Bài giảng Lịch sử Toán học - ĐH Phạm Văn Đồng

Nội dung của bài giảng gồm 6 chương: Bộ môn lịch sử toán; Sự phát sinh toán học; Toán học sơ cấp; Toán học cao cấp cổ điển; Toán học hiện đại; Vài nét về toán học ở Việt Nam. Mời các bạn cùng tham khảo!

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH QUẢNG NGÃI

TR ƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

BÀI GIẢNG

LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Người thực hiện: ThS Phan Bá Trình

MỤC LỤC

MỤC LỤC ……… … ……….2

MỞ ĐẦU ……… … ……….… …………3

Chương 1 BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN …… ……….……… 4

1.1 Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán……… ……….4

1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường THC ….………7

Chương 2 SỰ PHÁT TRIỂN TOÁN HỌC ………10

2.1 Số tự nhiên và hệ thống phi số ……….… 10

2.2 Toán học cổ Ai cập……….12

2.3 Toán học Babilon………13

Chương 3 TOÁN HỌC SƠ CẤP……….…15

3.1 Toán học cổ Hy Lạ……….………15

3.2 Toán học cổ Trung Quốc .……… ……19

3.3 Toán học cổ Ấn Độ ………21

3.4 Toán học ở Trung Á và Cận đông.……….………24

3.5 Toán học ở Châu Âu.……… ……26

Chương 4 TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN………30

4.1 Toán học của những đại lượng biến thiên……….……… 30

4.2 Hình học giải tích ……….…….…36

4.3 Phép tính vi tích phân ………42

Chương 5 TOÁN HỌC HIỆN ĐẠI……… …………57

5.1 Sự mở rộng đối tượng của toán học ……… …………57

5.2 Hình học phi Ơclit ……… …………60

5.3 Đại số hiện đại và cấu trúc toán học………63

5.4 Lý thuyết tập hợp ……….………66

5.5 Lôgic toán và phương pháp tiên đề ………70

5.6 Hai xu thế phát triển chính của toán học hiện đại………74

Chương 6 VÀI NÉT VỀ TOÁN HỌC Ở VIỆT NAM……….…………78

6.1 Giới thiệu vài nét về sự phát triển của toán học Việt Nam ………… ………78

6.2 Vài nét về Giáo sư -Tiến sĩ khoa học Lê Văn Thiêm ……….…… …79

6.3 Vài nét về Giáo sư Hoàng Tụy ……….…… …81

6.4 Vài nét về Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn ……….…… …83

6.5 Vài nét về Giáo sư Ngô Bảo Châu ……….………87

Tài liệu tham khảo ……….88

Nội dung của bài giảng gồm 6 chương:

Chương 1 Bộ môn lịch sử toán

Chương 2 Sự phát sinh toán học

Chương 3 Toán học sơ cấp

Chương 4 Toán học cao cấp cổ điển

Chương 5 Toán học hiện đại

Chương 6 Vài nét về toán học ở Việt Nam

Chúng tôi hy vọng rằng bài giảng này sẽ đóng góp phần nhỏ vào việc giảng dạy và học bộ môn lịch sử toán học

Bài giảng này chắc hẳn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, các thầy cô giáo, các em sinh viên và các độc giả gần

xa

CHƯƠNG 1

BỘ MÔN LỊCH SỬ TOÁN

1.1 Đối tượng và nhiệm vụ của lịch sử toán

1.1.1 Đối tượng

Lịch sử Toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học Mọi ngành

toán học, dù khác nhau như thế nào đi nữa thì cũng có chung một đối tượng Theo định nghĩa của Ăngghen thì đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Các ngành khác nhau của toán học nghiên cứu các dạng đặc biệt, riêng biệt của các quan hệ

số lượng và hình dạng không gian đó

Việc hiểu rõ đối tượng của lịch sử toán không thể đầy đủ qua một số định nghĩa ngắn gọn, mà sẽ được hoàn chỉnh dần trong quá trình nghiên cứu toàn bộ bài giảng này

