Một số lớp nhóm con của nhóm đối xứng

Nhóm con lũy linhCấu trúc của Khóa luận gồm 2 chương: Chương 1: Nhóm phép thế bắc cầu, nhóm phép thế nguyên thủy, ước chuẩn vàtâm tập của nhóm đối xứng.. Đâylà nội dung chính của Khóa lu

Trường Đại Học VinhKhoa sư phạm toán học

Phạm Thị Thương

Một số lớp nhóm con của nhóm đối xứng

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ngành: Sư phạm toán học

Chuyên ngành: Đại sốGiảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Quốc Thơ

2 Nhãm c¸c phÐp thÕ tháa m·n ®iÒu kiÖn chuÈn vµ nhãm lòy linh 182.1 Nhãm c¸c phÐp thÕ tháa m·n ®iÒu kiÖn chuÈn 182.2 Nhãm lòy linh 21

Theo Định lý Lagrăng: Mọi nhóm con hữu hạn đều đẳng cấu với một nhóm con

đối xứng, vì vậy để nghiên cứu các nhóm con ta đi nghiên cứu các nhóm con củanhóm đối xứng

Nội dung chính của Khóa luận này, chúng tôi nghiên cứu một số lớp nhóm củanhóm đối xứng như:

1 Nhóm bắc cầu

2 Nhóm nguyên thủy

3 Ước chuẩn và tâm tập của nhóm bắc cầu

4 Nhóm con thỏa mãn điều kiện chuẩn

5 Nhóm con lũy linhCấu trúc của Khóa luận gồm 2 chương:

Chương 1: Nhóm phép thế bắc cầu, nhóm phép thế nguyên thủy, ước chuẩn vàtâm tập của nhóm đối xứng Nội dung chính của chương này chúng tôi trình bày lạimột số kết quả theo sự hiểu biết của mình về nhóm phép thế bắc cầu, nhóm phép thếnguyên thủy, nhóm chính quy , các kết quả này làm cơ sở để nghiên cứu chương 2

Chương 2: Nhóm các phép thế thỏa mãn điều kiện chuẩn và nhóm lũy linh Đây

là nội dung chính của Khóa luận, với mục đích là đi sâu nghiên cứu nhóm phép thếthỏa mãn điều kiện chuẩn, các tính chất, mối quan hệ giữa nhóm phép thế thỏa mãn

điều kiện chuẩn và nhóm nguyên thủy, nhóm bắc cầu, nhóm con, nhóm thương củanhóm các phép thế thỏa mãn điều kiện chuẩn, nhóm lũy linh

Khóa luận được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn củaThầy giáo, TS Nguyễn Quốc Thơ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.Nhân dịp này tôi cũng xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến các Thầy (Cô) trong BộMôn Đại số và các Thầy (Cô) trong Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh

đã tận tình dạy bảo em trong suốt quá trình em học tập và rèn luyện dưới mái trường

1.1 Nhóm bắc cầu

1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X = {x1, x2, ã ã ã , x n }. Nhóm phép thế G của X

được gọi là nhóm bắc cầu trên tậpX nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

i) Với mỗi x i ∈ X, g ∈ Gtồn tại x j ∈ X để sao cho g(x i ) = x j ,

ii) Vớix i , x j ∈ X tồn tại g ∈ Gđể sao cho g(x i ) = x j

Nếu ít nhất một trong hai điều kiện trên không thỏa mãn thìGđược gọi là nhómkhông bắc cầu

1.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1 Trong S3 xét nhóm con G = {e, g1 = (123), g2 = (132)}. Khi đó G là

nhóm bắc cầu, vì:

