Toán tử compact

Mục đích của khoá luận này là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của toán tử compact trong không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert.. Sau đó, chứng minh một số kết qu

Trờng đại học vinh

Sinh viên thực hiện:

Phan Thị Quỳnh

Lớp: 46B2 - Toán

Vinh, 2009

=  =

Môc lôc

Lêi më ®Çu 2

§1 C¸c kh¸i niÖm vµ kiÕn thøc c¬ b¶n 4

§2 To¸n tö compact 14

KÕt luËn 26

Tµi liÖu tham kh¶o 27

Lời mở đầu

Lý thuyết toán tử đóng vai trò quan trọng trong giải tích hàm và nhiều ngành toán học khác, vì thế nó đợc nhiều nhà toán học quan tâm,nghiên cứu Giải tích hàm chứa đựng nội dung hết sức phong phú, những phơng pháp và kết quả của giải tích hàm đã xâm nhập vào các ngành toán học khác nhau có liên quan và sử dụng đến những công cụ giải tích và không gian vectơ Theo đó việc mở rộng kết quả của ánh xạ (toán tử) compact cũng đợc phát triển một bớc

và đã đa ra cho chúng ta nhiều kết quả thú vị

Mục đích của khoá luận này là tìm hiểu, nghiên cứu các tính chất của toán tử compact trong không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert Với mục đích đó, dựa vào các tài liệu tham khảo tác giả tìm hiểu khái niệm và các tính chất cơ bản đa ra các ví dụ minh hoạ về toán tử compact,chứng minh chi tiết một số mệnh đề đã có trong tài liệu Ngoài ra tác giả cũng chứng minh một số mệnh đề mà chúng là các bài tập trong các tài liệu tham khảo mà cha chứng minh, đó là Bổ đề 2.14, Định lý 2.15, Mệnh đề 2.16

và Định lý 2.17

Nội dung chính của khoá luận đợc chia làm 2 phần cụ thể nh sau:

Phần 1 Trình bày các khái niệm và kiến thức cơ bản liên quan để dùng cho

phần 2

Phần 2.Đầu tiên trình bày khái niệm và một số tính chất cơ bản về toán tử

compact Sau đó, chứng minh một số kết quả về toán tử compact trong không gian Hilbert mà chúng đợc nêu ra trong các tài liệu tham khảo dới dạng các bài tập

Khoá luận đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS.TS Đinh Huy Hoàng Em xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu vừa qua

Em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán, tập thể lớp 46B2-Toán đã giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận này

Mặc dù đã rất cố gắng nhng do điều kiện thời gian và hạn chế về năng lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong nhận đợc

ý kiến góp ý của Quý thầy cô giáo và các bạn

Vinh, tháng 5 năm 2009

Tác giả

Đ1 Các khái niệm và kiến thức cơ bản

Mục này dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng cho mục sau Trong suốt khoá luận, ký hiệu K là thờng vô hớng (K =

R hoặc K=C )

1.1 Định nghĩa Một không gian vectơ (hay không gian tuyến tính) trên

K là một tập E ≠ φ, trong đó có một phép cộng E x E→E và một phép nhân vô hớng K x E→E thoả mãn các điều kiện

với mọi x,y,z ∈E, mọi λ,à ∈K.

1.2 Định nghĩa Một tập con F ≠ φ của K – không gian vectơ E gọi

là một K không gian vectơ con– của E nếu λx + ày ∈F với mọi x, y ∈ F, mọiλ,à∈K.

1.3 Định nghĩa Cho E và F là hai K – không gian vectơ ánh xạ

f:E → F gọi là ánh xạ tuyến tính nếu

f(λx+ ày)= λf(x) +àf(y)

với mọi x,y ∈ E, mọi λ,à ∈K ánh xạ tuyến tính còn đợc gọi là toán tử

tuyến tính

1.4 Định nghĩa (i) Giả sử E là một K – không gian vectơ Một chuẩn

trên E là một hàm x→ x từ E vào R thoả mãn các điều kiện sau với mọi x,

y ∈ E, mọi λ∈K

0 ,

0 )

1

( x ≥ x = nếu và chỉ nếu x=0;

)

3

(

; )

2

(

y x y x

x x

+

≤ +

= λ λ

(ii) Không gian tuyến tính E cùng với 1 chuẩn trên nó đợc gọi là không gian

định chuẩn.

1.5 Định nghĩa Không gian định chuẩn E đợc gọi là không gian

Banach nếu mọi dãy côsi trong E đều hội tụ.

