}p hội tụ đến fn

trên T

b) Ta sẽ chỉ rằng với mọi ε > 0 cho trớc và với mọi tập đo đợc A ⊂ T, à(A) <∞

tồn tại một tập đo đợc B ⊂ A với à(A\B) < ε sao cho với mọi n ≥ 1, dãy {f n,p}p hội

Đặt B = n∞=1A n suy ra các dãy {f n,p}p hội tụ đều trên B đến f n (tập B chung cho

mọi dãy {f n,p}p, n = 1, 2, ) Hơn nữa à(A\B) ≤ ∞

=

∑1

n à(A\An) < ε

c) Vì độ đo à là δ hữu hạn trên T, tồn tại dãy {T i} các tập đo đợc rời nhau từng

đôi một à(Ti) < +∞, sao cho

T = i∞=1T i

Bây giờ với mỗi Ti ta xây dựng dãy tăng {B i,j}, các tập con đo đợc của Ti sao cho

N i = Ti\ j∞=1B i,j có độ đo 0 với mọi n ≥ 1, dãy{f n,p}p hội tụ đều đến fn trên mỗi Bi,j.Muốn vậy trớc hết ta sử dụng b) để tìm tập Bi,1⊂ Ti có tính chất à(Ai \B i,1) < 1 và với mọi n ≥ 1 dãy {f n,p}p hội tụ đều trên B i,1đến fn

Giả sử ta đã tìm đợc tập Bi,j ⊂ Ti, à(Ti \B i,j ) < 1/j sao cho mọi dãy {f n,p}p hội tụ

đều đến f n trên Bi,j (khi p →∞) Từ kết quả b) ta áp dụng cho tập Ti \B i,j ta đợc:

j i

sao cho mọi dãy {f n,p}p hội tụ đều đến f trên B i′,j.

Đặt Bi,j+1= Bi,j ∪B i′,j Ta có à(Ti \B i,j+1) < j1+1và mọi dãy {f n,p}p hội tụ đều trên

B i,j+1 đến fn (khi p →∞) Ngoài ra à(Ni) = 0, bởi vì

d) Với mỗi k ≥ 1, xét tập Bk = i, j≤k B i,j , các tập Bk lập nên một dãy tăng các tập

đo đợc Đồng thời trên mỗi B k dãy {f n,p}p hội tụ đều đến f n

tụ tại mọi điểm x ∈n∞=1(T’ ∩ Bn) nhng

n

 (T’ ∩ Bn) = T’ ∩ (n B n) = T’∩ (T\N’’) = (T\N’) ∩ (T\N’’) = T\(N ’∪ N’’)cho nên {g n} hội tụ hầu khắp nơi đến f

Đặc biệt nếu Y là không gian định chuẩn, theo bổ đề 4.1 có thể chọn fn,p sao cho

||f n.p(x)||≤||f n(x)||

Song theo bổ đề 4.2 lại có thể chọn fn: ||f n(x)||≤||f n(x)|| do đó ||g n(x)||≤||f(x)||

Từ định lý 4.3 suy ra hệ quả sau:

đợc trên T.

b) Nếu f : T→ Y là hàm đo đợc thì αf cũng là hàm đo đợc, với mọi α ∈ R.

Chứng minh a) Vì f đo đợc nên tồn tại dãy hàm bậc thang đo đợc {f n} hội tụ

hầu khắp nơi đến f Suy ra với mọi tập đo đợc A1 ⊂ T với à(A1) < +∞ và với mọi

ε > 0 cho trớc tồn tại một tập đo đợc B1 ⊂ A1, à(A1\ B1) < ε2

để fn→ f trên B1.Vì g đo đợc nên tồn tại dãy hàm bậc thang đo đợc {g n} hội tụ hầu khắp nơi đến

g Suy ra với mọi tập đo đợc A2 ⊂ T với à(A2) < +∞ và với mọi ε > 0 cho trớc tồn tại một tập đo đợc B2⊂ A2, à(A2\ B2) < ε2để g

n→ g trên B2.Lấy A = A1 ∪ A2 ⊂ T, ta có à(A1∪A2) < +∞ và với mọi ε > 0 lấy tập B = B1∪B2

suy ra B đo đợc và B ⊂ A1∪A2, à(A\B) <ε Suy ra fn + gn hội tụ đều đến f + g trên B

Do đó fn + g n hội tụ hầu khắp nơi đến f + g trên T

Vậy f + g đo đợc trên T

b) Do f đo đợc nên tồn tại dãy hàm bậc thang đo đợc fn hội tụ h.k.n đến f

Với mọi α∈ R ta luôn có αf n   →h .n αf suy ra αf đo đợc.

đối thì có một dãy hàm bậc thang đo đợc {f n} hội tụ đều đến f trên T.

Đặc biệt nếu Y là không gian định chuẩn thì f n có thể chọn sao cho

Ta định nghĩa hàm bậc thang fn nh sau

f n(x) = ai nếu x ∈ Bi, 1 ≤ i ≤ k (ai là tâm của hình cầu Si)

ρ(fn(x), f(x)) = ρ(fn(x), ai) + ρ(ai + f(x)) ≤ n1 + n1 = n2 , ∀x ∈ T

Vậy dãy {f n} hội tụ đều đến f trên T.

Trong trờng hợp Y là không gian định chuẩn nh dạng trong bổ đề 4.2 có thể chọn dãy {f n}sao cho

||f n(x)|| ≤||f(x)||, ∀n, ∀x ∈ T

Chơng 2 Tích phân Lơbe với giá trị trong không gian Banach

Đ1 Tích phân hàm bậc thang đo đợc

1.1 Hàm bậc thang khả tích

hữu hạn, Y là không gian Banach Cho f : T → Y là hàm bậc thang đo đợc

fdà độc lập với cách biểu diễn hàm f nh trên.

Thật vậy, giả sử f còn đợc biểu diễn dới dạng

j

1

) (

à(Bi∩ Ak)

(ở đây b i k = bi, k = 1, , n).

Hoàn toàn tơng tự ta có

n

k 1∑= a kà(Ak) = ∑

≤

≤ ≤

≤

m

i k n

k i

a

1

1 à(Ak∩ Bi), (ở đây a k i= ak, i = 1, , m)

Nếu Bi∩ Ak≠φ suy ra tồn tại x0∈ Bi ∩ Ak , suy ra x0∈ Bi và x0∈ Ai

Vì x0 ∈ Bi nên

f(x0) = bi = b i k (2)

Vì x0∈A k nên

f(x0) = ak = a k i (3)

Từ (2) và (3) suy ra b i k = a k i Do đó

m i 1= ∑b ià(Bi) = n k 1∑= a kà(Ak) 1.1.2 Chú ý: Trong [2] ta đã học định nghĩa tích phân của hàm đơn giản nh sau Giả sử f : T → R, f đợc gọi là hàm đơn giản nếu nó biểu diễn đợc dới dạng f(x) = n i 1= ∑a iχE i(x), x ∈ T, (4)

trong đó ai ∈ R, E i ∈ F, ∀i = 1 ,n, các Ei đôi một rời nhau, n

i 1=

 E i = T, giả thiết thêm rằng nếu à(Ei) = ∞ thì ai = 0

Dạng (4) đợc gọi là dạng chính tắc của hàm đơn giản

Giả sử f là hàm đơn giản đợc biểu diễn dới dạng chính tắc (4)

Ta gọi tích phân của f trên T là ∫

T

fdà = n

i 1=

∑a ià(Ei) Đây là trờng hợp đặc biệt của định nghĩa 1.1.1 khi Y = R Đối với trờng hợp đặc biệt này ∫

T

fdà cũng độc lập

với cách biểu diễn hàm f nh trên

Ký hiệu E0(T, F, à, Y) là không gian tất cả các hàm bậc thang đo đợc trên T và bằng 0 trên phần bù của một tập có độ đo hữu hạn, có nghĩa là

f ∈E0(T, F, à, Y) ⇔ ∃T f∈ F, à(Tf) < + ∞ và f |T \ T f = 0

Mỗi hàm E0(T, F , à, Y) đợc gọi là hàm bậc thang khả tích và tích phân của nó

đợc xác định nhờ công thức (1)

1.2 Các tính chất của hàm bậc thang khả tích

1.2.1 Định lý Cho (T, F, à) là một không gian đo Y là không gian Banach( i) E0(T, F, à, Y) là không gian tuyến tính.

(ii) ánh xạ f →

T∫fdà, ∀f ∈ E0(T, F , à, Y) là tuyến tính.

Chứng minh (i) E0(T, F , à, Y) là không gian tuyến tính.

+) Giả sử f, g ∈ E0(T, F, à, Y) ta phải chứng minh f + g ∈E0(T, F, à, Y)

+) Với mọi f ∈E0(T, F, à, Y), ∀α ∈ R, ta chứng minh αf ∈E0(T,F , à, Y).

Vì f đo đợc nên theo định lý 2.2.1 chơng 1 ta suy ra αf đo đợc Do

T f ⊂ T nên αT f ⊂ T, αf |T\ T f = 0α = 0 Từ đó

à(αT f) = αà(Tf) < +∞.Vậy αf ∈ E0(T, F, à, Y).

(ii) Gọi ánh xạ Φ : E0→ Y, ta chứng minh Φ tuyến tính

f 

T∫fdà.+) Với mọi f, g ∈ E0(T, F, à, Y), ta phải chứng minh Φ(f +g) = Φ(f) + Φ(g).Vì f, g ∈ E0(T, F , à, Y) nên ta có thể viết dới dạng

f = ∑

=

m i

B

j j b