Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vì vậy, để mở rộng hướng giải quyết, khai thác những ứngdụng nhiều hơn của số phức, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng số phức để giải hệphương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị n

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Giảng viên hướng dẫn : ThS Nguyễn Thị Hà Phương Sinh viên thực hiện: Võ Nguyễn Đình Khoa

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2015

Lêi c¶m ¬n !

Trong chương trình toán học phổ thông, số phức có rất nhiều ứng dụngtrong giải tích, đại số, lượng giác, đại số tổ hợp và hình học Tuy nhiên, sốphức vẫn chỉ được đưa vào với nội dung giới thiệu ở chương trình giải tích 12

ở một phần nhỏ Vì vậy, để mở rộng hướng giải quyết, khai thác những ứngdụng nhiều hơn của số phức, tôi đã chọn đề tài “Ứng dụng số phức để giải hệphương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức”

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo Nguyễn Thị Hà Phương

đã hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này Tôi cũng xin gửilời cảm ơn chân thành đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô giáotrong trường Đại học sư phạm – Đại Học Đà Nẵng đã dạy dỗ tôi hoàn thành 4năm học của mình Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô phản biện,các thầy cô trong hội đồng chấm khóa luận đã dành thời gian đọc và cho nhậnxét

PHẦN MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Trong cấu trúc đề thi Đại học – Cao Đẳng và các kỳ thi học sinh giỏithường có phần giải hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất củamột biểu thức hoặc chứng minh bất đẳng thức Tuy nhiên việc giải quyết cácbài tập phần này thường khó và không có một phương pháp chung cho các bài.Đôi khi các công cụ học sinh đã biết không đủ để giải quyết các bài tập này,hoặc để sử dụng được các công cụ đã học người học phải vượt qua được cácbước biến đổi phức tạp mới giải quyết được bài toán đó

Một trong các ứng dụng của số phức là có thể dùng để giải hệ phươngtrình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Mặc dù số phức đã được đưa vào chương trình phổ thông song nội dungcòn khá đơn giản, các tài liệu về phần ứng dụng của số phức cho học sinh phổthông còn chưa nhiều Nên việc nghiên cứu thêm những điều lý thú của sốphức đối với học sinh phổ thông là thực sự cần thiết

Vì những lý do trên, tôi đã đưa ra đề tài: “Ứng dụng số phức để giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức”.

Cấu trúc của khóa luận gồm có 3 phần chính:

o Phần mở đầu:

o Phần nội dung: gồm có 3 chương như sau:

Chương I: Các kiến thức cơ sở của số phức.

Chương II: Nghiên cứu ứng dụng của số phức vào giải hệ

phương trình

Chương III: Nghiên cứu ứng dụng của số phức vào giải quyết bài

toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

o Phần kết luận:

II Mục đích nghiên cứu:

- Hệ thống hóa chi tiết các vấn đề lý thuyết về số phức

- Xây dựng hệ thống các bài toán, bài tập vận dụng để thấy được tính thiếtthực của số phức trong việc giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳngthức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết số phức và ứng dụng của nó

- Phạm vi nghiên cứu: Một số bài toán giải hệ phương trình, chứng minhbất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

IV Nhiệm vụ nghiên cứu:

Nghiên cứu các bài toán giải hệ phương trình, chứng minh bất đẳngthức, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có liên quan đến số phức

V Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc giáo trình, tài liệu tham khảo để hệthống hóa, phân dạng các bài toán

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tích lũy kinh nghiệm có được củabản thân, thầy cô, bạn bè, anh chị khóa trước để nghiên cứu sâu hơn, kĩhơn

- Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: hỏi trực tiếp thầy cô hướng dẫn cáckiến thức có liên quan đến đề tài

PHẦN NỘI DUNG Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

Lịch sử số phức bắt đầu từ thế kỉ XVI

Nhà toán học Itlia R.Bombelli (1526 – 1573) đã đưa ra định nghĩa đầutiên về số phức, lúc đó được gọi là “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne,1573) công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã đưa ra định nghĩa các số phứckhi nghiên cứu phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1

Nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạngtổng quát" a bi" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệmcủa một phương trình bậc n

Nhà toán học Thụy Sĩ L.Euler (1706 – 1783) đã đưa ra kí hiệu “i” đểchỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại kí hiệu này

Nhà toán học Gauss (1777 – 1855) đã đưa ra chứng minh đầy đủ định lí

cơ bản của đại số vào năm 1799: “Mọi phương trình bậc n (với n nguyêndương) luôn có n nghiệm phức”

1.1 Dạng đại số của số phức:

1.1.1 Định nghĩa số phức:

- Số phức (dạng đại số) có dạng z  a bi với a b ; .

 a gọi là phần thực của số phức z , kí hiệu là Re(z)

 b gọi là phần ảo của số phức z , kí hiệu là Im(z)

 i là đơn vị ảo của số phức z , với i 2 = –1.

- Tập hợp các số phức được kí hiệu là , có nghĩa là:

- Mọi số thực a cũng được xem là một số phức a 0.i, tức là   

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức:

Mỗi số phức z  a bi được xác định một điểm M(a; b) hay xác định một

véc tơ u ( ; )a b trong mặt phẳng (Oxy) Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (Oxy) hay tập các không gian véc tơ hai chiều Do vậy mặt phẳng (Oxy) còn gọi là mặt phẳng phức.

1.2. Các phép toán đối với số phức:

x

y

O a b

(4) Mọi số phức z  a bi đều tồn tại số đối     z a bi  và

1.2.4 Căn bậc hai của số phức:

Số phức w  x yi là căn bậc hai của số phức z  a bi khi vàchỉ khi w2  z 

a) Định nghĩa: Cho số phức z  a bi với a,b   Số phức

z  a bi được gọi là số phức liên hợp của z

b) Định lý:

(1) z : z z (2)z   z z  (3)z ; z1 2  : z1 z2  z1 z ; z z2 1 2 z z1 2 (4)z 1  z 1, z \ 0

 Với r  a2 b2 được gọi là môđun của số phức z , kí hiệu là z

  là góc được xác định bởi a r cos ;b  r sin  Khi đó  được

gọi là argument của số phức z , kí hiệu là Argz Các argument của sốphức z 0 được xác định sai khác một bội nguyên của 2

Khi đó z r cos i sin được gọi là dạng lượng giác của số phức z

1.3.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác.

Cho hai số phức z1 r cos1 1 i sin 1,z2 r cos2 2 i sin 2 Khiđó:

Đặc biệt: 1 cos  i sin  ; z 0

Cho số phức z r cos i sin  (1)

Sử dụng công thức Euler ta có:e i  cos i sin 

Khi đó (1) trở thành: z re i  được gọi là dạng mũ của số phức z

1.5 Phép khai căn số phức:

1.5.1 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Số phức z r(cos isin ) , (r > 0) có hai căn bậc hai là:

Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

Cho số phức z  rcosisin;r  0 Khi đó các căn bậc n của

số phức z là:

n k

 Các căn bậc hai của số phức z  rcosisin;r  0 là:

3 1

3 2

trình lại, khi đó bài toán xuất phát từ số phức 1 i như sau:

Dạng lượng giác của số phức z  1 i là:

= 0 (2)

x y x

y x

0

3 12

y

y y

y

y

y y

x y

z i

Hãy lập một hệ phương trình từ hai số phức z z1; 2.

Khi đó z z1; 2 là nghiệm của phương trình bậc hai:

3 2

z z

(i) Đối với bài toán 1, ta có thể thấy mối liên hệ giữa số phức với hệphương trình từ đó sáng tạo thêm một phương pháp giải hệ mới.

(ii) Đối với bài toán 2, rõ ràng việc ứng dụng số phức để giải hệ rất thuậntiện, lời giải gọn gàng hơn so với cách giải đại số thông thường

(iii)Đối với bài toán 3, ta nhận được dạng đặc trưng của hệ để giải một lớpcác bài toán cùng dạng bằng số phức, đơn giản và hiệu quả hơn

(iv) Rõ ràng khi nghiệm của hệ là nghiệm lẻ thì việc rút x theo y (hoặc y

theo x ) rồi đưa về một phương trình bậc cao của y (hoặc của x ) tỏ ra không hiệu quả bằng khi sử dụng số phức z x yi  ta hoàn toàn tìm

được nghiệm của z và suy ra nghiệm  x y; của hệ phương trình đã cho.Qua 3 bài toán trên, chúng ta có thể hình thành nên một phương phápmới để giải một lớp các bài toán tương tự sau đây:

Bài toán 4: Giải hệ phương trình:

Khi đó ta tìm được các căn bậc ba của số phức z là:

3 0

5 sin9

5 sin

9

x y

5 sin

9

x y

Nhận thấy vế trái của hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, vế phải của hệ là các

hệ số 3,1 nếu ta nhân hai vế của phương trình hai trong hệ với 4 Sau đó, đitìm lời giải của bài toán như sau:

Như vậy x y; là phần thực và phần ảo của số phức w

Mặt khác w là căn bậc bốn của số phức: 3 2 cos sin

    

Cách 1: Sử dụng phương pháp giải đại số:

Hệ phương trình đã cho được viết về dạng:    

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:   x y;  1;0 ;(1;0);(1;1)

Bài toán 7: Giải hệ phương trình:

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là        x y;  0;0 ; 2;1 ; 4;2

Bài toán 8: Giải hệ phương trình:

Giải phương trình trên ta có: z     2 z 1 i.

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm:

15

y x

x y

Bài toán 11 (Đề thi VMO 1996) Giải hệ phương trình:

Nhận thấy u2 v2 là bình phương mô đun số phức u vi Đặt

z  u iv, nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế theo vế với phươngtrình thứ nhất ta có

2 2

Nhận thấy u2 v2 là bình phương mô đun số phức u vi Đặt

z  u iv, nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế theo vế với phươngtrình thứ nhất ta có

Xét số phức z  u vi u (  0;v  0) Khi đó phương trình (3) đượcviết lại dưới dạng:

Bài toán 15: Giải hệ phương trình: 2 2

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA MỘT BIỂU THỨC 3.1 Phương pháp chung:

Vì các bất đẳng thức thường gặp là các quan hệ giữa các số thực nên để ápdụng số phức chúng ta cần sử dụng nhiều đến mođun của số phức

Cho số phức z  a bi thì mođun của số phức z là z  a2 b2

4 2( ).

2 2

72

72

Khi đó:

2 2

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi a  b c

Nhận xét:

(i) Với các bài toán bất đẳng thức ta thường không có phương pháp chungnào cho tất cả các bài Đây là bài toán khó, đôi khi chúng ta gặp khókhăn khi giải bài này Trong cách 1, để chứng minh bất đẳng thức:

không phải dễ dàng ta có thể suy nghĩ được

(ii)Với cách thứ 2, chúng ta đã sử dụng kiến thức số phức để giải Lời giải

tự nhiên hơn và dễ dàng hơn

Bài toán 18: Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn a  b c 3 Chứngminh rằng:

Cách 1: Lời giải thường gặp.

3( ) (3)2

Đặt z1  cosx icos ;x z2  sinx cosx.

Khi đó:

1

2 2

cos cos cos cos 2 cos sin cos (sin cos )

2 2

2

2( )

Cách 1: Lời giải thường gặp:

Ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức sau:

2 2 2 2(1 x x 1) (y y) 4 4y 2 1 y

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi  ; 0; 1

Như vậy cả 2 trường hợp trên ta luôn có A  2 3, x y,  .

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 3 khi  ; 0; 1

Bài toán 25: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Vậy Min P = 4 đạt được khi x   y z 1.

Bài toán 26: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

28; 2 2

Bài toán 28: Cho cặp số  x y; thỏa mãn 3x 4y  26 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức:

x y

 



  

 .Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 10 khi và chỉ khi    x y ; 6;2

Bài toán 29: Cho cặp số  x y; thỏa mãn điều kiện:

180 2 41529

x y

2 Tìm hiểu mối liên hệ giữa các số phức và hệ phương trình, áp dụng

số phức vào giải một số dạng bài toán hệ phương trình

3 Tìm hiểu mối liên hệ giữa số phức và bất đẳng thức, áp dụng số phứcvào chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đề tài đã phát hiện được thế mạnh của số phức trong việc giải hệphương trình, chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức.So với phương pháp thường gặp thì phương pháp ứng dụng số phức mà đềtài đưa ra đạt những ưu điểm:

- Có định hướng nhận dạng bài toán tìm cách giải và quy trình giải rõràng

- Các bài toán giải một cách tự nhiên, phù hợp với tư duy toán học

- Giải được lớp bài toán rộng hơn, hơn nữa nó áp dụng cho một sốlớp bài toán mới

- Gây hứng thú học tập cho học sinh, học sinh tự tin hơn khi gặp cácdạng toán này

Đề tài đã đưa ra lời giải của 25 bài toán: trong đó có 12 bài toán hệphương trình và 13 bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị nhỏ nhất củamột biểu thức và 10 bài tập đề nghị: trong đó có 4 bài toán giải hệ phương trình

và 6 bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị nhỏ nhất của một biểuthức

Đề tài có thể sử dụng để làm tài liệu tham khảo cho học sinh trung họcphổ thông, sinh viên, giáo viên,…

Trong khuôn khổ của một luận văn tốt nghiệp, cũng như sự hạn chế vềthời gian nên đề tài chỉ đạt ở mức độ nhất định Hi vọng rằng, nội dung đề tàicòn tiếp tục hoàn thiện và mở rộng nhiều hơn nữa.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] 30 năm tạp chí Toán học và tuổi trẻ, NXBGD, 2000.

[2] Đoàn Quỳnh, Sách giáo khoa giải tích 12, NXB GD.

[3] Joseph Bak, Donald Newman, Complex Analysis.

[4] GS Phan Huy Khải, 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức (2 tập), NXB

Hà Nội

[5] Lê Hoành Phò, Phân dạng và phương pháp giải toán số phức, NXB Đại

học Quốc gia Hà Nội

[6] Lê Văn Đoàn, Cẩm nang ôn luyện thi đại học phương trình, bất phương

trình, hệ phương trình đại số, vô tỉ, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[7] Nguyễn Hữu Điển, Sáng tạo Toán học, NXBGD,2002.

[8] Nguyễn Kim Đính, Hàm phức và ứng dụng, NXB Trường ĐH Kĩ thuật TP.

HCM

[9] Nguyễn Thái Hòe, Tìm tòi lời giải bài toán, NXBGD, 1990.

[10] Nguyễn Phú Khánh, Trọng tâm và phương pháp giải toán số phức, NXB

Đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh

[11] Titu Andreescu, Dorinandrica, Complex numbers from A to Z.

[12] Trương Văn Thương, Hàm số và biến số phức, NXBGD, 2006.

http://dangthanhnam.com/tong-hop-he-phuong-trinh-giai-bang-cong-cu-o giai-he-phuong-trinh.htm

http://123doc.org/document/2451375-ung-dung-ly-thuyet-so-phuc-de-o bang-phuong-phap-so-phuc.html

http://www.nguyenngocgiang.net/web/giai-tich/giai-toan-bat-dang-thuc-o minh-bat-dang-thuc-va-tim-gia-tri-lon-nhat-nho-nhat-cua-bieu-thuc.htm

http://text.123doc.org/document/1374484-ung-dung-so-phuc-de-chung-MỤC LỤC

Lêi c¶m ¬n ! 0

PHẦN MỞ ĐẦU 2

I Lý do chọn đề tài: 2

II Mục đích nghiên cứu: 3

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: 3

IV Nhiệm vụ nghiên cứu: 3

V Phương pháp nghiên cứu: 3

PHẦN NỘI DUNG 4

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC 4

1.1.Dạng đại số của số phức: 4

1.1.1 Định nghĩa số phức: 4

1.1.2 Biểu diễn hình học của số phức: 5

1.2.Các phép toán đối với số phức: 5

1.2.1 Phép cộng hai số phức: 5

1.2.2 Phép nhân hai số phức: 6

1.2.3 Phép chia hai số phức: 6

1.2.4 Căn bậc hai của số phức: 6

1.2.5 Số phức liên hợp: 6

1.3.Dạng lượng giác của số phức 7

1.3.1 Dạng lượng giác: 7

1.3.2 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác 7

1.3.3 Công thức Moivre: 8

1.4.Dạng mũ của số phức: 8

1.5.Phép khai căn số phức: 8

1.5.1 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác 8

1.5.2 Căn bậc n của số phức: 8

Chương 2: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 9

2.1.Sử dụng căn bậc n của số phức để giải hệ phương trình 9

2.2 Sử dụng các hằng đẳng thức trong số phức để giải hệ phương trình: 9

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 23

Chương 3: ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC, TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC 25

3.1.Phương pháp chung: 25

3.2 Một số bài toán: 26

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 40

PHẦN KẾT LUẬN 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỤC LỤC 45