BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC

n x + + + + + + ≥ HƯƠNG HỌC TRÒ Hạ về thương nhớ ,năm tháng yên vui trong tuổi học trò.Hồn nhiên đến lớp, áo trắng vui đùa những nắng chiều lên,lưu bút trao tay viết mấy cho vừa dòng nh

BẤT ĐẲNG THỨC

DẠNG1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

BÀI 1: Chứng minh các BĐT sau:

1/

; ;

a b R

*

; a b c R, ,

+

ÀI 2: Chứng minh rằng:

1 a +1 b ≥1 ab a b≥ ≥

2/3(a2+ + ≥ + +b2 1) (a b 1) ; ,2 a b R∈

3/a2+ + ≥b2 c2 ab bc ca a b R+ + ; , ∈

4/a≥2 ;α b≥2 (α α > →0) ab≥α(a b+ )

5/Cho:a>b>0 ;m>n ; m,n∈N,cmr:

− > −

BÀI 3:Cho tamgiác ABC có độ dài 3 cạnh

là:a,b,c Chứng minh rằng:

ab bc ca a+ + ≤ + + <b c ab bc ca+ +

2

c a b

+ + + < + + +

+ +

a + + <b c a b c− +b c a− +c a b−

BÀI 4:

1/ CMR: a3+ ≥b3 a b ab2 + 2

2/Cho a,b,c thoả:a2+ + =b2 c2 1

− ≤ + + ≤

3/a+b 0≥ ;m n N, ∈ *;chứng minh rằng:

 +  + ≤ +

4/

*

3 3 3

1 1 1

a b c R

+

5/

2

2

2006

2 2005

a

a

+ >

+

6/a2+ + ≥b2 4 ab+2(a b+ )

7/

2

4

a

+ + ≥ − +

8/nếu:a c

b < d thì a 2 2

b

+

< <

+

BÀI 5:

Cho: x <1;n N∈ *.chứng minh rằng:

(1−x)n+ +(1 x)n <2n;x∈R

BÀI 6: Cho:a b, ≥0; ,m n N m n∈ *, >

Cmr:m a m+b m ≤n a n+b n

BÀI7: Cho3 số a,b,c thoả:abc>0;ab+bc+ca>0

và a+b+c >0 CMR:a,b,c>0

BÀI 8: Cho 2a+3b=5;cmr:2a2+3b2 ≥5

BÀI 9: Cho a,b>0;chứng minh rằng:

+ < +

BÀI 10: Cho tam giác ABC có cạnh

huyền c và 2 cạnh góc vuông là a,c chứng minh rằng :a3+ <b3 c3

BÀI 11:CMR 1/(x2+1)(y2+ ≥1) x y( 2+ +1) y x( 2+1) (với: x,y≥0)

2/a,b≥1,cmr:a b− +1 b a− ≤1 ab

BÀI 12:Cho x,y,z>0;cmr:

3x+2y+4z≥ xy+3 yz+5 zx

BÀI13:

1/ a,b,c,d>0 cmr:

(a b c d+ )( + ) > ac+ bd

2/ a,b,c>0;cmr:

2

a b c

3/ x2 +y2 +z2 =1; cmr: 1 1

− ≤ + + ≤

4/ a+b+c≠0 cmr:a3 b3 c3 3abc 0

a b c

+ +

BÀI 14(VĐQG lần 24 tại Pháp-câu a)

Gọi :a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác;cmr:

1/ a b a b2 ( − +) b c b c2 ( − +) c a c a2 ( − ≥) 0

2/ Nếu:a<b<c thì:

BÀI 15: Cho a,b,c,d>0;cmr:

3 3 3

3

a b c

+ +

≥

a b abc b+ c abc c+ a abc≤abc

a b c abcd b c a abcd

c d a abcd d a b abcd abcd

Tổng quát:Cho a i >0;i= →1 n n N; ∈ *

1

2

n

−

−

+ +

BÀI 16: Cho a,b >0 và α β> >0

Cmr:(aα +bα)α1 ≤(aβ +bβ β)1

BÀI 17:Choa,b,c>0;cmr:

b c+ + c a+ + a b+ >

BÀI 18: Cho a b c, , ∈[ ]0,1 ;cmr:

2

BÀI 19: Cho:a,b,c∈R và:a+b+c=1,cmr:

3a 3b 3c 3a 3b 3c

BÀI 20: Cho a,b,c đôi một khác nhau,cmr:

