Chuyen de he thuc luong

2.2.2.Biện pháp 2: Tạo ra một số tình huống có vấn đề từ các kiến thức đã biết bằng cách biến đổi hay giấu đi một yếu tố đã biết  Các ví dụ Các ví dụ dưới đây chủ yếu là những kiến thức[r]

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Mở đầu:

Toán học là một môn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống thực tiễn, đồng thời toán học cũng là tiền đề cho sự phát triển của các ngành khoa học khác Nhưng toán học thường mang tính trừu tượng cao đòi hỏi khả năng tư duy, lập luận tích cực, chính xác, độc lập và sáng tạo, đồng nghĩa là việc giải các bài toán học cũng không kém phần khó khăn nhất là nội dung chứng minh hình học Việc giải bài toán đã khó, đặc biệt là hình học các em rất lơ mơ, không biết vẽ, nhìn hình, không biết chứng minh, áp dụng… Vậy làm thế nào cho các em phát huy các năng lực tư duy logíc, tính tích cực chủ động và sáng tạo, chủ động tìm tòi và giải quyết vấn

đề để tự tìm ra tri thức cho bản thân? Câu trả lời này là điều mong muốn tột bật của những người làm công tác giáo dục nói chung và người giáo viên toán như chúng ta nói riêng ngày ngày đi tìm câu trả lời thực tế qua kết quả học tập của các em

2 Nội dung:

2.1 Thực hiện định hướng dạy học toán hình học 9: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bước 1: Phát hiện và thâm nhập vấn đề

Thường sử dụng các suy luận logic, các phương thức tư duy ( khái quát hóa, tương tự hóa, tư duy hàm,….) , dùng thực nghiệm ( tính toán , đo đạc,…) để xây dựng các giả thuyết

Bước 2: Tìm giải pháp Tìm một giải pháp theo sơ đồ:

Giải thích sơ đồ:

Bắt đầu Phân tích vấn đề

Đề xuất và thực hiện hướng

giải quyết Hình thành giải pháp

Giải pháp đúng Kết thúc

Khi phân tích vấn đề , cần làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái phải tìm.Khi đề xuất

và thực hiện hướng giải quyết vấn đề cùng với việc thu thập, tổ chức dữ liệu , huy động tri thức

thường hay sử dụng những phương pháp, kỹ thuật nhận thức, tiên đoán, quy lạ về quen, đặc biệt hóa, tương tự hóa, khái quát hóa, xem xét những mối liên hệ và phụ thuộc, suy xuôi, suy ngược Khâu này có thể làm nhiều lần cho đến khi tìm được hướng đi hợp lí

Kết quả của việc này là hình thành được một giải pháp.

Việc tiếp theo là kiểm tra giải pháp đó có đúng đắn hay không Nếu giải pháp đúng thì

kết thúc ngay, nếu không đúng thì lặp lại từ khâu phân tích vấn đề cho đến khi tìm được giải

pháp đúng

Bước 3: Trình bày giải pháp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả Đề xuất vấn đề mới

2.2 Các biện pháp định hướng giảng dạy chính:

2.2.1.Biện pháp 1: Giúp học sinh nắm vững hệ thống kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông

 Hiểu và sử dụng đúng các thuật ngữ trong chương :

Các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mà học sinh cần phải nắm: hình chiếu, cạnh góc vuông, cạnh huyền, đường cao Đó là những kiến thức mà học sinh đã được học ở chương trình toán 7 tập II Tuy nhiên đòi hỏi giáo viên phải nhắc lại những kiến thức cơ bản đó nhằm giúp cho học sinh có điều kiện phát hiện, tiếp cận kiến thức mới tốt hơn

Ngoài các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mà học sinh đã biết ở trên thì các em cần phải nắm các từ ngữ, thuật ngữ, các yếu tố mới như: cạnh đối, cạnh kề, góc đối, góc kề, hai góc phụ nhau,

…

Trên cơ sở đã nắm vững các thuật ngữ đã biết, bản chất của khái niệm, phát biểu rõ ràng, chính xác khái niệm, tìm được mối liên hệ với các khái niệm khác trong hệ thống khái niệm sẽ giúp cho học sinh hiểu và sử dụng được các thuật ngữ, kí hiệu Đồng thời có thể chuyển được một bài toán, hay một định lí từ ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ đại số Giúp cho việc giải quyết vấn đề trỡ nên đơn giản hơn

Ví dụ 1: Khi phát biểu định lí 1 về hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên

cạnh huyền “Trong tam giác vuông bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền

và hình chiếu của nó trên cạnh huyền” đồng thời kết hợp với hình vẽ tương ứng học sinh sẽ đưa

ra đươc hệ thức

2

2

.