1.6 Định lý Giả sử f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian định

chuẩn E vào không gian định chuẩn F Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng

a) f là liên tục đều ;

b) f là liên tục ;

c) f liên tục tại điểm O ∈E ;

d) f bị chặn,tức là tồn tại số k>0 sao cho f(x) ≤k x với mọi x ∈E.

1.7 Mệnh đề Giả sử E, F là các không gian định chuẩn trên cùng một

trờng K Kí hiệu L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào

F L(E,F) là không gian vectơ con của K-không gian vectơ L(E,F) tất cả các

ánh xạ tuyến tính từ E vào F Với mỗi f∈L(E,F), đặt

0

xf Sup xf

Sup x

xf Sup

f( ) ≤ ∀ ∈ (ii) Nếu f là ánh xạ tuyến tính từ E và F và k là hằng số thoả mãn

E x x k x

f( ) ≤ , ∀ ∈

thì f liên tục và f ≤k

1.10 Định lý Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E,F) là

Banach.

1.11 Định nghĩa Không gian con thực sự H của không gian định chuẩn

E đợc gọi là siêu phẳng trong E nếu F là một không gian con của E chứa H thì

hoặc F=H hoặc F=E

1.12 Định lý H là siêu phẳng của E nếu và chỉ nếu H =f -1 (0) với một phiếm hàm tuyến tính nào đó f∈E*=L(E,K), f ≠ 0 Phiếm hàm f gọi là phơng trình của siêu phẳng H Nếu g là một phơng trình khác của H thì tồn tại K

= h λ a , λ H , λ

Bằng cách đặt f (x) = λ ta đợc f∈E* và H=f-1(0) Hiển nhiên f ≠ 0

Ngợc lại, giả sử f∈E* và f≠ 0ta cần chỉ ra H=f-1(0) là siêu phẳng Rõ ràng H

≠ E Lấy tuỳ ý a∈E\H ta cần chỉ ra H+Ka=E Bởi vì

) 0 ) ( ( ) ( ) ( )

(Ka+H = f Ka =Kf a =K do f a ≠

) (

)

( a f x

f λ = Từ đó f(x− λa) = 0, tức là x − λa∈H hay x∈Ka+H

Cuối cùng giả sử f và g là hai phơng trình của siêu phẳng H Lấy tuỳ ý a∈

E\H Khi đó tồn tại α ∈K để g(a) =αf (a) Với mọi x∈E ta viết x

H h K h

a+ ∈ ∈

) ( ) (

) ( ) ( )

( )

g = λ = λα = α λ = α λ + = α ,vì vậy g = αf

1.13 Định lý (Riesz) Một không gian định chuẩn E là compact địa

phơng nếu và chỉ nếu nó có chiều hữu hạn.

Chứng minh Điều kiện đủ Giả sử E có số chiều hữu hạn n thì E đẳng

cấu với Kn Do Kn là compact địa phơng nên E compact địa phơng

Điều kiện cần Giả sử E là compact địa phơng Do hình cầu đơn vị đóng

z

y

x− − i = − ( + − i ) ≥ Do vậy x−y ≥ 2d và ta gặp mâu thuẫn vì x−y ≤3d2 và d ≠0

1.14 Định nghĩa (i) Một tập con A của không gian định chuẩn E đợc

gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A trù mật

trong E Ta nói rằng dãy { }a n ⊂E là toàn vẹn nếu tập các phần tử của dãy là

toàn vẹn

(ii) Nếu không gian định chuẩn E có một tập toàn vẹn độc lập tuyến tính hữu hạn thì nó khả li.

1.15 Định nghĩa Giả sử E là không gian tuyến tính trên trờng K và ϕ

:E x E →K đợc xác định bởi (x,y)→ ϕ(x,y):= ( x y)

(i) Hàm ϕ đợc gọi là một tích vô hớng trên E nếu thoả mãn

với mọi x,y,x 1 ,x 2 ∈E, mọi λ ∈ K.

(ii) Không gian tuyến tính E cùng với 1 tích vô hớng trên nó đợc gọi là không gian tiền Hilbert.

1.16 Chú ý Nếu ϕ là tích vô hớng trên E thì

1) (x y1+y2) = (x y1) + (x y2) ;

2) (x λy) = λ (x y)

với mọi x,y,y 1 ,y 2 ∈ E, mọi λ ∈K.

1.17 Bổ đề (Bất đẳng thức Cauchy Schwartz– ) Nếu ϕ là một không

gian tiền Hilbert thì ϕ (x,y)2 ≤ ϕ (x,x) ϕ (y,y)với mọi x,y ∈E

Chứng minh Với mọi λ ∈K ta có ϕ (x+ λy,x+ λy) = ϕ (x,x) + λ ϕ (x,y)

+λ ϕ (x,y) + λ λ ϕ (y,y) ≥ 0 trong đó ϕ (x,x) và ϕ (y,y)là các số thực không

âm Nếu ϕ (y,y) > 0 thì thay

) , (

) , (

y y

y x

ϕ

ϕ

λ = − vào bất đẳng thức trên ta có ϕ (x,x) )

ϕ hoàn toàn tơng tự Nếu ϕ (x,x) = ϕ (y,y) = 0 thì thay λ = − ϕ (x,y)

vào bất đẳng thức đầu tiên ta có− 2 ϕ (x,y) 2 ≥ 0tức là

) , ( ) , ( 0

)

,

(x y 2 ϕx x ϕy y

1.18 Định nghĩa Nếu không gian tiền Hilbert E là không gian Banach

thì nó đợc gọi là không gian Hilbert.

1.19 Định nghĩa Một dạng Hermite ϕ đợc gọi là xác định dơng nếu

và chỉ nếu ϕ (x,y) = 0 với mọi y ∈E thì x =0.

Chứng minh Nếu ϕ là một tích vô hớng thì ϕ (x,x) > 0với mọi

x ≠ 0 Vì vậy nếu ϕ (x,y) = 0 với mọi y thì ϕ (x,x) = 0, do đó x=0 Ngợc lại

nếu điều kiện bổ đề thoả mãn thì mọi x≠ 0tồn tại y để ϕ (x,y) ≠ 0 Theo bất

đẳng thức Cauchy-Schwart ϕ (x,x) ϕ (y,y) ≥ ϕ (x,y)2 > 0 Vì vậy ϕ (x,x) > 0

1.21 Định lý (Pythagore) Nếu x và y là hai vectơ trực giao trong

y x y

x+ = +

Chứng minh Bởi vì

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2

y x y y x y y x x x y

1.23 Định lý Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì ánh xạ

)

( a x

x→ với a∈E là phiếm hàm tuyến tính liên tục, có chuẩn là a Ngợc lại, nếu E làkhông gian Hilbert thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên E tồn tại duy nhất a ∈E sao cho f(x)=(x a ) với mọi x∈E.

Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz (x a) ≤a. x

Do đó phiếm hàm x→( a x )liên tục và có chuẩn ≤a Nếu a ≠ 0 thì y= a a

có y = 1 và ( y a) = a nên ánh xạ trên cũng có chuẩn ≥a , tức là bằng

a

Nếu f là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert E thì

H=f -1 (0) là không gian con đóng của E Lấy b ∈H⊥, b≠ 0 Ta có b∈H⊥, do đó

( )x b = 0với mọi x ∈H tức là x → ( )x b cũng là phơng trình của siêu phẳng H Theo Định lí 1.12, tồn tại λ∈K để f(x) = λ (x b) = (x a), với a=λb. Nếu f(x)=

(x a') với a’∈E thì ( )x a -(x a')= (x a−a')=0 với mọi x∈E Theo Bổ đề 1.20, a-a =0’ tức a=a’ Vậy phần tử a ∈E là duy nhất

1.24 Định nghĩa (i) Giả sử A ⊂ không gian Hilbert E A đợc gọi là hệ trực chuẩn nếu A là hệ trực giao và a =1 với mọi a ∈A

(ii) A đợc gọi là cơ sở trực chuẩn nếu A là hệ trực chuẩn và A toàn vẹn.

1.25 Nhận xét (i) Nếu A là hệ trực giao thì

b) Víi mäi ( λi) ∈l2 chuçi i i

=

∑

Chøng minh a) §Æt (x e i)= ci Víi mäi n ∈ N ta cã

)(

)(

0

1 1

1

2

n i jj

n j ii

n i ii

2

i n

b) Vì không gian E đầy đủ nên ta chỉ cần chứng minh dãy các tổng riêng

i i

0, , n p i

n i

N p n

+

2 1

2 1

2

i

pn ni ii

pn ni n

x

=

∑

Chứng minh a) Theo Bổ đề 1.26 a) Chuỗi 2

in jj

n

j ii

1.28 Định nghĩa Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trờng K

E* = L(E, K) là không gian liên hợp của E.

(i) Tô pô yếu nhất trên E để các ánh xạ f∈E* liên tục đợc gọi là tô pô yếu trên

ε ) ⊂ w , ở đây

( , , , , , ) ( , , )

1 2

n →nếu mọi f1, f2 , f p∈E*, ε > 0tồn tại số n 0 sao cho x n∈U(f1, f2, , f p,x, ε )

với mọi n≥n0

1.29 Bổ đề Dãy { }x n trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến x

∈E nếu và chỉ nếu f(x n ) →f(x) với mọi f∈E*.

Chứng minh Giả sử x W x

n → và f ∈E* Với mọi ε > 0 tồn tại n 0 để x n ∈

U(f, x ,ε) với mọi n≥n0 Nhng điều đó có nghĩa là f(x n) −f(x) < ε với mọi

Chứng minh Ta sẽ chứng minh f liên tục yếu tại mọi x ∈E Giả sử

{ }xα là dãy suy rộng trong E và xα  →W x Ta cần chứng minh f(xα)  →W f(x) Với mỗi ϕ ∈ F * thì ϕ f ∈ E * Vì xα  →W xnên theo Bổ đề1.29 ϕf(xα ) → ϕf(x),

tức là ϕ (f(xα )) → ϕ (f(x))với mọi ϕ ∈ F * Lại theo Bổ đề 1.29 ta có

2.2 Nhận xét Mọi toán tử compact đều liên tục.

Chứng minh Vì f là toán tử compact nên f B là tập compact Do đó ( ) ( )

f B bị chặn, tức là tồn tại hằng số k sao cho

2.3 Định lý Nếu f là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E

vào không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây là tơng đơng

Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử f là ánh xạ compact Giả sử A là tập bị

chặn trong E Ta cần chứng minh f(A) compact tơng đối Thật vậy, từ giả thiết

do A là tập bị chặn nên tồn tại n∈N sao cho A⊂B[0,n]=nB[0,1] Vì f(A)⊂

nf(B) và n (B) compact tƒ ơng đối nên f(A) compact tơng đối.

(ii)⇒(iii) Giả sử (ii) đợc thoã mãn và {x n} là dãy bị chặn trong E

Ta cần chứng minh tồn tại dãy con{x n k } để dãy {f( x n k )} hội tụ trong F Thật vậy, đặt A= { x n : n=1,2, }.Vì {x n} là dãy bị chặn nên A bị chặn Do đó f(A) là

tập compact tơng đối

Mặt khác,{f(x n)}⊂f(A) compact tơng đối suy ra tồn tại {f( )x n k } là dãy

con của {f(x n)} để {f( x n k )}hội tụ Hiển nhiên { }x n k là dãy con của {x n}

(iii)⇒(i) Giả sử (iii) đợc thoã mãn nghĩa là, nếu {x n}là dãy bị chặn trong

E, tồn tại dãy con { }x n k để {f( )x n k } hội tụ trong F Ta cần chứng minh f

compact Thật vậy, lấy tuỳ ý dãy {y n}⊂ f(B) và lấy dãy {x n}⊂B để f(x n )= y n

với mọi n Vì dãy {x n} bị chặn nên tồn tại dãy con{ }x n k để {f( )x n k } hội tụ Vậy

f(B) compact tơng đối.

2.4 Mệnh đề Giả sử E, F là hai không gian định chuẩn K(E,F) là tập

tất cả các ánh xạ compact từ E vào F Khi đó, với phép cộng hai hàm và phép nhân vô hớng với một hàm thông thờng, K(E,F) là không gian tuyến

tính trên trờng K.

Chứng minh Giả sử f và g là hai hàm trong K(E,F) Ta cần chứng minh

f+g compact và α f compact với mọi α ∈ K Thật vậy, giả sử {xn} là dãy bị chặn trong E Vì { x n} là dãy bị chặn và f là ánh xạ compact nên theo Định lý

2.3 tồn tại dãy con { }x n k của { x n} để {f( )x n k } hội tụ.Do { }x n k bị chặn, g là ánh

xạ compact nên tồn tại dãy con{ }x n k l của { }x n k để {g{ }x n k l } hội tụ Khi đó

{ }x n k là dãy con của { x n} Vì {f(x n k)} hội tụ và {f( )x n k l } là dãy con của {f

(x n k } nên {f( )x n k l } hội tụ Từ đó suy ra {(f+g) (x n k)} = { f x( )n kl + g( x n kl)}

= {f ( )x n k l }+{g( )x n k l } hội tụ Do đó f+g là ánh xạ compact

Với mọi α ∈ K, với mọi f ∈K(E,F) ta có {x n} bị chặn trong E thì tồn tại dãy con (x n k)để {f( )x n k } hội tụ Từ đó suy ra{(α f)(x n k)}= {α f( )x n k }=α

( )

{f x n k } hội tụ Do đó α f là ánh xạ compact.

2.5 Mệnh đề Giả sử f: E→F là toán tử tuyến tính liên tục giữa hai không gian Banach E và F Khi đó

(i) Nếu f compact thì f chuyển mọi dãy hội tụ yếu trong E thành dãy hội tụ ( mạnh) trong F.

(ii) Nếu E phản xạ và f chuyển mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ thì

f compact.

Chứng minh (i) Giả sử f: E→F compact và {x n}⊂E hội tụ yếu tới x Do

f liên tục yếu, {f( )x n } hội tụ yếu tới f(x) Nếu f(x n )→f(x) thì tồn tại ε > 0 và dãy con { }x n k sao cho

1 )

( ) (x −f x ≥ ∀k≥

f( n k) với mọi k ≥ 1 Do đó {f(x n)}hội tụ với f(x).

(ii) Suy từ Định lý 2.3 và Định lý về tính compact yếu của hình cầu đơn vị

đóng trong E

2.6 Định lý Giả sử G  →g E  →f F  →h H là một dãy các không gian định chuẩn

và các ánh xạ tiếp tuyến liên tục Khi đó nếu f compact thì h°f°g compact.

Chứng minh Gọi B là hình cầu đơn vị trong G Vì g liên tục nên g(B)

bị chặn trong E Do f compact nên theo Định lý 2.3 f(g(B)) compact tơng đối

trong F Cuối cùng, vì h liên tục nên h°f°g (B) compact tơng đối trong H Vậy

g

f

h° ° compact

2.7 Hệ quả Nếu E là không gian định chuẩn và f ∈L (E)là toán tử compact thì g.f và f.g là compact với mọi g∈L (E).

Chứng minh Với h là ánh xạ đồng nhất i E từ E lên E, áp dụng Định lý

2.6 ta có: E  →g E  →f E  →i E E, i E,g, f ∈L(E),f compact Do đó i E °f°g = f°g là compact

E E E

E  →i E   →f   →g , g, i E , f ∈L (E), f compact Do đó g°f°i E =g°f là compact

2.8 Định lý Nếu E là không gian định chuẩn và F là không gian

Banach thì K(E,F) là không gian con đóng của L(E,F).

Chứng minh Dễ thấy K(E,F) là không gian của L(E,F) Điều này đợc

suy ra từ Mệnh đề 2.4 Bây giờ ta sẽ chứng minh K(E,F) đóng trong L(E,F).

Giả sử { }f n ⊂K E F f( , ), n → ∈f L E F( , )nghĩa là f n −f → 0khi

đối ⊂ F đầy đủ (2) Do đó f n0 (B) hoàn toàn bị chặn Khi đó, với mọi ε > 0 tồn

tại các điểm x1, ,x n∈Bsao cho ( ) ( ( ), )

1 no j ε

n j

1

0

ε

jo no

f cho sao n

suy ra

3 ) ( )

0 0

( )

− +

−

≤ f(x) f no(x) f no(x) f no(x jo) f no(x jo) f(x jo) ,nên f(x) ∈B(f(x jo), ε )suy ra ( ) ( ( ), )

n

B f

=

∪

⊂ Do đó f (B)là tập bị chặn trong F Từ F đầy đủ suy ra f (B)compact tơng đối hay f là ánh xạ

compact

Vậy K(E,F) đóng trong L(E,F)

2.9 Hệ quả Nếu F là không gian Banach thì K(E,F) Banach.

2.12 Định lý Giả sử f: E→ F là toán tử tuyến tính liên tục giữa các

không gian Banach Khi đó f là hữu hạn chiều nếu và chỉ nếu f có thể viết dới dạng

E x y

x f x

(

ở đây f j∈E* và y j∈F với j = 1 ,n

Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên.

Điều kiện cần Giả sử f: E → F là toán tử tuyến tính liên tục hữu hạn chiều Ta cần chứng minh f có thể viết dới dạng

E x y x f x

(