2

  +  +  ≥

 − ÷  − ÷  − ÷

BÀI 21:Cho : a,b,c>0,cmr:

(HD: x,y>0 ta có:1 1 4

+ )

BÀI 22: Cho ∆ABC có 3 góc thoả:

=

1 4

tg tg tg ;CMR: ∆ABC đều

(HD: đại số hoá và 1 1 4

+ )

BÀI 15:

1/Cho a.b≥1; cmr: 1 2 1 2 2

1 a +1 b ≥1 ab

2/ Cho:a,b,c≥1; cmr:

1 a +1 b +1 c ≥1 abc

DẠNG2: BẤT ĐĂNG THỨC CÔ SI BÀI 1: 1/Cho:a,b,c≥0;a.b.c=4,cmr:

(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc 2/ a,b,c>0;cmr:

1 1 1

a b c

+ + + + ≥

3/

2 2

2 2 1

a

+ ;∀ ∈a R

4/a,b,c∈R thoả:a.b.c≠0,cmr:

+ + ≥ + +

BÀI 2: ∆ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr:

1/(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)≤ abc 2/ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)≥0

BÀI 3:1/ Cho:x,y,z>0 và :x.y.z=1; cmr:

3

  +  +  ≥

      ;n∈N

:a,b,c >0

3/ với :a,b,c >0

4/ ( )( ) ( )( )

c a b d

4

6 abcd

≥ ;với :a,b,c,d >0

2

+ + + ; với :a,b,c >0

6/a4+ + ≥b4 c4 abc a b c( + + )

BÀI 4:

1/Cho:a≥0 và n∈N ;cmr:* a n n a+ ≥ n +1

2/Cho:a,b,c>0 và a+b+c=1,cmr:

 +  +  + ≥

   

BÀI 5:Cho:a,b,c∈N ,cmr:*

1 3

a b c+ + a b c a b c ≥ a b c+ +

BÀI 6: Cho:a,b>0 và: ,α β∈Q+,α β+ =1

;cmr:a bα β ≤α.a+β.b

BÀI 7:Cho:a,b,c>0,cmr:

 +  +  + ≥

2/

+ +

3/

15 2

+

+

4/a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2) 6≥ abc

abc

+ + ≥ + + ≥

BÀI 8: Cho:a,b,c≥0 và :a+b+c=1;cmr:

1/ b+c≥16.abc

2/(1-a)(1-b)(1-c) ≥8abc

BÀI 9: Cho 2 số a,b thoả: a+b =1,cmr:

1/ 3 3 1

4

a + ≥b ;2/ 4 4 1

8

TỔNG QUÁT: a+b=1,n∈N ,Ta luôn có:a/ *

1

1 2

n

b/

n

a +b a b+ 

≥  ÷

BÀI 10 :Cho n∈N ,,cmr:*

1/ 1n n n n1 n n 2

+ + − <

2/

1

1

+

 +  < + 

    ;n≥2

3/

1

1

+

 +  > + 

n

+

 +  + +  ≥

BÀI 11: Cho a,b,c>0; cmr:

2

b c c a a b

+ +

BÀI 12: Cho a,b,c>0 và thoả:a.b.c =1 ;cmr:

BÀI 13: Cho a,b >0 và thoả:a+b =1,cmr:

2

 +  + +  ≥

BÀI 14: Cho:a,b,c>0 và :a2+ + =b2 c2 1 ;cmr:

3 3 2

BÀI 15: a,b≥0 cmr:

2

2/ (1+a+b)(a+b+ab)≥9ab

3/3a3+7b3 ≥9ab2

BÀI 16: Cho :a,b,c,d>0 và thoả:

3

1 a+1 b+1 c+1 d ≥

abcd 1 81

≤

TỔNG QUÁT:

Cho:a i >0;i =1,….,n;n∈N ;n>2 thoả:*

1

1 1

n

n

a

=

≥ −

+

1 1

n

i

a n

=

≤

−

∏

BÀI 17:Cho :a,b≥ 0; cmr:

2005 a+2006 b≥4011 ab

BÀI 18: Cho :a,b,c>0 và thoả:a+b+c =1;cmr:

 −  −  − ≥

   

TỔNG QUÁT: Cho:a i >0;i=1, , ;n n N∈ *

;thoả:

1

1

n

i

i

a

=

=

1

1

n

n

n a

=

− ≥ −

∏

BÀI 19: Cho a,b,c≥0 ; cmr:

( ) ( ) ( )

3

3

3

3

a b c

+ +

TỔNG QUÁT:Cho a i >0;i=1, , ;n n N∈ *

cmr:

1

1

n

n

i

i i

n

n

a

a n

=

=

 + ÷ ≥ +

≥ + ÷÷ ≥

∑

∏

BÀI 20: 1/ Cho: a>b và: a.b =1;cmr:

2 2

a b

+ ≥

−

a

b a b

− ;a>b>0

BÀI 21: cmr:

log >log

TỔNG QUÁT:log(n n++12) >log(n n++23);n∈N*

BÀI 22: Cho a>b≥0 ;cmr:

a

a b b

− +

BÀI 23: Cho 1; 1

2

a a b

≥ > ; cmr:

3

3

a

b a b+ ≥

−

BÀI 24 : Cho:

*

1 2 3 n 0; ;

a >a >a > >a > n k N∈ ;

Cmr:

1

( 1) 2 ( 1)

1

a

k

−

+

− +

≥

BÀI 25: Cho:a,b,c≥1 ;cmr:

2002 ( 1)( 1) 2004 ( 1)( 1)

2006 ( 1)( 1) 2003 2004 2005

BÀI 26: Cho:a>b>0;b>c>0; cmr:

BÀI 27:a,b,c≥0 ;cmr:

3 abc+ ≤1 3(1+a)(1+b)(1+c)

TỔNG QUÁT: Cho:

*

; 0; 1, , ;

i i

1 .2 1 .2 ( 1 1).( 2 2) ( )

BÀI 28: Cho :a,b≥0; cmr:

16 (ab a b− ) ≤ +(a b)

BÀI 29: cmr:

− ≤ + − ≤

BÀI 30: Cho a,b≥1 ;cmr:

2

log log 2 log

a b

BÀI 31: Cho: a,b,c≥0 v à :a+b+c = 1;cmr:

1/ 16abc ≤ a+b

2/abc(a+b)(b+c)(c+a) 8

729

≤

3/ a b+ + b c+ + c a+ ≤ 6

BÀI 32 :Cho a,b≥1;cmr:

BÀI 33 : Cho:a ≥3;b≥4 ;c≥2 ;cmr:

2 3 4 1

2 2

2 3 2 4

abc

+

sin cos

9

BÀI 35 : Cho:0≤x≤3; 0≤y≤4;cmr:

(3-x)(4-y)(2x+3y)≤36

BÀI 36: Cho m<n; m;n∈N* ;cmr:

 +  < + 

n

n n

BÀI 37 : Cho a,b,c>0 ; cmr:

5

1 3

a b c

c a b

 + + + + ÷

BÀI 38: Cho a,b,c>0;a+b+c = 1; cmr:

 +  + +  + + ≥

 ÷  ÷  ÷

     

BÀI 39: Cho:u,v>0;u2+ =v2 1 ;cmr:

9

 +  + +  ≥

BÀI 40: Cho 0< a,b,c <1;cmr ít nh ất 1 trong 3

bđt sau sai:

a − >b b − >c c − >a

BÀI 41:Cho :a,b,c 0≥ và:

a + + =b c abc; cmr:

2

a b c+ + > abc

BÀI 42: Cho x,y,z>0 ; cmr:

2

BÀI 43 :( ĐẠI HỌC 2003-A)

Cho: x,y,z>0 và :x+y+z 1≤ ; cmr:

82

BÀI 44: Cho:0<x,y,z<1 và:xy+yz+zx =1

( Dùng lượng giác hoá)

BÀI 45: Cho: a,b,c>0 và: ab+bc+ca =abc ;cmr

3

( Dùng tương đương )

BÀI 46 :Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1 ;tìm GTNN

BÀI 47: Cho 0≤x y z, , ≤1 ; tìm GTLN của:

(1 )(1 )(1 )

+ + + + + + + − − −

BÀI 48: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;

tìm GTLN của :

B ÀI 49: Cho x,y,z>0 v à:x2+y2+z2 =1

2

BÀI 50: Cho x,y,z>0;t ìm GTNN của:

BÀI 51: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;CMR:

1− +x 1− +y 1− ≤z 6

BÀI 52: Cho x,y,z;p;q>0 v à:x3+y3+ =z3 1 Cmr:

BÀI 53 Tìm GTLN của:

1/A =x y;1 x y, 2

2/B =x y z;1 x y z, , 2

B ÀI 54: Cho x,y,z>0 và :x+y+z=1;T ìm

GTLN c ủa: A=(1 1)(1 1)(1 1)

