Đại số 11 dãy số cấp số tiết 1

Để chứng minh một mệnh đề đúng với mọi là số tự nhiên cho trước thì ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Kiểm tra đúng với.. Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có: L

TIẾT 1 - BÀI 1:

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

PHẦN 1 – LÝ THUYẾT

Xét mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên Để chứng minh

một mệnh đề đúng với mọi ( là số tự nhiên cho trước) thì

ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra đúng với

Bước 2: Giả sử đúng khi,

Bước 3: Ta cần chứng minh đúng khi

Bước 4: Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng: đúng với mọi

PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

Dạng 1: Chứng minh đẳng thức.

Phương pháp giải:

- Làm theo 4 bước như phần lý thuyết

- Chú ý ta sẽ sử dụng bước 2 đề chứng minh bước 3

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên, ta luôn có:

Thật vậy:

(Do đẳng thức (1))

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi

Bài 2: Chứng minh với mọi số tự nhiên, ta luôn có:

(2)Thật vậy:

(Do đẳng thức (1))

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi

Ta cần chứng minh đúng, tức là:

Bài 3: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Lời giải:

Với ta có

đẳng thức đã cho đúng với

Giả sử đẳng thức đã cho đúng với tức là:

Ta cần chứng minh đẳng thức đã cho đúng với

n k

Bài 4: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Thật vậy:

(đpcm)

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số nguyên dương n.Tức là chứng minh :

Bài 5: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với Tức là cm :

Thật vậy:

(đpcm) Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số nguyên dương n

Bài 6: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta có: (1)

Lời giải:

Với n = 2: VT (1) = 4, VP (1) Suy ra (1) đúng với n = 2

Giả sử (1) đúng với ,Tức là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với

Tức là cm :

Thật vậy:

Vậy đẳng thức đã cho đúng với mọi số nguyên dương

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức.

Để chứng minh một phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi (m là số tmệnh đề ự nhiên cho trước), ta thực hiện theo 2 bước sau:

B1: Chứng minh rằng khi luôn đúng

B2: Với k là một số tự nhiên tùy ý,

Giả sử đúng với , ta được đúng

Ta sẽ chứng minh mệnh đề đúng khi

Bài 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương , ta luôn có:

Ta phải chứng minh (*) đúng với ,

có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy:

Nhân hai vế của (1) với ta được:

Do đó (*) đúng với

Vậy (*) đúng với

(đúng)

Bài 8: Cm rằng với mọi số nguyên dương ta có:

Vì

Vậy bất đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên Thật vậy:

Dạng 3: Chứng minh sự chia hết.

1.Dấu hiệu chia hết cho 2: các chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.

Chú ý: Số chia hết cho 2 được gọi là số chẵn.

Số không chia hết cho 2 (tận cùng là 1,3,5,7,9) gọi là số lẻ.

2.Dấu hiệu chia hết cho 5: các chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 3.Dấu hiệu chia hết cho 3: tổng các chữ số 3.

4.Dấu hiệu chia hết cho 9: tổng các chữ số 9.

5.Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận cùng tạo thành 1

số 4

6.Dấu hiệu chia hết cho 6: các số vừa 2 vừa 3.

7 Dấu hiệu chia hết cho 8: 3chữ số tận cùng tạo thành 1số 8 8.Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận cùng bằng 0

9.Dấu hiệu chia hết cho 11: lấy tổng tất cả các chữ số ở vị

trí lẻ trừ đi tổng các chữ số ở vị trí chẵn, nếu kết quả 11

thì số đó 11

10.Dấu hiệu chia hết cho 25: 2 chữ số tận cùng 25.

11.Dấu hiệu chia hết cho 125: ba chữ số tận cùng 125.

12.Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn 2.

13.Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn 2,3,6.

14.Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp: 2,3,4,6 và 8.

d) Hệ quả 1: Nếu a thì với ta có:

e) Hệ quả 2: Nếu chỉ một thừa số thì tích của chúng

Bài 9: Chứng minh rằng với mọi thì 3.(1)

Thật vậy:

3(k k 1) 3

Bài 10: Chứng minh rằng với mọi thì:

Thật vậy:

Mà , (do và là 2 số tự nhiên liên tiếp nên ) và nên

mệnh đề đúng khi Vậy mệnh đề đúng với mọi

Bài 11: Chứng minh rằng với mọi thì:

Bài 12: Chứng minh rằng với mọi thì:

DẠNG 4: QUY NẠP TRONG HÌNH HỌC

Bài 14: Chứng minh rằng tổng các góc trong của một

đa giác lồi cạnh là:

Thật vậy: ta tách đa giác cạnh thành đa giác cạnh và tam

giác bằng cách nối đoạn

Khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi cạnh

= tổng các góc trong của đa giác lồi cạnh

cộng với tổng ba góc trong của tam giác

Tức là:

mệnh đề đúng khi Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề

đúng với mọi,

Bài 15:Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi

Thật vậy: ta tách đa giác cạnh thành đa giác cạnh và tam

giác bằng cách nối đoạn Khi đó trừ đi đỉnh đỉnh và 2 đỉnh kề với nó là thì ta còn lại đỉnh, tương ứng với đường chéo kẻ từ đỉnh cộng với đường chéo thì ta có số đường chéo của đa giác cạnh là:

mệnh đề đúng khi

Vậy mệnh đề đúng với mọi ,

Câu 1 Cho hình lập phương

Hãy tính góc giữa cặp vectơ và?

A B C D .

F

G E

A

B H

LG: Ta có:

Dạng 1: Tính góc giữa hai véc tơ

Câu 2: Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh Khi

PHẦN 2 – CÁC DẠNG BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 1: Cho hình chóp

có , đáy là hình thang vuông cạnh

Gọi và lần lượt là trung điểm của

Câu 2: Cho h/chóp

là hvuông tâm cạnh

 và d,

A B C D

LG: rung điểm của các cạnh

Hình chiếu vuông góc của trên

LG:  vuông tại nên

TIẾT 1

 CĐ: PT MŨ VÀ PT LOGARIT

Câu 1 Tổng các nghiệm của phương trình

A 100 B 101 C 102 D 103

LG: Điều kiện:

Tổng các nghiệm của phương trình là 101

Dạng 4: Tính chất nghiệm của PT logarit