- Ta dễ nhận thấy, vớix i , x j ∈ {123}thì tồn tạig ∈ Gđể sao chog(x i ) = x j

- Vớix i ∈ X = {123}; g ∈ G thì luôn tồn tại x j để sao chog(x i ) = x j

1.1.3 Nhận xét Giả sửGlà nhóm phép thế của tậpX, ta trang bị trên tậpX quan

hệ hai ngôiR như sau: x, y ∈ X; xRy khi và chỉ khi trong Gtồn tại phép thế g để

Khi đó ta có Gbắc cầu trên các tập X α−gọi là quỹ đạo của nhóm G. Đặc biệt

như phần tử của S(A). Như vậy, nếu X = ∪X α (α ∈ I) là sự phân tích X thànhcác quỹ đạo thì G | X α −→ S(X α ). Từ đó ta cũng dễ thấy rằng nếu X α là quỹ đạothì G | X α là nhóm bắc cầu

1.1.4 Định nghĩa Giả sửG1, G2là nhóm phép thế trên tập X Ta nói chúng có mộtquỹ đạo nếu như tồn tại song ánh φ : X −→ X chuyển quỹ đạo của G1 lên quỹ

đạo của G2.

1.1.5 Ví dụ.∗) Giả sử G1 =< (12) >= {e, (12)} ⊂ S3. Khi đó:

G1 không bắc cầu và có các quỹ đạo X1 = {1, 2}; X2 = {3}

∗) G2 =< (2, 3) >= {e, (2, 3)} ⊂ S3. Khi đó:

G2 không bắc cầu và có các quỹ đạo Y1 = {2, 3}; Y2 = {1}.

Từ đây ta thấy song ánh s = (13) ∈ S3 chuyển quỹ đạo củaG1 thành quỹ đạo của

G2, vì: s(X1) = s( {1, 2}) = {2, 3} = Y1

s(X2) = s( {3}) = {1} = Y2

1.1.6 Định nghĩa Giả sử Glà nhóm phép thế của tậpX và U k là tập hợp các điểm

U k ta định nghĩa quan hệ R :

Khi đó R là quan hệ tương đương Nhóm G được gọi là bắc cầu bội k trên X nếu

Vậy A n là nhóm bắc cầu bộin − 2.

1.1.8 Mệnh đề Giả sử G là nhóm bắc cầu bội k trên tập hợp X. Khi đó G đẳngcấu với nhóm phép thế trên tập U k

Chứng minh Xét ánh xạφ : G −→ S(U k)được xác định bởiφ(g) = g, trong đóg

được xác định bởi:∀a = (a1, a2, ã ã ã , a k) ∈ U k thì g(a) = (g(a1), g(a2), ã ã ã , g(a k )).

Trước hết ta chứng minhg là song ánh

+) g đơn ánh, vì với a = (a1, a2, ã ã ã , ak ), b = (b1, b2, ã ã ã , bk) ∈ Uk , a ̸= b. Khi

đó∃a i ̸= b i sao cho g(a i) ̸= g(b i) ⇒ g(a) ̸= g(b).

+) g toàn ánh, vì ∀b = (b1, b2, ã ã ã , b k) ∈ U k , do G bắc cầu bội k nên tồn tại

ánh Tóm lại g là song ánh trên U k ⇒ g ∈ S(U k ).

+) φ là đồng cấu: Thật vậy, giả sử φ(g) = g, φ(g1) = g1, φ(gg1) = gg1. Khi đó

∀a = (a1, a2, ã ã ã , ak) ∈ Uk ,ta có:

gg1(a) = (gg1(a1), ã ã ã , gg1(a k))

1.1.9 Định nghĩa Cho G là nhóm phép thế trên tập X, a ∈ X cố định Ký hiệu

G a =< g ∈ G|g(a) = a > là nhóm con của G và được gọi là nhóm con bất độngcủa a

1.1.10 Định lý Giả sử X α là quỹ đạo của G, a ∈ X α và G a là nhóm bất độngcủa a. Đối với mỗi điểmx ∈ X ta chọn trong G phần tử gx đểgx (a) = x. Khi đó

+) Vớig bất kỳ thuộc Gta sẽ chứng minh tồn tại g x G a để sao cho g ∈ g x G a

Thật vậy: VìG bắc cầu trên Xα nên với a ∈ X α ⇒ x = g(a) ∈ X α. Mặt khác ta

cóg x (a) = x.Suy ra g(a) = g x (a), do đóg −1 x g(a) = a ⇒ g −1

x g ∈ Ga

Vậy g ∈ gx G a Do đó ta có điều phải chứng minh

Từ kết quả của Định lý trên, ta có hệ quả sau

1.1.11 Hệ quả Cấp của nhóm phép thế trên tập hữu hạn chia hết cho lực lượng quỹ

đạo bất kỳ Đặc biệt cấp của nhóm bắc cầu chia hết cho bậc của nó

Chứng minh Theo Định lý Lagrăng: Nếu H ⊂ G thì ord(G) = ord(H).[G : H].

Bây giờ áp dụng vào ta có: ord(G) = [G : G a ].ord(G a ).

Mặt khác vìG = ∪g x G a cho nên[G : G a] = |X x |, ∀x ∈ X α

Do đóord(G) = |X|.ord(G a ). Vậy ord(G) |X α |.

Trong trường hợp đặc biệt khi G là nhóm bắc cầu thì |X| = |X α | ⇒ ord(G) |X|

hay cấp củaG chi hết cho bậc của nó

1.1.12 Hệ quả Cho G là nhóm phép thế bậc n bắc cầu bội k. Khi đó cấp của G

chia hết chon(n − 1) ã ã ã (n − k + 1).

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.8 ta cóG ∼ = G ′ ⊂ S(Uk) ⇒ ord(G) = ord(G ′)

Mặt khác theo Hệ quả 1.1.11 ta cóx ∈ Xα và ord(G ′) |Uk |( vìGbắc cầu bộik

nên G ′ bắc cầu Mà |U k | = n(n − 1) ã ã ã (n − k + 1), suy ra

1.1.13 Định lý Giả sửX α là quỹ đạo của nhómG, a ∈ X α và R α là tập tất cả cácnhóm con bất động củaa. Khi đó trong R α các nhóm G a liên hợp với nhau

Chứng minh Giả sửG a , G b ∈ X α ,ta chứng minh G a liên hợp với G b

Thật vậy, vì a, b ∈ X α nên ∃g ∈ G để sao cho g(a) = b. Khi đó ta có

gG a g −1 (b) = gG a (a) = g(a) = b. Do đógG a g −1 ⊂ Gb

Mặt khác vì g(a) = b, do đó g −1 (b) = a, từ đó ta có g −1 G b g(a) = g −1 G b (b)

= g −1 (b) = a. Suy ra g −1 G b g ⊂ G a ⇒ G b ⊂ gG a g −1 , do đó G b = gG a g −1

Vậy G a và G b liên hợp với nhau Như vậy trongR α chứa G a và các nhóm có dạng

gG a g −1 Ta có điều phải chứng minh

Từ Định lý trên ta có các Hệ quả sau

1.1.14 Hệ quả Giả sử G bắc cầu và R là hệ các nhóm con bất động của G. Khi

đó trongR các nhóm con liên hợp với nhau

1.1.15 Hệ quả Giả sử G là nhóm phép thế mà tất cả các nhóm con đều là ướcchuẩn vàX α là quỹ đạo của G. Khi đó nếu a, b ∈ Xα thì G a = G b

Chứng minh Với ∀a, b ∈ X α , khi đó theo Định lý 1.1.13 ta có G a và G b liên hợpvới nhau Khi đó tồn tại g ∈ G sao cho G b = gG a g −1 Do G a ⊂ G, mà theo giảthiếtG a △G.Suy ra gG a g −1 = G a Vậy G a = G b

1.1.16 Định nghĩa Nhóm phép thế G được gọi là nhóm chính quy nếu G là nhómbắc cầu và các nhóm con ổn định bằng {e} thuộcG.

1.1.17 Hệ quả Giả sử G là nhóm bắc cầu mà mọi nhóm con của G đều là ướcchuẩn củaG. Khi đó G là nhóm chính quy

Chứng minh VìGlà nhóm bắc cầu nên vớia ∈ X thìGa liên hợp vớiGb, ∀b ∈ X.