B ÀI 55: Cho a,b,c>0 và :a+b+c≤3

T ìm GTNN c ủa:

A

= + + ÷ + + ÷ + + ÷

B ÀI 56: :Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1;cmr:

3

B ÀI 57: x,y,z,t>0;xy+yz+zt+tx=1:

Cmr

3

+ + + + + + + +

B ÀI 58: x,y,z,t>0;x.y.z.t=1;cmr:

t xy yz zx

z tx xy yt

+ + + +

B ÀI 59:Cho:m,n∈N* ;cmr:

2 2

2

m n

B ÀI 60: Cho a,b,c>0 ,n∈N*;n≥2 ;cmr:

1 1

n

n

DẠNG3: BĐT TRUNG GIAN

BÀI 1:Cho :a,b,c>0:m,n∈N*; CMR:

BÀI 2 : Cho: a,b,c>0 ; cmr:

2/

3/a35 b35 c53 a3 b3 c3

BÀI 3 : Cho:a,b,c>0 v à thoả:

a

1 b

+ + <

Chứng minh rằng luôn tồn tại các số t ự

nhiên k (0≤k≤99) sao cho B ĐT sau đúng:

1 100

BÀI 4: Cho:a,b,c>0 ;cmr:

1/

1

2/

1

4

a b c

3/

a b c

4/

a b c

bc +ca +ab ≥ + +

5/

a b c

6/a23 b23 c23 9

+ +

( với : a+b+c = 3abc)

D ẠNG 4: BĐT HOÁN VỊ

B ÀI 1:Chứng minh BĐT cô si cho n số

B ÀI 2: Cho ∆ABC ;CMR:

1/n∈N* ; n lẻ ;ta có:

2/m R∈ + ; CMR:

sin 2 cos 2

m

m

C A

+

B ÀI 3: Cho: a,b,c>0 ; cmr:

a b c

bc ca ab

+ +

B ÀI 4 : a a a1; ; ; 2 3 a l à c ác s ố nguy ên dư n

ơng kh ác nhau: cmr:

3

1

n

+ + + + ≥ + + + ( đ ề thi

Qu ốc t ế-1978 )

B ÀI 5: ∆ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr:

a b a b− +b c b c− +c a c a− ≥0 (Quốc tế

-1983)

B ÀI 6 : Gi ải ph ư ơng tr ình:

B ÀI 7: Cho a,b,c>0 ;CMR:

1/

6

a b a c b a a c c a c b

abc

2/a b b c c a abc3 + 3 + 3 ≥ 2+bca2+cab2

3/a8 3 3 3b8 c8 1 1 1

+ + ≥ + +

2

B ÀI 8: 1/Cho:a j ≥0;j=1, , ; ;n x y>0;cmr:

1

n

n

+ + +

2/Cho:a j >0;j=1, , ;n x>0 :y<0;cmr:

1

n

n

+ + +

B ÀI 9: Cho a a1; ; ;2 a là các cạnh của n- n

giác lồi(n≥3); CMR:

n n

a

D ẠNG 5:TAM TH ỨC B ẬC HAI

BÀI 1: Cho: a,b,c,d R∈ ; cmr:

(a −b )(c −d ) (≤ ac bd− )

BÀI 2:Cho: x,y>0 v à : ax+by≥ xy ; cmr: a.b 1

4

≥

BÀI 3: ∆ABC có 3 cạnh :a,b,c và 2 số p,q thoả:p+q = 1; cmr:

pa +qb > pqc

BÀI 4 :Cho: -1<x,y,z<1 và: x+y+z =0;cmr:

x +y + <z

BÀI 5: Cho : 0≤x y z, , ≤1; cmr:

a + + ≤ +b c a b b c c a+ +

BÀI 5 Cho:

1

; ; ; n ; N i;

I

=

a + + +a a ≤ m M S mMn+ −

BÀI 6 Cho: 3 s ố th ỏa:ab+bc+ca=1 v à:

a2+ + =b2 c2 1 cmr: 4 , , 4

BÀI 7: Cho p2+ −q2 (a2+ + +b2 c2 d2) 0>

Cmr

(p − −a b )(q − −c d ) (≤ pq ac bd− − )

BÀI 8: Cho: 0< ≤ ≤a a i b i; =1; ;n

Cmr:

2

4

a b

ab

+

BÀI 9:Cho:a.b.c=1 v à a3 >36; cmr:

3

3

a

+ + > + +

BÀI10:cmr:

B ÀI 11: Ch ứng minh B ĐT Bunhiacospky

cho n số

B ÀI 12:Cho n số;a i∈[ ]0,1 ; cmr:

(1+ + + +a a a n) ≥4(a + + +a a n)

B ÀI 13:Cho 0< < ≤b a 2 v à 2ab≤2b+a;cmr

B ÀI 14 Cho c ác s ố ,a b ;i =1;…;n i i

thoả:Cmr:

2

n n

− − − − − − ≤

− − −

( đây l à B ĐT: Aczeia )

B ÀI 15Cho x,y,z∈[ ]0,1 ; cmr:

+ + + + <

*BỔ SUNG*:

BÀI1:Ch : x,z,z>0;thủa:1 1 1 4

x+ + =y z

MỞ RỘNG: Cho:a a1; ; ;1 a n >0; thoả:

n

k k

a +a + +a = > ;cmr:

*

1

;

i n

k

−

+

+ +

+ + +

+ + +

(ĐẠI HỌC 2005-A)

BÀI2: CMR: x R∀ ∈ , ta lu ôn c ó:

    + +  ≥ + +

 ÷  ÷  ÷

     

(ĐẠI HỌC 2005-B)

BÀI3: Cho x,y,z>0 và :x.y.z=1;cmr

3 3

+ + + + + + + + ≥

(ĐẠI HỌC 2005-D)

BÀI4: Cho:x,y,z,t>o;cmr:

0

− + − + − + − ≥

BÀI5: Cho x,y,z>0; 2 2 2 1

3

Tim giá trị nhỏ nhất của:

BÀI6: Cho:x,y,z,t>o;cmr:

y + z + +t x ≥ x + y + z +t

BÀI7: Cho:x,y,z >o;cmr T ìm GTNN

c ủa:

(2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 ) (2 3 )(2 3 )

B ÀI 8: Cho a,b,c>0 và :a+b+c≤3

T ìm GTNN c ủa:

A

= + + ÷ + + ÷ + + ÷

DẠNG 6: TÍNH CHẤT HÌNH HỌC BÀI 1: Tìm GTLN;CTNN của hàm số

2

x

BÀI 2 :Cho : a∈R;cmr:

(a−1) + +4 (a+1) + ≥4 2 5

BÀI 3 :Cho : a,b,c∈R;cmr

abc a b c+ + ≤a + +b c

BÀI 4: Cho:a>c>0;b>c>0;cmr:

BÀI 5: Cho: 0<x,y,z<1;cmr:

x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1

BÀI 6: Cho: ; ;α β γ l à 3 góc tạo bởi 3 cạnh của hình hộp chử nhật với đường chéo c ủa hình hộp chử nhật xuất phát cùng một đỉnh ;CMR:

a/cos2α+cos2β+cos2γ =1 b/

4 cos α+ +1 4cos β+ +1 4cos γ + ≤1 21

BÀI 7: Cho 6 s ố:a a a b b b ; tho ả:1; ; ; ; ;2 3 1 2 3

a + + + + + =a a b b b ;cmr:

2 2

BÀI 8: T ìm GTLN;GTNN c ủa:

1/ f x( ) 3= x− +1 4 5−x x; ∈[ ]1;5 2/ f x( ) 3= x− −1 4 5−x x; ∈[ ]1;5

BÀI 9: Cho 4 s ố : a,b,c,d tho ả:

(a b+ −4) + + −(c d 4) =1;cmr:

BÀI 10: T ìm GTNN c ủa :

v ới :a2+b2 >0

BÀI 11: Cho: x,y,z∈R;CMR:

1/

4 cos cos sin ( )

4sin sin sin ( ) 2

2/

BÀI 12: Cho a∈R;cmr:

2a + +8 2a +12a+20 6>

BÀI 13 : Cho:a,b,c>0;ab+bc+ca=abc;cmr:

3

14:Cho:x,y,z≠0 ;cmr:

z x

−

BÀI 15: Cho:a2+b2 = +c2 d2 =5;cmr:

3 30

2

− − + − − + − −

≤

DẠNG 7:BĐT BUNHIACOSKY

BÀI 1:1/Cho:x2+y2 =1;cmr:

2x+3y ≤ 13

2/Cho: 2x+3y =5; cmr:2x2+3y2≥5

3/Cho:x,y,z 3

4

−

≥ ; cmr:

4x+ +3 4y+ +3 4z+ ≤3 39

4/Cho:x,y>0;x+y < a+b; x<a;a,b>0;

cmr:

