TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:.. 1..[r]
Trang 1I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1.
1
3
0
(x x 1)dx
1
e
x x
2
3
1
2
x dx
2
1
1
x dx
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
0
(e xx dx)
6
1
3 0
(x x x dx)
7.
2
1
( x1)(x x1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
1
2 0
(e xx 1)dx
10
2
1
(x x x x dx)
2
1
( x1)(x x1)dx
12.
3
3 1
2
2 2 -1
x.dx
x
14
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
x 2
5
2
dx
16
2
2 1
x 1 dx
ln
2 3 3 6
x dx x
cos sin
18 4
2 0
tgx dx x
cos
1 x x
0
20
0
e dx
.
2 2 1
dx
22
3
0
dx
ln
.
0
dx
1 sin x
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
sin xcos xdx
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4
4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
Trang 28
1
3 2
0
1
x x dx
9
1 2 3
x dx
x
10
1
0
1
x x dx
11
2 3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1x dx
13
1 2 1
1
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
0
sin
1 3
x dx cosx
26 4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
x x dx
30
1
2 0
1
x x dx
1
3 2 0
1
x x dx
32
3
x dx
x
1
0
1
x x dx
34
2
3 1
1
1dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
38
2ln 1
1
e e x
dx x
39
1 ln ln
e
e
x dx
x x
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
2
x dx x
42
1
0 2 1
x dx
x
1
0
1
x x dx
Trang 344
1
0
1
x x
1
0
1
x x
46
3
1
1
x dx x
1
1 ln
e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
1
1 3ln ln
e
x x dx x
49
2ln 1
1
e e x
dx x
50
21 ln2
ln
e
e
x dx
x x
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx cos x
1
2 3 0
5
x x dx
2
4 0
sin 1 cos
54
4
2 0
4 x dx
55
4
2 0
4 x dx
1
2
0 1
dx x
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
x d u x v x v x u x dx
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
dv ax dx v cosax dx
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt ln( )
dx du
dv f x dx v f x dx
@ Dạng 3: sin
e ax cosax ax dx
Ví du 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0( 1)
x
x e
dx
x
2
2
x
u x e
dx dv
x
b/
3 8
4 3
2( 1)
x dx
x
5 3
4 3
u x
x dx dv
x
Trang 4c/
1 2
1
Tính I1
1 2
01
dx x
bằng phương pháp đổi biến sô Tính I2 =
1 2
2 2
0 (1 )
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2
u x
x
x
Bài tập
1
3 3 1
ln
e
x dx x
1
ln
e
3
1
2 0
1
ln
e
5
3 3 1
ln
e
x dx x
1
ln
e
7
1
2 0
1
ln
e
9 2
0
( x c osx)sinx dx
1
e
x
11
2
2 1
ln( x x dx )
3
2
4
tan
13
2
5 1
ln x dx x
14
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
e xdx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5
3
2 3 2
1 2
dx x
x
x
b
a
dx b x a
( 1
3
1
0
3
1
1dx
x
x x
x
x x
1 0 2
3
1 1
1
0
3
2
) 1 3
( x dx
x
1 0
2
2 ( 3 ) )
2 (
1
dx x
x
7
2
1
2008 2008
) 1
(
1
dx x
x
x
8
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
3
2
2 2
4
) 1
x
10
1 0
2
3 2
) 1 ( x dx
x
n n
Trang 511
2
1
2 4 2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
2
1
4) 1 (
1
dx x x
13
2
0
2
4
1
dx
1 0 4
1 x dx x
x x
2
0
2 2 2
1
16
1 0
3
2 ) 1 ( x dx x
4
2
2
3 2
x x
3
2 3
2
2 3
3 3
x x
x x
19
2
1
4 2
1
1
dx x
x
20
1 0 3
1
1 dx
x
1
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22
1 0 2 4
1
2
dx x x
23
1
0
6
4
1
1
dx x
1 2 0
4 11
5 6
x
dx
x x
25
1
2
dx
x x
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
0
2 cos sin
2
2
0
3
2 cos sin
xdx x
2
0
5
4 cos sin
2
0
3
3 cos ) (sin
dx x
5
2
0
4
4 cos ) (sin
2 cos
dx x x
2
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
dx x x
x x
7
2
3
sin
1
dx
2
0
4 4 10
10 cos cos sin ) (sin
dx x x x
x
9
2
0 2 cos
x
2
0 2 sin 1
dx x
11
2
0
2
3
cos 1
sin
dx x
3
6
4 cos sin
dx
13
4
0
2
2 2sin cos cos sin
x x
x x
2
01 cos cos
dx x x
Trang 615
2
0 2 cos
cos
dx x
2
0 2 sin
sin
dx x x
17
2
0
3
cos
1
cos
dx x
2
0sin cos 1
1
dx x x
19
2
3
2
) cos
1
(
cos
xdx
20
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
21
4
0
3
xdx
4
6
3
cot
23
3
4
4
xdx
4
01 1
dx tgx
25
4
4 cos(
cos
x x
dx
2
0 4sin 5cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
2
0
sin
1 x dx 28
4
0 2sin 3cos 13
x x
dx
29
4
0
4
3
cos
1
sin
4
dx x
2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
31
2
01 cos
3
sin
dx x
2
4
sin 2
sin
dx
33
4
0
2
3
cos
sin
dx
x
2
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x x
35
0
sin cosx x dx 36
3
4
3
3 3
sin
sin sin
dx xtgx
x x
37
2
01 sin cos
x x
2
0 2sin 1
x dx
39
2
4
5
3 sin
cos
xdx
4
0
2
cos 1
4 sin
x xdx
41
2
05sin 3
x
6
6
4 cos sin
dx
43
3
6 sin(
sin
dx
4
3
4 cos(
sin
x x dx
Trang 745
3
4
6
2
cos
sin
xdx
6 (
3
6
3
0
3
) cos (sin
sin 4
x x
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
49
2
0
3
sin
dx
2
0
2cos
xdx x
2
0
1 2
2 sin
dx e
x
2
01 cos
sin 1
4
6
2 cot
4 sin 3 sin
dx x g tgx
x x
2
0
2 5sin 6 sin
2 sin
x x
xdx
55
2
1
)
3
6
2
cos
) ln(sin
dx x x
2
0
2
cos ) 1 2 (
58
0
2
cos sinx xdx x
59
4
0
2
xdx
0
2
2 sin xdx
e x
61
2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
4
0
) 1 ln(
dx tgx
4
0
2
) cos 2 (sin
x x
2
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
x xdx
66
2
0
67
0
4sin
x
68
V TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
b
a
dx x f x
Trang 8+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
b x x
ax ) 2
(
1
Với (x2 x )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = x2 x , hoặc đặt t =
b
ax
1
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2 [
+) R(x, x 2 a2 ) Đặt x =
x
a
cos , t }
2 {
\]
;0 [
+) R n 1 n 2 n i
x ; x ; ; x Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
1
3
2
5 x x2 4
dx
2
2
3
2 x x2 1
dx
3
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4
2
1 x x3 1
dx
5
2
1
2 2008dx
2
1 x2 2008
dx
1
0
2
2 1 x dx
1 0
3
2 ) 1 ( x dx
9
3
1 2 2
2
1
1
dx x
x
x
10
2 2
0 1
1
dx x x
11
1
0 ( 1 x2)3
dx
12
2 2
0 ( 1 x2)3
dx
13
1
0
2
1 x dx 14
2 2
2
1 x
dx x
15
2
0 7 cos2
cos
x
2
0
2
cos cos
sin
dx x x
x
17
2
0 2 cos2
cos
x
2
0 1 3cos
sin 2 sin
dx x
x x
19
7
0 3 2
3
1 x
dx
x
3 0
2
3 10 x dx x
21
1
0 2x 1
xdx
22
1
3
1
x x
dx x
23
7
2 2x 1 1
dx
24 x x dx
1 0
8
15 1 3
Trang 925
2
0
5
6 1 cos3 xsinxcos xdx 26
3 ln
0 e x 1
dx
27
1
1 1 x x2 1
dx
28
2 ln 0
2
1
x
x
e
dx e
1
4
5
2 8 4
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
31
3
3 5
1 x dx
x x
32 x x x dx
4 0
2
3 2
33
0
1
3
3 ln
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
35
3
0
2
2
cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
37
3
0 2 cos2
cos
x
2
0 1 cos2 cos
x xdx
x
x
7
03 3
2
40
a
dx a x
2 0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
(
VÝ dô: +) Cho f(x) liªn tôc trªn
[-2
3
; 2
3
] tháa m·n f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2x,
TÝnh:
2 3
2 3
) (
dx x f
+) TÝnh
1
1
2
4
1
sin
dx x
x x
a
a
dx x
f( ) = 0.
VÝ dô: TÝnh:
1
1
2) 1
2
2
2) 1 ln(
cos
dx x x
x
a
a
dx x
f( ) = 2
a
dx x f
0
) (
VÝ dô: TÝnh
1
1
2
x
dx
2 2
cos
4 sin
x x dx
x
a a
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
(1 b>0, a)
Trang 10VÝ dô: TÝnh:
3 3
2
2 1
1
dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin
dx e
x x
x
x
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0;
2
], th×
2
0
2
0
) (cos )
(sin
dx x f x f
VÝ dô: TÝnh
2
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
dx x x
x
2
0 sin cos
sin
dx x x
x
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
VÝ dô: TÝnh
0 1 sinx dx
x
0 2 cos
sin dx
x
x x
b
a
b
a
dx x f dx x b a
b b
dx x f dx x b f
0 0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
4
0
) 1 ln(
4 sin
dx tgx x
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
a
a
dx x f dx x f
0
) ( )
T nT
dx x f n dx x f
0 0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh
2008 0
2 cos
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1
1
1
2
2 1
1 x dx
4
4
4
3 5 7
cos
1
dx x
x x x x
3
1
1
2) 1 )(
1
dx
2
2
2
sin 4 cos
dx x
x x
5
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x
x 6. sin(sin x nx) dx
2 0
7
2
2
5
cos 1
sin
dx x
x
cot
ga
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tga>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1
3
3
2 1dx
2 0
2 4x 3dx x
3
2
0
2 x dx
1 0
dx m x
2
2
sin
dx x
5
dx x
sin
3
6
2 2
2 cot
dx x g x
tg
Trang 117
4
3
4
2 sin
dx
2 0
cos
1 x dx
9
5
2
) 2 2
3 0
4
2x dx
11
3
2
3
cos cos
cos
dx x x
VIII ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =
1
b/ Đồ thị hàm sô y = ex +1 , truc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm sô y = x3 - 4x , truc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =
4
d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm sô y = x + x -1 , truc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =
1
b/ Đồ thị hàm sô y = ex +1 , truc hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1 c/ Đồ thị hàm sô y = x3 - 4x , truc hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x =
4
d/ Đồ thị hàm sô y = sinx , truc hoành , truc tung và đường thẳng x = 2
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY