ÁP DỤNG TÍNH đơn điệu của hàm số để CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC và tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC đại số

Trong chơng trình toán THPT , kiến thức về phần bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng.. Tuy nhiên trong nhiều bài toán khi sử dụng các phơng pháp

ơng Quang H ng – Lê Mạnh Hùng Tr ờng THCS & THPT Hai Bà Tr ng

phần A : mở đầu

Nhà toán học lỗi lạc RENE DESCARTES đã từng nói : ”Toán học là cánh cửa và là

chìa khoá để đi vào các ngành khoa học khác “

Trong chơng trình toán THPT , kiến thức về phần bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một phần rất quan trọng Tuy nhiên trong nhiều bài toán khi sử dụng các phơng pháp : sử dụng các bất đẳng thức cổ điển, phơng pháp đánh giá, phơng pháp quy nạp toán học, phơng pháp lợng giác,… đôi khi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy đôi khi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy

đến phần kiến thức ” tính đơn điệu của hàm số” tôi nhận thấy áp dụng kiến thức này vào

sẽ giải quyết đợc một lớp các bài toán về bất đẳng thức hoặc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số và cho ta một lời giải ngắn gọn hơn

Xuất phát từ thực tiễn công tác ôn thi Đại học kết hợp với sự tham khảo ý kiến của các

đồng nghiệp nhóm chúng tôi xây dựng chuyên đề “áp dụng tính đơn điệu của hàm số

để chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức

đại số ”.

Với phơng pháp này chúng tôi hi vọng sẽ có tác dụng trong việc rèn luyện t duy Toán học và là nguồn tài liệu không nhỏ giúp các em học sinh luyện tập nâng cao kiến thức phục vụ cho kỳ thi Đại học

II Mục đích nghiên cứu:

- Trang bị cho học sinh về một phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớnnhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số mang lại hiệu quả rõ nét

- Bồi dỡng cho học sinh về phơng pháp, kỹ năng giải toán Qua đó học sinh nâng cao khảnăng t duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau

- Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nằmtrong chơng trình toán phổ thông

- Phân loại các dạng toán thờng gặp và phơng pháp giải mỗi dạng

-Tham khảo sách, báo, tài liệu

- Thực tiễn giảng dạy

- Học sinh lớp 12

VI.dự kiến số tiết giảng dạy :

8 tiết

max f(x), min f(x) có thể không tồn tại.

I.2.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a; b và chỉ có một số hữu hạn 

điểm tới hạn trên đoạn đó Hãy tìm max f(x) và a; b min f(x) a; b

Cách giải

-Tìm các điểm tới hạn x1, x2, … đôi khi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy , xn của f(x) trên đoạn a; b 

-Tính f(a), f(x1), f(x2), … đôi khi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy , f(xn), f(b)

ơng Quang H ng – Lê Mạnh Hùng Tr ờng THCS & THPT Hai Bà Tr ng

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số f(a), f(x1), f(x2), … đôi khi gặp nhiều khó khăn Vì vậy, khi dạy , f(xn), f(b) Khi đó: Mmax f(x) ;a; b mmin f(x)a; b

Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) không có điểm tới hạn nào trên đoạn a; b thì f ’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn đó, tức là f(x) hoặc đồng biến, hoặcnghịch biến

+) f(x) đồng biến trên đoạn a; b thì :  max f(x)a; b f b  và

I.3.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng.

Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục trên khoảng (a; b) Tìm max f(x) , a; b min f(x) a; b

II.Các dạng bài tập: Các dạng đợc phân chia từ đơn giản đến phức tạp

II.1 Dạng 1 : Đối với một lớp các bất đẳng thức một biến Đạo hàm một lần sau đó sử

dụng bảng biến thiên ta có ngay kết quả

Bài toán 1 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2004 năm 2004

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

2

ln xy

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

_

_ +

+

+ +

lnx 2-lnx

y

0 0

e 3

e 2

1 x

VËy :

3

2 2 1;e

4Max y y(e )

9Min y Min y(1);y(e ) M in 0; 0

Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D – n¨m 2004 n¨m 2003

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè :

2

x 1y





 trªn ®o¹n 1;2

Lêi gi¶i : Ta cã:

1 xy'

Bµi to¸n 3 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B – n¨m 2004 n¨m 2003

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : 2

y x 4 x trªn ®o¹n 2;2

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

Lêi gi¶i :Ta cã:

0

y

2

-2x

Bµi to¸n 4 : §Ò thi Häc sinh giái to¸n 12- n¨m 2009

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc : P 5 4a 1 a

+) Rút biến nào theo biến nào để bài toán đợc thuận lợi.

+) Tìm điều kiện cho biến còn lại dựa vào điều kiện của giả thiết

Bài toán 1 : Cho x, y là các số không âm thoả mãn x  Tìm giá trị lớn nhất và giá y 1 trị nhỏ nhất của biểu thức : x y

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

0

1 2

+ _

1

f(x)

f'(x)

0 x

M in A f( ) ; MaxA f(0) f(1) 1

Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D – n¨m 2004 n¨m 2009

Cho x, y vµ x0   T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc :y 1

+) Cố định y, z thì A chỉ phụ thuộc vào một biến x.

+) Biểu thức A có thể viết lại nh sau :

Ta nhận thấy khi x=0, y=0, z=2 thì A=4

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 2

Bài toán 4:Cho x, y, z là ba số thực dương cú tổng bằng 3.Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểuthức

y

14

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7  x y z  1.

Bµi to¸n 5:§Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi B – n¨m 2004 n¨m 2012

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x y z  0 và x2 y2 z2 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 5 y5z5

Lêi gi¶i : Với x + y + z = 0 và x2 + y 2 + z 2 = 1, ta có:

Bµi 2:Cho x y z, , là các số thực không âm thỏa mãn x y z    1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A xy yz zx    2xyz

Bµi 3:Cho x0;1 , y 0;2.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :

ơng Quang H ng – Lê Mạnh Hùng Tr ờng THCS & THPT Hai Bà Tr ng

S 1 x 2   y (4x  2y)

II.3 Dạng 3 : Đối với một lớp các bất đẳng thức nhiều biến

Trong bài toán có chứa các biểu thức đối xứng đối với x,y ta quy đợc về x + y , x.y và chú ý đến các kết quả sau :

xy 4xy , x y 2xy, 2 x y  xy

Từ đó ta có hớng đặt ẩn phụ sao cho thuận lợi

Bài toán 1 : Cho x, y là cỏc số thực dương thỏa món x + y = 1 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của

Bài toán 2 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2004 năm 2009

Cho x, y và x0   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :y 1

2 216x y 2xy 12

0 t

1 4

Bài toán 3 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2004 năm 2009

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :  4 4 2 2  2 2

A3 x y x y  2 x y 1với x, y là các số thoả mãn điều kiện : xy3 4xy2

Lời giải :

Dựa vào bất đẳng thức hiển nhiên : xy2 4xy

Suy ra: xy3 xy2 xy3 4xy2

 xy3xy2  20

1 2

P2 x y  3xy

Lêi gi¶i :

f '(t)3t  3t6Bảng biến thiên :

Từ đó suy ra :

 2;2 

13Max f(t) f(1)

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

13MaxP

Bµi to¸n 5 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D – n¨m 2004 n¨m 2013

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xy y 1 Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 1: Cho cỏc số thực khụng õm x, y,z thoả món x2 y2 z2 3.