1.1.2 Nhiệm vụ

Cũng như mọi khoa học khác, toán học bao gồm các yếu tố sau đây:

a Các sự kiện, tích lũy được trong quá trình phát triển của nó

b Các giả thuyết, tức là các mệnh đề khoa học, dựa trên các sự kiện mà đề ra,

và về sau phải được thực nghiệm kiểm tra lại

c Các lí thuyết và các quy luật toán học là kết quả của sự khái quát hóa các tài liệu cụ thể

d Phương pháp luận toán học tức là sự giải thích lí luận tổng quát các quy luật và lí thuyết toán học

Các yếu tố trên đây liên hệ chặt chẽ với nhau và không ngừng phát triển Giải thích và tìm ra quy luật của sự vận động và phát triển này trong toán học, ở mỗi giai đoạn lịch sử nhất định là nhiệm vụ của bộ môn lịch sử toán

Lịch sử toán là khoa học về các quy luật khách quan của sự phát triển toán học

Lịch sử toán liên quan đến toàn bộ toán học và nhiều ngành khoa học khác

1.1.3 Bản chất của toán học

Phân tích đối tượng của toán học (cũng là đối tượng của lịch sử toán học) ta thấy toán học là một khoa học rất thực tiễn vì toán học nghiên cứu quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới khách quan Toán học là một khoa học vào loại cổ nhất Loài người đã có những kiến thức toán học ngay từ giai đoạn phát triển sớm nhất, do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai Tuy nhiên, đối tượng của toán học không phải do thực tại cho ta một cách trực tiếp, mà là kết quả của trừu tượng hóa Muốn nghiên cứu một đối tượng hay một

hiện tượng nào đó bằng công cụ toán học thì phải gạt bỏ tất cả các đặc điểm về chất của đối tượng và hiện tượng, mà chỉ giữ lại những gì đặc trưng cho số

lượng và hình dạng của chúng mà thôi Làm như vậy, chẳng hạn ta được “điểm”

là cái gì không có kích thước, “đường” là cái gì không bề dày, bề rộng, những x

và y, a và b, những đại lượng không đổi và đại lượng biến thiên Trong quá trình

phát triển, toán học khảo sát những đối tượng mà quan hệ về số lượng và hình dạng không gian ngày càng trừu tượng Trong các lí thuyết toán học hiện đại, các quan hệ về số và hình thường hết sức trừu tượng: người ta nói đến các tập hợp những phần tử mà tính chất của chúng và quy tắc thực hiện phép tính về chúng được cho bằng một tiên đề

Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học được một số người hiểu là một yếu tố xuất phát, tiên thiên Chẳng hạn, họ cho rằng các phần tử của tập hợp, về nguyên tắc, được tách khỏi các sự vật của thế giới hiện thực và các hệ tiên đề, các định nghĩa, các phép toán được đưa vào một cách tùy ý Nhận thức này đưa đến những quan điểm duy tâm sai lầm, ảnh hưởng không tốt đến sự phát triển của toán học

Tính chất trừu tượng của đối tượng toán học chỉ che đậy nguồn gốc thực tế khách quan (thường là phức tạp, nhiều mức độ, gián tiếp) của mọi khái niệm toán học, chứ không xóa bỏ nguồn gốc đó Lịch sử chứng tỏ rằng nhu cầu hoạt động thực tiễn của con người là điều quyết định chủ yếu sự phát triển của toán học

Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối liên hệ chặt chẽ với những nhu cầu

kĩ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán học ngày càng thêm phong phú Tất nhiên, toán học không phải là sự bịa đặt trống rỗng của các nhà thông thái Ngược lại, thực tiễn, đặc biệt là kĩ thuật, lại là một phương tiện hỗ trợ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu toán học và

có tác dụng làm thay đổi nhiều bộ mặt của toán học (chẳng hạn, tác dụng của

máy tính điện tử đối với sự phát triển của toán học)

Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong những mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau và bằng con đường thuần túy lôgíc Khi lí tính sáng tạo ra toán học bằng con đường lôgíc thì không phải đã xa rời hiện thực mà chính lại càng sát gần hiện thực hơn và có tác dụng đối với hiện thực Tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở

rộng Về nguyên tắc, không thể nêu ra giới hạn của sự mở rộng đó “Toán học

là người đầy tớ và là hoàng hậu của mọi khoa học.”

