TÌM HIỂU SÂU THÊM TOÁN SƠ CẤPPHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Kiều Đình Minh Cao học khoá14, ĐHSPHN Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ Có lẽ nhiều bạn đã làm quen vớ
Trang 1TÌM HIỂU SÂU THÊM TOÁN SƠ CẤP
PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH TRONG BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Kiều Đình Minh
Cao học khoá14, ĐHSPHN
Gv.THPT Thanh Ba, Phú Thọ
Có lẽ nhiều bạn đã làm quen với phương pháp hệ số bất định Tuy nhiên việc vận dụng phương pháp này trong giải toán thì thực sự còn chưa được bàn đến nhiều Bài báo này
sẽ nêu lên sự thuận lợi của phương pháp hệ số bất định trong một số bài toán giải phương trình chứa căn, phương trình mũ và lôgarit có dạng đặc biệt Chúng ta sẽ lần lượt tìm hiểu qua các bài toán sau
Bài toán 1 Giải phương trình
7 1 2 log ( 6 5 ) 3 ( 1 )
7
x
Lời giải Tập xác định ; )
6
5 ( +∞
=
D
( 1 ) ⇔ 7x− 1 − 6 log7( 6x− 5 ) = 1
Ta cần tìm α , β sao cho
=
−
=
⇔
=
−
−
= +
⇔
−
− + +
=
⇔
− +
−
=
1
6 1
5
0 6 )
5 ( ) 6 ( 1 ) 5 6 ( ) 1 (
1
β
α β
α
β α β
α β
α β
khi đó phương trình viết lại như sau
) 5 6 ( log 6 5 6 ) 1 ( 6 7 ) 5 6 ( ) 1 ( 6 ) 5 6 ( log 6
7
)
1
7
xét hàm ϕ (t) =t+ 6 log7t có 0 , 0
7 ln
1 6 1 ) ( = + > ∀ >
t t
phương trình tương đương với
ϕ ( 7x− 1 ) = ϕ ( 6x− 5 ) ⇔ 7x− 1 = 6x− 5 ⇔ f(t) = 7t − 6t− 1 = 0 , (t =x− 1 )
có f′ (t) = 7tln 7 − 6 ,f′ (t) = 0 ⇔t0 = log76 − log7ln 7 Hàm số f (t) nghịch biến trong khoảng
)
;
( −∞ t0 và đồng biến trong khoảng (t0; +∞ ) nên f (t) có không quá hai nghiệm
Dễ thấy t1 = 0 ,t2 = 1 là hai nghiệm của f (t) suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm là
2
,
1 2
1 = x =
Nhận xét: Bài toán có thể đặt ẩn phụ dẫn đến việc giải hệ phương trình (xem bài: Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình có hai phép toán ngược nhau.THTT số 9 năm 2002)
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
a) a f(x) −kloga g(x) =h(x),a> 1 ,k > 0
Giả sử h(x) = g(x) −kf(x), khi đó phương trình trở thành a f(x) +kf(x) =g(x) +kloga g(x)
xét hàm ϕ (t) =t+kloga t,t> 0ta được ϕ (a f(x) ) = ϕ (g(x)) ⇔a f(x) =g(x)
b) a f(x) +kloga g(x) =h(x), 0 <a< 1 ,k > 0
Giả sử h(x) = g(x) +kf(x), khi đó phương trình trở thành a f(x) −kf(x) = g(x) −klog g(x)
Trang 2xét hàm ϕ (t) =t−kloga t,t> 0 ta được ϕ (a f(x) ) = ϕ (g(x)) ⇔a f(x) = g(x).
Khảo sát sự biến thiên của hàm số φ (x) =a f(x) −g(x) để biết số nghiệm và tìm các nghiệm
đó
Bài toán 2 Giải phương trình lôgarit
18 31 ( 2 )
1 2
) 1 ( log
2
+
−
x x
x x
Lời giải Tập xác định ; ) { }1
2
1 ( − +∞ −
=
D
Ta cần tìm α , β , γ sao cho
−
=
−
=
=
⇔
−
= + +
−
=
−
=
⇔
+ + +
− +
=
−
−
⇔
+ + +
−
=
−
−
24 8 1
31
18 2
2 1
) 2 2 ( 31
18
) 1 2 ( ) 1 ( 31 18
2 2
2 2
γ β
α γ
β α
α β α
γ β α α β α
γ β
α
x x
x x
x x
x x
khi đó phương trình tương đương với
) 1 2 ( ) 1 2 ( log )
1 ( 8
1 ) 1 ( 8
1 log
) 1 2 ( ) 1 2 ( log )
1 ( 8
1 3 ) 1 ( log
3 ) 1 2 ( ) 1 ( 8
1 ) 1 2 ( log ) 1 ( log
24 ) 1 2 ( 8 ) 1 ( ) 1 2 ( log ) 1 ( log 8
2 1 2
2
2 1
2 1 2
2
2 1
2
2 1 2
2 1
2
2 1 2
2 1
+
− +
=
−
−
−
⇔
+
− +
=
−
− +
−
⇔
− +
−
−
= +
−
−
⇔
− +
−
−
=
+
−
−
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
xét hàm số ( ) log , 0
2
1 − >
t
2
1 ln
1 ) ( = − < ∀ >
t
t f
nên hàm số f (t)
nghịch biến trên ( 0 ; +∞ ) Do đó phương trình tương đương với
f x− = f x+ ⇔ (x− 1 ) = 2x+ 1 ⇔ x − 18x− 7 = 0 ⇔ x= 9 ± 2 22 ∈D
8
1 ) 1 2 ( ) )
1
(
8
1
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
( ) , ( ) 0 ; ( ) 0
) (
) ( log =h x f x > g x >
x g
x f a
+) Nếu h(x) = −f(x) +a k g(x) +k thì phương trình tương đương với
) 1 ( ), ( )
( ) ( )
( log ) ( ) ( log )
( )
( )
(
)
(
log = −f x +a g x +k ⇔ f x + f x = a g x +a g x ⇔ f x =a g x a>
x
g
x
a a
k a
+) Nếu h(x) = f(x) −a k g(x) +k thì phương trình tương đương với
Trang 3) 1 0
( ), ( )
( ) ( )
( log ) ( ) ( log )
( )
( )
(
)
(
log = f x −a g x +k ⇔ f x − f x = a g x −a g x ⇔ f x =a g x <a<
x
g
x
a a
k a
+) Nếu h(x) =kg(x) −kf(x) thì phương trình tương đương với
) ( ) ( ) ( ) ( log ) ( )
(
loga f x +kf x = a g x +kg x ⇔ f x =g x nếu a> 1 ,k > 0 hoặc 0 <a< 1 ,k < 0
Bài toán 3 Giải phương trình mũ
) 2 2 1 ( 3 )
3
1 ( 2 3
2x 1x − x 1 −x = x2 − x− Lời giải Tập xác định D= R−{ }0
x
x x x x
2
1 2 2 ) 3
1 ( 3 )
3
Ta cần tìm α , β , γ sao cho
x
x x
x
x x x
x x
x
2
1 2 2 )
1 ( )
1 ( 2
1 2
=
−
=
−
=
⇔
−
=
−
= +
=
−
⇔
0 1 2 1
1 2
2 ) ( 2
2 2
γ β
α α
γ β β
khi đó phương trình tương đương với
2
1 3 ) 1 ( 2
1 )
3
1 (
1 1
1
− +
= +
⇔
−
−
−
=
x
x x
x x
x x
xét hàm số f(t) = 3t +t có đạo hàm f′ (t) = 3tln 3 + 1 > 0 , ∀t∈R nên hàm đồng biến trên R
Do đó phương trình tương đương với
2
3 1 0
1 2 2 1 2
1 ) 1 ( ) 2
1
x x
x x
x x
f x
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
a f(x) −a g(x) =h(x)
Giả sử h(x) =kg(x) −kf(x), khi đó ta được phương trình
a f(x) +kf(x) =a g(x) +kg(x)
từ đó xét hàm ϕ (x) =a t +kt và dẫn đến ϕ (f(x)) = ϕ (g(x)) ⇔ f(x) =g(x).
Bài toán 4 Giải phương trình mũ
3 2 5 1 50 9 2 81 2 1 0 ( 4 )
=
−
+
x
Lời giải Tập xác định D=R
( 4 ) 3 2 5 1 50 3 2 2 2 3 8 4 0
=
−
−
Ta cần tìm α , β , γ sao cho
Trang 4
=
=
=
⇔
= +
−
= +
=
⇔
+
− +
+
= + +
⇔ +
− +
+
= + +
3 2 1 2 1
1 4
5 8 2
1 2
4 ) 8 2 ( 2 1 5 )
4 8 ( ) 2 2 ( 1
2
γ β
α
γ β
β α
α
γ β β
α α
γ β
x
x
khi đó phương trình viết lại như sau
3 2(8 4) 3 50.32 2 38 4 0 27.3 4 2 50.32 ( ) 32 ( 4 2 ) 0
1 )
2
2
(
2
1
2 2
2 2
=
−
−
⇔
=
−
+
− +
x
đặt u= 3x2+x,v= 3 4x−2 ta được phương trình
x x
x
x x u
v
u
v
v u u v uv
v u uv v
u uv
x x x
x x x
∃
⇔
= +
+
−
= +
+
−
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔
=
−
−
⇔
=
−
−
−
⇔
=
−
−
+
−
+
−
0 25 log 2 3
0 2 log 2 3 3
25 3
3 2 3
25
2
0 ) 25 )(
2 ( 0 ) 2 ( ) 50 25
( 0 50
27
3 2
3 2
2 4
2 4
2 2 2
2
2
2
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
ma f(x) +na g(x) +la h(x) + p= 0
Giả sử h(x) = αf(x) + βg(x), khi đó đặt u =a f(x) ,v=a g(x) ta được phương trình đối với u, v
có thể phân tích được
Bài toán 5 Giải phương trình chứa căn
−x+ 3 = 2 1 −x− 1 +x+ 3 1 −x2 ( 5 )
Lời giải Tập xác định D=[ ]− 1 ; 1
Ta tìm α , β sao cho
=
=
⇔
= +
−
=
−
⇔
− + +
= +
−
2
1 3
1 )
1 ( ) 1 ( 3
β
α β
α
β α β
x
khi đó phương trình viết lại như sau
( 1 +x) + 2 ( 1 −x) − 2 1 −x+ 1 +x− 3 1 −x2 = 0
đặt u= 1 +x,v= 1 −x(u,v≥ 0 ) ta được
−
=
=
⇔
−
= + +
−
= +
⇔
=
+
−
=
⇔
= +
−
−
⇔
=
−
−
− +
−
⇔
=
− +
−
+
2 3 5 3
1 1 1
1 2 1
0 1
2
0 ) 1 )(
2 ( 0 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 0 3 2
2
x
x x x
x x
v
u
v
u
v u v u v
uv v u uv u
uv u v v
u
Bài toán tổng quát: Giải phương trình
p(x) =a 1 −x+b 1 +x+c 1 −x2
Biểu diễn p (x) theo 1 −x, 1 +x và đặt u = 1 +x,v= 1 −x(u,v≥ 0 ).Khi đó được phương trình đối với u, v có thể phân tích được
Trang 52x2 − 11x+ 21 − 3 3 4x− 4 = 0 ( 6 )
Lời giải Tập xác định D= R Ta cần tìm α , β , γ sao cho
=
−
=
=
⇔
= +
−
−
=
−
=
⇔
+
− +
− +
= +
−
⇔ +
− +
−
= +
−
12 4 7 8 1
21 4
16
11 32
4
2
16
) 4 16 ( ) 32 4 ( 16
21 11 2
) 4 4 ( ) 4 4 ( 21
11
γ β
α
γ β
α
α
β
α
γ β α α
β α
γ β
x
x
phương trình đã cho tương đương với
3 2
0 ) 24 18 12 4 (
)
2
(
) 4 4 ( , 0 96 24 14 0
4 4 3 12 ) 4 4 ( 4
7
)
4
4
(
8
1
2 3 4
2
3 3
6 3
2
=
⇔
=
⇔
= + + + +
−
⇔
−
=
= +
−
−
⇔
=
−
− +
−
−
−
x t
t t t t
t
x t
t t t x
x x
vì nếu t≤ 0 ⇒t6 − 14t3 − 24t+ 96 > 0 ,nếu t > 0 ⇒t4 + 4t3 + 12t2 + 18t+ 24 > 0
Sử dụng phương pháp hệ số bất định cho ta lời giải bài toán một cách rất tự nhiên và rõ ràng
Cuối cùng xin mời các bạn giải một số phương trình sau:
1
x x
x x
x
1 2
1 2
1
−
=
−
2.3co sx+ 1 − 3co s3x+co s2x = 4co s3x+ 2co s2x− 4co sx− 2
3 4x2 +x +21 −x2 =2(x+ 1 ) 2 +1
4.3 2 3 6 3 2 3 2 1 2 0
= +
−
x
) 1 (
7 8 log 3 2
3
+
+
=
−
−
x
x x
x
x
x
7 6x = 1 + 2x+ 3 log6( 5x+ 1 )
8 3x − log3( 1 + 2x) = 1 +x
9 2x− 1 = − 3 1 −x+ 1 +x + 1 −x2
10.x2 − 4x− 3 = x+ 5