Tim Nguyen ham bang PP he so bat dinh

Định nghĩa nguyên hàm Hàm số Fx là nguyên hàm của hàm số fx trên a, b nếu với mọi x thuộc a, b ta có; F’x = fx.. Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên khoảng a, b thì: a.[r]

TÌM NGUYÊN HÀM NHỜ HỆ SỐ BẤT ĐỊNH

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a, b) nếu với mọi x thuộc (a, b) ta có; F’(x) = f(x)

2 Định lý:

2.1 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) thì:

a Mọi C thì F(x) + C cũng là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b)

b Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a, b) đều viết được dưới dạng F(x)+C, hay f x dx  F x C

2.2 Mọi hàm số f(x) liên tục trên (a, b) đều có nguyên hàm trên đoạn đó

3   n

i k i

i 0



 

F' x i.a x ax b





f x ax  b.dx  F' x  k.f x ax  b



f(x) là đa thức bậc          n 1 n 1 vậy ai là hệ số phải tìm

Đặc biệt nếu  

 k 1 k

f x dx

ax  b 

 Ta chỉ cần tìm F(x) cùng bậc với f(x) nhân với

k

ax  b

4 Tìm   2

Có

' 2

2

1

Với các hệ số của đa thức g(x) bậc   1 phải tìm, là bậc của đa thức f(x)

Nếu  

2 2

f x dx

 thì g(x) trong (1) bậc là   1

5 Tìm   k

f x ln x.dx

 chỉ cần tìm  x ln x.dxn k

F(x)  ax ln x thì đạo hàm của F(x) là   n 1 k n 1 k 1

F' x  nax  ln x  kax  ln  x Nên nguyên hàm cần tìm có dạng:   n 1 k n 1 k 1 n 1

F x  a x  ln x  a x  ln  x a x    Các hệ số ai với i  0,1, ,k phải tìm

I   sin ax.e dx

Từ công thức tính nguyên hàm từng phần có:     bx

F x  a sin ax  a cosax e (2)

Mà các hệ số a1, a2 cần xác định

Với công thức (2) còn dùng tìm bx

I   cosax.e dx

7 Tìm n

I   x sin x.dx Thì   n n 1

F x  a x cos x  a x  sin x 

Còn n

I   x cos x.dx thì   n n 1

F x  a x sin x  a x cos x   

8 Tìm   x

f x e dx

 thì     x

F x  g x e , hệ số g(x), bậc của f(x) phải tìm

Chú ý ở đây f(x), g(x) là những đa thức bậc k nào đó bậc xác định ở mỗi phần F(x) là một nguyên hàm của nguyên hàm cần tìm

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

1 Tìm nguyên hàm của f x     2x  3  x  5

Lời giải: Gọi    2 

f x  ax  bx  c x  5 là một nguyên hàm của f(x) khi đó

2 x 5



2 x 5



5a 4

c 10b 30













Lời giải: Gọi    2  2

f x  ax bxc x 2x là một nguyên hàm của f(x) khi đó

2

2

x 2x



3ax  2b 5a x    c 3b x   c x  3x  2x

1

3

c 0

c 3b 2

2 b

c 0

3







F x  ax  bx  c x  2x  d.ln x 1   x  2x

Là một nguyên hàm của f(x), có:

2

2

ax b x c x 1 d 2ax b x 2x

3ax 2b 5a x 3b c x c d 3x 5x 2x

Đồng nhất các hệ số ta được:

3x 1 x 2xdx x 2 x 2x 2ln x 1  x 2x C

4 Tìm  2  2

4x 3x2 x 4x7.dx



F x  ax  bx  cx  d x  4x   7 p.ln x   2 x  4x  7

là một ngyên hàm của f(x) =  2  2

4x 3x2 x 4x7 Khi đó F’(x) = f(x) hay

x 2

p 1

4ax 14a 3b x (21a 10b 2c)x 14b 6c d x 7c 2d p

4x 19x 42x 29x 14





5 Tìm nguyên hàm của hàm số   2x 12

f x

x 1





2x 1

dx

x 1





F x a x  1 b.ln x x 1 Khi đó   2

x 1





F(x) là nguyên hàm của f(x) 2

x 1







Đồng nhất các hệ số của x ta được: a = 2; b = 1

2

2x 1

dx 2 x 1 ln x x 1 C

x 1







6 Tìm

2 2

x 3x 1

dx

x 1





F x  axb x  1 c.ln x x 1 là một nguyên hàm của f(x)=

2 2

x 3x 1

x 1



2ax bx c a x 3x 1





Vậy:

2

2

x 1



7 Tìm Ix ln x.dx3 2

Lời giải:   4 2 4 4

F x a x ln xa x ln xa x

F' x 4a x ln x2a x ln x4a x ln xa x 4a x

F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = 3 2

x ln x khi

4a x ln x2a x ln x4a x ln xa x 4a x x ln x Đồng nhất các hệ số ta được: a2 + 2a1 = 0 ; a1 + 4a0 = 0; 4a2 = 1

1

0

1 a 8 0

1

4 1 a 32

1

2

a 2a

a 4a

4a 1

  





Vậy

3 2 x ln x x ln x x

8 Tìm

2 3

ln x dx x



Lời giải: gọi   2

F x ln x ln x

   là một nguyên hàm của hàm số

2 3

ln x

x , khi đó

  2a ln x32 2a ln x3 2b3 b3 2c3 ln x23

       đồng nhất các hệ số ta được

1

a b 2

2

b a

1 c b

2









Vậy

2

3

ln x

dx

x

2

ln x ln x 1

C 2x 2x 4x

9 Tìm x

sin 3x.e dx



F x  asin3xbcos3x e F' x e asin3xbcos3x3a cos3x 3b sin 3x

Nên asin3xbcos3x3a cos3x 3bsin 3x sin 3x, đồng nhất các vế ta được:

1 a

b 10

 







Vậy x sin 3x 3cos3x x

10 Tìm cos 2x.e dx3x

F x  asin2xbcos 2x e F' x e 3asin2x3bcos 2x2a cos 2x2bsin 2x Nên 3asin2x3bcos 2x2a cos 2x2bsin 2xcos 2x, đồng nhất các vế ta được:

2 a

b 13

 







Vậy 3x e3x  

cos 2x.e dx 2sin 2x 3cos 2x C

13

11 Tìm x sin 2xdx2

   2    2

F x  ax cosxbx sin xccos x F' x 2acosxax sin xbsin xbx cos xcsin x

2acosx ax sin x bsin xbx cos x csin x x sin x, đồng nhất các vế ta được:

b 2a 0 b 2

Vậy x sin xdx2  x cos x2 2x sin x2cos xC

12 Tìm  3 2  2x

2x 3x 4x5 e dx

Gọi F(x)  3 2  2x

ax bx cx d e

    là một nguyên hàm của    3 2  2x

f x  2x 3x 4x 5 e

F' x e 2ax 2bx 2cx2d 3ax 2bxc = 3 2  2x  

2x 3x 4x 5 e f x

a 1

a 1

b 0 2b 3a 0

c 2 2c 2b 4

3

2







2



13 Tìm

1 x x 1

1 x e dx

x





Có     x 1   x 1

2

b c

F x bx c e F' x e b bx c

x x

2

    Đồng nhất 2 vế ta được b= 1 và c = 0

Nên

1

x

III BÀI TẬP TỰ GIẢI

Tìm các nguyên hàm sau:

(x2) x 4xdx

3

2

2

x 3x

dx

x 2x





3 2

ln x dx x

 ;

5  2  3

x x ln xdx

2sin 3xcos3x e dx

7  2  3x

x 2x e dx

2x x sin 2xdx

9  3 

x x cos3xdx

1 x

x





Nguyễn Minh Đức – THPT chuyên NTT – YB

Năm học 2003-2004