sáng kiến kinh nghiệm sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số

Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡnghọc sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tạisao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “

A.Phần mở đầu

Trong cuộc đời học sinh của mỗi người, thậm chí cả giáo viên chúng takhi tiếp xúc với nội dung bất đẳng thức đều quan tâm đến nguồn gốc xuất phátcủa bài toán chứng minh bất đẳng thức Trong công tác giảng dạy và bồi dưỡnghọc sinh giỏi, bản thân tôi đã gặp những tình huống mà học sinh đưa ra là “ Tạisao người ta lại nghĩ được bài toán chứng minh bất đẳng thức này “ ; “ Tại sao

để tính giới hạn này người ta thêm bớt lượng này thì không được, nhưng thêmbớt lượng kia lại giải ra “ Những câu hỏi đó luôn xuất hiện trong tâm trí của tôi

và luôn nhắc nhở tôi phải tìm hiểu nó

Hình ảnh trực quan về tiếp tuyến của một đường cong là cơ sở để giảithích những câu hỏi đó của các em học sinh Cũng từ đó đã nảy sinh ra việcnghiên cứu một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số

mà được gọi là phương pháp tiếp tuyến Phương pháp này thể hiện được nguồngốc xuất phát của bài toán nên tôi chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp tiếp tuyến

để chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn của hàm số “ với mục đích cungcấp một phương pháp giải toán mới cho các em học sinh và quan trọng hơn cả làgiúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sángtạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnhhết sức trực quan

Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức và tìmgiới hạn của hàm số là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải mộtlớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn hàm số, một nội dung

mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các em học sinh đều gặprất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải Hi vọng phương phápnày sẽ xoá tan tâm lí “ sợ “ gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giớihạn hàm số của học sinh Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đốitượng là các em học sinh trong đội tuyển học sinh giỏi, các em học sinh đangchuẩn bị cho kì thi đại học và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu một hướngsáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức và giới hạn hàm số

B.Phần nội dung 1.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức

a.Cơ sở lí thuyết :

Nếu y ax b  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A x f x 0 ;  0 ( A

không phải là điểm uốn ), khi đó tồn tại   ; chứa x0 sao cho f x( ) ax b

Nếu x1 x2  x n k ( k không đổi ) thì f x 1 f x 2   f x n ak nb hoặc

sở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy, và khi học sinhnắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sử dụng phương phápnày thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh được một lớp các bấtđẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bất đẳng thức

c.Các bước tiến hành

Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặcđiểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạngcác biến được cô lập dạng f x( ) 1   f x n   hoặc f x( ) 1   f x n   Sau đóthực hiện theo các bước sau :

 Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và điều mong ước là x1   x n x0

 Dựa vào hình thức của BĐT, xét hàm số f x( ), viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( ) tại điểm có hoành độ x0, giả sử phương trình tiếp tuyến là y g x ( )

 Viết f x( )  g x( ) x x 0k h x( ), trong đó h x  0 0, k 2,k , kiểm nghiệm

2 1 , 0;1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 1

Vì vậy ta có lời giải sau:

Vì BĐT là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử a b c   1

Phân tích: Ví BĐT là thần nhất nên không làm mất tính tổng quát ta có thể giả

sử a b c   1 Khi đó BĐT có thể được viết lại :

Dấu “=” xảy ra khi a b c  1

3

Từ đó liên tưởng đến hàm f x( )= 2 1

2x  2x 1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị

hàm số tại điểm có hoành độ 1

a 

2 2

b 

2 2

c 

2 2

  

Vì vậy ta có lời giải sau:

Vì BĐT là cùng bậc nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử a2 b2 c2  1

  

8.Cho n số thực dương thỏa mãn

1

n i i

phát hiện được tính chất và từ đó tạo ra hướng sáng tạo được những bài toánđẹp và phương pháp giải toán hiệu quả Phương pháp này đã được áp dụng chođối tượng là học sinh lớp 12T2 và đội tuyển học sinh giỏi khối 12 trong chuyên

