khắc sâu và vận dụng thành thạo, linh hoạt khi gặp các dạng toán biến đổi biểu thức có dấu căn. Tôn Nữ Bích Vân[r]
Trang 1VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC √A2= |A|
VÀO GIẢI TOÁN
Trong chương I, Đại số 9, hằng đẳng thức √A2= |A| có nhiều vận dụng trong các bài tập từ đơn giản đến phức tạp
Tuy nhiên, khi gặp dạng toán này, nhiều em thường lúng túng, ngay cả học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót trong khi trình bày lời giải Qua bài viết này tôi nêu một số loại toán thường gặp có thể vận dụng hai dạng biến đổi căn thức cơ bản sau đây:
Đưa ra ngoài dấu căn
√A2
= |A| = A nếu A ≥ 0
- A nếu A < 0 Đưa vào dấu căn:
A √B = √A2B nếu A ≥ 0
- √A2B nếu A < 0
Loại 1: Biển đổi đơn giản căn thức bậc hai
Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
√9 x4y =2 x2|y| = 3x2y nếu y ≥ 0
- 3x2y nếu y < 0
Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
x√2 y = √2 x2y nếu x ≥ 0
- √2 x2y nếu x < 0 Một số em thường nhầm ở trường hợp thứ hai
Loại 2: Tính giá trị của một biểu thức
Ví dụ 1: Tính √8 −2√7
Giải √8 −2√7 = √7 − 1¿
2
¿
√7− 2√7+ 1= √ ¿
= |√7 −1|=√7 − 1 (vì √7− 1>0¿
Có thể đặt √8 −2√7=a+b√7 với các số nguyên a, b rồi bình phương hai vế để tính a, b? Tương tự, hãy tính √2002+2√2000 −2√1999
Ví dụ 2: Tính giá trị của
A = 3x - 1 - √4 x2− 12 x +9 với x = 1999 Giải
A = 3x - 1 - 2 x −3
¿2
¿
¿
√ ¿
Trang 2Với x = 1999 thì 2x - 3 > 0 nên A = 3x - 1 - (2x - 3) = x + 2
Lúc đó A có giá trị là 1999 + 2 = 2001
Loại 3: Rút gọn một biểu thức
Ví dụ 1: Rút gọn B = √3 x − 4 −2√3 x −5
Giải: Điều kiện x ≥ 53 Biến đổi
B =
√3 x −5 −1¿2
¿
¿
√3 x −5 −3√3 x −5+1=√ ¿
Nếu √3 x −5 −1 ≥ 0 hay √3 x −5 ≥ 1 hay x ≥2 thì
B=√3 x −5 −1
Nếu √3 x −5 −1 < 0 hay x < 2 thì B = 1 - √3 x −5
Vậy B = √√3 x − 5 −1 nếu x ≥ 2
1 - √3 x −5 nếu 53 ≤ x ≥ 2
Có thể đặt B = a + b √3 x −5 với các số nguyên a, b rồi tính a, b?
Ví dụ 2: Rút gọn C = √x2+4 x +4
|x|− 2
x+2¿2
¿
¿
√ ¿
¿
(đk: x ≠ ± 2)
Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối
Từ đó tính được
1 nếu x < -2
C = -1 nếu -2 < x < 0
x −1 x+2 nếu x ≥ 0 và x ≠ 2
Có thể đưa mẫu số |x|−2 vào trong dấu căn?
Loại 4: Chứng minh một đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh 2 √2+√3=√6+√2(∗)
Giải: Biến đổi vế trái:
2√2+√3=√4(2+√3)=√√8+4√3
= √6+√2¿
2
¿
√6+2√12+2= √ ¿
Trang 3= |√6√2|=√6+√2
Vậy: 2√2+√3=√6 +√2
Có thể biến đổi √2√4 +2√3=√2(√3+1) hoặc bình phương của hai vế của (*)?
Ví dụ 2: Chứng minh √6+√11−❑
√6 −√11=√2
Đặt vế trái là A, ta có:
√2 A=√12+2√11−√12− 2√11
=
√11+1 ¿2
¿
√11− 1¿2
¿
¿
√ ¿
= |√11+1|−|√11−1|=2
Có thể tính A2?
Loại 5: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình: √x −2+2√x −3+√x +6+6√x −3=3
Giải: Điều kiện x ≥ 3 Biến đổi vế trái thành
√x −3+2√x − 3+1+√x −3+6√x − 3+9
=
√x −3+1¿❑2
¿
√x −3+3¿2
¿
¿
√ ¿
= |√x −3+1|+|√x −3+3|
= √x −3+1+√x − 3+3
= 4 + 2 √x −3 ≥ 4
Loại 6: Tìm giá trị của biến thoả mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho M = 4x - 1 - √9 x2−12 x+ 4 Tìm x để M = 3
Giải: M = 4x - 1 - 3 x −2¿
2
¿
¿
√ ¿
Xét dấu của 3x - 2 ta tính được
M = x + 1 nếu x ≥ 32
7x - 3 nếu x < 32 + Với x 32 thì M = 3 x + 1 = 3 x = 2: Thích hợp
Trang 4+ Với x < 32 thì M = 3 7x - 3 = 3 x = 67 : Loại vì không thoả mãn
x < 32
Vậy: M = 3 khi x = 2 Có thể viết 4x - 1 = √9 x2−12 x+ 4 rồi bình phương hai vế?
Loại 7: Tìm cực trị của một biểu thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = √1− 4 x +4 x2+√4 x2−12 x+9
Giải: D = √1− 4 x +4 x2+√4 x2−12 x+ 9
=
1− 2 x¿2
¿
2 x −3¿2
¿
¿
√ ¿
= |1 −2 x| + |2 x −3|≥|1− 2 x +2 x − 3| =2
Đẳng thức xảy ra (1 - 2x) (2x - 3) 0
Lập bảng xét dấu
-(1 - 2x) (2x - 3) 0 12≤ x ≤3
2
Vậy: GTNN D = 2 12≤ x ≤3
2
Các bài tập ở các ví dụ trên có thể còn nhiều cách giải khác, trong phạm
vi bài viết này, chỉ xin trình bày cách giải có thể vận dụng bằng đẳng thức
√A2
=|A| và gợi ý một vài cách khác Mong rằng các em có thể củng cố, khắc sâu và vận dụng thành thạo, linh hoạt khi gặp các dạng toán biến đổi biểu thức có dấu căn
Tôn Nữ Bích Vân
(Bài này đã được đăng trên báo Toán học tuổi trẻ)