AB BH BC

AC CH CB

 



 giúp cho việc nắm vững kiến thức lâu hơn

 Kiến thức cần nắm trong chương :

 MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN PHỤ NHAU

Tam giác ABC vuông tại A  B C  900 (Hình 2)

 HỆ THỨC GIỮA CẠNH VÀ GÓC CỦA MỘT TAM GIÁC VUÔNG

Ở hình 2 , ta có:

Các công thức liên quan các cạnh

2

2

';

'

b ab

c ac





2 '.'hbc ahbc 2 2 2

1 1 1

h b c  

h a

b c

c' b'

B A

Hình 1

Hình 2

Ta có : SinB =

AC

BC * cosB =

AB BC

* tan B =

AC

AB * cot B =

AB AC

* sinB = cosC

AB BC



  * tanB = cot C

AC AB



* Sin C = cos B

AB BC



  * tanC = cotB

AB AC



* AB = BC.sinC =BC.cosB * AB =AC.tanC = AC.cotB

* AC = BC.sinB =BC.cosC *AC = AB.tanB = AB.cotC

Để học sinh dễ dàng nắm kiến thức trong chương cần thực hiện theo những yêu cầu sau:

- Học sinh phát phát biểu cụ thể, chính xác từng định lí Biết chuyển đổi từ ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ đại số

- Thay đổi các kí hiệu khác nhau trên hình vẽ, yêu cầu học sinh viết đúng chính xác các hệ thức dựa vào từng hình vẽ cụ thể

- Yêu cầu học sinh thực hiện những bài tập áp dụng sau mỗi hệ thức đã học

Lưu ý nhiều đến các bài toán trong thực tế, nhằm giúp học sinh có khả năng giải quyết một

số vấn đề trong thực tế nhờ toán học Đồng thời cũng khơi dậy niềm sai mê, hứng thú của các

em Từ đó giúp học sinh nắm vững kiến thức tốt hơn

- Phân biệt cụ thể sự khác nhau, giống nhau giữa các hệ thức, để học sinh khỏi nhằm lẫn trong quá trình vận dụng giải bài tập

2.2.2.Biện pháp 2: Tạo ra một số tình huống có vấn đề từ các kiến thức đã biết bằng cách biến đổi hay giấu đi một yếu tố đã biết

 Các ví dụ

Các ví dụ dưới đây chủ yếu là những kiến thức cơ bản mà học sinh cần phải nắm được sau khi học xong các định lí về hệ thức lượng trong tam giác vuông Tuy nhiên để tất cả các đối tượng học sinh cùng tích cực suy nghĩ để tìm lời giải, phải có sự kích thích hứng thú của học sinh thông qua việc gợi vấn đề của GV, từ đó học sinh dễ dàng tìm lời giải hiệu quả nhất

Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông có các hai cạnh góc vuông dài 6cm và 8cm Tính độ dài

đường cao xuất phát từ đỉnh của góc vuông?

Định hướng giải bài toán:

Gợi động cơ:

Giáo viên đặt vấn đề:

- Trong các hệ thức liên quan đến đường cao, ta có thể vận dụng hệ thức nào cho phù hợp để giải quyết bài toán ?

- Nếu đặt độ dài đường cao cần tìm là h ta có thể áp dụng ngay hệ thức nào để tìm h (hệ thức 4)

- Trong một tam giác vuông nếu biết 2 cạnh góc vuông ta tìm được cạnh huyền Vậy nếu tính được cạnh huyền liệu còn cánh nào khác để tìm được h hay không (vận dụng hệ thức 3)

Lời giải cụ thể : Cách 1: Áp dụng hệ thức 4 ta có:

1 1 1

2 62 82

h   Từ đó suy ra

6 8 6 8 2



Do đó

6.8

10

Cách 2: Áp dụng định lí Pitago tính được cạnh huyền bằng 10cm

Từ đó áp dụng hệ thức 3 (bc = ah) tính được h = 4,8 cm

* Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy học sinh dễ dàng nhận ra rằng cần áp dụng hệ thức 4 về cạnh

và đường cao trong tam giác vuông để tìm h Bởi vì đề cho sẵn hai cạnh góc vuông thì việc tìm đường cao rất dễ dàng Tuy nhiên ta thấy những bài toán đại số có chứa nghịch đảo, quy đồng…., thì đối với học sinh yếu kém sẽ gặp lúng túng đôi khi dẫn đến kết quả sai

Ở cách 2, tuy phải trải qua bước dài hơn là tìm cạnh huyền rồi sau đó áp dụng hệ thức 3

để tìm h Tuy nhiên cách này dễ dàng hơn cho học sinh trong việc tính toán

Bởi một yếu tố bị dấu ở đây là cạnh huyền Tuy nhiên các đối tượng học sinh rất thành thạo trong việc áp dụng định lí Pi – ta –go để tính các cạnh trong tam giác vuông

Do đó tùy vào đối tượng học sinh giáo viên có thể cho học sinh vận dụng kiến thức cho phù hợp, nhưng không phải bỏ hẳn những kiến thức có liên quan, mà cần luyện tập cho học sinh

ở một thời gian nhất định

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có AB = 6cm , AC = 4,5 cm , BC = 7,5 cm.

a/ Tính các góc B , C và đường cao AH của tam giác đó?

b/ Hỏi điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Định hướng giải bài toán:

Gợi động cơ:

- Để tính được góc B,C và đường cao AH thì tam giác ABC phải là tam giác gì?

- Để chứng minh tam giác ABC vuông cần áp dụng định lí nào?

Từ đó giáo viên đặt vấn đề dẫn học sinh tìm đến các hệ thức để giải quyết bài toán

Lời giải cụ thể :

a/ Ta có 62 + 4,52 = 7,52 nên tam giác ABC vuông tại A

Do đó tan B =

4,5

6 = 0,75 Suy ra B  370 và C  900 B 530

Mặt khác trong tam giác ABC vuông tại A ,ta có:

1 1 1

AH AB  AC

Nên

2 36 20, 25

36.20, 25

36 20, 25

 Suy ra AH = 3,6 (cm)

b/ Để S ABC S MBC thì M phải cách BC một khoảng bằng AH Do đó M phải nằm trên hai đường thẳng song song với BC cùng cách BC một khoảng bằng 3,6 cm

* Nhận xét:

Ở bài toán này ta thấy nếu giáo viên không đặt vấn đề ngay từ đầu là chứng minh tam giác ABC vuông, thì học sinh khó đưa ra lời giải chính xác Do đó đối với dạng toán này giáo viên cần khéo léo nhắc nhỡ học sinh phải chứng minh tam giác là vuông, nếu đề bài chưa cho,

để tránh tình trạng học sinh vận dụng sai lầm rồi dẫn đến kết quả sai

Tuy nhiên trong lời giải trên khi tính AH ta áp dụng hệ thức 4 về cạnh và đường cao trong tam giác vuông Nhưng khi giải bài toán này giáo viên cần lưu ý học sinh có thể tính AH theo hệ thức 3 Bởi vì hai cạnh góc vuông và cạnh huyền đã biết

2.2.3 Biện pháp 3: Luyện tập cho học sinh biết lật ngược vấn đề

 Hiểu rõ vấn đề :

Trong quá trình tiếp thu kiến thức, những vấn đề giáo viên truyền đạt cho học sinh những định lí, tính chất, đòi hỏi học sinh phải nắm rõ tường tận bản chất của vấn đề Có như thế học sinh mới khai thác được những vấn đề ngược lại nhằm dẫn đến bản chất, sự phụ thuộc có liên quan đến những vấn đề đó

Từ một bài toán sách giáo khoa, nếu học sinh biết khai thác và từng bước giải được hệ thống bài tập thì học sinh có khả năng phát triển tư duy trong đó có cả tư duy sáng tạo

Các ví dụ :

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có đường cao AH Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại

A  AB2 = BH.BC

Giải : Ta chứng minh hai điều :

a/ ABC vuông tại A, AH là đường cao  AB2 = BH.BC

Xét tam giác vuông ABC và HBA ta có góc B chung , nên

b/ BH BC = AB2, AH BC  tam giác ABC vuông tại A

Xét hai tam giác ABC và HBA, ta thấy :

Góc B chung ;

BH BA

BA BC  ABCHBA

Mà tam giác HBA vuông tại H (AH BC) nên tam giác ABC vuông tại A

* Nhận xét: Qua bài toán trên ta thấy nội dung chủ yếu là kiến thức lí thuyết để vận dụng

chứng minh các hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác Tuy nhiên vấn đề chứng minh khó khăn ở đây là học sinh phải nắm bắt đước kiến thức cũ có liên quan Đó là tam giác đồng dạng

Vấn đề ngược lại của bài toán này đó là phần chứng minh ở câu b.Ta thấy ở bài toán này đòi hỏi giáo viên phải khéo léo trong cách phân tích vấn đề ngược lại.Tuy nhiên để học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề là một vấn đề còn gặp nhiều khó khăn Do đó trong quá trình chứng minh cần lưu ý tính chất hai chiều như bài toán đã nêu

Qua bài toán trên học sinh có thể phát biểu ngược lại như sau:

Cho tam giác ABC có đường cao AH, chứng minh rằng với AB2 = BH.BC

 tam giác ABC vuông tại A

2.2.4 Biện pháp 4: Luyện tập cho học sinh vận dụng thao tác tương tự

Trong toán học, kĩ năng giải toán là một yếu tố rất quan trọng Đối với mỗi dạng bài tập đều có phương pháp giải và thuật giải khác nhau Đặc biệt trong chương trình toán THCS thì lượng bài tập cũng khá phong phú Tuy nhiên thời gian để dành cho giải bài tập trên lớp thì lại rất ít, không đủ để củng cố, luyện tập giúp học sinh giải tất cả các bài toán Do đó việc xác định dạng bài tập và thuật giải của chúng là một yếu tố cực kì quan trọng Bởi vì nếu học sinh xác định được dạng bài tập thì điều này trở nên dễ dạng hơn

Ví dụ 1 : Cho tam giác vuông tại A, trong đó AC = 0,9m; AB = 1,2 m.Tính các tỉ số lượng

giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C

Giải :

Ta có AC = 9dm, AB = 12 dm.Theo định lí Pitago, ta có

2 2 9 2 12 2 15

Vậy sin B =

AC

BC  

Cos B =

AB

BC   ; tan B =

AC

AB   ; cot B =

AB

AC  

Vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

Sin B = cos C =

3

5; Cos B = sin C =

4

5; tanB = cot C =

3

4; cotB = tan C =

4 3

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4 , kẻ đường cao

ứng với cạnh huyền Hãy tính đường cao này và các đoạn thẳng mà nó chia ra trên cạnh huyền

Giải :

Giả sử tam giác ABC có các cạnh góc vuông

AB = 3cm, AC = 4cm, AH là đường cao

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC:

BC AB AC     BC cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

BA2 = BH.BC

BA

BC

.

CA

CB

AH HB HC AH   AH 

(Có thể tính đường cao AH bởi công thức 2 2 2

AH AB  AC )

Nhận xét: Các ví dụ trên ta thấy hai đề tuy cùng yêu cầu nhưng cho dưới dạng khác nhau.

