đề cương 12 cực trị 1

Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho... Yêu cầu bài toán y yCĐ.



A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Khái niệm cực đại, cực tiểu

Cho hàm số y f x( ) xác định, liên tục trên ( ; ),a b (có thể a là , b là ) và x ( ; ) :a b

⎯ Nếu tồn tại số h 0 sao cho ( )f x f x với mọi ( ) x (x h x; h và x) x thì ta

nói hàm số f x( ) đạt cực đại tại điểm x

⎯ Nếu tồn tại số h 0 sao cho ( )f x f x với mọi ( ) x (x h x; h và x) x thì ta

nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x

Giả sử y f x liên tục trên khoảng ( ) K (x h x; h và có đạo hàm trên ) K hoặc

trên K \ { },x với h 0. Khi đó:

⎯ Nếu f x( ) 0 trên khoảng (x h x và ; ) f x( ) 0 trên khoảng ( ; x x h thì x là )một điểm cực đại của hàm số f x( )

⎯ Nếu f x( ) 0 trên khoảng (x h x và ; ) f x( ) 0 trên khoảng ( ; x x h thì x là )một điểm cực tiểu của hàm số f x( )

Điểm cực tiểu Điểm

cực tiểu

Tiếp tuyến

⎯ Nếu f x( ) đởi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( )

y f x đạt cực tiểu tại điểm x

⎯ Nếu f x( ) đởi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x (theo chiều tăng) thì hàm số

( )

y f x đạt cực đại tại điểm x

2 Định lí 3

Giả sử y f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x h x; h với ), h 0. Khi đó:

⎯ Nếu ( )y x 0, ( )y x 0 thì x là điểm cực tiểu

⎯ Nếu ( )y x o 0, ( )y x o 0 thì x là điểm cực đại

Chú ý Mợt hàm số chỉ cĩ thể đạt cực trị tại mợt điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số

bằng 0, hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm, chẳng hạn hàm số y x

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm điểm cực đại, cực tiểu, giá trị cực đại, giá trị cực tiểu



 Bài tốn: Tìm các điểm cực đại, cực tiểu (nếu có) của hàm số y f x( )

 Phương pháp:

Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số

Bước 2 Tính đạo hàm y f x( ) Tìm các điểm , (x i i 1,2, 3, , )n mà tại đó đạo hàm

bằng 0 hoặc khơng xác định

Bước 3 Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

Bước 4 Từ bảng biến thiên, suy ra các điểm cực trị (dựa vào nợi dung định lý 2)

1 Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (nếu cĩ)

của hàm số y x3 3x 1

Lời giải Tập xác định D

Giới hạn: lim

y

3

1

Kết luận: Giá trị cực đại yCĐ 3 và giá trị

cực tiểu yCT 1

2 Tìm giá trị cực đại, giá trị cực tiểu (nếu

cĩ) của hàm số y x3 3x 3

3 Gọi , A B lần lượt là hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y x4 2x2 3 và C là điểm cực đại Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Lời giải Tập xác định D Có 3 0 3 4 4 0 1 2 x y y x x x y x 1 0 1 y 0 0 0 y 3 2 2 Hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là ( 1;2), A (1;2)B và điểm cực đại là (0; 3).C 2 2 AB (x B x A) (y B y A) 2 Tính diện tích OAB với (0; 0) : O ( 1;2) 1 1.2 1.2 2 2 (1;2) OAB OA S OB Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC : 0 7 3 0; 7 3 3 3 A B C G A B C G x x x x G y y y y Cần nhớ: AB (x B x y A; B y A) AB (x B x A)2 (y B y A) 2 I là trung điểm 2 . 2 A B I A B I x x x AB y y y G là trọng tâm 3 3 A B C G A B C G x x x x ABC y y y y Diện tích tam giác ABC : 4 Gọi , A B lần lượt là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số y x4 8x2 2 và C là điểm cực tiểu Tính độ dài AB và diện tích tam giác OAB với O là gốc tọa độ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC

5 Gọi A B lần lượt là điểm cực đại và , điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2 4 y x x Tìm tọa độ trọng tâm G và diện tích của OAB Tính AB

Tính ( ; ) 1

2

( ; ) ABC

AB a b

AC c d

6 Biết M(0;2) và N(2; 2) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y ax3 bx2 cx d Tính giá trị của hàm số tại x 2 Lời giải Ta có: y 3ax2 2bx c (0;2) M là cực trị (0) 0 0 (0) 2 2 y c y d (1) (2; 2) N là cực trị (2) 0 (2) 2 y y 12 4 0 8 4 2 2 a b c a b c d (2)

Từ (1), (2) a 1;b 3;c 0;d 2 Do đó: y x3 3x2 2 y( 2) 18 Cần nhớ: ( ; ) M x y là cực trị của đồ thị hàm số ( ) y f x ( ) 0 ( ) y x y x y 7 Đồ thị hàm số y 2x3 bx2 cx 1 có (1; 6) M là một điểm cực trị Tìm tọa độ điểm cực trị còn lại của đồ thị hàm số đó

