đề cương 12 tiệm cận

Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x x được gọi là đường tiệm cận đứng hay tiệm cận đứng của đồ thị hàm số được thỏa mãn: x x f x x x f x Nhận xét: ⎯ Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị

1

A KIẾN THỨC CƠ BẢN



1 Đường tiệm cận ngang

( ;a ), ( ; )b hoặc ( ; )) Đường thẳng y là đường tiệm cận ngang (hay

tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x nếu ít nhất một trong các điều kiện sau ( ) được thỏa mãn: lim ( ) , lim ( ) , ( : const)

x f x x f x

Nhận xét:

⎯ Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta cần tính giới hạn của hàm số tại vô cực

⎯ Tìm giới hạn ở vô cực của hàm ( );

( )

P x y

Q x với ( ), ( )P x Q x là các đa thức không căn:

Bậc của ( )P x nhỏ hơn bậc của ( ) Q x lim 0

x y Tiệm cận ngang Ox y: 0

Bậc của ( )P x bằng bậc của ( ) Q x lim

x y HÖ sè bËc cao cña ( )

HÖ sè bËc cao cña ( )

Suy ra tiệm cận ngang y

Bậc của ( )P x lớn hơn bậc của ( ) Q x lim

x y Không có tiệm cận ngang

⎯ Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):

Tính lim ( )

Tính lim ( )

2 Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x x được gọi là đường tiệm cận

đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số

( )

được thỏa mãn:

x x f x

x x f x

Nhận xét:

⎯ Để tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn một bên của x , với x

thường là điều kiện biên của hàm số (hay tại x thì hàm số không xác định)

⎯ Kỹ năng sử dụng máy tính (tham khảo):

Tính lim ( )

Tính lim ( )

Tiệm cận ngang

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số



1 Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên ( )

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y f x ( )

y

2

Lời giải Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

x y y là tiệm cận ngang

1

lim

x y x 1 là tiệm cận đứng

2 Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên ( ) Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số y f x ( )

y

2

0

5

3

3 Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên ( ) Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) x 2 0 1 y 0 y 1 2 3 4 0

4 Cho hàm số y f x cĩ bảng biến thiên ( ) Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x ( ) x 1 0 1 y 0 y 1 5

2 3

5 Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 1 x y x Lời giải Điều kiện x 1 Tìm tiệm cận đứng: Tính 1 1 1 1 2 1 lim lim 1 2 1 lim lim 1 x x x x x y x x y x 1 x là tiệm cận đứng Tìm tiệm cận ngang: Tính 2 1 lim lim 2 1 x x x y x 6 Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 x y x

7 Tìm đường tiệm cận đứng và đường tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số 3

1

y x

3

2

y là tiệm cận ngang

y

cx d có:

TCĐ: cx d 0 và TCN: a

y c

Tâm đối xứng của đồ thị là I d a;

c c

8 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 3 2 2 5 3 x x y x x x Lời giải Có ( 1)(2 2) 2 ( 1)( 3) ( 1) ( 3) x x x y x x x x Điều kiện: x 1, x 3 lim 0 0 x y y : là tiêm cận ngang 1 3 lim lim x x y y 1 3 x x là TCĐ Cần nhớ: ( ) ( ) P x y Q x (đã chuẩn thức) Tiệm cận ngang: Bậc ( )P x bậc ( )Q x TCN y 0 Bậc ( )P x bậc ( )Q x TCN y với HÖ sè bËc cao cña ( ) HÖ sè bËc cao cña ( ) x P x x Q x Bậc ( )P x bậc ( ) :Q x không có TCN Tiệm cận đứng: x x với x là nghiệm của ( )Q x 0 sau khi chuẩn thức 9 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2 5 4 1 x x y x

10 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 3 2 3 2 2 5 6 5 3 x x x y x x x

11 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 4 3 x y x x

12 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 4 5 6 5 x x y x x

13 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x 2 25 5 y x x

14 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x 2 4 2 y x x

15 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2 2 1 3 5 6 x x x y x x

16 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 4 4 3 3 x x y x

17 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 4 x y x

18 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 9 1 x y x

5

19 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1 1 2 x x y x x

20 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 2 4 9 x y x

21 Cho hàm y f x xác định trên \{ 1}, ( ) có đạo hàm \{ 1} và có bảng biến thiên x y y − − 1 0 1 + 0 − − + + + + + − − 0 1 Hỏi đồ thị hàm số 1 ( ) ( ) 1 g x f x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

22 Cho hàm y f x xác định trên \{1}, ( ) có đạo hàm \{1} và có bảng biến thiên Hỏi đồ thị hàm số 1 ( ) 2 ( ) 5 g x f x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng ?

Dạng toán 2: Bài toán tiệm cận liên quan đến tham số



1 Tìm m để đồ thị hàm số y 3x 1

x m cĩ

đường tiệm cận đứng là x 5

Lời giải

Ta cĩ tiệm cận đứng là x m 0

5

Kết luận: m 5 là giá trị cần tìm

2

mx y

đường tiệm cận đứng là x 1

3 Cho hàm số ( 1) 5 2 m x m y x m Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận ngang là đường thẳng y 1 Lời giải Tiệm cận ngang là 1 1 2 a m y c 1 2 1 m m Kết luận: m 1 là giá trị cần tìm 4 Cho hàm số (2m 1)x 1 y x m Tìm m để đồ thị hàm số cĩ tiệm cận ngang là đường thẳng y 3

5 Tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 3 1 x y x m đi qua điểm (5;2).A

6 Tìm m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2x 2m 1 y x m đi qua điểm M(3;1).

7 Cho hàm số 1 2 ax y bx Tìm a b để đồ thị hàm số cĩ x 1 là tiệm cận đứng và 2y 1 là tiệm cận ngang

8 Cho hàm số 4 1 ax y bx Tìm a b để đồ thị hàm số cĩ x 1 là tiệm cận đứng và y 2 là tiệm cận ngang

9 Cho hàm số ( 3) 9 3 a x a y x b Đồ thị hàm số nhận trục hồnh và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng Tìm a b

10 Cho hàm số 1 3 1 mx y x n Đồ thị hàm số nhận trục hồnh và trục tung làm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng Tính m n

7

11 Tìm m để đồ thị hàm số 2 1 mx m y x có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 16

12 Tìm m để đồ thị hàm số 4 3 2 mx m y x có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng 2018

13 Tìm m để đồ thị hàm số 2 2 1 x y x mx có hai đường tiệm cận đứng ? Lời giải Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng phương trình g x( ) x2 mx 1 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 2 L 2 1 0 ( 2 4 0 5 (2) 2 2 1 0 2 ) m a m m g m m Đ Kết luận: 5 ( ; 2) (2; ) \ 2 m 14 Cho hàm số 2 1 2 4 x y mx mx m Tìm m để đồ thị hàm số có 2 TCĐ ?

15 Cho hàm số 2 2 2 2 x x y x x m Tìm m để đồ thị hàm số có 3 tiệm cận ?

16 Cho hàm 2 2 2( 1) x y x m x m Tìm m để đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ?

17 Cho hàm số 2 2x 3x m y x m Tìm m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

18 Cho hàm số 2 2 1 2 x m x m y x Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

19 Tìm m để đồ thị 2 2 3 2 1 mx x x y x có tiệm cận ngang là y 2 Lời giải Tính giới hạn tại vô cực: Ta có: 2 2 3 1 2 1 mx x x x y x 2 2 3 1 lim lim 1 2 x x mx x x x y x x

2 2 3 1 1 lim 1 2 2 x m m x x x 1

TCN : 2 3 2 m y m 2 2 3 1 lim lim 1 2 x x mx x x x y x x

2 2 3 1 1 lim 1 2 2 x m m x x x 1

TCN : 2 5 2 m y m 20 Tìm m để đồ thị 2 2 5 3 1 mx x x y x có tiệm cận ngang là y 3

Nhận xét và cách làm nhanh:

9

Kết luận: m 3 hoặc m 5

21 Cho hàm số 2 2 1 x y x có đồ thị ( ).C Tìm M ( )C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất Lời giải Ta có 2 1 TC TCN : 2 : 2 1 : 1 : 0 0 x d y d x y Đ Hàm số 2 2 4 2 1 1 x y x x Gọi 4 ;2 ( ) 1 M x C x với x 1. Ta có: 1 2) 4 ( ; ) 1 1 ( ; 2 d M d x d M d y x 1 2 4 ( ; ) ( ; ) 1 1 d M d d M d x x

Cauchy 4 2 1 4 1 x x 1 2 ( ; ) ( ; ) d M d d M d nhỏ nhất bằng 4 khi 4 1 1 x x 2 1 4 x 2 2 1 4 x x 2 2 3 0 x x 1 2 3 4 (3;4) 1 0 ( 1;0) x y M x y M Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán là 1(3;4) M hoặc M2( 1;0) Cần nhớ: Công thức tính khoảng cách từ điểm M x y( M; M) đến :ax by c 0 2 2 ( ; ) ax M by M c d M a b Bất đẳng thức Cauchy: , 0 : 2 a b a b ab Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b 0 22 Cho hàm số 2 2 x y x có đồ thị ( ).C Tìm ( ) M C sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất