Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm

Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm

bộ giáo dục & đào tạo viện hàn lâm

khoa học và công nghệ vnviện vật lý

Luận án tiến sĩ

Hà Nội—2014

Lời cảm ơn

Trước tiên, tôi xin cảm ơn GS TS Hoàng Ngọc Long đã hướng dẫn

và động viên tôi rất nhiều, kể từ khi tôi tham gia khóa học thạc sĩ

và trong suốt thời gian tôi làm NCS Tôi xin cảm ơn nhóm lý thuyếttrường của thầy Long đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi cùng làm việc,cùng học tập và cùng nghiên cứu trong thời gian tôi làm NCS và giúp

đỡ tôi hoàn thành luận án này

Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp TS Phùng Văn Đồng, TS LêThọ Huệ và TS Nguyễn Huy Thảo đã hợp tác và đồng ý cho tôi sửdụng các công bố chứa các kết quả mà luận án đã sử dụng

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tôi làmviệc đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làmNCS Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đãgiúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục hành chính trong học tập nghiêncứu và bảo vệ luận án

Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên, chia

sẽ những khó khăn và ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt đểtôi có thể yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận án này

Lời cam đoan

Tôi xin đảm bảo luận án này gồm các kết quả chính mà tôi đã thựchiện trong thời gian làm nghiên cứu sinh Cụ thể, phần mở đầu làphần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan đến luận

án, đồng thời đưa ra những động lực để thực hiện các kết quả chínhcủa luận án Trong chương một tôi đã sử dụng kết quả nghiên cứu

mà tôi đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và các đồng nghiệp TS.Phùng Văn Đồng, TS Lê Thọ Huệ, TS Nguyễn Huy Thảo Chươnghai tôi sử dụng các kết quả đã thực hiện cùng với thầy hướng dẫn và

TS Phùng Văn Đồng

Cuối cùng tôi xin khẳng định các kết quả có trong luận án "Hệ

số đối xứng của giản đồ Feynman và ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiếtkiệm" là kết quả mới không trùng lặp với các kết quả của các luận án

và công trình đã có trước đây

Mục lục

1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường 6

1.1.1 Ma trận tán xạ 6

1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator) 7 1.1.3 Các định lý Wick 11

1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường 13

1.1.5 Hàm Green và yếu tố của S ma trận 19

1.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman 19

1.2.1 Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng 20

1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED 32 1.2.3 Hệ số đối xứng cho QCD 37

2 Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong mô hình E331 41 2.1 Mô hình E331 41

2.1.1 Sắp xếp các hạt trong mô hình E331 41

2.1.2 Các boson chuẩn trong mô hình E331 44

2.1.3 Các dòng trong mô hình E331 46

2.1.4 Khối lượng các fermions trong mô hình E331 48

2.2 Đối xứng Peccei-Quinn 51

2.2.1 Vấn đề Strong-CP 52

2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral vào số hạng vi phạm CP trong QCD 53

2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ 56

2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP 59

2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 61

2.4 Khối lượng các up- quark và down-quark trong mô hình E331 ở bậc một vòng 64

A HSĐX của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng tính đến bậc ba của lý thuyết nhiễu loạn 85

B Các giản đồ Feynman trong QED được tính đến bậc 4

C Các giản đồ của quá trình rã : µ− → νµ + e− + νfe tính

Các ký hiệu chung

Trong luận án này tôi sử dụng các kí hiệu sau:

Mô hình 3-3-1 với neutrinos phân cực phải 331RH

Điện động lực học lượng tử vô hướng sQED

Máy gia tốc năng lượng cao (Large Hadron collider) LHC

Danh sách bảng

1.1 Phân loại các trường 402.1 Tích B và L cho các đa tuyến trong mô hình E331 432.2 Số lepton khác không L của các trường trong mô hình

E331 442.3 Ba đối xứng chiral trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm 622.4 Các bổ đính ở bậc một vòng của các phần tử (MuU) 67

Danh sách hình vẽ

1.1 Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 10

1.2 Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k0 16

1.3 Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green 19 1.4 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết φ4 thực 22

1.5 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết φ4 thực 24

1.6 Hàm truyền của trường vô hướng phức 28

1.7 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ4 phức 29

1.8 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ4 phức 31

1.9 Các đỉnh tương tác trong QED 33

1.10 Các đỉnh tương tác trong sQED 36

2.1 Các đỉnh tương tác bảo toàn số lepton 65

2.2 Các đỉnh tương tác vi phạm số lepton 65

2.3 Đỉnh tương tác giữa các Higgs 66

2.4 Bổ đính của giản đồ thứ 2 của (MuU)11 68

2.5 Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C1 69

2.6 Các giản đồ cho đóng góp của số hạng C2 70

E.1 Các bổ đính cho phần tử (MuU)11 99

E.2 Các bổ đính cho phần tử (MuU)12 100

E.3 Các bổ đính cho phần tử (MuU)21 101

E.4 Các bổ đính cho phần tử (MuU)22 102

Mở đầu

Lý do chọn đề tài

Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới

đã và đang là công việc rất quan trọng Cùng với sự phát triển củakhoa học và kỹ thuật các máy gia tốc đang dần hoạt động ở mức nănglượng cao hơn, nhiều mô hình vật lý tiếp tục được phát triển và mởrộng để kiểm chứng các dự đoán Một sự kiện mới gần đây, máy giatốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ

đã phát hiện ra một loại hạt vô hướng tương tự - Higgs với khối lượngkhoảng 125-126 GeV Đây là hạt đã được dự đoán bởi SM, và cũng làphần cuối cùng được tiến hành kiểm chứng Việc xác định hạt Higgsthuộc mô hình nào sẽ đóng vai trò là kim chỉ nam cho sự phát triểncủa khoa học

Việc kiểm chứng hạt vô hướng Higgs cũng như các quá trình vật

lý khác đòi hỏi rất nhiều về kỹ thuật thực nghiệm cũng như phươngpháp tính toán ở mức cây, hầu hết các lý thuyết còn nhiều sai lệchvới thực nghiệm Vì vậy, để có sự phù hợp lớn hơn giữa thực nghiệm

và lý thuyết, đòi hỏi tất yếu là phải tính toán các bổ đính bậc cao.Đặc biệt, một số quá trình vật lý chỉ xuất hiện ở khai triển bậc caonhư: moment từ của neutrino, rã Higgs thành hai photon Đây là vấn

đề đã nhận được nhiều sự quan tâm và hiện nay vẫn đang tiếp tụcđược phát triển Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường cho chúng

ta xác định các bổ đính bậc cao, một phần rất quan trọng trong cácquá trình vật lý, nhưng không được kể đến ở mức cây (tree-level) Đặcbiệt, khi thực hiện khai triển bậc cao trong lý thuyết trường, các yếu

tố của giản đồ Feynman như: hàm truyền, đỉnh tương tác, hệ số đốixứng sẽ được xác định một cách cụ thể, rõ ràng

Các quá trình va chạm nói chung sẽ được đón nhận đầy đủ cácthông tin nếu chúng ta xác định được ma trận tán xạ Cụ thể, mỗiphần tử của ma trận tán xạ tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ

Feynman Một trong những yếu tố quan trọng ở đây là hệ số đối xứng(HSĐX) của các giản đồ Feynman Đây là vấn đề phức tạp được nhiềungười quan tâm Kastening và các đồng nghiệp đã có một số công bố

về cách tính hệ số đối xứng cho các giản đồ Feynman dựa trên cácđặc điểm về các yếu tố hình dạng (topo) của các giản đồ [23] Bêncạnh đó, còn có nhiều chương trình sử dụng máy tính để tính hệ số đốixứng của các giản đồ Feynman như, FeynArt [21], QGRAF [22] Tuynhiên, các chương trình này gần như chỉ mới chú ý đến các trườngthực và các giản đồ liên kết mà chưa chú ý đến các trường phức và cácgiản đồ chân không (vacuum diagrams) - các yếu tố có vai trò quantrọng trong lý thuyết hiệu dụng và chuyển pha trong vũ trụ học Bêncạnh đó, chúng ta cũng phải kể đến công trình rất chi tiết [11] củaT.P.Cheng và L.F.Li, đã đưa ra HSĐX của một số giản đồ cho trường

vô hướng thực, nhưng còn hạn chế là chưa đưa ra công thức tổng quáttính HSĐX Ngoài ra, M.E.Peskin và D.V.Schroeder có kể đến sự thừa

số hóa chân không của các giản đồ nhưng chưa đưa ra được công thứctổng quát để tính HSĐX [12] Đặc biệt, gần đây C.D.Palmer và cácđồng tác giả đã công bố cách tính hệ số đối xứng của giản đồ Feynmancho nhiều trường hợp: vô hướng, spinor QED, scalar QED, QCD [35].Tuy nhiên, các tác giả trong [35] chỉ mới xét đến các giản đồ liên kết,chưa xét đến các giản đồ chân không và chưa chỉ ra được cách xácđịnh hệ số hoán vị g giữa các đỉnh tương tác trong giản đồ

Có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xây dựng công thức tính

hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman Một số công bố sử dụngphương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) đểtính HSĐX của các giản đồ [6, 7, 8, 9] Còn các tác giả trong [10] lạiđưa ra cách tính HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn cao hơn dựatrên HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn thấp hơn Một số công bốkhác sử dụng cách khai triển bậc cao trong lý thuyết trường để đưa racách tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman [11, 12, 13, 14, 15].Cách tiếp cận này rất đơn giản và trực quan, bằng cách khai triển T -tích của các hàm Green, HSĐX của các giản đồ được đưa ra một cách

tự nhiên

Thực tế, các quá trình vật lý xảy ra rất phong phú với sự xuấthiện của nhiều trường khác nhau Do vậy, việc xây dựng công thức xácđịnh hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman có các trường khác nhau

là rất quan trọng Phải nhấn mạnh rằng, chúng ta có kết quả vật lý

đúng chỉ khi có HSĐX của giản đồ chính xác Trong luận án này, vớiviệc sử dụng kết quả từ [19] và [20], chúng tôi đã xây dựng công thứcxác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman Mộttrong những kết quả rất ý nghĩa là định lý về HSĐX trong điện độnglực học lượng tử (QED) Đó là, HSĐX của các giản đồ liên kết trongQED luôn bằng 1, kết quả này thực sự rất bổ ích khi áp dụng cho các

lý thuyết thống nhất các tương tác

Một vấn đề mang tính thời sự bậc nhất trong khoa học hiện nay

là sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC, với năng lượng các hạtđược gia tốc cỡ 14 TeV, và điều này cho chúng ta kỳ vọng vào cáchiện tượng vật lý mới Mô hình chuẩn với nhiều thành công và nhữngtiên đoán chính xác tiếp tục định hướng cho sự phát triển của vật

lý hạt cơ bản Tuy nhiên, các tồn tại của mô hình chuẩn như: giảithích khối lượng và sự dao động của neutrino, giải thích nguồn gốc tựnhiên của khối lượng các hạt, vì sao phải cần cơ chế Higss để sinh khốilượng cho các hạt, giải thích sự phân bậc khối lượng giữa thang yếu

và thang Planck, giải thích sự không đối xứng của vật chất và phảnvật chất trong vũ trụ là bằng chứng tin cậy cho thấy, mô hình chuẩn(dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU(3)CNSU (2)L N

U (1)Y) là một lýthuyết hiệu dụng của một lý thuyết tổng quát hơn Để giải quyết cácvấn đề tồn tại của mô hình chuẩn, chúng ta đã phát triển các mô hìnhchuẩn mở rộng Các mô hình 3-3-1(mở rộng nhóm đối xứng chuẩnthành SU(3)CNSU (3)LNU (1)X) đã phát triển theo hướng mở rộng

mô hình chuẩn và đạt được nhiều thành quả quan trọng Các mô hình3-3-1 đã giải thích một cách rất tự nhiên tại sao số thế hệ phải là 3 [16].Đồng thời, các mô hình 3-3-1 còn giải quyết vấn đề lượng tử hóa điệntích, khối lượng các neutrinos Có hai phiên bản của mô hình 3-3-1,việc phân chia này phụ thuộc vào phần lepton được đưa vào trong môhình Phiên bản thứ nhất, gọi là mô hình 3-3-1 tối thiểu, được đề xuấtbởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [99], trong đó, ta đưalepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton củanhóm SU(3)L Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến

vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượngcho các fermions Phiên bản thứ hai, được các tác giả Foot, Long vàTuan đề xuất năm 1994, trong đó, thành phần thứ ba của các tamtuyến lepton của nhóm SU(3)L là các neutrinos phân cực phải [17] Môhình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với hai tam tuyến Higgs [34], có số trường

vô hướng đưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết đượchầu hết các vấn đề quan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phâncực phải (331RH) như các kết quả đã thể hiện ở tài liệu tham khảo[18] Tuy nhiên, mô hình E331 có một hạn chế là khối lượng up-quark

và down-quark bằng không ở mức cây (tree-level), điều này do nguyênnhân rất đơn giản là số trường vô hướng chúng ta đưa vào mô hình

là ít nhất Một nhận định mới đây của nhóm tác giả J.C Montero vàB.L.Sanchez-Vega [32], cho rằng tồn tại một đối xứng toàn cục U(1)P Qkiểu đối xứng Peccei-Quinn [33] Đối xứng này là nguyên nhân làmcho khối lượng các quark u và quark d bằng không ở mọi bậc của lýthuyết nhiễu loạn Khi đó, mô hình E331 đưa ra như ở tài liệu thamkhảo [17] là không đúng Các kết quả có được từ mô hình E331, cầnphải được xem xét lại

Bằng cách xem xét đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331,chúng tôi đã chỉ ra là sau khi phá vỡ đối xứng tự phát bằng trung bìnhchân không của các vô hướng, đối xứng còn dư không phải là đối xứngkiểu Peccei-Quinn Đây là kết luận quan trọng, dẫn đến các quark cóthể nhận khối lượng khi chúng ta tính đến các bổ đính ở nhiễu loạnbậc cao Tiếp theo, sử dụng các công thức xác định hệ số đối xứngcủa các giản đồ ở bậc một vòng, chúng tôi đã chỉ ra các quark đều

có khối lượng ở nhiễu loạn bậc cao Đồng thời, chúng tôi tính ra khốilượng của up-quark và down-quark ở bậc nhiễu loạn một vòng Đó làmột bằng chứng nữa ủng hộ mạnh mẽ các kết quả đã công bố của môhình E331

Đối tượng nghiên cứu

• Các phương pháp khai triển bậc cao trong lý thuyết trường

• Các giản đồ Feynman có các trường khác nhau.

• Khối lượng các fermion trong mô hình E331

Nội dung nghiên cứu

• T-tích của các Lagrangian tương tác

• Hệ số hoán vị g của các đỉnh tương tác trong giản đồ Feynman

mà không làm thay đổi dạng hình học của giản đồ

• Xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồFeynman

• Đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331

• Bổ đính khối lượng các quark trong mô hình E331 ở bậc mộtvòng

Phương pháp nghiên cứu

• Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

• Các phương pháp tính bằng phần mềm Mathematica 7.0

Chương 1

Hệ số đối xứng của giản đồ

Feynman

Một quá trình vật lý hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bằng matrận tán xạ hoặc hàm Green toàn phần Nếu ma trận tán xạ được thểhiện dưới ngôn ngữ toán học là các toán tử thì hàm Green lại thườngđược biểu thị ở dạng hàm vector, tenxor Mỗi một phần tử của matrận tán xạ tương ứng với hàm Green ở cùng bậc nhiễu loạn và cũngchính là một hoặc nhiều giản đồ Feynman cụ thể Với lý do như vậy,khai triển bậc cao trong lý thuyết trường là việc làm tất yếu để thuđược thông tin đầy đủ của một quá trình vật lý

1.1.1 Ma trận tán xạ

Ma trận tán xạ còn có tên gọi khác: S ma trận (scattering matrix)

là trường hợp giới hạn của toán tử tiến triển thời gian khi thời giantiến tới vô cùng

S = lim

t→∞

t 0 →−∞

trong đó, U(t, t0) là toán tử tiến triển thời gian và hàm φ trong

U (t, t0) chưa được xác định vì Hamiltonian thực chất lại biểu diễnqua chúng Do vậy ta phải xây dựng tương tác của các hạt trên ngônngữ của các trường tự do Tức là trong định nghĩa (1.1) ta sử dụngcác trường tự do (sóng phẳng) ở trạng thái đầu và cuối

Kết hợp các điều kiện trên với phương trình Schrodinger, chúng

ta thu ma trận tán xạ với kết quả là:



δS(g)δg(y)S

Từ ba điều kiện trên, người ta đã thu được S ma trận

S = T expiZ dxLint(x) ≡ T eiSint (1.6)Như chúng ta đã biết Hint(x) = −Lint(x) nên S ma trận thu được từphương pháp này và phương pháp dựa trên phương trình Schrodingerxét ở trên là như nhau Ma trận tán xạ thực chất là một toán tử và

là trường hợp đặc biệt của toán tử tiến triển thời gian

Tiếp theo, chúng ta sẽ tóm tắt lại các tính chất của toán tử tiến triểnthời gian

1.1.2 Toán tử tiến triển thời gian (evolution operator)Trong vật lý, việc giải bài toán với tương tác hầu như là vô vọng, nênngười ta phải sử các phương pháp gần đúng Chẳng hạn, với phươngpháp gần đúng Hatree-Fock chúng ta đã dùng các hàm tự do thay vàoLagrangian tương tác Một cách tương tự, trong lý thuyết trường, vớicông cụ toán học phát triển chúng ta mô tả tương tác của các hạttheo ngôn ngữ của các trường tự do Khi đó, chúng ta sử dụng biểudiễn tương tác

Trong biểu diễn tương tác (interaction picture) các toán tử trường

và vector trạng thái được định nghĩa như sau

φI(t, ~x) = eiH0 tφS(~x)e−iH0 t = eiH0 te−iHtφ(t, ~x)eiHte−iH0 t

= U (t, 0)φ(t, ~x)U−1(t, 0),

|a, tiI = eiH0 t|a, tiS = U (t, 0)|ai, (1.7)trong đó

U (t, 0) = eiH0 te−iHt = e−iHint t = e−iHint (t−t 0 ), với t0 = 0, (1.8)

là toán tử unita có tên gọi là toán tử tiến triển thời gian (evolutionoperator) thoả mãn các điều kiện sau

U (t, t0)U (t0, t0) = U (t, t0), U (t, 0)U−1(t0, 0) = U (t, t0)

Ngoài ra, toán tử tiến triển thời gian còn thoả mãn tính chất nhóm,nghĩa là có nghịch đảo

U−1(t, t0) = U (t0, t) = U†(t, t0) (1.9)Trong biểu diễn tương tác, các hàm sóng thoả mãn phương trình

tự do

∂0φI(t, ~x) = i[H0, φI(t, ~x)] (1.10)Trạng thái cuối ở thời điểm t liên hệ với trạng thái ban đầu ở thờiđiểm t0 qua toán tử tiến triển thời gian

|a, tiI = U (t, t0)|a, t0iI, U (t0, t0) = 1 (1.11)Đây là cơ sở cho chúng ta thu được phương trình chuyển động củatoán tử tiến triển thời gian U(t, t0)

i∂

∂tU (t, t0) = H

0 intU (t, t0), (1.12)trong đó

Hint0 = eiH0 tHinte−iH0 t

là Hamiltonian trong biểu diễn tương tác

Hint0 = Hint(φI) (1.13)

Dễ dàng nhận ra, trong (1.13) hàm sóng φI thực chất là hàm tự do

Tiếp theo, chúng ta tìm biểu thức cho toán tử tiến triển thờigian Mặc dù có lời giải tường minh một cách hình thức của U(t, t0),nhưng sẽ thuận lợi hơn, nếu chúng ta tìm lời giải của phương trìnhtích phân tương đương với điều kiện biên U(t0, t0) = 1,

U (t, t0) = 1 − iZ tt

0

dt0Hint(t0)U (t0, t0) (1.14)

Để cho ngắn gọn, trong phần tiếp theo, chúng ta ký hiệu lại H ≡

Hint Phương trình này có thể giải bằng phương pháp lặp trình teractive) dẫn tới dãy tương tác

Hình 1.1: Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17

Một cách hình tượng, chúng ta có thể minh hoạ phương trình trênbằng hình vẽ 1.1

Nếu chúng ta đưa vào tích theo thứ tự thời gian (gọi là T -tích)

T [H(t1)H(t2) · · · H(tn)] ≡ H(t1)H(t2) · · · H(tn)

với ti 1 ≥ ti 2 ≥ · · · ≥ ti n (1.18)thì khi ti = tj, chúng ta có thể giữ nguyên thứ tự, hoặc tiền định nghĩa.Như vậy, biểu thức cho toán tử tiến triển thời gian lúc này được đưara

Tất nhiên, ở đây Hint được viết trong biểu diễn tương tác

Trường hợp tổng quát, toán tử tiến triển thời gian là nghiệm củaphương trình (1.12) và được viết dưới dạng:

Các quá trình vật lý đều được nhận biết thông qua ma trận tán xạ.

Để xác định S ma trận, ngoài toán tử tiến triển theo thời gian chúng

ta cần thêm các định lý Wick để khai triển T -tích

Định nghĩa: Tích chuẩn hay N - tích (Normal product, normalordering : : hoặc N ) là tích mà trong đó toán tử sinh đứng trước (bêntrái), toán tử hủy đứng sau (bên phải).

Định nghĩa N-tích cho chúng ta các hệ quả saụ

• Trung bình chân không của N-tích bằng không Điều này suy ra

từ tác động của toán tử huỷ cho chân không triệt tiêu: ẵk) |0i = 0

• Để giảm bớt những giản đồ chân không (giản đồ không có đườngngoài) không cần thiết người ta thường quy ước rằng: các trườngtrong Lagrangian hoặc Hamiltonian đã được viết trong dạng N-tích

• Tuy nhiên khi tính các giản đồ chân không, người ta phải bỏ tích đị

N-Để tính các yếu tố ma trận chúng ta sử dụng hai định lý Wick Định lý Wick 1: T -tích của các toán tử bằng tổng các N -tích củachúng với mọi cặp đôi (pairing, construction) khả dĩ, kể cả N -tíchkhông có cặp đôi

T [φ(x)φ(y)] ≡ N[φ(x)φ(y)] + φ(x)φ(y)

Cặp đôi liên hệ với hàm truyền Feynman như sau

i∆F(x − y) = < 0|T [φ(x)φ(y)]|0 >=< 0| φ(x)φ(y)|0 >,

i[SF(x − y)]βα = < 0| ψα(x) ¯ψβ(y) |0 >,

i∆µνF (x − y) = < 0| Vµ(x)V∗ν(y) |0 > (1.26)Chú ý rằng cặp đôi liên kết chặt chẽ với giao hoán hoặc phản giaohoán tử của các trường

< 0| φ(x)φ(y)|0 >=< 0| [φ(x), φ(y)]±|0 >, (1.27)trong đó giao hoán tử (-) ứng với trường boson, phản giao hoán tử(+) ứng với trường fermion

Ngoài ra, chúng ta còn gặp N-tích với các cặp đôị Khi tínhtrung bình chân không, sử dụng (1.27) chúng ta sẽ chuyển từ tích

δϕ∆

δδϕ

Một trường hợp chúng ta cũng rất hay gặp là T -tích của các thừa

số trong dạng chuẩn Khi đó chúng ta sẽ sử dụng định lý sau đây:Định lý Wick 2: T -tích chứa các thừa số trong dạng N-tích bằngtổng các N-tích của chúng với mọi cặp đôi khả dĩ, kể cả N-tích không

có cặp đôi, nhưng không có các cặp đôi trong cùng một N-tích

Chú ý rằng chúng ta chỉ không lấy cặp đôi trong số hạng đầu tiêncủa (1.28) và rút các cặp đôi ra khỏi N-tích ở các số hạng tiếp theo

Để minh hoạ chúng ta tính trung bình chân không của T-tích gồm haithừa số sau

h0|T [: ¯ψ(x)γµψ(x) :: ¯ψ(y)γνψ(y) :]0i = γµiSF(x − y)γν(−)iSF(y − x)

= γµSF(x − y)γνSF(y − x)(1.30)Trong (1.30) chúng ta đã không lấy kết cặp giữa ψ(x) với ¯ψ(x) vìchúng ở trong cùng một N-tích Dấu trừ trong đó là do chúng ta phảiđổi chỗ một lần hai hàm spinor

Các định lý Wick sẽ là công cụ quan trọng cho chúng ta xâydựng công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman,đặc biệt trong việc xác định các liên kết khả dĩ giữa các trường trongcác Lagrangian tương tác ở nhiễu loạn bậc cao

1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường

Hàm Green có vai trò rất quan trọng trong vật lý nói chung và lýthuyết trường nói riêng Hàm Green giúp chúng ta tìm nghiệm củaphương trình Klein-Gordon cho cả trường tự do và trường tương tác,

ở mức cây hàm Green chính là hàm truyền Feynman, ở các bậc nhiễu

loạn khác nhau mỗi hàm Green tương ứng với một hoặc nhiều giản đồFeynman cụ thể Chúng ta bắt đầu từ phương trình Klein-Gordon:

(+ m2)ϕ(x) = J(x), (1.31)trong đó nguồn J(x) = ∂L int

ϕ(x) = ϕ0(x) + Z d4xG(x − y)J(y), (1.33)trong đó ϕ0(x) là nghiệm thoả mãn phương trình Klein-Gordon với vếphải bằng không

Trong phương trình (1.33) dạng của hàm Green phụ thuộc vào từngtrường hợp cụ thể Để rõ ràng hơn, sau đây chúng ta xét một trườnghợp đơn giản cho trường vô hướng với Lagrangian toàn phần gồmphần tự do và phần tương tác Với các trường khác chúng ta có cáchlàm hoàn toàn tương tự [4]

Thực hiện biến đổi Fourie (1.33) với ϕ(x) là trường vô hướng, ta có

kể tới các hệ số tự do khi lấy tích phân dạng aD+ + bD− + cD(x),trong đó D+ và D− là lời giải của phương trình đồng nhất với vế tráicủa (1.32) bằng không Các hàm D± chính là phần tần số dương, âmcủa hàm sóng ϕ, vì chúng thoả mãn phương trình Klein-Gordon củatrường vô hướng tự do Quy tắc qua cực cho ta xác định được các

hệ số này, đồng thời cho chúng ta xác định Hàm Green sớm và hàmGreen trễ

Để xác định hàm Green trễ (retarded), chúng ta chọn điều kiệnbiên

Dret(x) = 0, với x0 < 0 (1.35)Khi biểu diễn Dret trong dạng gần đúng với (1.34), ta thấy nếunhân hàm này với exp(−εx0), trong đó ε > 0, thì từ (1.35), nókhông có thêm một kỳ dị mới nào

Dret(x)e−εx0 = Gε(x) (1.36)Như vậy ta có thể biểu diễn nó như giới hạn

x0 > 0, tích phân phải khép ở nửa dưới ứng với hàm Green sớm

Trong lý thuyết trường lượng tử, hàm Green nhân quả Dc(x−y)đóng một vai trò cực kỳ quan trọng mô tả mối liên hệ nhân quảquá trình sinh và huỷ các hạt tại các điểm khác nhau của khôngthời gian x và y Trên cơ sở đã xác định hàm Green sớm và hàmGreen trễ, sau đây chúng ta sẽ xác định hàm Green nhân quả.Quá trình sinh hạt tại điểm x và huỷ nó tại y được mô tả bởi yếu

tố ma trận

< 0|ϕ−(y)ϕ+(x)|0 >= 1

iD

−(y − x) = iD+(x − y) (1.47)

Rõ ràng rằng ta coi y0 > x0 Nếu ngược lại, hạt sinh ra tại điểm

y và huỷ tại x, có biểu thức tương ứng

< 0|ϕ−(x)ϕ+(y)|0 >= 1

iD

−(x − y) (1.48)

Như vậy hàm nhân quả Dc(x − y) phải tỷ lệ với D−(x − y) khi

x0 > y0 và khi x0 < y0 phải tỷ lệ với hàm D+(x − y) Để xác lậpdạng của hàm này, ta có nhận xét rằng, bất kỳ lời giải nào của(1.32) có thể biểu diễn trong dạng tổ hợp tuyến tính của lời giảiphương trình đồng nhất Chọn hàm đó là hàm trễ, ta sẽ có lờigiải của (1.32) ở dạng

G(x) = Dret(x) + aD+(x) + bD−(x), (1.49)trong đó a và b là hệ số bất kỳ Chọn a = −1, b = 0, ta có biểuthức

Dret(x−y)−D+(x−y) = θ(x0−y0)D−(x−y)−θ(y0−x0)D+(x−y),

(1.50)thoả mãn tất cả điều kiện của Dc

Để có biểu thức trong biểu diễn xung lượng của hàm nhân quả

Dc(x) = θ(x0)D−(x) − θ(−x0)D+(x) (1.51)Khi sử dụng công thức Sokhovski, 1

x±i0 = P1x ∓ iπδ(x), trong đó

P là giá trị chính, ta đưa ra tính chất sau: hiệu của Dret− D+ cóthể biểu diễn trong dạng

1

m2− k2− 2iεk0

+ 2πiθ(k0)δ(k2− m2)

ta đã sử dụng tính chất: aδ(x) = δ(x/a) = δ(x) Bởi vì tại điểm

x 6= 0 cả hai vế bằng không và đều bằng vô cùng (∞) tại x = 0(Điều này chỉ đúng khi không có tích phân) Tức là, hệ số cạnh

ε là không quan trọng Như vậy:

• Hàm Green toàn phần

Các hàm Green sớm, hàm Green trễ, hàm Green nhân quả

ở trên là hàm ở gần đúng cây, và được chúng ta xác định dựatrên một trường hợp riêng là trường vô hướng Tất nhiên, với cáctrường khác, bằng cách làm tương tự chúng ta cũng thu được cáckết quả tương ứng Đặc biệt, các hàm này không phụ thuộc vàodạng tương tác của các trường Tại gần đúng bậc cao, các hàmnày phụ thuộc vào tương tác Khi đó, chúng ta cần sử dụng hàmGreen tổng quát để mô tả tương tác giữa các trường và trongtrường hợp đơn giản, hàm Green toàn phần lại có dạng như cáchàm Green ở gần đúng bậc cây Khi giải phương trình (1.32), tađược nghiệm là hàm Green n điểm - trung bình chân không của

1.1.5 Hàm Green và yếu tố của S ma trận

Từ biểu thức (1.54), ta thấy hàm Green liên hệ mật thiết với yếu

tố S ma trận (biên độ chuyển dời có giá trị cụ thể, là c - số chứ khôngphải là toán tử - như ma trận tán xạ) Hàm Green n + m điểm có thểxem như tích biên độ chuyển dời của quá trình mà n hạt ở trạng tháiđầu tán xạ với nhau để chuyển sang trạng thái cuối với m hạt với hàmtruyền của các hạt tương ứng Chú ý rằng, các hàm truyền này vớixung lượng của các hạt ngoài Tổng quát hoá của (1.54) như sau [2]:

h~k10 · · · ~km0 |S|~k1· · · ~kni = lim

k 2

i →m 2 i

n+m Y i=1

k 2

i −m 2

i là hàm truyềncủa các trường Nghĩa là, P (ki) là đa thức theo ki và tuỳ thuộc vàoloại trường mà có dạng cụ thể: với trường vô hướng P (ki) = i, vớitrường fermion P (ki) = i(k/ − m), Ta biểu thị (1.56) bằng hình 1.3dưới đây:

Hình 1.3: Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green

Dễ dàng nhận ra một khác biệt nữa, yếu tố của S ma trận là một

c - số (là đại lượng vô hướng) còn hàm Green - đóng vai trò truyềntải quá trình vật lý nói chung không phải là đại lượng vô hướng, mà

là một hàm vector hoặc một hàm tensor

Trong phần này, chúng tôi tập trung vào việc xây dựng công thứctổng quát để xác định hệ số đối xứng của các loại giản đồ Feynman.Đầu tiên, chúng tôi bắt đầu với các giản đồ của các trường vô hướng[19], trên cơ sở đó, chúng tôi tiếp tục xây dựng công thức xác định hệ

số đối xứng của các giản đồ cho QED, cho QCD Đặc biệt, bằng cáchsuy luận tương tự, với các trường khác sẽ được chúng tôi xếp vào mộttrong hai loại: kiểu vô hướng thực hoặc kiểu vô hướng phức Do đó,công thức tổng quát xác định hệ số đối xứng của giản đồ Feynmanvới sự xuất hiện nhiều loại trường khác nhau sẽ được đưa ra [20].

1.2.1 Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho trường

vô hướng

Trước tiên, ta sẽ sử dụng định lý Wick để khai triển T -tích củacác Lagrangian tương tác theo N -tích như trong tài liệu tham khảo[3, 12] Sau đó, sử dụng hàm Green toàn phần ta sẽ xác định các liênkết khả dĩ giữa các trường để xây dựng công thức tính hệ số đối xứngcủa giản đồ Feynman Bằng cách làm như vậy, chúng ta sẽ thấy mỗihàm Green sẽ tương ứng với một hoặc nhiều giản đồ Feynman và đứngtrước các giản đồ là hệ số đối xứng

Hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng thực

Để đơn giản và không mất tính tổng quát, chúng ta bắt đầu vớihàm Green hai điểm trong lý thuyết φ4 thực

G(x1, x2) = X∞

p=0

(−i)pp!

Z ∞

−∞d4y1· · · d4yph0|T {φI(x1)φI(x2)

×Hint(φI(y1) · · · Hint(φI(yp)}|0i, (1.57)chỉ số I trong các toán tử trường ở trên được hiểu là chúng ta sử dụngbiểu diễn tương tác và để ngắn gọn, sau đây chúng ta qui ước khôngcần viết thêm chỉ số I Ta hãy xét trường hợp p = 1

G(x1, x2) = h0|T [φ(x1)φ(x2)]|0i

−iλ4!

Z ∞

−∞d4yh0|T {φ(x1)φ(x2)φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)}|0i,

(1.58)

Số hạng đầu trong (1.58) cho hàm truyền ở gần đúng cây Ta hãy xét

số hạng thứ hai (với ký hiệu G(1)(x1, x2))

G(1)(x1, x2) = −i4!λ Z ∞−∞d4yh0|T {φ(x1)φ(x2)[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)]}|0i

(1.59)

Lagrangian tương tác trong lý thuyết φ4 thực là:

Thừa số 6=3.2 ở trên xuất hiện từ 3 khả năng kết cặp khả dĩ của

φ đầu tiên, 2 cho φ thứ hai [12] Chú ý rằng, các hàm trường trong(1.59) thoả mãn điều kiện của T -tích, nghĩa là các hàm ứng với trạngthái ban đầu |ii có thời gian lớn hơn các trường ở trạng thái cuối hf|

Do vậy, tích bình thường tương đương với T -tích

Thay (1.61) vào (1.58), ta nhận được kết quả sau: số hạng đầu tiên

là tích chuẩn của bốn trường vô hướng thực không thể liên kết với haiđường ngoài nên không tạo ra giản đồ nào, chỉ có hai số hạng cuối chochúng ta các giản đồ

G(1)(x1, x2) = −i34!λ Z ∞−∞d4y

(

φ(y)φ(y)h0|T {φ(x1)φ(x2)2N [φ(y)φ(y)]}+ φ(y)φ(y) φ(y)φ(y) T [φ(x1)φ(x2)]

2∆(x1− x2)∆(y − y)∆(y − y)

)

(1.62)

Hệ số 2 ở số hạng đầu tiên do mỗi điểm x1 có hai khả năng kết cặp

Số hạng này được mô tả bởi giản đồ (a) liên kết trong hình 1.4, còn

số hạng thứ 2 là giản đồ không liên tục trong hình (b)

Trong hình 1.4 mỗi đường nối hai điểm x và y được mô tả bởi hàm

∆(x − y) Các hệ số trước các giản đồ chính là hệ số đối xứng củagiản đồ Chú ý rằng, theo (1.59) đối với các kết cặp có một điểm ngoài(như là x1 hoặc x2: ∆(x1− y) ∼ eipy)

1 2

x 1 y x 2

1 8

Hình 1.4: Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết φ 4 thực

Hoàn toàn tương tự, chúng ta xét tiếp trường hợp p = 2

G(2)(x1, x2) = −1

2

λ4!

!2 Z ∞

−∞d4yd4zh0|T {φ(x1)φ(x2)

×N[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)]

×N[φ(z)φ(z)φ(z)φ(z)]}|0i (1.63)Thực hiện các phép tính với hai N-tích như trong (1.61), ta có

G(2)(x1, x2) = −1

2

λ4!

!2 Z ∞

−∞d4yd4z [h0|T {φ(x1)φ(x2)

×N[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)]N[φ(z)φ(z)φ(z)φ(z)]}|0i

+2.6(−i∆(y − y)h0|T {φ(x1)φ(x2)N [φ(y)φ(y)]N [φ(z)φ(z)φ(z)φ(z)]}|0i

−6.6∆(y − y)∆(z − z)h0|T {φ(x1)φ(x2)N [φ(y)φ(y)]N [φ(z)φ(z)]}|0i+i2.3.6∆(y − y)∆(y − y)∆(z − z)h0|T {φ(x1)φ(x2)N [φ(z)φ(z)]}|0i

−i3.3∆(y − y)∆(y − y)∆(z − z)∆(z − z)∆(x1− x2)] (1.64)Lần lượt ký hiệu các số hạng trong từng hàng của (1.64) là I, II, V,

và chưa kể tới các hệ số trước chúng, ta có

I = −i4(x1 kết cặp với y).4(x2 kết cặp với z).3.2.2

×∆(x1− y)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − z)∆(z − x2)

−i4.3.2∆(x1− x2)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − z)

(1.65)Chúng ta có thể giải thích các hệ số như sau: thừa số 4 đầu tiên là 4khả năng kết cặp của x1 với 4 φ(y) trong N-tích, v.v Số hạng thứ haitương ứng với dòng thứ hai của (1.64) là

II = 4.3.2(−i)∆(x1− y)∆(y − z)

×∆(y − z)∆(z − z)∆(y − x2) (1.66)

Số hạng thứ ba tương ứng với dòng thứ ba của (1.64) là

III = 2.2.2(y đổi cho z)(−i)∆(x1− y)∆(y − y)

48∆(x1− x2)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − z)+1

4∆(x1− y)∆(y − z)∆(y − z)∆(z − z)∆(y − x2)+1

4∆(x1− y)∆(y − y)∆(y − z)∆(z − z)∆(z − x2)+ 1

16∆(x1− x2)∆(y − z)∆(y − z)∆(y − y)∆(z − z)+ 1

16∆(y − y)∆(y − y)∆(x1− z)∆(z − x2)∆(z − z)+ 1

128∆(y − y)∆(y − y)∆(z − z)∆(z − z)∆(x1− x2)

#

.(1.69)Chúng ta minh hoạ các số hạng trên bằng giản đồ Feynman như tronghình 1.5, với lưu ý các thừa số đứng trước chính là hệ số đối xứng củacác giản đồ

Trên đây, chúng ta đã chỉ ra các yếu tố đóng góp cho hệ số đốixứng cho các giản đồ Feynman Tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng côngthức xác định hệ số đối xứng cho trường vô hướng thực Trong trườnghợp tổng quát, hàm Green-n điểm bậc p được đưa ra như sau:

x 2

1 4

(f )

z y

1 128

(g) Hình 1.5: Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết φ 4 thực

Sử dụng (1.61), khi khai triển T -tích của Lr

int(φ(y)) ta được:

φ4(y) ∼ T [φ4(y)] = N [φ4(y)] + 6N [φ2(y)] ˙∆ + 3 ˙∆ ˙∆, (1.71)trong đó ˙∆ ≡ ∆(y, y) là kí hiệu tương ứng cho giản đồ bóng đơn

a ≡ N[φ4(y)], b ≡ N[φ2(y)] ˙∆, c ≡ ˙∆ ˙∆ (1.72)

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức (1.71) là:

φ4 ∼ T [φ4] = a + 6b + 3c (1.73)Đây là công thức rất quan trọng, đơn giản và thuận tiện khi sửdụng tính hệ số đối xứng cho trường vô hướng thực Tất cả các công

bố trước đây như, [21], [22] đều chưa đưa ra được kết quả này Kếtquả này được chúng tôi đưa ra dựa trên việc khai triển T -tích của cácLagrangian tương tác [19], trên cơ sở đó, công thức xác định hệ số đốixứng được đưa ra một cách rõ ràng

Hàm Green ở (1.70) là bất biến dưới phép hoán vị của các grangian Mặt khác, tích của các Lagrangian có thể khai triển theotổng của các số hạng chứa a, b và c theo dạng apbqct với p, q và t làcác số nguyên Hệ số của các khai triển này được xác định theo côngthức:

bp2

cp3

= a(y1)a(y2) a(yp 1)b(yp 1 +1)b(yp 1 +2) b(yp 1 +p 2)

.c(yp 1 +p 2 +1)c(yp 1 +p 2 +2) c(yp) (1.76)Khi ta sử dụng khai triển:

Tiếp theo, ta tính các hệ số của số hạng A, số hạng này đượcviết rõ ràng là:

Do đó, chúng ta có hệ số p1!p2!(4!)p1(2!)p2, như trong công thức (1.83)

Hệ số này còn có thể rút gọn khi ta khai triển T-tích của B ở phầnsau, p3! là số hoán vị của đỉnh c; 2! (mũ p3) là số hoán vị của hai bóngđơn trong các đỉnh c ; còn β như đã trình bày ở trên, là số các bóngđơn, với quy ước mỗi bóng đôi tính bằng hai bóng đơn

Tiếp theo, khi khai triển B ta thấy xuất hiện các thừa số sau:

• p1!p2! là số các hoán vị liên kết giữa p1 đỉnh a và p2 đỉnh b

• Hoán vị các đường trong cùng một đỉnh: 4! cho đỉnh a và , 2! chođỉnh b Do đó (4!)p 1(2!)p2 cho p1 đỉnh a và p2 đỉnh b

• Hệ số 1/Qn=2,3 (n!)αn cho liên kết giữa các đỉnh với các đỉnh,trong đó, n là số các đường liên kết giống nhau giữa hai đỉnh và

αn là số các cặp đỉnh liên kết với nhau bởi n đường giống nhau

• g0 là số hoán vị liên kết giữa các đỉnh a và các đỉnh b mà khôngthay đổi dạng hình học của các giản đồ Feynman

S = g2β(2!)d Y

trong đó, d = p3, và g = g0p3!

Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho trường vô hướng phức

Trường vô hướng mang điện tương ứng trên giản đồ Feynman là cácđường có hướng nên hệ số đối xứng sẽ có nhiều khác biệt so với trường

vô hướng trung hòa Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra các sự khácbiệt đó Để làm được việc này, chúng ta đưa ra trường hợp đơn giản

là tương tác của hai trường π+ và π−, với qui ước π− là hạt và π+ làphản hạt Lagrangian tương tác của trường vô hướng phức có dạng

Z ∞

−∞d4y1· · · d4yph0|T [ϕ(x1)ϕ∗(x2)

×Hint(ϕ(y1)) · · · Hint(ϕ(yp)]|0i (1.87)

Ký hiệu ϕ(xi) ≡ ϕi, i = 1, 2, 3, 4, thực hiện khai triển T -tích củaLagrangian tương tác, ta có:

T [ϕ1ϕ∗2ϕ3ϕ∗4] = N [ϕ1ϕ∗2ϕ3ϕ∗4] + ϕ1ϕ∗2N [ϕ3ϕ∗4] + ϕ1ϕ∗4N [ϕ∗2ϕ3]

+ ϕ∗2ϕ3N [ϕ1ϕ∗4] + ϕ3ϕ∗4N [ϕ1ϕ∗2]+ ϕ1ϕ∗2ϕ3ϕ∗4+ ϕ2ϕ∗3ϕ1ϕ∗4 (1.88)Chú ý rằng, trong hàm sóng ϕ chứa cả toán tử huỷ (sinh) của hạt(phản hạt), do đó, các hàm trường có thể đưa ra ở dạng sau:

|π−(p)i = N(p0) a+(p)|0i, (1.89)

|π+(p)i = N(p0) b+(p)|0i (1.90)trong đó N(p0) = q(2π)32p0 Từ dạng tường minh của hàm sóng, tacó