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: A xy yz zx 5

y x P

Bài 4: Chox y, là cỏc số thực thỏa món x2 y2  xy1

Tỡm giỏ trị lớn nhất ,nhỏ nhất của biểu thức F x 6 y6 2x y xy2 2

Bài 5: Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2004 năm 2013

Cho a, b, c là cỏc số thực dương Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức:

ly các biến và đa ra một hàm đặc trng để khảo sát

- Đối với dạng này thì tuỳ vào cấu trúc của bài toán mà ta có cách phân ly các biến

a b , a  b e

Lời giải :

Bài toán 2: ( Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – năm 2004 2009 )

Cho 0< a< b< 1 Chứng minh rằng : 2 2

Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh

Bài toán 3: ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối D – năm 2004 2007 )

ơng Quang H ng – Lê Mạnh Hùng Tr ờng THCS & THPT Hai Bà Tr ng

ln 1 4f(x)

Vì a b 0  nên ta có : f(a)f(b) Từ đó suy ra điều cần phải chứng minh

Bài toán 4: ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – năm 2004 2007 )

Cho x, y, z >0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

a  1 b  1 c  1 10

Bµi to¸n 2 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A – n¨m 2004 2011

Cho x, y, z lµ ba sè thùc thuéc ®o¹n 1;4 vµ x y, x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt z cña biÓu thøc : x y z

xzb

yxc

a 14

¬ng Quang H ng – Lª M¹nh Hïng Tr êng THCS & THPT Hai Bµ Tr ng

2 2

0 f(t)

f'(t)

1

1 3 0

(Điều phải chứng minh )

Bài toán 4 : Đề thi tuyển sinh Đại học khối A – năm 2004 2013

Cho cỏc số thực dương a, b, c thỏa món điều kiện (a c)(b c) 4c   2

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

P(b 3c) (a 3c) c

Dấu “=” xảy ra chẳng hạn khi x = y = 1

Bài toán 5 : (USA, 2003) Cho x, y, z là ba số dơng Chứng minh rằng :

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử : x   thì xy z 3   y z 3

Khi đó bất đẳng thức sẽ tơng đơng với :

0 t

Tõ b¶ng biÕn thiªn ta suy ra :

2 2

(§iÒu ph¶i chøng minh)

Bµi to¸n 6 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi A – n¨m 2004 2012

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x +y + z = 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3x y 3y z 3z x 6x2 6y2 6z2

Bµi to¸n 7 : §Ò thi tuyÓn sinh §¹i häc khèi D – n¨m 2004 2012

Cho các số thực x, y thỏa mãn (x – 4)2 + (y – 4)2 + 2xy  32 Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức A = x3 + y3 + 3(xy – 1)(x + y – 2)

Kiến thức đợc trình bày trong đề tài đã được giảng dạy cho các em học sinh lớp luyệnthi Đại học Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú Với chuyên đề n y ngày ng ười thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, luôn luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các t i liày ng ệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại

v cho hày ng ọc sinh các b i tày ng ập định hướng để các em học tập, tìm hiểu

Tuy vậy, do nhiều nguyên nhân khác nhau, chủ quan và khách quan nên đề tài khôngtránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định Rất mong nhận đợc sự góp ý của độc giả

để đề t i ng y ho n thiày ng ày ng ày ng ện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy v bày ng ồidưỡng học sinh

Phúc Yên, tháng 02 năm 2014

Nhúm tỏc giả

1. Dơng Quang Hng

2. Lê Mạnh Hùng

ơng Quang H ng – Lê Mạnh Hùng Tr ờng THCS & THPT Hai Bà Tr ng

Tài liệu tham khảo

[1] Toán học và tuổi trẻ Số 408 (Tháng 6/2011), Số 409 (Tháng 7/2011)

[2] Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức – năm 2004 Trần Tuấn Anh

[3] Sáng tạo Bất đẳng thức – năm 2004 Phạm Kim Hùng

[4] Tuyển chọn theo chuyên đề chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào ĐH – năm 2004 CĐ

(Tủ sách TOáN HọC Và TuổI TRẻ – năm 2004Tập 1 - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam)

[5] Các đề thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng

[6] Tài liệu trên mạng