Bat dang thuc

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biÓu thøc Híng dÉn:... T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña..[r]

tài liệu tham khảo

bất đẳng thức đại số

I.Kiến thức cơn bản:

1.Các bất dẳng thức thông dụng:

a) ∀ A : A2≥ 0 , A2 =0⇔ A=0

b)Cho a>0 , ta có: |A|≤ a ⇔− a ≤ A ≤ a

|A|≥ a⇔

A ≤ − a

¿

A ≥a

¿

¿

¿

¿

¿

c) ∀ a , b :|a|−|b|≤|a+b|≤|a| + |b|

2.Đẳng thức liên quan:

a)

c − a¿2

b − c¿2+ ¿

a − b¿2+ ¿

¿

a2+b2+c2−ab − bc − ca=1

2¿

b) a3

+b3

+c3− 3 abc=(a+b+c )(a2

+b2

+c2−ab − bc − ca)

II.Các ví dụ :

Ví dụ 1: Chứng minh rằng ∀ a , b ≥0 , ta có : a+b ≥ 2√ab

Và a+b=2√ab⇔a=b

(Bất đẳng thức Cô-Si)

Chứng minh:

Ta có √a −√b¿2≥ 0

a+b − 2√ab= ¿ Suy ra a+b − 2√ab ≥ 0

Vậy a+b ≥ 2√ab

Và √a −√b¿2= 0⇔√a −√b=0 ⇔a=b

a+b=2√ab⇔ a+b −2√ab=0⇔¿

Ví dụ 2: Chứng minh rằng ∀ a , b , c≥ 0 , ta có :

x+ y¿2≤ 4 ⇔ −2 ≤ x + y ≤2

x + y¿4≥ 0 ⇔0 ≤¿

x+ y¿2−¿

⇒ 4¿

Và a+b +c=33

√abc⇔ a=b=c (Bất đẳng thức Cô-Si)

Chứng minh:

Ta có a+b +c − 33

√abc=1

2(

3

√a+3

√b+3

√c )[(√3a −3

√b)2+(√3b−3

√c)2+(√3c −3

√a)2]≥ 0 Suy ra a+b +c − 3√3abc ≥0

Vậy

x+ y¿2≤ 4 ⇔ −2 ≤ x + y ≤2

x + y¿4≥ 0 ⇔0 ≤¿

x+ y¿2−¿

⇒ 4¿

Và a+b +c=3√3abc⇔ a=b=c

Ví dụ 3: Chứng minh rằng : ac+bd ¿2, ∀ a , b , c , d

(a2

+b2

)(c2

+d2

)≥¿ Dấu “=” xảy ra khi nào ?

(Bất đẳng thức Bunhiacôxki ).

Chứng minh:

Ta có

ad − bc¿2≥ 0

ac+bd ¿2=a2d2

+b2c2− 2 acbd=¿

(a2+b2)(c2+d2)−¿

Suy ra ac+bd ¿2≥ 0

(a2

+b2

)(c2

+d2

)−¿

(a2+b2)(c2+d2)≥¿ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ad=bc

Ví dụ 4: Chứng minh rằng :

x1x2+y1y2+z1z2¿2

(x12

+y12

+z12

)(x22

+y22 +z22 )≥¿ , ∀ x1, x2, y1, y2, z1, z2 Dấu “=” xảy ra khi nào ?

(Bất đẳng thức Bunhiacôxki )

Chứng minh:

x1x2 +y1y2 +z1z2 ¿2

(x12

+y12

+z12

)(x22

+y22

+z22

)≥¿

⇔ x12y22+y12x22+x12z22+z12x22+y12z22+z12y22≥2 x1x2y1 y2 +2 x1 x2z1z2 +2 y1y2z1z2 : luôn đúng

Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực Chứng minh rằng :

a) a2+b2

2 ≥(a+b2 )2≥ ab

b) a3+b3

2 ≥(a+b2 )3 ,với a+b ≥ 0

c) a2

+b2

+c2

3 ≥(a+b+c3 )2≥ab +bc+ca

d) a3

+b3

+c3

3 ≥(a+b+c3 )3 abc

Dấu “=” xẩy ra khi nào ?

Ví dụ 6: Cho a2+b2=1 Chứng minh rằng : −√2 ≤a+b ≤√2

Chứng minh:

Ta có a+b¿2≤ 2(a2+b2)=2

¿ Suy ra a+b¿2≤ 2

¿ ⇔|a+b|≤√2

Ví dụ 7:Chứng minh rằng ∀ a , b ta có : a2

+b2± ab ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi nào ?

