Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC.. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Trang 1PHÒNG GD& ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN
NĂM HỌC 2009 – 2010
Môn thi: TOÁN LỚP 8
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1).
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
A
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho x y z 1
x yz Chứng minh rằng : x22 y22 z22 1
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
HẾT
Đề chính thức
Trang 2NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: TOÁN LỚP 8
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Bản hướng dẫn chấm gồm 03 trang
Bài 1
a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
ĐKXĐ :
2
2
2 3
3
3 0
x
x
1,0
A
2
4 8 (2 )
(2 )(2 ) 3
2
4 ( 2) (2 ) 4 (2 )(2 )( 3) 3
Vậy với x0,x2,x3 thì 4x2
3
A x
3
x
x
3 0
x
Vậy với x > 3 thì A > 0 0,25
7 4
7 4
7 4
x x
x
0,5
Đề chính thức
Trang 311( )
Với x = 11 thì A = 121
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5
Do : (x1)2 0;(y 3)2 0;(z1)2 0 0,5
Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Từ : a b c 0 ayz+bxz+cxy 0
Ta có : x y z 1 (x y z)2 1
dfcm
E
K
H
C
A
D
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : BEODFO g c g( ) 0,5
Trang 4Ta có: ABCADC HBC KDC 0,5
CH CD CK CB
Chứng minh : AFDAKC g g( ) 0,25
AF
A
AK
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC
Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
Nếu học sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2010-2011.
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút.
(Đề thi gồm 04 câu, 01 trang)
Câu1
a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
4
x 4
x 2 x 3 x 4 x 5 24
b Giải phương trình: 4 2
x 30x 31x 30 0
c Cho a b c 1
b c c a a b Chứng minh rằng:
0
b c c a a b
Câu2 Cho biểu thức:
2 2
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị của A , Biết x =
1
2
c Tìm giá trị của x để A < 0
d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ MEAB, MF
AD
a Chứng minh: DE CF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Trang 5Câu 4
a Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9
a b c
b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
TÝnh: a2011 + b2011
Trang 6
-Hết -M F
E
B A
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi gồm 02 trang)
Câu 1
(6 điểm)
a x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2
= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x)
( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) (2 điểm)
b 4 2
x 30x 31x 30 0 <=>
x x 1 x 5 x 6 0 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - 1
2 )2 + 3
4 > 0 x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) = 0
c Nhân cả 2 vế của: a b c 1
b c c a a b với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm)
Câu 2
(6 điểm)
Biểu thức:
2 2
a Rút gọn được kq: A 1
x 2
b x 1
2
2
hoặc x 1
2
4 A 3
hoặc A 4
5
(1.5 điểm)
d A Z 1 Z x 1;3
x 2
Câu 3
(1 điểm)
Trang 7Câu Đáp án Điểm
(6 điểm)
HV + GT + KL
a Chứng minh: AE FM DF
AED DFC đpcm (2 điểm)
b DE, BF, CM là ba đường cao của EFC đpcm (2 điểm)
c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a
không đổi
AEMF
lớn nhất ME MF (AEMF là hình vuông)
M
là trung điểm của BD (1 điểm)
Câu 4:
(2 điểm)
a Từ: a + b + c = 1
1
1
1
3
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 1
3
(1 điểm)
b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoÆc b = 1 Víi a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoÆc b = 0 (lo¹i) Víi b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoÆc a = 0 (lo¹i) VËy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)
§Ò thi chän häc sinh giái
M«n : To¸n líp 8
Thêi gian lµm bµi : 120 phót C©u 1 : (2 ®iÓm) Cho P=
8 14 7
4 4
2 3
2 3
a a
a
a a a
a) Rót gän P
Trang 8b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập
ph-ơng của chúng chia hết cho 3
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phơng trình :
18
1 42 13
1 30
11
1 20
9
1
2 2
x
b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A = 3
c b c a
b a
c b a
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và E Chứng minh :
a) BD.CE=
4
2
BC
b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi
đáp án đề thi học sinh giỏi môn thi : toán lớp 8
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5
a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 )
=( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nêu ĐKXĐ : a 1 ;a 2 ;a 4 0,25
Rút gọn P=
2
1
a
a
0,25
b) (0,5đ) P=
2
3 1 2
3 2
a a
a
; ta thấy P nguyên khi a-2 là ớc của 3,
mà Ư(3)= 1 ; 1 ; 3 ; 3 0,25
Từ đó tìm đợc a 1 ; 3 ; 5 0,25
Câu 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25
Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2 2ab b2) 3ab
=(a+b)(a b)2 3ab
Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
Trang 9Do vậy (a+b)(a b)2 3ab
b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5
Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25
Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0
Từ đó ta tìm đợc x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36 0,25
Câu 3 : (2đ)
a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ;
x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ;
x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x 4 ;x 5 ;x 6 ;x 7 0,25
Phơng trình trở thành :
18
1 ) 7 )(
6 (
1 )
6 )(
5 (
1 )
5 )(
4 (
1
x
18
1 7
1 6
1 6
1 5
1 5
1 4
1
x
18
1 7
1 4
1
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Từ đó tìm đợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ đó suy ra a=
2
; 2
; 2
y x c z x b z
) ( ) ( ) ( 2
1 2 2
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
0,25
Từ đó suy ra A ( 2 2 2 )
2
1
Câu 4 : (3 đ)
a) (1đ)
Trong tam giác BDM ta có : 0 1
1 120 ˆ
D
Vì Mˆ 2=600 nên ta có : 0 1
3 120 ˆ
Suy ra D ˆ1 Mˆ3
Chứng minh BMD ∾CEM (1) 0,5 Suy ra
CE
CM BM
BD
, từ đó BD.CE=BM.CM
Vì BM=CM=
2
BC
, nên ta có BD.CE=
4
2
b) (1đ) Từ (1) suy ra
EM
MD CM
BD
mà BM=CM nên ta có
EM
MD BM
BD
Chứng minh BMD ∾ MED 0,5
3 2 1
2 1
x
y
E D
B
A
Trang 10Từ đó suy ra D ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tơng tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác bằng 2AH; Kết luận 0,5
Câu 5 : (1đ)
Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z
(x, y, z là các số nguyên dơng )
Ta có xy = 2(x+y+z) (1) và x2 + y2 = z2 (2) 0,25
Từ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z)
z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y)
z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc :
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25
