Lý thuyết và công thức biến đổi lượng giác.. Đường tròn lượng giác[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A Lý thuyết và công thức biến đổi lượng giác
1 Đường tròn lượng giác
2 Bảng giá trị lượng giác của các cung liên quan đặ biệt
Cung
3 Các hằng đẳng thức lượng giác ( Góc bất biến )
a/ (*)sinx + cosx = 1 x b/ 1 + tanx = c/ 1 + cotx =
Chú ý :trong công thức (*) ta chú ý đến hệ quả : sinx = 1 - cosx hay cosx = 1 - sinx
3 Các công thức biến đổi lượng giác ( Góc thay đổi khi dùng )
a/ Công thức cộng
sin ( a b ) = sina cosb cosa sinb ( Sin cùng dấu khác loài Sin thì sin cos ; cos sin )
cos ( a b ) = cosa cosb sina sinb ( Cos cùng loài khác dấu Cos thì cos cos ;sin sin )
tan ( a b )
tana tanb 1- tana.tanb
( tan thì trên thượng tầng tan cộng tang dưới hạ tầng số 1 ngang tàn trừ tích hai tan
b/ Công thức nhân đôi ( Được xây dựng bằng cách thay b bằng a trong công thức cộng )
sin2a = 2sina.cosa = ( sina + cosa ) -1 = 1 - ( sina - cosa )
cos2a = cosa - sina = 1 - 2.sina = 2.cosa - 1
tan2a = 2
2 tan
1 tan
a a
Chú ý : trong công thức nhân đôi thì góc giảm một nửa )
c/ Công thức hạ bậc ( Được xây dựng từ công thức nhân đôi của cos2a )
sina
1 os2a 2
c
cosa
1 os2a 2
c
tana
1 os2a
1 os2a
c c
Chú ý : Chỉ hạ bậc đối với lũy thừa bậc chẵn và khi hạ bậc góc tăng gấp đôi nhưng bậc giảm đi một nửa
d/ Công thức nhân ba
sin3a = 3sina - 4sina = sina.( 2cosa - 1).( 2cosa + 1)
cos3a = 4cosa - 3cosa = cosa.( 1 - 2sina ).( 1 + 2sina )
e/ Công thức biến đổi tích thành tổng ( Được áp dụng với cả cùng loại lẫn khác loại và được xây dựng từ công thức cộng )
cosa.cosb 1 os (a +b ) + cos (a - b)
Trang 2 sina.sinb 1 os (a -b ) - cos (a + b)
sina cosb 1 sin (a +b ) + sin (a - b)
2
f/ Công thức biến đổi tổng thành tích ( Được áp dụng cho cùng loại và được xây dựng từ công thức e/ )
cosu + cosv = 2 cos cos
cosu - cosv = -2 sin sin
sinu + sinv = 2 sin cos
sinu - sinv = 2 cos sin
Đặc biệt : sinx + cosx = sin (x + ) = cos(x - )
sinx - cosx = sin (x - ) = - cos (x + )
4 Các phương trình lượng giác đã biết cách giải
a/ Phương trình : sinx = m ( m R)
+Nếu > 1 thì ( 1) vô nghiệm
+ Nếu 1 thì ( 1) có nghiệm được xác định như sau :
- Nếu m thì đặt m = sin ( với xác định )
Khi đó pt có dạng sinx = sin
2
(k ) 2
- Nếu m thì nghiệm của (1) là
arcsin m 2
(k ) arcsinm 2
- Tổng quát sin f(x) = sin g(x)
( ) ( ) 2
(k )
f x g x k
b/ Phương trình : cosx = m ( m R)
+Nếu > 1 thì ( 1) vô nghiệm
+ Nếu 1 thì ( 1) có nghiệm được xác định như sau :
- Nếu m thì đặt m = cos ( với xác định )
Khi đó pt có dạng cosx = cos
2 (k ) 2
- Nếu m thì nghiệm của (1) là
arccos m 2
(k ) arccosm 2
- Tổng quát cos f(x) = cos g(x)
( ) ( ) 2
(k )
f x g x k
c/ Phương trình : tanx = m ( m R)
+ Điều kiện xác định của phương trình là x≠ +k (k)
+ m thì phương trình luôn có nghiệm Khi đó phương trình có nghiệm được xác định
+ Nếu m thì đặt m = tan ( với xác định )
Khi đó phương trình có dạng tanx = tan x = + k (k)
+ Nếu m thì nghiệm của (3) là x = arctanm + k (k)
+Tổng quát tan f(x) = tan g(x) f(x) = g(x)+ k (k)
c/ Phương trình : cotx = m ( m R)
+ Điều kiện xác định của phương trình là x≠ k (k)
+ m thì phương trình luôn có nghiệm Khi đó phương trình có nghiệm được xác định
+ Nếu m thì đặt m = cot ( với xác định )