đề ‘Một số phương pháp giải tích chứng minh bất đẳng thức” Trong chuyên đềnày các em đã có thể tự giải những lớp bài toán chứng minh bất đẳng thức thuầnnhất hoặc cùng bậc trong các kì thi Olympic Quốc tế và hơn thế nữa các em đã

có sự tập tành nghiên cứu khoa học là tự sáng tác các bài toán chứng minh bấtđẳng thức Mặc dù không phải bất cứ bài toán chứng minh bất đẳng thức nàocũng có thể giải bằng phương pháp trên nhưng ít ra nó cũng đã giúp các em cómột phương pháp rõ ràng, dễ thực hiện đối với một lớp các bài toán chứng minhbất đẳng thức khó và quan trọng hơn cả nó đã giúp các em thấy được xuất xứcủa bài toán chứng minh bất đẳng thức và các em cũng có thể tự sáng tác bàitoán chứng minh bất đẳng thức tạo sự hứng thú học tập và sáng tạo cho các em

Từ đó tạo một niềm tin trong học tập cho các em, tạo một thái độ học tập là phảinắm được cái cốt lõi của vấn đề, và chính những điều đó đã giúp các em các emhọc sinh giỏi trong đội tuyển 12 đạt kết quả tốt trong kì thi học sinh giỏi tỉnh : 1giải nhất, 2 giải nhì và 2 giải khuyến khích

2.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để tìm giới hạn dạng vô định 0

Trong quá trình khử dạng vô định 0

0 đối với những giới hạn dạng

nào để thu được dạng vô định 0

0 mà vô cùng bé ở tử và vô cùng bé ở mẫu là

cùng cấp để có thể khử dạng vô định trên mà không phải gặp tình huống khửđược dạng vô định này lại gặp dạng vô định khác Phương pháp tiếp tuyến sẽgiúp chúng ta giải quyết được vấn đề này.

y g x có đạo hàm tại x0 ) Khi đó ta thực hiện theo các bước sau :

 Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số yf x( ) hoặc y g x ( ) tại x0, giả

Đặt f x( ) = cos 2x 2x , g x( ) =4 1 2  x2  4x Phương trình tiếp tuyến của hàm

số yf x( ) tại điểm có hoành độ 0 là y  1 x Khi đó

các em rất thành thạo trong việc khử các dạng vô định 0

0 này, vì các em rất hiểu

rõ bản chất của hàm số vắng đó là gì

C.Phần kết luận

Trong quá trình áp dụng sáng kiến , bản thân đã rút ra được kết luận

 Phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức dành để vậndụng cho một lớp bất đẳng thức thuần nhất hoặc cùng bậc cùng với phép chuẩnhoá thích hợp để cô lập được các biến

 Phương pháp tiếp tuyến dành để tìm giới hạn

Việc vận dụng phương pháp tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức

và tìm giới hạn hàm số thật sự là một phương pháp giải toán vô cùng hiệu quảtrong việc giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giới hạn

hàm số Qua việc vận dụng phương pháp này chúng ta có thể rèn luyện đượcphương pháp tư duy khoa học, phát triển vấn đề từ những vấn đề cơ bản và cuốicùng là rèn luyện cách nhìn nhận vấn đề một cách sâu sắc từ gốc rễ, không qualoa đại khái, hời hợt bên ngoài.

Tài liệu tham khảo

[1] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi tích phân, NXBGD 1997

[2]Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

[3]Tài liệu mạng

MỤC LỤC

Trang

A.Phần mở đầu………1

B Nội dung……… 21.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức……… 22.Sử dụng phương pháp tiếp tuyến tìm giới hạn hàm số……….11C.Phần kết luận………14D.Tài liệu tham khảo………15

Rạch Giá, ngày 12 tháng 2 năm 2012 Người viết