đề cương 12 đơn điệu 1

Theo định lí mở rộng, hàm số luôn đồng biến... CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu khảo sát chiều biến thiên   Bài toán.. Tìm các

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Từ đồ thị hình 1 và hình 2 bên dưới, hãy chỉ các khoảng tăng, giảm của hàm số y cosx trên

;

2 2 và của hàm số y x trên khoảng ( ; ) ?

1 Định nghĩa

Cho hàm số y f x xác định trên K với K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng ( )

— Hàm số y f x đồng biến (tăng) trên K nếu ( ) x x1, 2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( ).2

— Hàm số y f x nghịch biến (giảm) trên K nếu ( ) x x1, 2 K x, 1 x2 f x( )1 f x( ).2

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K

Nhận xét: Từ định nghĩa, nếu x x1, 2 K và x1 x2 thì hàm số:

0

K

( )

0

K

— Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải và nghịch biến trên K thì

đồ thị đi xuống từ trái sang phải

2 Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng ( ) K

— Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K

— Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K

Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K

Định lí mở rộng: Nếu f x( ) 0, x K (hoặc f x( ) 0, x K) và f x( ) 0 chỉ tại một

số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng K

Ví dụ: Hàm số y 2x3 6x2 6x 7 xác định trên và y 6x2 12x 6 6(x 1) 2

Do đó y 0 x 1 và y 0, x 1 Theo định lí mở rộng, hàm số luôn đồng biến

Lưu ý: Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “hàm số y f x ( ) liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y f x liên tục trên [ ; ]( ) a b

và có đạo hàm f x( ) 0, x K trên khoảng ( ; )a b thì hàm số đồng biến trên đoạn [ ; ] a b

O

(Hình 2)

O

(Hình 1)

y y

a

B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên)



 Bài toán Tìm các khoảng đơn điệu (khảo sát chiều biến thiên) của hàm sớ y f x ( )

 Phương pháp:

Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm sớ Tính đạo hàm y f x( )

Bước 2 Tìm các điểm tại đĩ f x( ) 0 hoặc f x( ) khơng xác định

Bước 3 Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên (xét dấu y )

Bước 4 Kết luận về các khoảng đờng biến và nghịch biến dựa vào bảng biến thiên.

1 Tìm các khoảng đơn điệu (đờng biến và

nghịch biến) của hàm sớ y x3 3 x 2

2 Tìm các khoảng đơn điệu (đờng biến và

nghịch biến) của hàm sớ

Lời giải Tập xác định D

Ta cĩ: y 3x2 6 x

2

x x

Bảng biến thiên (xét dấu y ) :

Kết luận: Hàm sớ đã cho đờng biến trên

các khoảng: ( ; 0), (2; ) và nghịch

biến trên khoảng (0;2)

3 Tìm các khoảng đờng biến và nghịch biến của hàm sớ y x4 2x2 1 4 Tìm các khoảng đờng biến và nghịch biến của hàm sớ y x4 2x2 4 Lời giải Tập xác định D Ta cĩ: y 4x3 4 x Cho 3 1 0 4 4 0 1 x y x x x x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x 1 0 1 y 0 0 0

Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên

các khoảng ( ; 1), (0;1) và nghịch biến

trên các khoảng ( 1; 0), (1; )

5 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y x4 2x2 4 6 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y 2x4 x2 4

7 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 1 1 x y x 8 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 2 1 2 x y x Lời giải Điều kiện: x 1 0 x 1 Ta có: 2 2 0, 1 ( 1) y x x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x 1 y

Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( ;1) và (1; ) Nhận xét: Hàm số nhất biến luôn đơn điệu 1 chiều trên từng khoảng nó xác định

9 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 4 y x x 10 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số 2 2 1 2 x x y x Lời giải Điều kiện x 0 Ta có: 2 2 2 4 4 1 x y x x Cho y 0 x 2 x 2 0 2 y 0 0

Kết luận: Hàm số đã cho đồng biến trên

các khoảng ( ; 2), (2; ) và nghịch

biến trên các khoảng ( 2; 0), (0;2)

11 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y 9 x 2 Lời giải Điều kiện: 9 x2 0 3 x 3 TXĐ: D [ 3; 3] Ta có: 2 2 , ( 3;3) 2 9 x y x x Cho y 0 2x 0 x 0 Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x 3 0 3 y 0 Hàm số đồng biến trên khoảng ( 3; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; 3) 12 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y 2x 1 2x2 8

13 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm ( ),f x biết f x( ) x x( 1) (2 x 1) , 3 x Lời giải Xét f x( ) 0 2 3 2 3 0 ( 1) ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) 0 x x x x x x 0 0 1 0 1 1 0 1 x x x x x x Bảng biến thiên (xét dấu y ) : x 1 0 1 ( ) f x 0 0 0 Kết luận: Hàm số y f x( ) đồng biến trên các khoảng ( ; 0), (1; ) và nghịch biến trên khoảng (0;1) Cần nhớ: Xét dấu “Mỗi ô thử 1 điểm” 14 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm ( ),f x biết f x( ) x x3( 1) (2 x 2) , 5 x

15 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

có f x( ) x2 x, x

Lời giải Áp dụng f u( ) u f u ( )

( ) 2 (2 1) 12

2.[(2x 1)2 (2x 1)] 12

2.(4x2 4x 1 2x 1) 12

8x2 4x 12

Cho g x( ) 0 8x2 4x 12 0

1

2

x

Bảng biến thiên (xét dấu g x( )) :

Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng

3

;1

2 và đồng biến

3

; , (1; )

2

16 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

( ) (1 2 ) 12 ,

có f x( ) x x2, x

17 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: ( ) x 1 2 ( ) f x 0 0 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số g x( ) f x( 2 2) Lời giải Ta có g x( ) 2 (x f x2 2) Cho g x( ) 0 2 (x f x2 2) 0 2 2 2 0 (

2 0 2 1 (K) ( 2) 0 2 2 ) ) ( x x x f x x Đ Đ 2 2 0 0 (

1 1 (

) K) 2 (

4 ) x x x x x x Đ Đ Bảng xét dấu: x 2 1 0 1 2 ( ) g x 0 0 0 0 0 18 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: ( ) x 2 3 ( ) f x 0 0 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số ( )g x f x( 1) 2

(Nháp: thử điểm g(3) 6 (7)f 0).

Kết luận: Hàm số ( )g x đồng biến trên các

khoảng ( 2; 0), (2; ) và nghịch biến

trên các khoảng ( ; 2), (0;1)

19 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: ( ) x 2 2 5 ( ) f x 0 0 0 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số ( )g x f(3 2 ).x

20 21 Cho hàm số y f x có bảng biến thiên: ( ) x 1 1 2 4 ( ) f x 0 0 0 0 Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số ( )g x f(1 2 ).x

22 23 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình ( ) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm y f x ( ) Lời giải Quan sát trục Ox và đồ thị có: Trên các khoảng ( ; 0), (2; ) đồ thị từ trái sang phải đi xuông nên hàm số y f x sẽ nghịch biến trên các ( ) khoảng này Trên khoảng (0;2) đồ thị từ trái sang phải đi lên nên y f x đồng biến trên ( ) khoảng (0;2) 24 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình ( ) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm y f x ( )

25 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số ( )

( )

y f x như hình Tìm các khoảng

đồng biến và nghịch biến của y f x ( )

Lời giải Quan sát đồ thị y f x( ), có:

K

(

2 ( ) )

( ) 0

1

x

x

x

Bảng biến thiên:

( )

Hàm số y f x đồng biến trên khoảng ( )

( 2; ) và nghịch biến trên ( ; 2)

Lưu ý: Ta có thể xác định dấu của f x( ) từ

ngay đồ thị

26 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số ( )

( )

y f x như hình Tìm các khoảng

đồng biến và nghịch biến của y f x ( )

27 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số ( ) ( ) y f x như hình Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của y f x ( )

28 Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số ( ) ( ) y f x như hình Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của y f x ( )

29 Cho hàm số y f x với ( ) y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ( )g x f(2 x ) Lời giải Ta có: g x( ) f (2 x) Xét g x( ) 0 f (2 x) 0 2 1 3 2 1 1 2 4 2 x x x x x x x 2 1 3 ( ) g x 0 0 0 (Nháp: g(4) f ( 2) 0) 30 Hàm số ( )g x đồng biến trên các khoảng ( 2;1), (3; ) và nghịch biến trên các khoảng ( ; 2), (1; 3) 31 Cho hàm số y f x với ( ) y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( ) f x( 2 5)

y

1

( )

32 Cho hàm số y f x với ( ) y f x( ) có đồ

thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu

của hàm số g x( ) f(3 x2)

33 Cho hàm số y f x với ( ) y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ( )g x f x(2 4)

34 Cho hàm số y f x liên tục trên Biết ( ) rằng hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số ( ) ( ) g x f x x Lời giải Ta có: g x( ) f x( ) 1 Xét g x( ) 0 f x( ) 1 0 1 ( ) 1 1 2 x f x x x Bảng xét dấu g x( ) : x 1 1 2 ( ) g x 0 0 0 35 Cho hàm số y f x liên tục trên ( ) Biết rằng hàm số y f x( ) có đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số g x( ) 2 ( )f x x2

y

1

−

1

1

y

2 1

−

6

−

Hàm số y g x nghịch biến trên ( )

khoảng ( ;2)

Hàm số y g x đồng biến trên các ( )

khoảng ( ; 1), (2; )

Nhận xét Để xét dấu của g x( ), ta có:

Trong các khoảng ( ; 1), (2; )

thì đường cong y f x( ) nằm trên

đường y 1 g x( ) f x( ) 1 0

Trong khoảng ( 1;1), (1;2) thì đường

đường cong y f x( ) nằm dưới

đường y 1 g x( ) f x( ) 1 0

y

1

−

1

36 Cho hàm số y f x với ( ) y f x có đồ ( )

thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu

của hàm số g x( ) 2 ( ) (f x x 1) 2

37 Cho hàm số y f x với ( ) y f x có ( ) đồ thị như hình vẽ Tìm các khoảng đơn điệu của hàm 3 2 ( ) ( ) 3 x g x f x x x

Dạng toán 2 Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên miền xác định của nó



 Tìm tham số m để hàm số bậc ba y ax3 bx2 cx d đơn điệu trên tập xác định ?

Phương pháp:

— Bước 1 Tập xác định: D Tính đạo hàm y 3 ax2 2 bx c

— Bước 2 Ghi điều kiện để hàm đơn điệu, chẳng hạn:

0

y y

a

0

y y

a

 Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f x ( ) ax2 bx c

( ) 0,

0

a

f x x 0

( ) 0, 0 a f x x Nếu hàm sớ y ax3 bx2 cx d cĩ a chứa tham sớ thì khi giải toán, ta cần chia ra hai trường hợp Đĩ là trường hợp a 0 để xét tính đúng sai (nhận loại )m và trường hợp a 0 (sử dụng dấu tam thức bậc hai)  Tìm tham số m để hàm số y ax b cx d đơn điệu mỗi khoảng xác định của nĩ ? Phương pháp: — Bước 1 Tập xác định: \ d c D Tính đạo hàm 2

( ) a d b c y cx d — Bước 2 Ghi điều kiện để hàm đơn điệu Chẳng hạn: Để ( )f x đờng biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ 0, 0 ?

y x D a d b c m Để ( )f x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nĩ 0, 0 ? y x D ad bc m 1 Tìm tham sớ m để hàm sớ mx 4m y x m nghịch biến trên từng khoảng xác định ? Lời giải Điều kiện: x m Hàm sớ nghịch biến trên từng khoảng xác định 2 2 4 0, ( ) m m y x m x m 2 4 0 0 4 m m m 2 Tìm tham sớ m để hàm sớ mx 3m y x m đờng biến trên từng khoảng xác định ?

3 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

biến trên khoảng ( ; )

Lời giải Tập xác định D

Hàm số y nghịch biến trên ( ; )

2

2

3 0 (

l )

)

a

đ

2

Cần nhớ:

Hàm y f x m đồng biến trên khoảng ( ; )

Hàm y f x m nghịch biến trên khoảng ( ; )

Thành thạo dấu tam thức bậc hai (xem

lại phần lý thuyết)

4 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số

trên khoảng ( ; )

5 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 2 3 2 ( 1) ( 1) 4 y m x m x x nghịch biến trên khoảng ( ; ) Lời giải Tập xác định D Hàm số y nghịch biến trên ( ; ) 2 2 3( 1) 2( 1) 1 0 y m x m x với mọi x 2 1 TH :a m 1 0 m 1 Với m 1 y 1 0 : đúng nên nhận giá trị m 1 Với m 1 y 4x 1 0 với mọi x : sai nên loại m 1 2 2 TH :a m 1 0 m 1 Ta có: y 0, x 2 2 2 3( 1) 0 4( 1) 12( 1) 0 a m m m 1 1 1 1 1 2 1 2 m m m 6 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 ( 1) ( 1) 3( 1) 3 m x y m x m x nghịch biến trên khoảng ( ; )

Dạng toán 3 Tìm tham số m để hàm số y ax b

cx d đồng biến trên ( ; )



Phương pháp:

— Bước 1 Tìm tập xác định: \ d

c

y

— Bước 2 Hàm sớ tăng trên

0 0

0

( ; ) ( ; )

y

d

c

d c

x

c

 Lưu ý: Lý luận tương tự cho trường hợp nghịch biến hoặc trên ( ; ), [ ; ),

1 Tìm tham sớ m để hàm sớ mx 9 y x m đờng biến trên khoảng (2; ) Lời giải Điều kiện x m Hàm sớ y đờng biến trên khoảng (2; ) 2 2 (2; ) 9 0, ( ) x m y x m x m 2 9 0 3 3 2 (2; ) m m m m 3 m 2 Kết luận: m ( 3;2] 2 Tìm m để hàm sớ mx 3m 4 y x m nghịch biến ( 2; 0)

3 Tìm các giá trị của m sao cho hàm sớ 2 cos 1 cos x y x m đờng biến trên 0;2 Lời giải Đặt cos sin 0, 0; 2 x u x u x x Vì 0; (0;1) 2 x u 4 Tìm các giá trị của tham sớ m để hàm sớ 2 tan 4 tan x y x m nghịch biến 0; 4