Một đề cho dạng ngôn ngữ thường, một đề cho dưới dạng hình vẽ Tuy nhiên tính tổng quát như nhau

Điều đặc biệt lưu ý là đối với dạng toán này đòi hỏi giáo viên phải nêu lên được tính tổng quát cho học sinh trong quá trình giảng dạy Trong hai ví dụ trên giáo viên có thể tổng quát dạng toán như sau: Trong một tam giác vuông nếu biết độ dài hai cạnh góc vuông thì ta tính được đường cao ứng với cạnh huyền và các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền

2.2.5 Biện pháp 5: Luyện tập cho học sinh nhìn tình huống dưới nhiều góc độ khác nhau

Hướng dẫn cho học sinh giải bằng nhiều cách từ đó giúp các em định hướng được cách giải tốt và có cái nhìn vào bài tập dưới nhiều góc độ khác nhau

Ví dụ 1: Cho ABC vuông tại A, AB = 30cm, đường cao AH = 24cm Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại D Tính độ dài BD

Giải:

- Áp dụng định lý Pitago cho ABH

 BH = 18cm

- Áp dụng hệ thức AB2 = BH.BC

 BC = BH

AB2 = 18

30 2 = 50cm

*Cách 1: Chứng minh BAD vuông tại B (cóABC ACB  900, mà DBH ACB (do AC//BD) nên ABC DBH  900 ABD)

- Áp dụng hệ thức: BH2 = AH.HD  HD = AH

BH2 = 24

18 2 = 13.5

 AD = AH + HD =24+13.5=37.5 (cm)

- Áp dụng hệ thức BD2 = HD.AD  BD = 22,5cm

*Cách 2: Chứng minh HBD đồng dạngHAB  BD = 22,5cm

*Nhận xét:

-Ở cả 2 cách giáo viên cần định hướng cho học sinh tính BH và BC để làm cơ sở cho việc tính toán BD

-Đối với cách 1 thì chú ý học sinh phải chứng tỏ được tam giác ABD là tam giác vuông tại B thì mới áp dụng hệ thức lượng được

-Ở cách 2 thì cho học sinh nhìn hình và suy đoán các hệ thức , từ đó có thể suy đoán các cặp đoạn thẳng tỉ lệ và khi đó áp dụng hợp lý để chứng minh HBD đồng dạng vớiHAB và

từ đó tính được BD

-Thông qua việc giải các bài tập dạng này tập cho học sinh biết lựa chọn phương án để tính toán cho thích hợp trong từng bài, đặc biệt sẽ thiên về khả năng tư duy để tìm lời giải bài toán

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao Biết AB=8cm, AC=6cm.Tính độ

dài AH

Giải :

*Cách 1: Ta có ABC vuông tại A nên :

A

H

D

2 2 8 2 6 2 10( )

BC AB AC    cm

ABC

 vuông tại A, AHBC, nên AH.BC=AB.AC

4,8( )

AB AC

BC

*Cách 2:

ABC

 vuông tại A, AHBC, nên:

2

4.8( ) 100

AB AC

*Cách 3:

Tính được BC=10cm

Ta có ABC vuông tại A nên:

2 2

BC

Mà HC=BC-BH=3.6(cm)

ABC

 vuông tại A, AHBC, nên:AH2 BH HC. 4.82  AH 4.8(cm)

*Cách 4:

+Gọi M là trung điểm BC

Ta có :

1

5 2

BM AM  BC cm

+Tính được BH=6.4cm

+Nên MH BH BM 6, 4 5 1(  cm)

+Áp dụng định lý Pitago vào HAM vuông tại H, ta có:

2 2 5 2 1, 4 2 4,8( )

*Nhận xét:

Rõ ràng việc giáo viên hướng dẫn cho học sinh phân tích bài toán để tìm hướng giải thích hợp là rất quan trọng Qua việc phân tích này thì các em sẽ có nhiều lựa chọn và biết phải chọn cách nào hợp lý nhất để giải Việc phân tích này cũng giúp cho các em có cái nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau hơn và đặc biệt là khả năng tư duy sáng tạo trong cách giải

2.2.6 Biện pháp 6: Luyện tập cho học sinh phát hiện sai lầm và tìm cách khắc phục

Tình huống này gợi nhu cầu nhận thức bởi lẽ bản thân học sinh cũng rất muốn tìm ra sai lầm của lời giải, không thể chấp nhận một lời giải sai Nó cũng gây cho học sinh niềm tin ở khả năng huy động tri thức, kĩ năng sẵn có của bản thân mình