8 Biết đồ thị hàm số y x3 ax2 bx c đi qua điểm M(1; 0) và có điểm cực trị ( 2;0) N Tính P a2 b2 c2

9 Biết 7 1; , (2;3) 2 A B là các điểm cực trị của đồ thị y ax3 bx2 cx d Tìm (3). y

Dạng toán 2 Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại điểm x = xo cho trước   Bài tốn Tìm tham số để hàm số y f x đạt cực trị tại điểm ( ) x x ?  Phương pháp: Bước 1 Tìm tập xác định D Tính đạo hàm y Bước 2 Dựa vào nợi dung định lí 1: Nếu hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng ( ) ( ; )a b và đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x thì ( ) f x 0 Bước 3 Với m vừa tìm, thế vào hàm số và thử lại (dựa vào định lí 2 và 3)  Lưu ý: ⎯ Đối với hàm số bậc ba nên thử lại bằng nợi dung định lý 3 (phù hợp trắc nghiệm) Giả sử y f x( ) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( ; ).a b Nếu ( )y x 0, ( )y x 0 thì x là điểm cực tiểu Nếu ( )y x o 0, ( )y x o 0 thì x là điểm cực đại ⎯ Đối với các hàm khác chẳng hạn như bậc bốn trùng phương (thiếu ),b hoặc hàm phân thức,… nên thử lại bằng định lí 2 (tính y và xét dấu, lập bảng biến thiên) 1 Cho hàm 1 3 2 2 ( 4) 3 3 y x mx m x Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x 3 Lời giải Tập xác định D Ta cĩ: 2 2 2 4 2 2 y x mx m y x m Vì x 3 là cực đại (3) 0 (3) 0 y y 2 1 6 5 0 5 5 6 2 0 3 m m m m m m m Cần nhớ: Hàm y ax3 bx2 cx d x x là cực đại ( ) 0 ( ) 0 y x y x 2 Cho 1 3 2 2 ( 1) ( 2 ) 3 y x m x m m x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x 2

x x là cực tiểu ( ) 0.

( ) 0

y x

y x

3 Cho hàm số y x3 3x2 9x 1 Viết

phương trình đường thẳng nối hai điểm

cực trị của đồ thị hàm số đã cho

Lời giải 1 Phương trình đường thẳng nối

hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là

đường thẳng y x với x là

phần dư bậc nhất trong phép chia y cho y

Chia đa thức:

2 2

2 3

3 3 6 1 2 3 8 2 x x x x x x x x x x x x x x Phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là y 8x 2 Cách 2 Sử dụng casio và công thức MODE 2

100 3 CALC x i m y y y i y x y 4 Tìm m để đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 3 3 2 2 y x x mx qua M(0;1)

5 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng : (2 1) 3 d y m x m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y x3 3x2 1 Lời giải Sử dụng casio, tìm được phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị là : 2 1 d y x Vì d d a a1 2 1 (2m 1).( 2) 1 3 4 m Cần nhớ: Cho hai đường thẳng d1 và d2 có dạng d y1 : a x1 b1 và d2 :y a x2 b2 6 Tìm m để đường thẳng d y: x 2 vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 2 2 3( 1) 6 y x m x mx

Dạng toán 3 Biện luận hoành độ cực trị



Cần nhớ:

1 Cho hàm số y x3 3mx2 3mx m 2.

Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị ?

Lời giải Tập xác định D

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

2

phân biệt

2

L

6

3 0 ( ) ( m) 36m 0

1

m

m

2 Cho hàm y (1 m x) 3 3x2 3x 5 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị ?

3 Cho hàm số 1 3 2 2 4 3 y x mx x m Tìm m để hàm số không có cực trị ? Lời giải Tập xác định D Hàm số không có cực trị 2 2 4 0 y x mx vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 2 L 0 ) 1 0 ( (2 ) 16 a m Đ 2 4m 16 0 2 m 2 4 Cho 1 3 2 (3 2) 1 3 y x mx m x Tìm m để hàm số không có cực trị ?

5 Cho y (m 1)x3 (m 1)x2 x Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu Lời giải Tập xác định D Hàm số có 2 điểm cực trị, đồng thời điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu 2 3( 1) 2( 1) 1 0 y m x m x có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn a 0 2 1 0 [2( 1)] 12( 1) 0 a m m m 2 1 4( 2 1) 12 12 0 m m m m 6 Cho hàm số y mx3 3mx2 3x 1 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị và điểm cực đại nằm bên trái điểm cực tiểu

1

m

1

4

m

m

7 Cho hàm số y x 4 (m 1)x2 4 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ?

8 Cho hàm số y mx4 (m 2)x2 1 Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị ?

9 Cho hàm số y mx4 2(m 1)x2 2 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực tiểu và 1 điểm cực đại ?

10 Cho hàm số y mx4 (m2 9)x2 1 Tìm m để hàm số có 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu ?

11 Cho hàm số y mx4 (2m 1)x2 m Tìm m để hàm số chỉ có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu

12 Cho hàm số y mx4 (m 3)x2 2 m Tìm m để hàm số chỉ có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại

13 Cho hàm số y x3 4x2 (1 m x2) 1 Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm hai bên so với trục tung Oy Lời giải Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm về hai bên so với trục tung Oy 2 2 3 8 1 0 y x x m có nghiệm phân biệt trái dấu 2 0 3.(1 ) 0 a c m 1 m hoặc m 1 Cần nhớ: Hàm số y ax3 bx2 cx d có hai điểm cực trị nằm hai bên trục 0 Oy a c 14 Cho y x3 x2 (m2 3 )m x 4 Tìm m để để đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nằm hai bên so với trục tung Oy

15 Cho hàm số y x3 3x2 m2 2 m Tìm m để hàm số có giá trị cực đại bằng 3 Lời giải Tập xác định D Ta có: y 3x2 6x 0 2 2 0 2 2 2 4 x y m m x y m m x 0 2 y 0 0 y 2 2 m m 2 2 4 m m 2 2 yCĐ m m 2 3 m 2m m 1 hoặc m 3 16 Cho hàm y x3 3x2 m2 4 m Tìm m để hàm số có giá trị đại bằng 9

17 Tìm m để hàm số y x3 3x2 2m có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại trái dấu ? Lời giải Ta có: y 3x2 6x 0 18 Tìm m để hàm số y x3 3x 1 m có giá trị cực tiểu và giá trị cực đại trái dấu ?

CĐ

Vì giá trị cực tiểu và giá trị cực đại trái dấu

nên y yCĐ CT 0

2 (2m m 4) 0

2

Cần nhớ:

Giá trị cực đai, giá trị cực tiểu của hàm số

trái dấu y yCĐ CT 0

19 Tìm m để đồ thị hàm số y x3 3x2 m

có 2 cực trị nằm hai bên trục hoành Ox

Cách giải 1 Ta có: y 3x2 6x 0

CT

0

CĐ

Để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai bên

trục Ox y yCĐ CT 0

m m

Cách giải 2

Để hàm số có hai cực trị nằm hai bên trục

Ox đồ thị hàm số y x3 3x2 m cắt

hoành độ giao điểm với trục Ox :

có 3 nghiệm phân biệt đường thẳng

nằm ngang y m cắt g x( ) 3x2 x tại 3

3 điểm gCT m gCĐ

Ta có: g x( ) 3x2 6x 0

CT

m

x gCĐ

20 Cho hàm y 2x3 (1 2 )m x2 3mx m

Tìm tham số m để đồ thị hàm số đã cho

có hai điểm cực trị nằm hai bên trục Ox

Lời giải Để hàm số có hai điểm cực trị

nằm hai bên Ox đồ thị

Ox y tại 3 điểm phân biệt

PT 2x3 (1 2 )m x2 3mx m 0

có ba nghiệm phân biệt

(Sử dụng casio, giải phương trình bậc 3,

PT (2x 1)(x mx m) 0 có ba nghiệm phân biệt

1 2

hai nghiệm phân biệt khác 1

2

0

1

2

m

Nhận xét Để tìm tham số m để đồ thị hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d có hai điểm cực trị nằm hai bên so với trục hoành Ox (giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu), có các

phương pháp:

Phương pháp 1 Nếu y 0 tìm được 2 nghiệm 1

2

x x

x x thì YCBT y yCĐ CT 0 m

Phương pháp 2 Đồ thị cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt y 0 có 3 nghiệm phân biệt

(sử dụng được khi sử dụng casio tìm được nghiệm đẹp)

Phương pháp 3 Sử dụng khi y 0 hoặc y 0 không tìm được nghiệm đẹp

Tìm điều kiện để hàm số có 2 cực trị (y 0 có 2 nghiệm phân biệt)

Gọi x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình y 0

Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị 1 1

( ) ( )

y x x

y x

y x x là

giá trị cực đại và giá trị cực tiểu

Yêu cầu bài toán y yCĐ CT 0 y x y x( ) ( )1 2 0 ( x1 ).( x2 ) 0, sau đó sử

dụng định lí Viét với x x1, 2 là 2 nghiệm của y 0 m

21 Cho hàm số y x3 6x2 m 1 Tìm

m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm

hai bên trục hoành Ox

22 Cho hàm số y x3 3mx2 m Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm hai bên trục hoành Ox

23 Cho hàm số 1 3 2 1 3 y x mx x m Tìm tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn 2 2 1 2 2 x x Lời giải Ta có y x2 2mx 1 Hàm số có 2 điểm cực trị x1 và x2 thỏa 2 2 1 2 2 x x y 0 có 2 nghiệm x x1, 2 thỏa x12 x22 2 2 2 1 2 0 0 2 a x x 24 Cho hàm số 1 3 2 3 y x mx x Tìm tham số m để hàm số có 2 điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn 2 2 1 2 1 2 7 x x x x