Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.. Nếu đạo hàm f’x giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc [r]
Trang 1§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
I ĐỊNH NGHĨA:Cho hàm số y=f (x) xác định trên tập D
a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
y=f (x )
trên tập D nếu:
: :
Ký hiệu max
D
b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
y=f (x )
trên tập D nếu:
: :
Ký hiệu: min
D
.
Phương pháp khảo sát trực tiếp:
B1: Tìm tập xác định.
B2: Tính y’, giải phương trình y’
B3: Lập bằng biến thiên.
B4: Kết luận về GTLN-GTNN của hàm số dựa trên bảng biến thiên.
? Đọc VD2- SGK/T19
II CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN:
1 Định lí:
“Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.”
2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
Quy tắc:
1 Tìm các điểm x 1, x 2 , …, x n trên khoảng (a, b) tại đó f’(x) bằng không hoặc f’(x) không xác định.
2 Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ), f(b).
3 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta có: max[ ; ]
a b
; min[ ; ]
a b
* Chú ý:
1 Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó
2 Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên cả đoạn Do đó f(x) đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn.
? Đọc VD4-SGK/T21
VD: Tìm GTNN- GTLN của hàm số: y=sin3x−cos 2 x +sin x+2
Giải
Ta có: y=sin3
x−(1−2 sin2x)+sin x+2=sin3x+2 sin2x+sin x +1
Đặt t=sin x ,(−1 ≤t ≤1) , ta được: y=t3+2t2
+t+1
- Xét hàm f (t)=t3
+2t2+t+1 trên đoạn [−1;1]
Ta có: f '(t)=3 t2+4 t+1 , f '(t)=0⇔[t=−1
3
t=−1
(thỏa)
Trang 2Mà f(−13 )=23
27; f (−1)=1 ;f (1)=5
Do đó: max
t∈[ −1; 1 ]
f (t)=5, min
t ∈[ −1 ;1 ]
f (t )=23
27
⇒ y max=5 khi sin x=1⇔ x=π
2+k 2 π , k ∈ Z
y min=23
27khi sin x=
−1
3 ⇔[ x=arcsin(−13 )+k 2 π
x=π −arcsin(−1
3 )+k 2 π
, k ∈ Z
? Làm BT 16, 18 SGK/T22
? Làm BT17, 19, 20