đề cương 12 tương giao 1

C ― Số nghiệm của chính là số điểm chung của hai đồ thị.. Phương trình hoành độ giao điểm ax3 bx2 cx d px q Đưa về phương trình bậc ba, chia Hoocner hoặc tìm nghiệm trực tiếp... Nguy

A KIẾN THỨC CƠ BẢN



Cho hai đồ thị hàm số ( ) :C y f x và ( ) ( ) : C y g x ( ). Tọa độ giao điểm (nếu có) của ( )C và ( ) C là nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) ( )

( )

y f x

f x g x

― Phương trình ( ) được gọi là phương trình hoành độ điểm chung của ( )C và ( ) C

― Số nghiệm của ( ) chính là số điểm chung của hai đồ thị

― Trục hoành Ox có phương trình y 0, trục tung Oy có phương trình x 0

Điều kiện tiếp xúc: ( )C tiếp xúc với ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x C

f x g x có nghiệm

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI



 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của tham số m để để đường thẳng :d y Ax B

cắt đồ thị hàm số ( ) : Cx D

Ex F tại hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K ?

 Phương pháp giải:

Bước 1 Lập phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: Cx D Ax B

Biến đổi về dạng phương trình bậc hai g x( ) ax2 bx c 0

Bước 2 Để d cắt ( ) C tại 2 điểm phân biệt phương trình ( )g x 0 có 2 nghiệm phân

biệt và khác

2

0

g x g x

F

F g E

E

Giải hệ m D1

Bước 3 Gọi A x Ax( ; 1 1 B) d B x, ( ; 2 Ax2 B) d là hai tọa độ giao điểm của d và

( ),C trong đó x x1, 2 là 2 nghiệm của ( )g x 0

S x x

a và 1 2

c

P x x

a (1)

Bước 4 Biến đổi điều kiện K về dạng tổng và tích của x x1, 2 (2)

Thế (1) vào (2) m D2. Kết luận giá trị m D1 D2

Cần nhớ: Tọa độ trung điểm, trọng tâm, diện tích, vuông góc, song song, ……

Công thức nhanh độ dài nối hai giao điểm

2 ( ) 2

( )

1 d

g x

g x

k AB

a

1 Tìm m để đường thẳng :d y 1 x cắt

đồ thị 2

1

y

x tại 2 điểm phân biệt ?

2 Tìm m để đường thẳng :d y x m cắt

2

x y

x tại 2 điểm phân biệt ?

Lời giải Điều kiện: x 1

Phương trình hoành độ giao điểm:

2

1

1

x x

2x m (1 x)(1 x)

2

Để d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt

( ) 0

g x có 2 nghiệm phân biệt 1

2 2

L

1 0 : ( 0

a

m

Đ)

4 4( 1) 0

2 0

m

m

4 4 4 0

2

m

m

2

2

2

m

m m

3 Tìm m để đường thẳng d y: 2x m cắt đồ thị hàm số 2 2 1 x y x tại 2 điểm phân biệt , A B thỏa mãn AB 5 4 Tìm m để đường thẳng :d y x m cắt đồ thị hàm số 2 1 2 x y x tại 2 điểm phân biệt , A B thỏa mãn AB 4 2 Lời giải Điều kiện: x 1 Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 1 x x m x (2x m x)( 1) 2x 2 2 ( ) 2 2 0 g x x mx m Để đường d cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt thì ( )g x 0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 L 8( 2) 0 ( 1) 2 2 4 0 : m m g m m Đ

2 8 16 0

m

m ( )

Gọi A x( ; 21 x1 m) d B x, ( ;22 x2 m) d Trong đó x x1, 2 là 2 nghiệm của ( )g x 0 Theo Viét, có 2 ; 2 2 m m S P Mà AB (x2 x1)2 (2x2 2 )x1 2 5 2 2 1 5(x x ) 5 2 2 1 (x x ) 1 2 1 2 1 2 (x x ) 4x x 1 2 2 4 1 4 2 m m 2 8 20 0 m m 10 m hoặc m 2 So với ( ), suy ra m 10, m 2 Cách khác: Áp dụng 2 ( ) 2 ( ) 1 d g x g x k AB a 2 2 2 1 2 5 ( 8 16) 2 m m 2 2 8 20 0 10 m m m m

5 Tìm m để đường d y: m 2x cắt đồ thị 2 1 1 x y x tại 2 điểm phân biệt có hoành độ thỏa 2x x1 2 8(x1 x2) 7 6 Tìm m để đường thẳng y x m cắt đồ thị hàm số x 1 y x tại 2 điểm phân có hoành độ thỏa x1 x2 5

7 Tìm m để đường d y: 3x m cắt đồ thị hàm số 2 1 1 x y x tại 2 điểm phân biệt , A B thỏa trọng tâm OAB thuộc đường thẳng d x : 2 y 2 0. 8 Tìm m để đường thẳng :d y 3x m cắt đồ thị 2 1 ( ) : 1 x C y x tại hai điểm phân biệt A B thỏa mãn trọng tâm , OAB thuộc đồ thị ( ).C

9 Tìm m để đường thẳng d y: x m cắt đồ thị 1 x y x tại hai điểm phân biệt , A B sao cho S IAB 3, với I là giao điểm của hai đường tiệm cận 10 Tìm m để đường :d y mx 2m 2 cắt đồ thị hàm số 2 1 3 x y x tại hai điểm thuộc về hai nhánh của đồ thị

11 Tìm m để đường : 2d x y m 0 cắt đồ thị 2 1 x y x tại hai điểm phân biệt M và N sao cho MN nhỏ nhất ? 12 Biết đường thẳng :d x 2y 2m 0 cắt đồ thị 2 1 1 x y x tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB ngắn nhất Tìm ABmin



 Bài toán tổng quát: Tìm các giá trị của m để để đường thẳng :d y px q cắt đồ thị

hàm số ( ) :C y ax3 bx2 cx d tại 3 điểm phân biệt thỏa điều kiện K ?

 Phương pháp giải:

Bước 1 Phương trình hoành độ giao điểm ax3 bx2 cx d px q

Đưa về phương trình bậc ba, chia Hoocner hoặc tìm nghiệm trực tiếp

2

2

x x

x x ax b x c

g x ax b x c

Bước 2 Để d cắt ( ) C tại ba điểm phân biệt phương trình ( )g x 0 có 2 nghiệm

phân biệt khác ( ) 0

( ) 0

g x

x

g x Giải hệ này, tìm được giá trị m

Nguyên tắc nhẩm nghiệm: Cho m 100, sử dụng casio giải phương trình bậc ba, đi tìm nghiệm đẹp của phương trình và thử lại

1 Tìm m để đường d y: mx 2m 5

cắt đồ thị hàm số ( ) :C y 2x3 6x 1

tại ba điểm phân biệt ?

2 Tìm m để đường d y: mx 2m 3 cắt đồ thị hàm số ( ) :C y x3 3x 1 tại ba điểm phân biệt ?

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm:

3

3

2x (m 6)x 2m 4 0

Giải phương trình bậc ba bằng máy tính với

100,

m tìm được 1 nghiệm đẹp x 2 nên

chia Hoocner (Đầu rơi – nhân tới – cộng chéo)

2

(x 2)(2x 4x 2 m) 0

2 2 ( ) 2 4 2 0 x g x x x m Để d cắt ( )C tại ba điểm phân biệt thì ( ) 0 g x có hai nghiệm phân biệt khác 2 2 2 4 4.2.(2 ) 0 (2) 2.2 4.2 2 0 m g m 0 (0; ) \ 18 18 m m m

3 Cho hàm số y x3 3x2 2m2 2 m Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ? 4 Cho hàm số y x3 3x2 2m 4. Tìm m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt ? Lời giải Trục hoành Ox y: 0 Phương trình hoành độ giao điểm: 3 3 2 2 2 2 0 x x m m 2 3 2 2 ( ) : 2 2 3 2 2 y f x d y m m x x m m ( )

Xét f x( ) x3 3x2 có f x( ) 3x2 6 x

Cho f x( ) 0 x 2 hoặc x 0.

( )

( )

0

Để hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt ( ) có 3 nghiệm phân biệt

d cắt ( )f x tại 3 điểm phân biệt

Từ bảng biến thiên 0 2m2 2m 4

2

2

m

( 1; 0) (1;2)

m

Nhận xét:

5 Tìm m để d y: (3m 1)x 6m 1 cắt đồ thị hàm số y x3 3x2 1 tại ba điểm phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại 6 Tìm m để đường thẳng :d y x m cắt đồ thị hàm số y x3 3x tại ba điểm 2 phân biệt sao cho một giao điểm cách đều hai giao điểm còn lại Lời giải Theo yêu cầu bài toán thì điểm uốn I của đồ thị hàm số phải thuộc vào đường thẳng d Hoành độ điểm uốn là nghiệm y 0. 2 3 6 6 6 0 y x x y x 1 1 x y (1; 1) : (3 1) 6 1 I d y m x m 1 (3m 1).1 6m 1 1 3 m Thử lại, thấy thỏa nên nhận

7 Tìm m để đường :d y m x( 1) cắt đồ thị hàm số ( ) :C y x3 3x2 2 tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x1, , 2 x3 thỏa mãn x12 x22 x23 5 8 Tìm tham số m để đồ thị hàm số ( ) :C 3 2 2 (1 ) y x x m x m cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt với hoành độ 1, , 2 3 x x x thỏa mãn 2 2 3 1 2 3 4 x x x Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 3 2 ( 1) x x m x 3 2 1 ( ) 2 2 0 x g x x x m

Yêu cầu bài toán g x( ) 0 có hai nghiệm

phân biệt x x1, 2 1 thỏa 2 2 2

2

4 4( 2) 0

1 5

m

4 12 0

2 4

m m

3

2

4 4 2 4

m

m m

9 Tìm m để d y: mx m cắt đồ thị hàm số y x3 3 x2 4 tại ba điểm phân biệt ( 1; 0), , A B C sao cho diện tích OBC bằng 8 với O là gốc tọa độ 10 Tìm m để d y: 3x 2 cắt đồ thị hàm số ( ) : C y x3 3 mx 6 m tại ba điểm phân biệt A( 2; 8), , B C sao cho diện tích tam giác OBC bằng 2. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 3 3 2 4 x x mx m 2 ( x 1)( x 4 x 4 m ) 0 2 1 0 ( 1;0) ( ) 4 4 0 x y A g x x x m Để d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt khi ( ) 0 g x có ba nghiệm phân biệt khác 1 16 4(4 ) 0 0 ( 1) 9 0 9 m m g m m Gọi x x1, 2 là hai nghiệm của g x( ) 0 1 1 2 2 ( ; ) , ( ; ) B x mx m d C x mx m d 1 1 2 2 ( ; ) ( ; ) OB x mx m OC x mx m 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 OBC S x mx m x mx m 1 1 2 1 ( 1 2) 2 mx mx 2 m x x 2 2 2 1 2 1 ( ) 4 OBC S m x x 2 1 2 2 8 ( 4 ) 4m S P ( )

Theo Viét, ta có: 1 2 1 2 4 4 S x x P x x m

2 2 1

3

4 :

m thỏa điều kiện

Lưu ý: Ngoài cách sử dụng diện tích quen

thuộc như trên, ta có thể sử dụng:

( ; ).

2 2 OBC S BC OH BC d O d



 Bài toán tổng quát: Tìm m để đường thẳng d y: cắt đồ thị

 Phương pháp giải:

Bước 1 Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( )C : ax4 bx2 c 0 (1)

Đặt t x2 0 thì (1) at2 bt c 0 (2)

Tùy vào số giao điểm n mà ta biện luận để tìm giá trị m D1. Cụ thể:

Để d ( )C n 4 điểm phân biệt (1) có 4 nghiệm phân biệt

(2) có 2 nghiệm t t1, 2 dương 1 2 1

0

0

P

D

Để d ( )C n 3 điểm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt

(2) có nghiệm t t1, 2 thỏa:

0

0

c

a

D

Để d ( )C n 2 điểm phân biệt (1) có 2 nghiệm phân biệt

(2) có 2n trái dấu hoặc có nghiệm kép dương 1

0

0

ac

m S

D

Để d ( )C n 1 điểm (1) có đúng 1 nghiệm (2) có nghiệm kép

2

0

c t

m b

a

D

Bước 2 Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của t t1, 2 (3)

Thế biểu thức tổng, tích vào (3) sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m. Giải chúng ta sẽ tìm được m D2.

Kết luận: m D D1 2.

1 Đồ thị hàm số y x4 2 x2 3

và trục hoành có bao nhiêu điểm

chung ?

A 2. B 1.

C 3. D 4.

2 Gọi A là giao điểm của các đồ thị

hàm số y x4 7 x2 6 và A 18. B 12.

3 13

y x x có hoành độ nhỏ

nhất Tìm tung độ yA của điểm A

C 12. D 18.

3 Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y x4 2 x2 m2 1 với trục hoành (với m là tham số thực) A 1. B 2. C 3. D 4.

4 Cho hàm số y x4 8 x2 7 có đồ thị ( ).C Tìm tham số m để đường thẳng d y: 60x m tiếp xúc với ( ).C A 164. B 0. C 60. D m.

5 Tìm m để đường thẳng d y: 2m 7 cắt đồ thị hàm số y x4 8 x2 3 tại 4 điểm phân biệt ? 6 Tìm m để đường thẳng d y: 2m 5 cắt đồ thị hàm số y x4 2 x2 4 tại 4 điểm phân biệt ? Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 4 8 2 3 2 7 x x m (1)

2 8 10 2 0 t t m (2) với t x2 0. Yêu cầu bài toán (1) có 4 nghiệm phân biệt (2) có 2 nghiệm phân biệt dương 2 0 8 4(10 2 ) 0 0 8 0 0 10 2 0 m S P m 24 8 0 3 10 2 0 5 m m m m 3 m 5 Cách khác: Để d cắt đồ thị hàm số đã cho tại 4 điểm phân biệt yCT 2 m 7 yCĐ Ta có: y 4 x3 16 x CT 0 3 0 2 13 x y y x y CĐ Có yCT 2 m 7 yCĐ 13 2m 7 3 3 m 5 Cách 1

Cách 2

7 Cho hàm số y x4 ( m 1) x2 m 2.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành

tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 2.

8 Cho hàm y x4 (3 m 2) x2 3 m 1.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ 3.

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm:

2

2 2

1

2 2

x x

Vì x 2 x2 4

Yêu cầu bài toán

2 0

2 1

2 4

m m m

(2;6) \ {3}

3

m

m m

9 Cho hàm số y x4 mx2 2 m 4. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: x12 x22 x23 x42 m2 m 10 Cho hàm số y x4 (2 m 3) x2 6 m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: x12 x22 x23 x42 m2 11 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2 2 4 0 x mx m 2 2 2 2 0 2 x x m m 1 2 3 4 2, 2 2, 2 x x x m x m Theo đề bài, ta có: 2 2 2 2 2 1 2 3 4 x x x x m m 2 2 2 m 2 m 2 m m 2 0 (L) 3 0 3 (N) m m m m Vậy m 3 thỏa mãn bài toán

11 Tìm m để đồ thị hàm y ax4 bx2 c cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Cho y x4 2( m 1) x2 1. Tìm m để đồ thị hàm số cắt cắt đường thẳng : 4 1 d y m tại hai điểm phân biệt , A B sao cho AB 4 3. Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm:

4 2 0

ax bx c (1)

Đặt t x2 0 thì phương trình 2 (1) at bt c 0 (2)

Để đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm thì (1) có 4g nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương 2 2 0 4 0 4 0 0 0 0 0 a b ac b ac b ab S a ac c P a Gọi t t1, (02 t1 t2) là hai nghiệm (2) Khi đó hoành độ giao điểm tính từ bé đến lớn là t2; t1; t1; t2. Vì các hoành độ lập thành cấp số cộng nên 2 1 1 2 t t t 2 3 1 t t 2 91 t t Theo Viét, ta có: 1 2 b t t a và t2 9 t1 1 1 10 10 b b t t a a 2 9 10 10 b b b t a a a Cũng theo Viét, ta có: 1 2 c t t a 2 2 2 9 9 100 100 b c b ac a a Kết luận: Công thức nhanh 2 2 4 0 0, 0 9 100 b ac ab ac b ac

12 Cho y x4 2( m 1) x2 2 m 4. Tìm

m để đồ thị hàm số cắt cắt đường thẳng

d y tại hai điểm phân biệt A B,

sao cho độ dài đoạn thẳng AB 6.

13 Cho hàm số y x4 2 mx2 m 3.

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn: x1 x2 x3 1 2 x4.