Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Trang | 8 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giá[r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM BIỂU DIỄN

SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

1 Kiến thức cần nhớ

Điểm M a b biểu diễn số phức z = a + bi  ;

2 Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tìm điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Cách 1: Tính số phức z dựa vào các phép đổi thông thường

Cách 2:

- Bước 1: Gọi số phức z x yi x y , R có điểm biểu diễn là M x y  ;

- Bước 2: Thay z = x + yi và điều kiện đề bài tìm x y, M

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn w + 2z = i biết w = 2 - i Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức z

Giải:

Gọi z a bi a b , R biểu diễn số phức z, ta có:

Vậy M1;1

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi số phức z x yi x y , R có điểm biểu diễn là M x y  ;

- Bước 2: Thay z = x + yi vào điều kiện đã cho dẫn đến phương trình liên hệ giữa x,y

- Bước 3: Kết luận:

+) Phương trình đường thẳng: Ax + By + C = 0

+) Phương trình đường tròn: 2 2

+) Phương trình parabol: 2

yax bx c hoặc xay2by c

+) Phương trình elip:

a b 

Ví dụ: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn:|z (3 4 ) | 2i 

A Đường tròn tâm I3, 4  và bán kính R = 2

B Đường tròn tâm I3, 4 và bán kính R = 2

C Đường tròn tâm I3, 4  và bán kính R = 1

D Đường tròn tâm I3, 4 và bán kính R = 1

Giải:

Giả sử ta có số phức z = a + bi

Thay vào |z (3 4 ) | 2i  có:

|a bi  (3 4 ) | 2i  | (a  3) (b 4) | 2i 

         

Chọn đáp án A

3 Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0 Xem số phức

2 2

2

z

   

  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực

A Trục tung (hay trục hoành ) , không kể điểm O

B Trục tung hay trục hoành

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Trường hợp Z là một số thực Phần ảo bằng 0

2

2

2 2

0, 0

0, 0

xy





Tập hợp điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z là

- Trục tung , không kể điểm O

- Trục hoành, không kể điểm O

Chọn A

Bài 2: Trong mặt phẳng phức, cho M là điểm biểu diễn số phức z x yi M, 0 Xem số phức

2 2

2

z

   

  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần ảo

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm I 0;1 bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Trường hợp Z là một số thuần ảo  Phần thực bằng 0

 2 22 2 2

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R1

Chọn A

Bài 3: Cho 1 ,

1

iz

iz



 , z x yi với x y,  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thực

A Trục tung ngoại trừ điểm A 0;1 B Trục hoành ngoại trừ điểm A 0;1

Lời giải

1 1

; ,

zi

 



  

2

2

Z

Z là một số thực  x 0,y0

Ta có z yi y, 1

 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là trục tung ngoại trừ điểm A 1;0

Chọn A

Bài 4: Cho 1 ,

1

iz

iz



 , z x yi với x y,  Tìm tập hợp điểm M sao cho Z là một số thuần

ảo

A Đường tròn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm A 0;1

B Đường tròn tâm O, bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Số phức Z là một số thuần ảo khi và chỉ khi:

2 2

0, 0

 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O, bán kính R1 ngoại trừ điểm

 0;1

Chọn A

Bài 5: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có mô đun bằng 1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z a bi với a b, 

Ta có: z  1 OM 1

Tập hợp điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R1

Chọn A

Bài 6: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần

thực bằng 1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có: a1

Tập hợp điểm M là đường thẳng D x: 1

Chọn D

Bài 7: Trong mặt phẳng phức, tập hợp điểm M biểu diễn các số phức z sao cho: Số phức z có phần ảo bằng -1

A Đường tròn tâm O, bán kính R1

B Đường tròn tâm O 2; 2 , bán kính R1

C Đường thẳng y 1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Ta có: b 1

Tập hợp điểm M là đường thẳng :y 1

Chọn C

Bài 8: Tìm trong mặt phẳng tập hợp   các điểm M biểu diễn số phức z sao cho Z z 4

z

  là một số thực

A Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính ' R2

B Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc và đường tròn tâm O , bán kính ' R1

C Đường tròn tâm O , bán kính R1

D Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc '

Lời giải

Đặt z x yi z, 0 với x y, 

2 2 4



Z

 

2 2

0 0



Do đó   gồm :

- Trục hoành x Ox ngoại trừ điểm gốc '

- Đường tròn tâm O, bán kính R2

Chọn A

Bài 9: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: z 2 z i

C

1

4 3

  D.3x24y2360

Lời giải

Cách 1 Đặt z x yi z, 0 với x y, R

Cách 2 Ta có: z 2 z i  OM 2OMOB  OM 2BM

Với B 1; 0 là điểm biểu diễn số i

Do đó ta có: OM 2BM MO 2

MB

  

Ta suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn Apollonius đường kính IJ , với I J, thuộc trục tung và:

2



 

2 0;

3

  

  và J 0; 2

Phương trình đường tròn : 2 2 2  2 2 8 4

 

Chọn A

Bài 10: Trong mặt phẳng phức, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z sao cho: 1  z z i

A Đường thẳng y x

B Đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R1

C Đường thẳng y1

D Đường thẳng x1

Lời giải

Cách 1 Đặt z x yi z, 0 với x y, R

1    z z i 1 x y x  y1  y x

Cách 2 Gọi A là ảnh của 1 và B là ảnh của i A:    1;0 ,B 0;1

Ta có: 1 z   z i MA  MB MAMB

Do đó tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB y x

Chọn A

Bài 11: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao

cho: za z  a aa

A Đường tròn tâm A , bán kính R AO

B Đường tròn tâm A , bán kính R2

C Một hyperbol vuông góc

D Đường thẳng x1

Lời giải

Gọi A là điểm biểu diễn số phức a trong mặt phẳng phức

Ta có:   2 2

1  MA  OA  AM OA AM AO

Do đó, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A , bán kính RAO

Chọn A

Bài 12: Trong mặt phẳng phức, cho số phức a bất kì, tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z sao

cho: 2 2 2 2

A Đường tròn tâm A , bán kính R AO

B Đường tròn tâm A , bán kính R2

C Một hyperbol vuông góc

D Đường thẳng x1

Lời giải

2

Đặt: z x yi

a  i

 



  

Ta có:  2 2x 2yi 2  2 i xy

Do đó, tập hợp các điểm M là một hyperbol vuông góc

Chọn C

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

II Khoá Học Nâng Cao và HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí