Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị Định lí thừa nhận: Giả sử hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng K.. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây
Trang 1Trang 1
DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH
Dạng 1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị
Định lí (thừa nhận): Giả sử hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng K
Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số đồng biến trên khoảng K
Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K
Nếu f x( ) 0, x K thì hàm số không đổi trên khoảng K
Hình dáng đồ thị
Nếu hàm số đồng biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi lên
Nếu hàm số nghịch biến trên K thì từ trái sang phải đồ thị đi xuống
Câu 1 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− −; 2) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−2;0)
C Hàm số đồng biến trên khoảng (−; 0) D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )0; 2
Câu 2 (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y= f x( ) có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (1; + ) B (−;1) C (− + 1; ) D (− − ; 1)
Câu 3 (Mã 101 - 2018) Cho hàm sốy= f x( ) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−1; 0)
B (−;0)
C (1; + )
D ( )0;1
Câu 4 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số y= f x( )nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (0; + )
B (− − ; 2)
C ( )0;2
D (−2;0)
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 1
x
y
Đồng biến
O
Nghịch biến
x
y
O
Trang 2Câu 5 (Đề Minh Họa 2020 – Lần 1) Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau: ( )
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (− − ; 1)
B ( )0;1
C (−1;0)
D (−;0)
Câu 6 (Đề Minh Họa 2020 – Lần 2) Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (1; + )
B (− 1; 0)
C (−1;1)
D ( )0;1
Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình dưới đây Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;
2
B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (− ;3)
C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (3; +)
D Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng ; 1
2
và (3; +)
Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số nghịch biến trong khoảng nào?
Câu 9 (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (− − 1)
(− )
Trang 3Trang 3
D ( )0;1
Câu 10 (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A (−1;0 )
B (− − ; 1)
C ( )0;1
D (0; + )
Câu 11 Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ bên
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )0; 2
B Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (− + 1; )
C Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−1; 2)
D Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (− ;1)
Câu 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hàm số y= f x( ) có đồ thị như hình vẽ bên
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng
A (−1;0)
B (− − 2; 1)
C ( )0;1
D ( )1;3
Dạng 2 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước
• Bước 1 Tìm tập xác định D của hàm số
• Bước 2 Tính đạo hàm y = f x ( ). Tìm các điểm x i, (i=1,2,3, , )n mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
• Bước 3 Sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
• Bước 4 Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dưa vào bảng biến thiên
Câu 13 (Mã 110 - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng (− + ? ; )
Trang 4A 1
2
x y x
−
=
3
y=x + x C y= − −x3 3x D 1
3
x y x
+
= +
Câu 14 (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số 2
1
x y x
−
= + Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên khoảng (− + B Hàm số nghịch biến trên khoảng ; ) (− + 1; )
C Hàm số nghịch biến trên khoảng (− − D Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1) (− − ; 1)
Câu 15 (Dề Minh Họa - 2017) Hỏi hàm số y=2x4+1 đồng biến trên khoảng nào?
A (−; 0 ) B ; 1
2
2
Câu 16 (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y= 2x2+1 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ) B Hàm số đồng biến trên khoảng (−;0)
C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; + ) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (− 1;1)
Câu 17 (Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2019) Hàm số 5 2
3
x y
x
−
= + nghịch biến trên
A R\ 3 B R C (− − ; 3) D (3;+ )
Câu 18 (Chuyên Hà Tĩnh - Lần 1 - 2019) Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ?