Chứng minh:

Ta có a2+b2± ab=a2±ab+1

4b

2

+ 3

4b

2

=(a ±1

2b)2+ 3

4b

2

≥ 0

Suy ra a2+b2± ab ≥ 0 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

¿

a ±1

b=0

⇔ a=b=0

¿ {

¿

III.Các bài tập:

Bài 1 Cho x, y, z là các số thực dơng Chứng minh rằng :

a) 1

x+

1

y ≥

4

x+ y .

b) 1

x+

1

y+

1

z ≥

9

x+ y+ z Dấu “=” xẩy ra khi nào ?

Bài 2.Cho a+b=2 Chứng minh rằng : a4+b4≥ 2

Bài 3 Cho a , b>0 Chứng minh rằng: a

√b+

b

√a ≥√a+√b

Bài 4.Chứng minh rằng với 3 số dơng a, b, c bất kì, ta luôn có

a3

a2+ab+b2+

b3

b2+bc+c2+

c3

c2+ca +a2≥

a+b+c

(Hớng dẫn: Ta có a3

a2+ab+b2≥

2 a −b

Bài 5 Cho x, y, z thỏa mãn điều kiện x2

+y2 +z2 =1 Chứng minh rằng : −1

2≤ xy +yz +zx ≤1 .

Bài 6 Cho 3 số a, b, c bất kì, chứng minh rằng :

a) ab+bc+ca ¿2≥3 acb (a+b+c )

b) a2b2  c2d2  (a c )2 (b d )2

Hớng dẫn:

a b  c d  a c  b d  a b c d ac bd

, Dấu “=” xẩy ra khi ad bc  0

c)a3b3c3 6abc (a b c ab bc ca  )(   );

d) (a b c  )3 9abc 4(a b c ab bc ca  )(   )

Bài 7.Cho a, b,c > 0 Chứng minh rằng :

√a2 +ab+b 2

+√b2 +bc +c 2

+√c2

+ca+a2≥√3(a+b+c ) (Hớng dẫn: Ta có √a2+ab+b2≥√3

Bài 8.a)Cho ab ≥ 1 Chứng minh rằng : 1

1+a2+

1

1+b2≥

2

b)Cho a , b , c ≥ 1 Chứng minh rằng : 1

H

ớng dẫn :

a)

b− a¿2(ab− 1)

¿

¿

1

1+a2+

1

1+b2≥

2

b)áp dụng câu a) cho biểu thức 1

1+a3+

1

1+b3+

1

1+c3+

1 1+abc.

áp dụng bất đẳng thức Cô si :

Bài 9.Cho a, b, c là các số thực dơng thỏa mãn 1

a+

1

c=

2

b Chứng minh rằng

A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y) Dấu “=” xẩy ra khi nào?

H

ớng dẫn :

Ta có 1

a+

1

c=

2

b Suy ra b=

2 ac

a+c .

Và a+b

2 a − b+

c+b

2 c − b=

a+3 c

3 a+c

3

2(

c

a+

a

c)≥ 4 Dấu “=” xẩy ra khi a=b=c.

Bài 10.Cho x, y, z là các số thực dơng thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

(1+x2 )2+(1+ y2 )2+(1+ z2 )2≥ 3 và (1+x2 )3+(1+ y2 )3+(1+z2 )3≥ 3

Dấu “=” xẩy ra khi nào?

Bµi 11.Cho x, y, z thuéc ®o¹n [0; 1] Chøng minh r»ng :

x

1+ y2 + z

1+z2≤3

2≤

1

1+ x+

1

1+ y+

1

H

íng dÉn :

Ta cã x

1+x2≤1

vµ 1

1

1+ y+

1

9

3

Bµi 12.Cho 3 sè d¬ng a , b , c Chøng minh r»ng :

t −1¿2(t2 +2t +3)≥ 0

t4− 4 t +3 ≥0 ⇔¿

H

íng dÉn :

Ta cã a2

+bc ≥ 2 a√bc=2 abc

√bc Suy ra

1

a2+ bc≤

√bc

2 abc≤

b+c

Bµi 13 Cho a , b , c ≥ 0 vµ 1

1

1

1+c ≥2 Chøng minh r»ng : abc ≤

1

H

íng dÉn :

1

1

1

b

c

1+c ≥ 2√bc(1+b)(1+c)

8 abc

Bµi 14 Cho a , b , c tháa m·n ®iÒu kiÖn a+b +c=1 Chøng minh r»ng : (1+1

a)(1+1

b)(1+1

c)≥ 64 H

íng dÉn :

1+1

a=

a+1

a =

a+b+a+c

2√ab+2√ac

44√a2 bc

Bµi 15.Cho a , b ≥ 1 Chøng minh r»ng : a√b −1+b√a −1 ≤ ab

H

íng dÉn :

a√b −1+b√a −1 ≤ ab ⇔√a −1

a +√

b −1

b ≤ 1

mµ √a − 1

a ≤

a −1+1

1

Bµi 16 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng :

1

1

1

1

4(1a+

1

b+

1

c) H

íng dÉn : ¸p dông 1

x+

1

y ≥

4

x+ y (x, y >0 ).

Bµi 17 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng :

1

a+b+

1

b+c+

1

c +a ≤

1

2(1a+

1

b+

1

c) H

íng dÉn : ¸p dông 1

x+

1

y ≥

4

x+ y (x, y >0 ).

Bµi 18 Cho a , b , c >0 Chøng minh r»ng :

a) a

b+c+

b

c +a+

c a+b ≥

3

2 ;

b) a2

b+c+

b2

c +a+

c2 a+b ≥ a+b+c

c) a b c d 2

b c c d   d a a b   

d) a

b+c+

b

c +a+

c a+b

a +

c +a

b +

a+b

c ≥

15

H

ớng dẫn :

a) a

b+c+

b

c +a+

c a+b ≥

3

2 ⇔(a+b +c)( 1

b+c+

1

c +a+

1

a+b)≥

9

⇔(2 a+2 b+2 c)( 1

b+c+

1

c+a+

1

a+b)≥ 9 : luôn đúng.

b) a2

b+c+

b2

c +a+

c2

a+b ≥

a+b+c

2 ⇔(a+b +c)( a

b+c+

b

c +a+

c a+b)≥

3

2(a+b+c) .

c) √ a

b+c=

a

√a (b+c ) ≥

2a

a+b+c .

Bài 19 Cho a , b>0 và a+b=1 Chứng minh rằng :

a) 1

ab+

1

a2+b2≥ 6 ; b)

2

ab+

3

a2+b2≥ 14

H

ớng dẫn :

a) 1

ab+

1

a2+b2≥ 6 ⇔ a2

+b2 +ab ≥ 6 ab(a 2

+b2

)⇔12 a2b2−7 ab+ 1≥ 0

Đặt t=ab , với t ≤1

4 Suy ra f (t)=12 t

2

−7 t +1≥ 0 : luôn đúng

Bài 20.(ĐH2011A)Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y , x ≥ z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x

2 x +3 y+

y

y +z+

z z+x .

H

ớng dẫn :

P= 1

x

1+z

y

1+x

z

≥ 1

x

1+√x y

(áp dụng bất đẳng thức : 1

1

2

khi a=b hoặc ab=1 )

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y hoặc x=z (1)

Đặt √x

y=t , với t ∈[1 ;2] Ta có P≥ t

2

2t2+3+

2

Xét hàm số f (t)= t2

2 t2+3+

2

1+t , với t ∈[1 ;2] Ta có f ' (t)<0 Suy ra f (t)≥ f (2)=34

33 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi t=2 ⇔ x

y=4⇔ x=4 , y=1 (2) Suy ra P≥34

33 Từ (1) và (2) suy ra dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi :

x=4 , y=1 , z=4

33 , khi : x=4 , y=1 , z=4 .

Bài 21.(ĐH2011B)Cho a và b là các số thực dơng thỏa mãn

2(a2

P=4(a b33+

b3

a3)− 9(a b22+

b2

a2) H

ớng dẫn :

Đặt t= a

b+

b

a , ta có P=4(t3− 3t)−9(t2− 2)=4 t3− 9 t2−12 t+18 .

Với 2(a2+b2)+ab=(a+b)(ab+2)⇔2(b a+

b

a)+ 1=(1b+

1

a)(ab+2)

⇔2(a b+

b

a)+1=(1b+

1

a)( ab+2) ⇔2(a b+

b

a)+1=a+b +2

a+

2

b ≥2√2(√b a+√b a) x+ y¿2

x+ y¿4−2¿

A=¿

Bài 22.(ĐH2009D)Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x+ y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S=(4 x2+3 y )(4 y2+3 x)+25 xy

Bài 23.(ĐH2009B)Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn x+ y¿3+4 xy ≥ 2

trị nhỏ nhất của biểu thức A=3 (x4

+y4

+x2y2

)−2(x2

+y2 )+1 H

ớng dẫn :

x2

+y2

¿2−2(x2

+y2 )+1

A ≥9

4¿

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x2=y2

Đặt t=x2

+y2 , với

x+ y¿2−2 ≥ 0 ⇒ x+ y ≥ 1

x + y¿3+ ¿

x+ y¿3+4 xy ≥ 2 ⇒¿

¿

Suy ra

x+ y¿2

¿

¿

x2

+y2≥¿

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y=1

Suy ra t ≥1

2 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y=

1

Và A ≥9

4t

2

− 2t +1

4

9 )





t f

, ta có f ' (t)=9

2t −2>0 Suy ra f (t)≥ f (1

2)=

9

16 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi t=

1

2⇔ x= y =1

Suy ra A ≥ 9

16 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y=

1

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng 9

16 ; khi x= y=

1

Bài 24.(ĐH2009A)Chứng minh rằng với mọi số thực dơng x, y, z thỏa mãn

x (x+ y+z)=3 yz , ta có

y+ z¿3

x+z¿3+3( x+ y )(x +z)( y +z )≤ 5 ¿

x+ y¿3+ ¿

¿

H

ớng dẫn :

Ta có

y+z¿2

x +z¿2−(x + y)(x +z )=¿

x+ y¿2+ ¿

x (x+ y+z )=3 yz ⇔(x+ y)(x+z)=4 yz ⇔¿

Suy ra

y +z¿3

y +z¿2.( y +z )=3¿

3(x + y )(x+z )( y +z)=3 4 yz ( y+ z)≤3¿

và

y +z¿3

y+z¿2≤2¿

x+z¿3=(2 x+ y+ z) ¿

x + y¿3+ ¿

¿

(vì 2 x + y +z ≤2( y+z ) )

Bài 25.(ĐH2005D)Cho các số dơng x, y, z thỏa mãn xyz=1 Chứng minh rằng

√1+ x3+y3

xy +√1+ y3+z3

yz +√1+z3+x3

zx ≥3√3

Bài 26.(ĐH2005A)Cho x, y, z là các số dơng thỏa mãn 1

x+

1

y+

1

z=4 Chứng minh

rằng 1

2 x + y +z+

1

x+2 y +z+

1

x + y +2 z ≤ 1

H

ớng dẫn :

Ta có 1

2 x + y +z ≤

1

4(x + y1 +

1

x +z)≤ 1

16 (2x+

1

y+

1

z) Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z

Tơng tự ta có : 1

x +2 y +z ≤

1

16 (1x+

2

y+

1

z) , 1

x + y +2 z ≤

1

16 (1x+

1

y+

2

z) Suy ra 1

2 x + y +z+

1

x+2 y +z+

1

x + y +2 z ≤

1

4(1x+

1

y+

1

z)=1

Bài 27.(ĐH2006A)Cho hai số thực x ≠ 0 , y ≠ 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện

(x+ y)xy= x2+y2− xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= 1

x3+

1

y3

H

ớng dẫn :

Ta có (x+ y)xy= x2+y2− xy ⇔ 1

x+

1

y=(1x+

1

y)2− 3

1

y)2−(1x+

1

y)= 3

xy ≤

3

4(1x+

1

y)2

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x=y

Suy ra (1x+

1

y)2− 4(1x+

1

y)≤ 0 ⇒1

x+

1

y ≤ 4 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y=

1

Và A=(1x+

1

y) [ (1x+

1

y)2− 3

xy]=(1x+

1

y)3≤ 64 Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

x= y=1

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 64; khi x= y=1

2

Bài 28.Cho a là số cố định, còn x, y là các số thay đổi Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức 2 x +ay +5¿2

x − 2 y +1¿2+ ¿

A=¿

H

ớng dẫn :

a)

x −2 y +1=0

2 x +ay +5=0

¿ {

có nghiệm ⇔ a≠ − 4

b)Với a=− 4 Khi đó

2 x −4 y+5¿2

x − 2 y +1¿2+ ¿

A=¿

§Æt t=x − 2 y +1 Ta cã 2t +3¿2=5 t2+12t +9=5(t +6

5)2+ 9

5≥

9 5

A=t2+ ¿

Suy ra A ≥9

5 .DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi t=−

6

5

Suy ra min A=9

5 khi t=−

6

VËy nÕu a ≠ −4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0,

vµ nÕu a=− 4 th× gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 9

Bµi t¬ng tù: Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x+2≤ 2 y T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc H=5 x2+20 y2−20 xy+22 x − 44 y +26

Bµi 29 Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n x2+y2=1+xy T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc T =x4+y4− x2 y2

H

íng dÉn :

Ta cã x2+y2=1+xy ≥2 xy vµ x2+y2=1+xy ≥− 2 xy Suy ra −1

3≤ xy ≤1 .

vµ 1+xy ¿2− 3 x2y2=− 2 x2y2+2 xy +1

x2

+y2

¿2−3 x2y2

= ¿

T =¿

§Æt t=xy Suy ra max T =3

1

Bµi 30.Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0 ≤ x ≤3 , 0 ≤ y ≤ 4 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A=(3 − x )(4 − y)(2 x +3 y)

H

íng dÉn :

Ta cã A=1

6(6 − 2 x )(12− 3 y)(2 x+3 y )≤

1

6(6 −2 x+12 −3 y +2 x+3 y3 )3=36 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2

VËy maxA=36; khi x=0, y=2

Bµi 31.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n x ≥ 3 , y ≥ 4 , z ≥ 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc F=√x − 3

x +

√y −4

y +

√z − 2

z

H

íng dÉn :

Ta cã: √x −3=√(x − 3).3

x − 3+3

x

2√3⇔√x −3

x ≤

1

2√3 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ

khi x-3=3 hay x=6

T¬ng tù √y − 4

y ≤

1

4 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi y=8.

√z −2

z ≤

1

2√2 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi z=4.

Bµi 32.Cho c¸c sè thùc x, y, z tháa m·n xy +yz+zx =4 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc F=x4+y4+z4

H

íng dÉn :

Ta cã x2

+y2

+z2≥ xy+yz+zx=4 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= ± 2

x2+y2+z2¿2

¿

¿

F=x4+y4+z4≥¿

Bµi 33.Cho x, y, z > 0 vµ x+y+z=1 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P= x

x+1+

y y+1+

z z+1 .

H

íng dÉn :

Ta cã P=3 −( 1

x+1+

1

y +1+

1

z+1)

Mµ (x+ y+ z+3)( 1

x+1+

1

y +1+

1

z+1)≥ 9 ⇔( 1

x +1+

1

y +1+

1

z +1)≥

9

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z= 1

Suy ra P≤3

4 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=

1

Bµi 34.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tháa m·n abc=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu

thøc P=bc

a2b+a2c+

ac

b2a+b2c+

ab

c2a+c2b .

H

íng dÉn : §Æt x=1

a , y=

1

b , z=

1

c Ta cã xyz=1 vµ P= x

2

y +z+

y2 z+ x+

z2

x + y ≥

x+ y +z

3

2 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.

Bµi 35.(HSG TØnh NA 2007)

a)Chøng minh r»ng : (sin x x )3>cos x , ∀ x∈(0 ; π

2) b)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n a=x+ y , b= y +z ,c= z+x T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt , gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P=x3 +2 y 2 +3 x 2

+4 xy − 5 x

Bµi 36.(HSG TØnh NA 2006)Cho c¸c sè thùc x, y tháa m·n 0<x ≤ y <π Chøng minh r»ng (x3− 6 x )sin y ≤( y3−6 y )sin x

Bµi 37.(HSG TØnh NA 2000)Cho hai sè thùc x, y tháa m·n x>0 , y >0 , x + y=1 vµ m

lµ sè d¬ng cho tríc T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña tæng S= 1

x2+y2+

m

Bµi 38.(HSG TØnh NA 2008)Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña

biÓu thøc P= √bc

a+3√bc+

√ca

b+3√ca+

√ab

c+3√ab .

H

íng dÉn :

Ta cã 3 P=3 −( a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c

c +3√ab)

§Æt Q= a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c c+3√ab Ta cã

√a+√b+√c¿2 ( a

a+3√bc+

b b+3√ca+

c

c +3√ab)(a+3√bc+ b+3√ca+c+3√ab)≥¿

√a+√b+√c¿2

¿

√a+√b+√c¿2+√ab+√bc+√ca

¿

¿

¿

⇔Q ≥¿

DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a=b=c

Suy ra P≤3

4 DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi a=b=c .

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng 3

4 ; khi a=b=c .

Bµi 39.(HSG TØnh NA 2009)Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z Chøng minh r»ng

1

x+

1

y+

1

z ≥

36

9+x2y2+y2z2+x2z2 .