Khi đó phương trình có dạng cotx = cot x = + k (k)
+ Nếu m thì nghiệm của (4) là x = arccotm + k (k)
+Tổng quát cot f(x) = cot g(x) f(x) = g(x)+ k (k)
*Chú ý : Trong công thức nghiệm không được tồn tại đồng thời hai đơn vị đo
d/ Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
Cách giải: Đặt t = hàm số lượng giác từ đó giả phương trình đại số ẩn t
Trang 3*Chú ý: Khi đặt ẩn phụ phải để ý đến điều kiện của t (nếu có)
VD: Nếu t = sinx hoạc cosx thì 1
e/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : a.sinx + b.cosx = c
Cách giải:
+ Nếu c > a + b thì phương trình vô nghiệm
+ Nếu c a + b phương trình có nghiệm và được giải bằng cách : Chia cả hai vế cho a2b2 ta được .sinx + cosx =
Đặt cos = ; sin = Khi đó pt trở thành sin ( x + ) =
Chú ý nếu ; rơi vào các giá trị đặc biệt của sin cos như ở mục a, b khi đó xác định
f/ Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx : a (sinx cosx) + b.sinx.cosx = c
Cách giải : Đặt t = sinx cosx ( đk ) sau đó bình phương hai vế rồi rút sinx.cosx theo t
g/ Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx : a.sin x + b.sinx.cosx + c.cos x = d
Cách giải : Ktra cosx = 0 có phải là nghiệm không ? Nếu không chia cả hai vế cho cos x để đưa vê fph]ơng trình bậc hai đối với tanx
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về những phương trình đã biết cách giải ở trên thông thường hay rút gọn rồi biến đổi
Bài tập :
1.sinx + cosx = (3 - cos6x ) HD: Đưa phương trình về phương trình bậc ba đối với cos2x 2.cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x) HD: Đưa phương trình về sin f(x) = sin g(x)
3.sinx + cosx + sin2x - = 0 HD: Đưa về phương trình bậc hai đới với sin2x
4 sin ( x + 45 ) = sinx HD: Đưa về phương trình bậc ba đối với tanx
5 sin + cos = HD: Đưa về phương trình cos = m
II.Phương pháp đặt ẩn phụ để đưa phương trình về phương trình đại số với ẩn phụ
Chú ý :Đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)
Bài tập :
1 sinx + sinx.cosx + cosx = 1 HD: Đặt t = sinx + cosx
2 sin2x - 12 (sinx - cosx) + 12 = 0 HD: Đặt t = sinx - cosx
3 4.cos(2 - 6x) + 16.cos(1 - 3x) = 13 HD: Đặt t = cos(1 - 3x)
4 3tanx + 4 tanx + 4cotx + 3cotx + 2 = 0 HD : Đặt t = tanx + cotx
5
III Phương pháp phân tích thành tích các nhân tử bằng 0 rồi sử dụng A.B = 0
Bài tập :
1 cosx + sinx = cos2x HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx
2 (cos5x - cos7x) = cos2x - cos3x HD: Phân tích có nhân tử chung là sin
3 sin9x + sin5x +2.sinx - 1 = 0 HD: Phân tích có nhân tử chung là cos2x
4 sinx + cosx = 1 - sin2x HD: Phân tích có nhân tử chung là 1 - sinx.cosx
5 tan3x - tanx = 4sinx HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx
6 (sinx - sin2x ).( sinx + sin2x ) = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung là (sinx - sin2x )
7 sinx + cosx + sin2x + cos2x = -1 HD: Phân tích có nhân tử chung là ( 2cosx + 1)
8 cosx - cos3x = cos( - x) - cos( +x) HD: Phân tích có nhân tử chung là sinx
9 cosx - cos2x = sin3x HD: Phân tích có nhân tử chung là sin
10 2 (cosx) - cos2x = 1 + sinx( 1 - ) HD: Phân tích có nhân tử chung là ( 1 - )
12 sinx + cos2x = 2 HD: Phân tích có nhân tử chung là cosx
12 sinx - sinx +4( sinx + 1) = 0 HD: Phân tích có nhân tử chung là ( sinx + 1)
13