Mặt khác trong G mọi nhóm con đều là ước chuẩn nên theo Hệ quả 1.1.15, ta có

Vậy Glà nhóm chính quy

1.1.18 Hệ quả Giả sử G là nhóm bắc cầu mà mọi nhóm con của G đều là ướcchuẩn của G. Khi đó G không được chứa trong một nhóm phép thế khác cùng trêntập hợp đó mà tất cả các nhóm con của nó đều là ước chuẩn Đặc biệt nhóm Abelbắc cầu của S(X)là nhóm Abel cực đại trong các nhóm Abel của S(X).

Chứng minh Giả sử ngược lại G được chứa trong nhóm phép thế G ′ mà tất cả cácnhóm con củaG ′ đều là ước chuẩn Khi đó G ′ cũng phải là nhóm bắc cầu Thật vậy,vớix i , x j ∈ X khi đó ∃g ∈ G ⊂ G ′ để sao cho g(x i ) = x j Mặt khác vớix j ∈ X

và g ′ ∈ G ′ ta có x j = g ′ (x i) ∈ X. Vậy G ′ là nhóm bắc cầu

Theo Hệ quả 1.1.17 thì G và G ′ đều là nhóm chính quy Mặt khác

Đặc biệt nhóm Abel bắc cầu củaS(X)là nhóm Abel cực đại củaS(X),vì nhómAbel có mọi nhóm con đều là ước chuẩn, khi đó áp dụng Hệ quả 1.1.17 ta có điềuphải chứng minh

1.1.19 Định nghĩa Giả sử S i , ∀i ∈ I là các miền khác nhau để nhóm không bắccầuGbắc cầu trên từng miền Nếu ta xem Gnhư là nhóm phép thế trênS i thì ta kýhiệu nhóm đó làG i (ở đây G i = G |S ivà phần tử g i = g |S i là phần tử cảm sinh của

Ta gäi G ∗ = ΠG i lµ tÝch trùc tiÕp cña c¸c nhãm b¾c cÇu G i , i ∈ I vµ ký hiÖu

1.2 Nhóm nguyên thủy

Trong tiết này chúng tôi nghiên cứu về một loại nhóm phép thế mới, nó khôngchỉ bắc cầu theo nghĩa ta đã biết mà nó còn bắc cầu trên các phần tử là các tập conkhác một phần tử của X, đó là nhóm nguyên thủy

1.2.1 Định nghĩa Một nhóm Gbắc cầu được gọi là nhóm không nguyên thủy trêntập X nếu ta chia tập X = ∪Xα (α ∈ I) sao cho |I| > 1; |Xα| > 1 và thỏamãn điều kiện X α ∩ X β = ∅;∀α ̸= β. Với g bất kỳ thuộc vào nhóm G thì hoặc

g(X α ) = X α hoặc g(X α ) = X β Ngược lại thì Gđược gọi là nhóm nguyên thủy.1.2.2 Ví dụ

Từ nhận xét này ta thu được một số hệ quả sau

1.2.4 Hệ quả Cho Glà nhóm bắc cầu có bậc p là một số nguyên tố Khi đó Glànhóm nguyên thủy

Chứng minh Giả sử ngược lại G không nguyên thủy, khi đó X = ∪X α (α ∈ I),

trong đó cácX α có cùng lực lượng, suy ra|X| |Xα|mà |Xα| ̸= 1.Vậy |Xα| là ước

là nhóm nguyên thủy

1.2.5 Hệ quả ChoG là nhóm bắc cầu bội2. Khi đóG là nhóm nguyên thủy.Chứng minh Giả sử ngược lạiGkhông nguyên thủy, khi đó ta cóX = ∪X α (α ∈ I),

là sự phân chiaX thành các tập X α thỏa mãn định nghĩa

Khi đó giả sử a, a1 ∈ X α ; b ∈ X β ; a ̸= a1 và α ̸= β. Vì G là nhóm bắc cầu bội2

nên tồn tại g ∈ G sao cho:

Từ đó ta thấy X α = X β ,điều này mâu thuẫn với định nghĩa X α ∩ Xβ = ∅.