H

íng dÉn :

Ta có 1

x+

1

y+

1

z ≥

36

9+x2 y2

+y2z2

+x2z2⇔(xy +yz+zx)(9+x2y2

+y2z2

+z2x2

)−36 xyz ≥ 0

⇔3(√3xyz)2[9+3(√3xyz)4]−36 xyz ≥ 0 ⇔(√3 xyz)4− 4√3xyz+3 ≥ 0

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x= y=z

Đặt t=√3xyz , với t>0 Ta có t −1¿2(t2+2t +3)≥ 0

t4− 4 t +3 ≥0 ⇔¿ : luôn đúng

Bài 40.(HSG Tỉnh NA 2010B)

a)Cho x, y là các số thực thỏa mãn log4(x+2 y )+log4(x −2 y )=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=2 x −|y|

b)Cho các số thực dơng a, b, c thỏa mãn a+b +c=1 Chứng minh rằng

3 2

ab c  bc a  ca b 

H

ớng dẫn:

b)Đặt A=√ab

ab+c +√bc

bc +a+√ca

2≤3(abab+c +

bc

ca

ra khi a=b=c=1

3 Suy ra A

2

≤9

Bài 41.(HSG Tỉnh NA2010A)

a)Cho x, y là các số thực thỏa mãn log4(x+2 y )+log4(x −2 y )=1 Chứng minh rằng

2 x −|y|≥√15

b)Cho các số thực a, b, c không đồng thời bẳng 0, thỏa mãn a+b +c¿2=2(a 2

+b2

+c2

)

¿

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= a

3

+b3+c3

(a+b+c)(ab+bc+ca) .

H

ớng dẫn :

b)Ta có

a+b+c¿2

a+b +c¿2=2(a2+b2+c2)⇔ab +bc +ca=1

4¿

¿

Suy ra

a+b+c¿3

¿

¿

P= 4 (a

3

+b3

+c3 )

¿

Đặt x= a

a+b+c , y=

b a+b +c , z=

c a+b+c Ta có

¿

x + y +z=1

4

⇔

¿y +z =1− x

yz=x2− x+1

4

¿ {

¿

Và y + z¿2≥ 4 yz⇔3 x2− 2 x ≤ 0 ⇔0 ≤ x ≤2

3

¿

Suy ra

1− x¿3−(1− x)(x2− x+1

4)

x3+ ¿ =4 x3+4 x2− 7 x+3

P=4(x3

+y3

+z3 )=4 ¿

XÐt hµm sè f (x)=4 x3+4 x2− 7 x+3 , víi x ∈[0 ;2

3] Ta cã

f ' (x)=12 x2+8 x −7=0 ⇔ x=1

4

Bµi 42.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x+ y+ z ≤3

2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

biÓu thøc P=x2+y2+z2+ 2

x+ y+ z .

H

íng dÉn :

§Æt t=x+ y+ z Ta cã (x+ y+ z)(1

x+

1

y+

1

z)≥9 ⇒1

x+

1

y+

1

z ≥

9

t .Víi t ∈¿ Suy ra P≥ t +9

t DÊu “=” xÈy ra khi vµ chØ khi x=y=z=1.

Bµi 43.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y tháa m·n 2

x+

3

y=6 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña

biÓu thøc S=x + y

Bµi 44.Cho c¸c sè thùc kh«ng ©m x, y tháa m·n x+ y=1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P= x

y +1+

y x+1 .

Bµi 45.Cho c¸c sè thùc d¬ng x, y, z tháa m·n x2+y2+z2=1 Chøng minh r»ng

x

y2+z2+

y

z2+x2+

z

x2+y2≥

3√3

H

íng dÉn :

Ta cã x

y2+z2+

y

z2+x2+

z

x2+y2≥

3√3

x (1− x2)+

y2

y (1 − y2)+

z2 z(1− z2)≥3√3

XÐt hµm sè f (t)=t (1 −t2) , víi t ∈(0 ;1) Ta cã f (t)≤ 2

3√3

Bµi 46.Cho n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 1 Chøng minh r»ng a n+b n

2 ≥(a+b2 )n H

íng dÉn :

XÐt hµm sè c − x¿n

f (x)=x n+ ¿ , víi c>0 Ta cã f (x)≥ f ( c

2) .

§Æt a=x , b=c − x Suy ra a+b >0

VËy a n+b n

2 ≥(a+b2 )n

Bµi 47.(HSG12A-NA:2011-2012)

Cho ba sè thùc x y z, , tháa m·n x y z xyz   v à x1,y1,z1 T×m gi¸ trÞ nhá

nhÊt cña biÓu thøc

1

P



Híng dÉn:

x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1

P