So Phuc LTDH Cap Toc

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa mỗi điều kiện sau:.. Các bài trong các đề thi đại học và bài tập làm thêm: 1..[r]

A:LÝ THUYẾT:

I SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :

1 Định nghĩa: Số phức là một biểu thức có dạng a  bi, trong đó 2

a b   i  

 Số phức z   a bicó alà phần thực, b là phần ảo

 Số phức z   a biđược biểu diễn bởi điểm M a b   ; hay bởi u     a b ; trong mặt phẳng tọa

độ Oxy

 z = a + 0i là số thực

 z = 0 + bi là số thuần ảo

 z = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo

b d





     



 Modun của số phức z   a bichính là độ dài của OM



Vậy :

2 2

z  OM   a  b

 Số phức liên hợp của số phức z   a bi là số phức z   a bi

Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành Do đó z là số thực khi và chỉ khi z  z, z là số ảo khi và chỉ khi z   z

2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :

a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :

 a  bi     c di    a    c   b d i 

 a  bi     c di    a    c   b d i 

 a  bi c   di    ac bd     ad  bc i 

Chú ý :

Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại số quen thuộc với chú ý rằng 2

1

i   Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức

i  i i   i   i i  Tổng quát : 4 4 1 4 2 4 3

i  i   i i    i    i

1  i  2 i;  2

1  i   2 i

b Phép chia hai số phức :

a bi

Như vậy :

.

Chú ý :

1 1

i i i







c Các tính chất của số phức liên hợp và modun :

 z  z; z    z  z z ; zz   z z ; z z

 

  

 

 

 z  0 với mọi z  , z    0 z 0

 z  z ; zz   z z ; z z





 ; z    z  z z 

 Tính kết hợp: ( z + z/

) + z// = z + ( z/ + z// )

 Tính giao hoán : z + z/ = z/ + z

 Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z

 z = a + bi = > - z = - a – bi là số đối của z

1 Căn bậc 2 của số phức:

1 Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức w nếu :

2

z  w Như vậy để tìm Số phức z   x yi  x y ,    là căn bậc hai của số phức w   a bi ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :

2

xy b













Chú ý :

 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

 Số thực a  0 có đúng hai căn bậc hai là :  a

 Số thực a  0 có hai căn bậc hai là  i a    i a Đặc biệt , số  1 có hai căn bậc hai

là  i

2 Phương trình bậc hai :

Cho phương trình bậc hai 2

0

az  bz   c (a b c , ,   , a  0)

2 a

 Nếu  0, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt :

1,2

2

b z

a

  

 ,

 Nếu  0, phương trình có hai nghiệm ảo phân biệt :

1,2

2

b z

a

  

 ,

a Định lý Viet :

Nếu phương trình bậc hai 2

0

az  bz   c (a b c , ,   , a  0) có hai nghiệm z z1, 2 thì :

1 2

b

a

   và 1 2 c

z z

a



b Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1 z2  S và z z1 2  P thì z z1, 2 là nghiệm của phương trình :

2

0

z  Sz   P

1 Dạng lượng giác của số phức :

Số phức z    a bi 0 có dạng lượng giác là : z  r  cos   i sin  ; trong đó : r   z 0,

r

  , sin b

r

  ,    Ox OM ,  là một acgumen của z

Các tính chất của acgumen :

Nếu  là một acgumen của z thì   là một acgumen của z

Nếu  là một acgumen của z thì    là một acgumen của  z

2 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z  r  cos   i sin   và z   r   cos    i sin    thì :

zz   rr         i      ,

i

z  r             

3 Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z  r  cos   i sin   thì zn  rn cos n   i sin n   n  1 và n  

4 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :

Nếu z  r  cos   i sin   thì các căn bậc hai của z là :

2 2

 , với k  0 hay k  1

B Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau:

A   i   i i

    ;

        

B

C

  ;

      

E

1

i





H           i i i i

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a (7+2i)x-4+5i = -2+8i ;b (3+2i)x-6ix=(1-2i)[x-(1+5i)]

z



  ; d   1

2

i

        

e z  2 z   2 4 i ; f    3

1

i

i





g z2+ z =0 ; h z2

+z=0 ; i z2+ z2=0

k (1-ix)2 + (3+2i)x-5=0 ; l x4-x2 -6=0

m 2x4+3x2+1=0 ; n 4x4+4x2+1=0

Bài 3: Biết x x1, 2là hai nghiệm của PT: 2 x2 3 x   3 0 Hãy tính:

a A=x12 x22 ; b B=x13 x23 ; c C=x14  x24 ; d D= 1 2

2 1

x  x ; e E= 2 2

1 2

x  x

Bài 4: Tìm các số a, b để có được phân tích sau:

a 2z3-9z2+14z-5=(2z-1)(z2+az+b)=0 rồi giải PT trên tập C: 2z3

-9z2+14z-5=0

b x4-4x2-16x-16=(x2-2x-4)(x2+ax+b) rồi giải PT trên tập C: x4-4x2-16x-16=0

Bài 5: Lập PT bậc hai có nghiệm là:

a 1  i 2 và 1  i 2 ; b 3 2i  và 3 2i  ; c  3  i 2 và 3  i 2

Bài 6: Tìm số phức z thõa :

1.(z+i)2=1 ; 2.(z+1)(z-1)=2+4i ; 3 1 2

1

z

i z



  ; 4 z -2z=1+2i đs:z=-I ;

:

2 2

3 2

    



z  z z kq z z   i z   i

10

z

z lasothuc

 





9 ;

2 3

z z

 

6

    

4 1

z i

z i



  

  (đs:z=0;z=1;z=-1) ; 12

1 1 3 1

z

z i

z i

z i









;