A y=x3−3x+2 B y=x4+2x2+2
Câu 19 (HSG - TP Đà Nẵng - 2019) Hàm số y=x4−4x3 đồng biến trên khoảng
A (− + ; ) B (3; + ) C (− + 1; ) D (−; 0)
Câu 20 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2019) Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên và có đạo hàm
( ) ( ) (2 ) (3 )
f x = −x x+ −x Hàm số y= f x( ) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A (− ;1) B (− − ; 1) C ( )1;3 D (3; + )
Câu 21 (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Hàm số 2
2018
y= x−x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A (1010; 2018 ) B (2018; + ) C (0;1009 ) D (1; 2018 )
Câu 22 (SGD&ĐT Hà Nội - 2018) Hàm số y= f x( ) có đạo hàm y =x2 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số nghịch biến trên
B Hàm số nghịch biến trên (−; 0) và đồng biến trên (0; +)
C Hàm số đồng biến trên
D Hàm số đồng biến trên (−; 0) và nghịch biến trên (0; +)
Câu 23 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho hàm y= x2−6x+5 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+ ) B Hàm số đồng biến trên khoảng (3;+ )
C Hàm số đồng biến trên khoảng (−;1 ) D Hàm số nghịch biến trên khoảng (−;3 )
Câu 24 (Chuyên ĐH Vinh - 2018) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) ( )3
2
f x =x x− , với mọi
x Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A ( )1; 3 B (−1; 0) C ( )0; 1 D (−2; 0)
Trang 5Trang 5
DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ KHÁ
Dạng 1 Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Xét hàm số bậc ba y= f x( )=ax3+bx2+cx+d
– Bước 1 Tập xác định: D =
– Bước 2 Tính đạo hàm 2
y= f x = ax + bx c+
2 ( )
f x
f x
( )
f x
f x
Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai 2
f x =ax +bx c+
0
a
0
a
Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 2 2020)Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số
1
3
f x = x +mx + x+ đồng biến trên
Câu 2 (Mã 123 - 2017) Cho hàm số = − −3 2 +( + ) +
y x mx m x , với m là tham số Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (− +; )
3
y= − x +mx + m+ x+ Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên
2
m m
−
−
B − − 2 m 1 C − − 2 m 1 D 1
2
m m
−
−
Câu 4 Tìm m để hàm số 3 2 ( )
y=x − mx + m− + đồng biến trên
A Không có giá trị m thỏa mãn B m 1
Câu 5 Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số
1
3
y= m −m x + mx + x− đồng biến trên khoảng (− + ? ; )
Câu 6 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m trong đoạn
y=mx +mx + m+ x− nghịch biến trên là:
Câu 7 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
y= m − x + m− x − +x nghịch biến trên khoảng(− + ; )
Xét hàm số nhất biến y f x( ) ax b
cx d
+
+ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 1
Trang 6– Bước 1 Tập xác định: D \ d
c
= −
– Bước 2 Tính đạo hàm ( ) . .2
a d b c
y f x
cx d
−
+
+ Để ( )f x đồng biến trên D y= f x( )0, x D a d −b c 0 m ?
+ Để ( )f x nghịch biến trên D y= f x( )0, x D a d −b c 0 m ?
Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu " "= xảy ra tại vị trí y
Câu 8 (Mã 105 - 2017) Cho hàm số − −
=
−
y
x m với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá
trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử của S
Câu 9 (SỞ GD&ĐT Yên Bái - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mx 4
−
=
− nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó
2
m m
−
2 2
m m
−
Câu 10 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của m để
2
mx y
x m
−
=
− đồng biến trên mỗi khoảng xác định
2
m m
−
2
m m
−
D − 2 m 2
Dạng 2 Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
Tìm Tìm tham số m để hàm số y ax b
cx d
+
= + đơn điệu trên khoảng ( ; ) Tìm tập xác định, chẳng hạn x d
c
− Tính đạo hàm y Hàm số đồng biến y0 (hàm số nghịch biến y0) Giải ra tìm được m ( )1
Vì x d
c
− và có x( ; ) nên d ( ; )
c
− Giải ra tìm được m ( )2 Lấy giao của ( )1 và ( )2 được các giá trị m cần tìm
Các trường hợp đặc biệt:
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ đồng biến trên từng khoảng xác định khi: ad−bc 0
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ nghịch biến trên từng khoảng xác định khi: ad−bc 0
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ đồng biến trên khoảng (;+ khi: )
0
ad bc d
c
−
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ nghịch biến trên khoảng (;+ khi: )
0
ad bc d
c
−
Trang 7Trang 7
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ đồng biến trên khoảng ( ; ) khi:
0
ad bc d c d c
−
−
Hàm số y ax b (ad bc 0)
cx d
+
+ nghịch biến trên khoảng ( ; ) khi:
0
ad bc d c d c
−
−
Câu 1 (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số ( ) mx 4
f x
−
=
− ( m là tham số thực) Có bao nhiêu
giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; + )?