= N (k0)N (p0)h0|a(k) : ϕ∗(x)ϕ(x) : a+(p)|0i

= Z d4qd4th0|a(k) :hb(t)e−itx+ a+(t)eitxi

×ha(q)e−iqx+ b+(q)eiqxi : a+(p)|0i

= Z d4qd4te−ix(q−t)h0|a(k)a+(q)a(t)a+(p)|0i

= Z d4qd4te−ix(q−t)δ(k − q)δ(t − p) 6= 0 (1.93)Hoàn toàn tương tự, chúng ta thu được các kết quả với π− như sau:

hπ−(k)| : ϕ∗(x)ϕ(x) : |π−(p)i 6= 0,

hπ−(k)| : ϕ(x)ϕ∗(x) : |π−(p)i = 0 (1.94)Đối với phản hạt π+ ta có:

Hình 1.6: Hàm truyền của trường vô hướng phức

Để chỉ ra sự khác biệt so với trường vô hướng trung hòa, chúng

ta xét các nhiễu loạn bậc cao của hàm Green Hàm Green hai điểm ởgần đúng bậc nhất có dạng:

Các kết quả trên có thể biểu diễn bằng các giản đồ trong hình 1.7.

Hình 1.7: Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ 4 phức

Chú ý tới hệ số đối xứng ở giản đồ thứ hai bằng 1

2 chứ khôngphải 1

8 như trong trường hợp trường vô hướng trung hoà

Ta xét với trường hợp p = 2

G(2)(x1, x2) = −1

2

ρ4

!2 Z ∞

−∞d4yd4z

×h0|T {ϕ(x1)N [ϕ(y)ϕ∗(y)ϕ(y)ϕ∗(y)]

×N[ϕ(z)ϕ∗(z)ϕ(z)ϕ∗(z)]ϕ∗(x2)}|0i (1.98)Thực hiện các phép tính với hai N-tích như trong (1.88), ta có:

(I) = −i2(x1 kết cặp với y).2(x2 kết cặp với z).2.2

×∆(x1− y)∆(y − z)∆(y − z)∆(z − y)∆(z − x2)

−i2.2∆(x1− x2)∆(y − z)

×∆(y − z)∆(z − y)∆(z − y) (1.100)

Số hạng thứ hai trong dấu tích phân (1.99) là:

(II) = 2.2(−i)∆(x1− z)∆(y − z)

Số hạng thứ năm là giản đồ gồm ba giản đồ con trong đó có hai giản

đồ bóng đôi (double-bubble), được minh họa bằng giản đồ g trên hình1.8 với hệ số đối xứng là 1/8

Cuối cùng, kết hợp với các hệ số đứng trước từng số hạng, ta có hàmGreen hai điểm bậc hai đầy đủ là:

8∆(x1− x2)∆(y − z)∆(y − z)∆(z − y)∆(z − y)+∆(x1− y)∆(y − z)∆(z − y)∆(z − z)∆(y − x2)+∆(x1− y)∆(y − y)∆(y − z)∆(z − z)∆(z − x2)+1

4∆(x1− x2)∆(y − z)∆(z − y)∆(y − y)∆(z − z)+1

2∆(y − y)∆(y − y)∆(x1− z)∆(z − x2)∆(z − z)+1

8∆(y − y)∆(y − y)∆(z − z)∆(z − z)∆(x1− x2)

#

.(1.104)

Ta minh hoạ các số hạng trên bằng giản đồ Feynman trong hình 1.8

So sánh với trường hợp trường vô hướng thực, ta thấy hệ số đốixứng trong trường hợp này nói chung đều giảm Bởi vì, trường vô

(f )

z y

1 8

(g) Hình 1.8: Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết ϕ 4 phức

hướng phức với các đường có hướng sẽ có các khả năng liên kết ít hơncác trường vô hướng thực

Sau đây, chúng ta xây dựng công thức xác định hệ số đối xứng củagiản đồ Feynman cho trường vô hướng phức Theo công thức (1.96),thực hiện khai triển T -tích của Lagrangian tương tác, ta có:

(ϕ∗ϕ)2 ∼ T [(ϕ∗ϕ)2] = N [(ϕ∗ϕ)2] + 4N (ϕ∗ϕ) ˙∆ + 2 ˙∆ ˙∆, (1.105)trong đó, ˙∆ là kí hiệu cho giản đồ bóng đơn có hướng vì đây làtrường vô hướng phức khác với trường vô hướng thực là bóng đơnkhông có hướng

Tương tự trường vô hướng thực, ta cũng đặt các hệ số a, b và c làcác số hạng tương ứng trong khai triển T-tích của Lagrangian tươngtác

a ≡ N[(ϕ∗ϕ)2]; b ≡ 4N(ϕ∗ϕ) ˙∆; c ≡ 2 ˙∆ ˙∆ (1.106)Thay vào hàm Green bậc p, ta được:

G(p)(x1, x2, , xn) = (iρ)pAch0|T [ϕ(x1) ϕ∗(xn)ap1

bp2

cp3

]|0i,(1.107)trong đó, p1+ p2+ p3 = p, và Ac được viết rõ ràng là:

Ac ≡ 4p12p3p1

1!p2!p3! (1.108)

Lặp lại quá trình tính toán như trên, ta thu được hệ số đóng gópcho một giản đồ là:

p1!p2!4p1

g0 Qn(n!)α nAc = 1

(g0p3!)2p 3 Q

n(n!)α n (1.109)Như vậy, hệ số đối xứng của giản đồ cho lý thuyết ϕ4 phức là:

1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED

Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho spinor QED

Trong điện động lực học lượng tử spinor (spinor QED), Lagrangiantương tác của trường fermion ψ, phản fermion ¯ψ với trường điện từlà:

LQEDint (x) = eqψ(x)γµψ(x)Aµ(x), (1.112)với e là hằng số tương tác điện từ , q là điện tích của fermion ψ và

Aµ(x) là trường điện từ Để cho gọn, ta viết L(x) thay cho Lint(x).Lagrangian ở trên chỉ có một số hạng tương tác với hệ số đỉnh là;[ieqγµ] Khi khai triển T -tích, ta được:

T hψ(x)γµψ(x)Aµ(x)i = N hψ(x)γµψ(x)Aµ(x)i+ ψ(x)γµψ(x) Aµ(x)

= N hψ(x)γµψ(x)Aµ(x)i+ iSβα(x)(γµ)βαAµ(x),

(1.113)