1







(đs: z=1+i); 14 z  3và z2

là số thuần ảo

20

z z

   







; 15  2 2

2 z   z z ;16 z    2 i 1 5 2 và z2 là số thuần ảo

Bài 7:Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thõa mỗi điều kiện sau:

a z  1 và phần ảo của z thuộc đoạn 1 1

;

2 2

  

  ;b z    z 3 4 ; c z     z 1 i 2

d (2-z)(i-z) là số thực tùy ý ; e (2-z)(i+z) là số ảo tùy ý; f 2 z i     z z 2 i ; g 2 2

( ) 4

z  z 

h z   4 1 ; i z      2 i 1 z 3 i ; k z   z 2 ; l z    z 2 1 ; m z     z 2 3 i 13

n 2 z     3 i z z 2 i ; p z   2 3 i  14 ; q z      1 2 i z 3 2 i  6; r z+2i là số thực

s z-2+i là số thuần ảo; t z.z=9 ; v

3 1

z i

 

 ; u z    1 i 2; x z     1 z 1 4

II Các bài trong các đề thi đại học và bài tập làm thêm:

1 ĐH 2009A(CB) Gọi z z1, 2 là hai nghiệm của PT z2+2z+10 = 0 Tính giá trị của biểu thức A= 2 2

1 2

z  z KQ:A=20

2 ĐH 2009B(CB) Tìm số phức z thõa mãn z  2 i 10 và Z Z =25 KQ: z=3+4i ; z=5

3 ĐH 2009D Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện

3 4 2

z  i  KQ: Đường tròn tâm I(3;-4), bán kính R=2

4 CĐ 2009A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn: (1+i)2(2-i)z=8+i(1+2i)z Xác định phần thực và phần ảo

của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5

5 CĐ 2009A,B,D (NC) Giải PT: 4z 3 7i z 2i

z i

   

 trên tập số phức KQ: z1  1 2 ;i z2  3 i

6 ĐH 2010A(CB) Tìm phần ảo của số phức z, biết:   2 

Z  i  i KQ:  2

7 ĐH 2010A(NC) Cho số phức z thõa mãn:  3

1

i Z

i





 .Tìm môđun của Z iZ KQ: 8 2

8 ĐH 2010B Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thõa mãn diều kiện

1 

z i  i z KQ: Đường tròn tâm I(0;1), bán kính R= 2

9 ĐH 2010D Tìm số phức z thõa mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo

KQ: z1  1 i z; 2  1 i z; 3   1 i z; 4   1 i

10 CĐ 2010A,B,D (CB) Cho số phức z thõa mãn:      2

2 3 i Z 4 i Z   1 3i Xác định phần thực và phần ảo của z KQ: phần thực: -2; phần ảo: 5

11 CĐ 2010A,B,D (NC) Giải PT: z2-(1+i)z+6+3i=0 trên tập số phức KQ: x1 1 2 ;i x2 3i

12 TN 2011(CB) Giải PT: (1-i)z+2-i=4-5i trên tập số phức KQ:z=3-i

13 TN 2011(NC) Giải PT: (z-i)2+4=0 trên tập số phức KQ: z1 3 ;i z2  i

14 ĐH 2011D(CB) Tìm số phức z, biết: z 2 3i z  1 9i KQ: z=2-i

i

z



       

16 ĐH 2011B(NC) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

3

1

i z

i

  

  



 

(kq: phần thực bằng 2 và phần ảo bằng 2)

17 ĐH 2011A(CB) Tìm số phức z, biết: 2 2 ; : 1 0; 2 1 1 ; 3 1 1

z  z z kq z  z    i z    i

18 ĐH 2011A(NC) Tính môđun của số phức z, biết:        2

3

         

19 Cho số phức z thỏa 5( ) 2

1

z i

i z



 

 Tính môđun của số phức w = 1 + z + z

2

( A 2012-NC)

20 Cho số phức z 1  3i Viết dạng lượng giác của z Tìm phần thực và phần ảo của số phức

5

w (1 i)z ( A 2013 –NC)

21. Gọi z 1 và z 2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

z  iz  Viết dạng lượng giác của z 1 và z 2 (

B 2012 –NC)

22 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + 2(1 2 ) 7 8

1

i

i i



 

 Tìm môđun của số phức w = z + 1 + i

( D 2012)

23 Giải phương trình z2 + 3(1 + i)z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức ( D 2012 – NC)

24 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 i)(z i) 2z   2i.Tính môđun của số phức w z 2z 12

z

 

2013)

Làm thêm

25 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z24z110 Tính giá trị của biểu thức

2

1 2

A

z z





ĐS: A=11/4

26 Tìm số phức z thoả mãn: z  2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

ĐS: z  2 2 1 2 ,i z 2 2 1 2i

27 Tìm số phức z thỏa mãn:

 

3

z i

z i

 







 

 



HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1

ĐS: z=1+i

28 Giải phương trình:

4

1

z i

z i



  

  

 

ĐS: z{0;1;1}

29 Giải phương trình: z2 z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z

ĐS: z{0;i;i}

30 Giải phương trình: z2 z 0

HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z

ĐS: z=0, z=1, 1 3

31 Giải phương trình:

2

4 3 1 0

2

z

HD: Chia hai vế phương trình cho z2

ĐS: z=1±i, 1 1

z    i

32 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0

HD: Đặt thừa số chung

z  z  i z   i

33 Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương

trình:

a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c Có ba nghiệm phức

34 Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a z3iz22iz2 = 0 b z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0

35 Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2z   i z z 2i

4

x

y

36 Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

a

 

10

9 (1 i)

3 i



   

ĐS: a Phần thực  1 , phần ảo bằng 0, b Phần thực 0, phần ảo bằng 128