2 phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như... Hay nói cách khác x = ychính là nghiệm của hệ.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ : HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A - Lý thuyết: Các phương pháp giải
1 Phương pháp thế
- B1: Từ 1 pt nào đó ta rút 1 ẩn và biểu diễn theo ẩn còn lại ( thường rút ẩn có
hệ số nhỏ nhất)
- B2: Thế biều thức đó vào pt còn lại để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
2 Phương pháp cộng đại số
- B1: Nhân cả 2 vế của các pt với các số thích hợp ( nếu cần) để được hệ số của cùng 1 ẩn ở 2 pt bằng nhau hoặc đối nhau
- B2: Cộng (nếu 2 hệ số đối nhau) hoặc trừ (nếu 2 hệ số bằng nhau) từng vế của 2 pt để được 1 pt 1 ẩn
- B3: Giải Pt thu được
- B4: Thay ẩn vừa tìm được vào 1 trong các pt để tìm ẩn còn lại và kết luận
3 Đặt ẩn phụ: Khi ở các pt có những nhóm giống nhau thì ta chọn làm ẩn phụ
4 Dùng BĐT: Dùng BĐT để lập luận trường hợp xảy ra dấu bằng
a a a n a a a ( Dấu bằng xảy ra khi
các số bằng nhau)
- BĐT Bunhiacopxki:
(a x a x a x ) (a a a ).(x x x )
Dấu bằng xảy ra khi 2 bộ số tương ứng tỉ lệ
B – Bài tập: (Riêng hệ vô tỷ ta xét sau cùng với PT vô tỷ)
I- Dạng 1 Hệ bậc nhất.
Bài 1 Giải các hệ phương trình
a
29 4
7
11 3
y
x
y
x
b
2 3
2
1 4 3
y x y x
c
5 2
24 2
3
11
z y
x
z y
x
z y
x
Trang 2d
x y z 1
2x 3y 2z 4
x 2y 2z 5
e
2 2
3 3
10 5
2
9 3
2
z y
x
z y
x
z y
x
f
28 16
z y
z x
y x
g
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10
(
) 1 )(
20
(
h
7 5 6 3
1
2 4
27 5
3 5 2
x y y x
x y
x y
i
2 2 6
2 2 3
5
y x
y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình
a
x y z 128
b.:
2 2
x 2y 5
c
1 1
1 1
1 1
x z z y
y x
d
x y z 1
y z x 5
x z y 3
e
20 18
1 6
t z
y
t z
x
t y
x
z y
x
f
16 6
5
3
4
5
3
z y
x
z
y
x
Bài 3: GHPT
a.
1 15 8
12 1 1 1
y x
y x
b
1 2 3 2
4
3 2 1 2
2
x y y x
x y y x
c.
9 4 5 1
2
4 4 2 1
3
y
x
x
y
x
x
d
6 2
3
13
2 2 2 2
y x
y x
e.
11 3
2
16 2
3
y x
y x
f.
10 3
18 4
y
x
y
x
g.
7 1 2 ) 2 (
3
0 1 )
2 (
2
2 2
y x
x
y x x
h
13 4 4 5 4 8 4 2
7 2 3 1 5
2
x y x
HD: Đặt ẩn phụ
II - Dạng 2: Hệ bậc cao
Trang 31 Hệ đối xứng loại 1
-Nhận dạng: Là hệ pt mà nếu mỗi cặp số (x; y) là 1 nghiệm thì (y; x) cũng là
nghiệm ( vai trò x và y là như nhau ở các PT)
- PP giải: Đặt x+y = S; xy = P Giải HPT với S và P sau đó tìm x, y nhờ PT:
X2 – S.X + P =0
Chú ý: Với hệ giả đối xứng loại 1 thì đặt x-y = S; -xy = P.
Khi đó nghiệm của Pt là x và -y
Bài 4: GHPT
a
2 2
x y - 2x - 2y = 6
x y xy 5
c
35 3
19 2
) (
5
xy y
x
y y
x
d
) ( 7
) ( 19
2 2
2 2
2
y x y
xy
x
y x y
xy
x
e
280 ) )(
( 4 3 3 2 2
y x y x y x
f
2 2
x y xy 5
g
2 2
3x xy 3y 6
h
2
(HD: Đặt 2y+1=a)
2 Hệ đối xứng loại 2
- Nhận dạng: Cũng như loại I, loại II cũng “đối xứng” nhưng là đối xứng giữa
2 phương trình chứ không không phải là đối xứng trong từng phương trình như kiểu I
+ Một cách nhận dạng khác nữa là cho x = y thì 2 phương trình của hệ như nhau Hay nói cách khác x = ychính là nghiệm của hệ Đây chính là đặc điểm khai thác của hệ này
- Phương pháp: Thông thường, ta trừ theo vế ta thu được nghiệm x = y, và 1 số
nghiệm khác Sau đó thay lại tìm ra nghiệm (x;y)
*Chú ý: Hệ giả đx thì x ở PT 1 được thay bằng –y ở PT 2 và ngược lại
Bài 5: GHPT
Trang 4a
2
2
b.
5 4 2
5 4 2
2 2
x x
y
y y
x
c
x x y
y y x
1 2
1 2
2
2
d.
4 / 1 1
4 / 1 1
2 2
x
y
y
x
e.