−

B ÀI2:1/ Cho:a2+ + +b2 c2 d2 =1 ; cmr:

(x +ax b+ ) +(x + +cx d) ≤(2x +1)

5

3/Cho: a,b,c > 0; cmr:

b +c +a ≥ + +b c a

B ÀI3: 1/ Cho:x y z≥ ≥ >0; cmr:

2/ Cho: a,b,c∈R ; cmr:

2

2a 3b 6c 2a 3b 6c

 + +  ≤ + +

3/ Cho: a,b,c thoả:a2+ + =b2 c2 1 ; cmr:

− ≤ + + ≤

4/ Cho: a,b,c,d>0; cmr:

2

5/Cho:a,b,c>0;ab+bc+ca=abc ;cmr:

3

6/Cho: a.b.c≠0; cmr:

b +c +a ≥ + +b c a

Mở rộng:Cho: x,y,z thoả:x.y.z =1; cmr:

x +y + ≥ + +z x y z

BÀI 4: 1/Cho: a,b,c>0; cmr:

2

b c c a a b

+ +

2/Cho: a,b,c >0; a+b+c = 1; cmr:

1

2

ab bc ca

b c c a a b

3/ Cho: a,b,c,d>0; cmr:

4

+ + + + + + + ≥

4/ Cho:a,b,c,d>0;S=a+b+c+d ; cmr:

2 2 2 2

2

4

S

S

 +  + +  + +  + + 

≥  + ÷

5/Cho: a,b,c thoả:

4

3

cmr: 1− ≤ + + ≤a b c 4

∆ABC có 3 cạnh :a,b,c; cmr:

a b b c c a

< + + <

BÀI 5: Cho 2n số:a a1; ; ; ; ; 2 a b b n 1 2 b n >0

;cmr:

2

n n

a

+ + +

+ + +

BÀI 6: Cho:a,b,c∈R;CMR:

3 2 (1 )

2

+ − + + − +

+ − ≥

B ÀI 7:1/Cho:x.y,z,a,b,c>0; thoả:a b c 1

x+ + =y z

; cmr:

(x y z+ + ≥) a+ b+ c

2/ Cho: xy+yz+zx=4 ; cmr:

3

BÀI 8: Cho n số: ;a i i =1;2; ;n thoả:

2

0

3

n

i

i

a

=

=

n

a

n

+ + + <

+

BÀI 9: Cho:x,y,z >0; x+y+z = 1;cmr:

3

BÀI 10: Cho: x,y,z>0;x3+y3+ =z3 3

Và :p,q>0;cmr:

TỔNG QUÁT:

Cho: x,y,z>0;x n−1+y n−1+z n−1 =3

Và :p,q>0;cmr:

3

B ÀI 11: Cho: x,y,z>0;x2+y2+z2 =1

T ìm GTNN c ủa:

B ÀI 12: Cho:x,y,z,t>0 v à:xy+tz+zt+tx=1

T ìm GTNN c ủa:

+ + + + + + + +

B ÀI 13: Cho:x,y,z>0;x+y+z≥6;T ìm GTNN c ủa:

B ÀI 14:Cho:x x1; ; ;2 x n >0; v à : y y1; ; ;2 y n

là 1 hoán vị của n số trên;cmr:

2

n

x

+ + + + + + ≥

HƯƠNG HỌC TRÒ

Hạ về thương nhớ ,năm tháng yên vui trong tuổi học trò.Hồn nhiên đến lớp, áo trắng vui đùa những nắng chiều lên,lưu bút trao tay viết mấy cho vừa dòng nhớ thương.Khi thôi đi học ,mong sao tìm lại một thoáng hương xưa

ĐK: Ô hay học trò,dù mưa hay nắng ,vắng mãi không thôi,tập làm thi sỹ;yêu cô em nhỏ

đêm về tương tư

Ô hay học trò,mùa thi đã đến ,chẳng nói một câu,vùi đầu sách vở, quên cô em nhỏ,bỏ nhạc

bỏ thơ

Tìm trong sách vở,trang giấy lem nhem, ép cánh phượng buồn ,tìm trong sách vở,công thức phương trình ,hàm số đường cong.Biết chứng minh sao? ẩn số quay cuồng , gợi nhớ khôn nguôi,xa xuôi mắt buồn ,năm tháng chưa dài ,ngày vui chẳn còn

Mùa chia tay 2006 Chúc các em thành công trên đoạn đường còn lại!