tap de thi hsg toan 8 tu soan

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD... HƯỚNG DẪN CHẤM THI.[r]

PHÒNG GD BÌNH LỤC TRƯỜNG THCS TRÀNG AN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐỀ SUẤT TOÁN 8 NĂM HỌC 13-14

Câu 1(4 điểm)

Cho biểu thức:

2

1 x

a) Tìm x để B có nghĩa

b) Rút gọn B

c) Chứng minh B luôn dương với mọi x thoả mãn điều kiện xác định của B

Câu 2(4 điểm)

a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:

4

x  4

 x 2 x    3 x    4 x    5   24

b Giải phương trình: 4 2

x  30x  31x  30  0

c) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

A = b+c − a a + b

a+c −b+

c a+b − c ≥ 3

Câu 3 (3 điểm)

Một người đi xe đạp, một người đi xe máy và một người đi ô tô xuất phát từ địa điểm A lần lượt lúc 8 giờ, 9 giờ, 10 giờ với vận tốc theo thứ tự là 10km/h, 30km/h và 50km/h Hỏi đến mấy giờ thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy?

Câu 4: (8,0 điểm)

Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?

b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK

c) Chứng minh rằng : CD.OF = OE.AD

d) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2

Câu 5( 1 điểm): Chứng minh rằng biểu thức P cho sau đây không là số tự nhiên

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

2

1 x





2 2

2

1 x

1 x

0.75

  



2 2

1 x (1 x )

0,5



 2

1 B

c Với x

 1 ta có   2

1 B

1 x

mà 1+x2 > 0 với mọi x nên   2

1 B

1 x >0 vơí mọi x

1,0

a x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2

= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2

= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)

( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24

= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24

= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24

= (x2 + 7x + 11)2 - 52

= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)

1,5

= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)

x  30x  31x  30  0 <=>  2     

x  x  1 x  5 x  6  0

(*)

0,5

Vì x2 - x + 1 = (x -

1

2)2 +

3



Vậy…………

0, 5

c

Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0

Từ đó suy ra 2 ; 2 ; 2

Thay vào ta được A= y +z 2 x +x +z

x + y

1

2[( y

x+

x

y)+(

x

z+

z

x)+(

y

z+

z

y)] 0,25

Từ đó suy ra A 12(2+2+2) hay A 3

1,0

Gọi thời gian ô tô đi đến vị trí cách đều xe đạp và xe máy là x(h) điều kiện

=> Thời gian xe đạp đi là x + 2 (h) Thời gian xe máy đi là x + 1 (h) 0,5

=> Quãng đường ô tô đi là 50x (km) Quãng đường xe đạp đi là 10(x + 2) (km) Quãng đường xe máy đi là 30(x + 1) (km)

0,5

Vì đến 10 giờ thì xe máy đã vượt trước xe đạp => ô tô ở vị trí cách đều xe đạp

và xe máy khi x nghiệm đúng phương trình:

50x – 10(x + 2) = 30(x + 1) – 50x

0,5

<=> 60x =50

<=> x =

5

Vậy đến 10h50 phút thì ô tô ở vị trí cách đều xe đạp và xe máy 0,5

Bài 4 8,0

E

K

H

C

A

D

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành 0,25

CH CD CK CB

Chứng minh :

Chứng minh

AF

AK

Chứng minh : CFD AHC g g(  ) 0,25

AB AH CF AC

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2

Câu 5

Mà 0<P Vậy P không là số tự nhiên

1,0

0,25

0,25 0,25

0,25