2 2
1
|
|
1
|
|
x y
y x
f
x y
y
y x
x
8 3
8 3
3
3
g
2 2 2 2
1
1
1
1
x x y
y y x
h
2 2
1 2 1 2
x x y
y y x
i
2
2
(giả đx ) k
(giả đx)
3 Hệ đẳng cấp
- Nhận dạng: Là HPT mà tất cả các hạng tử chứa ẩn đều có bậc bằng nhau
- Phương pháp: Đặt x = ty (hoặc y = tx), thế vào 2 pt sau dó chia từng vế ta
được 1 pt ẩn t Giải pt tìm t, thay vào tìm x và y
Bài 6: GHPT
a
2 2
2
8 4
x xy
y xy
b.
4 3
2
3 2
4
2 2
2 2
y xy x
y xy x
c.
5 5
4
9 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
4 Một số dạng khác
Bài 7: GHPT
a
2
4 2 6 27 0
( HD: Phân tích PT 1 thành nhân tử rồi thế x vào pt 2)
b
2004 2003
2003
2003
2 2
2
3
z y
x
zx yz xy z y
x
(HD: Từ PT 1 dùng BĐT phụ để suy ra x=y=z)
c.
4 4 9
9
5
5 1
y x
y
x
y
x
(HD: Nhân vế trái của PT 1 với vế phải của PT 2 và ngược lại)
d
2 2 5
5
3
3 1
y x
y
x
y
x
;(HD:Nhân chéo vế)
e
1 2
1 2
3
3
x
y
y
x
(HD: Hệ đx loại 2 - trừ từng vế)
f
x xy y 1
y yz z 4
z zx x 9
trong đó x y z , , 0 (HD: cộng 1 vào 2 vế, PTTNT rồi nhân từng vế cả 3 pt)
Trang 5
6
5
2 2
3
3
2 2
xy y x y
x
y y x
x
(HD: Đặt: x-y=a; x+y =b sau đó sử dụng pp thế)
h
5
17 3 3
3
3
y
xy
x
y y
x
x
(HD :Đặt x+y = a; xy=b sau đó sử dụng pp thế)
Bài 8: Giải các hệ phương trình (PP dùng BĐT)
a
xyz z
y
x
z
y
x
4 4
4
1
( HD: Dùng BĐT phụ a2 b2 c2 abbcca(*)cho PT (2) )
2 2
1999 1999 2000 2000
x y 1(1)
b.
(HD: Tìm ĐK, xét x>y và y>x sau đó suy ra x = y)
c
y x
x
y x x
6 24 32
3 32
4
2 4
Giải:
ĐK: 0 x 32
Hệ đã cho tương đương với
3 32
21 6 )
32 (
) 32 (
2 4
2 4
4
y x x
y y x x
x x
Theo bất đẳng thức BunhiaCốp xki ta có
64 ) 32 )(
1 1 ( ) 32
x
8
32
4 x 4 32 x4 2 ( x 32 x)2 256
4 x 4 32 x 4
Suy ra ( x 32 x) ( 4 x 4 32 x) 12
Mặt khác 2 6 21 32 12 12
y
Trang 6Đẳng thức xẩy ra khi x= 16 và y=3 (t/m)
Vậy hệ đã có nghiệm là (x;y) = (16;3)
III- Dạng 3 Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai
để được phương trình bậc nhất đối với x
Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
+ Nếu a=0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b 0 thì hệ vô nghiệm
+ Nếu a 0 thì (1) x = a b , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
) 2 ( 6 4
) 1 ( 2
m my x
m y mx
Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
+) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x =
2
3 2 4
) 2 )(
3 2 ( 2
m
m m
m m
Khi đó y = -
2
m
m
Hệ có nghiệm duy nhất: (
2
3 2
m
m
;-2
m
m
)
+) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
+) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (2 23
m
m
;- 2
m
m
)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài 9: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
Trang 7a)
1 1 3
m my
x
m y
mx
b)
4 10 4
my x
m y
mx
)
5 2
1 3 )
1
(
m
y
x
m my
x
m
IV - Dạng 4: Xác định tham số để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
*Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m k ) với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
HD Giải:
1 2 2
1 2
m my
x
m y
mx
m m y m mx
m y mx
2
2 2 2
2 2 4 2
1 2 2
) 1 2 )(
2 ( 2 3 2
) 4
m my
x
m m
m m
y m
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2
Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2 3 1 2
1
2 3 2 2 1 2 4
) 1 2 )(
2
(
2
m m
m
x
m m
m m
m m
y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1 ; 1 ; 3 ; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 10:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
m m
y x m
m y x m
2 1 2
) 1 (
2 2
Bài 11
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
3 2 3
) 2 (
) 1 ( 2
m ny x
m
n m y m mx
(HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n)
Trang 8b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
(HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 (HD:Dùng định lí bơzu cho f(x))
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0
Bài 12:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
Bài 13:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
Bài 14 :Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 15:
Cho hệ phương trình:
8 9 4
my x
y mx
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y + 382 4
m = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
8 9 4
my
x
y
mx
m y m mx
y mx
8 9 4
2
8
9 8 ) 4
my x
m y
m
4 32 9
4 9 8
2
2
m
m
x
m
m
y
- Thay x =
4
32 9
2
m
m
; y =
4
9 8
2
m
m
vào hệ thức đã cho ta được:
2.9 2 324
m
m
+ 8 2 49
m
m
+ 382 4
m = 3
Trang 9=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m2 =233 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện) Vậy m = 1 ; m = 233