Vậy Glà nhóm nguyên thủy

1.2.6 Mệnh đề Sự phân chiaX = ∪X α , (α ∈ I)thành các miền nguyên thủy xác

phép chia đó là phép chiaX thành các miền nguyên thủy của G.

Chứng minh Giả sửX = ∪X α, (α ∈ I)là phép chia X thành các quỹ đạo của H.

Ta có|I| > 1(vì nếu|I| = 1thìH là nhóm nguyên thủy) và|H α | > 1vì H ̸= {e}

khi đó tồn tại α ∈ I để sao cho |Xα| > 1. Lấy g bất kỳ thuộc G, ta cần chứngminh g(X α ) = X β Thật vậy, nếu a1, b1 ∈ g(Xα) thì a1 = g(a); b1 = g(b) trong

đó a, b ∈ X α Vì H bắc cầu trên X α nên tồn tại h ∈ H để sao cho h(a) = b. Do

H △G nên ghg −1 ∈ H và ghg1(a1) = gh(a) = g(b) = b1, suy ra a1, b1 cùngthuộc một quỹ đạo nào đó Do đó a1, b1 ∈ X β , (β ∈ I). Vậy g(X α ) = X β

1.2.8 Định lý Nhóm Gbắc cầu nguyên thủy khi và chỉ khi mọi nhóm con ổn địnhcủaG là nhóm con cực đại.

Chứng minh Giả sửG là nhóm phép thế bắc cầu của tậpX, a ∈ X và G a là nhómcon ổn định của a ở trong G. Giả sử G a không cực đại, tức là tồn tại nhóm con U

của G, trong đó U ̸= Ga ; U ̸= G để sao cho: G a ⊂ U ⊂ G. Ta chia G theo cáclớp ghép trái củaU, có nghĩa G = ∪g α U = U α , (α ∈ I) với U α = g α U.

ĐặtX α = U α (a). Vì X bắc cầu nên X = ∪UX α (1).

Ta chứng minh (1) là sự chia lớp, thật vậy ∀α ̸= β thì X α ∩ X β = ∅, vì giả sử

Ta chứng minh (1) là sự chia lớp không nguyên thủy

Thật vậy, giả sử g(X α ) = gU α (a) = gg α U (a) = U β (a) = X β tức là g(X α) =

X β (2). Mặt khác vì U ̸= G a , nên |X| > 1 và U ̸= G nên |I| > 1. Vậy từ (2)suy ra X = ∪UX α là sự chia lớp không nguyên thủy

Ngược lại, giả sửGkhông nguyên thủy,X αlà một trong các tập của hệ không nguyênthủy củaGvàa ∈ X α.Ký hiệuU là tập hợp các phép thếhđể sao choh(Xα ) = X α.

VìG là nhóm bắc cầu; Xα ̸= {a}và Xα ̸= X nên Ga ⊂ U ⊂ G.

Định lý trên được xem như là dấu hiệu để nhận biết một nhóm nguyên thủy

1.2.9 Hệ quả Nhóm chính quy là nhóm không nguyên thủy trừ trường hợp cấp là

1.3 Ước chuẩn và tâm tập của nhóm bắc cầu

Trong tiết này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất của nhóm bắc cầu liên quan

đến ước chuẩn và tâm tập

1.3.1 Định lý Giả sửGlà nhóm bắc cầu của nhóm phép thế của tậpX và{e} ̸= H

là ước chuẩn không bắc cầu củaG. Khi đó sự phân lớp của X theo các quỹ đạo của

ước chuẩnH là sự phân lớp không nguyên thủy của nhóm G.

Từ Định lý 1.3.1 ta có các hệ quả sau

1.3.2 Hệ quả Giả sửG là nhóm phép thế nguyên thủy và {e} ̸= H là ước chuẩncủaG. Khi đóH bắc cầu

1.3.3 Hệ quả Giả sửGlà nhóm phép thế nguyên thủy vàH là ước chuẩn Abel của

G. Khi đóH không có nhóm con bất biến với mọi tự đẳng cấu của H

1.3.4 Hệ quả Giả sử G là một thể và A là nhóm cộng không tầm thường của G.

Khi đó không có nhóm con đặc trưng tầm thường

Chứng minh Giả sửG là một thể và A là nhóm cộng không tầm thường của G. Tachứng minhA = G.

Thật vậy, vìA không tầm thường, nên tồn tại a ∈ A, a ̸= 0, mặt khác Glà một thểnên mọi phần tử khác không củaG đều khả nghịch, do đó tồn tại đơn vịe ∈ G saochoa.a −1 = e.Khi đó ta có G = e.G ⊂ A.G ⊂ A. Vậy A = G.

1.3.5 Định lý Giả sử G là nhóm bắc cầu có tâm khác đơn vị e. Khi đó hầu như

G không là nguyên thủy trừ trường hợp bậc của phép thế và cấp của G là một sốnguyên tố

Nếu G có cấp p là số nguyên tố thì mọi nhóm con của G hoặc có một phần tửhoặc có p phần tử Suy ra mọi nhóm con ổn định của G là nhóm con cực đại Vậy

Chứng minh Do mỗi nhóm con của nhóm đối xứng S(X) đều là phép thế có bậcbằng |X|. Mặt khác, mỗi phép thế có bậc |X| đều có thể phân tích dược thành tíchcác chuyển trí (ij), mà (ij) = (1i).(ij).(1i) nên S(X) được sinh bởi các chuyểntrí dạng(12); (13);ã ã ã ; (1n).

Ta lại có mỗi phép thế bậc |X| đều phân tích được thành tích các các vòng xích

độc lập, nên giao hoán được với các chuyển trí khi |X| ≥ 3. Do đó S(X) với

i) Nếu C là nhóm bắc cầu thì B ∼ = C và trên X có phép toán (∗) để nhóm B

là biểu diễn chính quy trái của(X, ∗)vàC là biểu diễn chính quy phải của(X, ∗).

ii) Nếu C không bắc cầu vàX = α∈I ∪ X α là sự phân lớp theo quỹ đạo của C và

với mỗi α ∈ I, ta có biểu diễn

là biểu diễn chính quy thực sự và đối vớiα, β ∈ I thì r α , r β liên hợp

Chứng minh i) NếuC bắc cầu, trước hết ta chứng minh B là nhóm chính quy.Thật vậy, giả sử a ∈ X ta ký hiệu B a là nhóm con ổn định của a ở trong B, cónghĩa B a = {b ∈ B|b(a) = a}. Mặt khác vì C bắc cầu, nên với x ∈ X tồn tạiphần tửf sao chof (a) = x vàg ∈ B a thìf g = gf, mặt khác vìB a ∈ B nên ta có

Vậy B là nhóm chính quy

Mặt khác theo Định lý 1.3,7 bất kỳ một nhóm chính quy của S(X)là ảnh của biểudiễn trái chính quy, nên tồn tại phép toán(∗)trênX đểB là ảnh của biểu diễn chínhquy trái của (X, ∗) và C là ảnh biểu diễn chính quy phải của(X, ∗).

Khi đóB ∼ = C.

ii) Giả sửC là nhóm không bắc cầu

- Nếu C = {e} thì Định lý được chứng minh

- Nếu C ̸= {e}theo Định lý về quy tắc nguyên thủy thì nhóm G = BC khôngphải là nhóm nguyên thủy (vì C không bắc cầu) Khi đó ta phân tích X thành cáclớp không nguyên thủyX = ∪

α ∈I X α Giả sửε là một ký hiệu cố định củaI.Vì B lànhóm bắc cầu, nên với mỗiα ∈ I ta có thể chọn được một phép thếg α ∈ B để saochog α (X ε ) = X α , với g ε = e ∈ B thì g ε (X ε ) = X ε

Giả sử f ∈ C khi đó f (X α ) = X α Đặt f α = f |X α = r α (f ).γ α = g α |X α , trong

đó γ α : X ε −→ X α là song ánh sao cho đối với x α ∈ X α thì x α = g(x ε ) = γ α và