Câu 2 (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x 4
x m
+
= +
đồng biến trên khoảng (− − là ; 7)
A 4; 7 ) B (4; 7 C ( )4;7 D (4; + )
Câu 3 (Chuyên KHTN - 2020) Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số = −4
−
mx y
x m đồng
biến trên khoảng (− +1; ) là
A (−2;1 B (−2; 2) C (− −2; 1 D (− −2; 1)
Câu 4 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
để hàm số 1
4
mx y
−
=
− nghịch biến trên khoảng
1
; 4
A m 2 B 1 m 2 C − 2 m 2 D 2− m 2
Câu 5 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hàm số y mx 2m 3
= + với m là tham số Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (2; + Tìm số phần tử của )
S
Câu 6 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
4 2
x y
+
=
− nghịch biến trên khoảng (−3; 4)
Dạng 3 Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước
Tìm tham số m để hàm số y= f x m( ; ) đơn điệu trên khoảng ( ; )
Bước 1: Ghi điều kiện để y= f x m( ; ) đơn điệu trên ( ; ) Chẳng hạn:
Đề yêu cầu y= f x m( ; ) đồng biến trên ( ; ) =y f(x m; ) 0
Đề yêu cầu y= f x m( ; ) nghịch biến trên ( ; ) =y f(x m; ) 0
Bước 2: Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là g x , có hai trường hợp thường gặp : ( )
Trang 8( )
mg x , x ( ; )
( ) ( )
;
max
( )
mg x , x ( ; )
( ) ( )
;
min
Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g x trên ( ) D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất Từ đó suy ra m
Câu 1 (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
3 2
y= − −x x + m− x+ nghịch biến trên khoảng (− −; 1) là
A ; 3
4
4
+
Câu 2 Cho hàm số y=x3+3x2−mx−4 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến
trên khoảng (−;0) là
A (−1;5) B (− − ; 3 C (− − ; 4 D (− + 1; )
Câu 3 Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 ( )
y=x −mx − m− x+ đồng biến trên khoảng ( )0; 4 là:
A (−;3) B (−;3 C 3; 6 D (−;6
Câu 4 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số 3 ( ) 2 ( )
3
x
y= − m− x + m− x+ Số các giá trị nguyên của
m để hàm số đồng biến trên (1; + là )
Câu 5 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Số giá trị nguyên thuộc khoảng (−2020; 2020) của tham số m để
hàm số y=x3−3x2−mx+2019 đồng biến trên (0; +) là
Câu 6 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hàm số ( ) 3 ( ) 2 ( 2 )
f x =x − m+ x − m − m+ x+ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2; + ? )
Dạng 4 Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước
Câu 1 (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số tan 2
tan
x y
x m
−
=
− đồng biến trên khoảng 0;
4
A m 0 hoặc1 m 2 B m 0 C 1 m 2 D m 2
Câu 2 (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số
3
5
1 5
y x mx
x
= + − đồng biến trên khoảng (0; + )
Câu 3 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để
f x = m x − mx + x − m − −m x đồng biến trên Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng
Trang 9Trang 9
Câu 4 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số
1
2
m
y x
x
= + +
− đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là
A )0;1 B (−; 0 C 0;+ ) \ 1 D (−; 0)
Câu 5 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số
cos
x y
x m
−
=
− nghịch biến trên khoảng 2;
1
m m
−
1
m m
−
Câu 6 (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số (4 ) 6 3
6
=
− +
y
x m Có bao nhiêu giá trị nguyên của m
trong khoảng (−10;10) sao cho hàm số đồng biến trên (−8;5)?
Câu 7 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm
y x mx
x
= + − đồng biến trên khoảng (0; + )
Câu 8 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để
hàm số
y= x − x + m+ x− m+ đồng biến trên khoảng (0; +)?
Câu 9 Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
3 3
1
y x
x đồng biến trên
từng khoảng xác định của nó?
Câu 10 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số
4
1
x
= − − − đồng biến trên khoảng (0;+)
Câu 11 (Chuyên Vinh - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên m −( 10;10) để hàm số
y=m x − m− x + đồng biến trên khoảng (1; +)?
Câu 12 (Chuyên Thái Bình - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m − 2018; 2018 để hàm
số y= x2 + −1 mx−1 đồng biến trên (− + ; )
Câu 13 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2
2 1
y
x
=
− nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6)
Câu 14 (Chuyên Thái Bình - 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
y= x −mx + x+ m luôn đồng biến trên khoảng (1; + ? )
Câu 15 (Sở Ninh Bình) Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số mđể hàm số
y=x − mx + đồng biến trên khoảng (3; + Tổng giá trị các phần tử của ) T bằng
Trang 10Câu 16 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm
f x = x + x+ Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc x (−2020; 2020) của tham số
m để hàm số g x( )= f x( ) (− 2m+4)x− nghịch biến trên 5 ( )0; 2 ?
Câu 17 (Thanh Chương 1 - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mthuộc đoạn
−10;10 sao cho hàm số
2020
x mx x
y= − − +mx+ nghịch biến trên khoảng ( )0;1 ?
Câu 18 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
( ) (2020 2cos ) sin
f x =m + −x x + x x− nghịch biến trên ?
DẠNG TOÁN MỨC ĐỘ GIỎI Dạng 1 Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x)
Cách 1:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , ( ) g x( )=u x f( ) u x( )
Bước 2: Sử dụng đồ thị của f( )x , lập bảng xét dấu của g x( )
Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Cách 2:
Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g x , ( ) g x( )=u x f( ) u x( )
Bước 2: Hàm số g x đồng biến ( ) g x( ) ; (Hàm số 0 g x nghịch biến ( ) g x( ) ) (*) 0
Bước 3: Giải bất phương trình ( )* (dựa vào đồ thị hàm số y= f( )x ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y= f x( ) Hàm số y= f '( )x có đồ thị như hình bên Hàm số
y f x đồng biến trên khoảng
A (2; + ) B (−2;1) C (− − ; 2) D ( )1;3
Câu 2 (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f x , bảng xét dấu của ( ) f( )x như sau:
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 1