Lịch sử cho hay rằng nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kĩ thuật khá lâu, có khi đến hàng thế kỉ Chẳng hạn, lí thuyết hàm số biến số phức ra đời

thủy động học và khí động học và từ đó đi vào công nghiệp hàng không hiện đại Hình học Phi Ơclít ra đời từ giữa thế kỉ thứ XIX nhưng đến thế kỉ thứ XX mới được áp dụng vào lí thuyết tương đối của Vật lí Lôgíc toán học ra đời từ cuối thế kỉ thứ XIX nhưng đến giữa thế kỉ thứ XX mới được sử dụng để tạo nên máy tính điện tử Nói chung, bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ nhất đã được chuẩn bị trước đó một thế kỉ

Bộ máy toán học phục vụ cho cách mạng kĩ thuật lần thứ hai đã được chuẩn bị trước đó nửa thế kỉ (Rõ ràng nếu không có lí thuyết tập hợp, đại số hiện đại, lôgíc toán,… thì không thể có điều khiển học (xibécnêtic) và máy tính điện tử) Với sự phát triển của máy tính điện tử, chúng ta hiện nay đang sống trong nền văn minh tin học, và theo dự báo, sau đó sẽ là nền văn minh sáng tạo Các nhà

toán học cũng có công đầu trong việc xây dựng “khoa học sáng tạo”

(creatology), tiếp đó là các nhà tâm lí học, giáo dục học,v.v…

Vì vậy, về vai trò của toán học đối với thực tiễn, cần có nhận thức

rộng rãi, không thể chỉ thấy tác dụng trước mắt mà còn phải nhìn cả

tác dụng lâu dài

Theo quan điểm điều khiển học, toán học đã xâm nhập vào nhiều ngành khoa học tự nhiên và cả khoa học xã hội, ngày càng phát triển hiệu lực của phương pháp toán học trong các ngành đó và trong xã hội sáng tạo tương lai

1.1.4 Các giai đoạn phát triển toán học

Để nghiên cứu lịch sử toán một cách thuận lợi thì cần chia giai đoạn Có nhiều cách chia giai đoạn theo một số đặc điểm nào đó, chẳng hạn chia theo quốc gia, theo chế độ kinh tế xã hội, theo các phát minh lớn có tác dụng quyết định tính chất của sự phát triển, vv… Cuộc tranh luận về phân chia các giai đoạn phát triển toán học chưa kết thúc Trong bài giảng này, các giai đoạn được phân chia theo Kônmôgôrốp (Kolmogorop Andrei Nikolaievich, người Nga) vì

nó tương đối hợp lí, dựa trên cơ sở về sự đánh giá nội dung của toán học: Các phương pháp, quan điểm và những kết quả quan trọng nhất Theo ông, quá trình hình thành và phát triển của toán học gồm bốn giai đoạn sau đây:

a Giai đoạn phát sinh toán học

Giai đoạn này bắt đầu từ thời xa xưa nhất của loài người nguyên thủy, kéo dài cho đến khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN), lúc mà toán học trở thành một khoa học độc lập, có đối tượng và phương pháp nghiên cứu riêng

Đặc điểm của giai đoạn này là việc tích lũy các sự kiện toán học cụ thể trong khuôn khổ một khoa học chung (khoa học tự nhiên)

b Giai đoạn toán học sơ cấp (từ khoảng thế kỉ thứ VI, thứ V (TCN) đến hết

thế kỉ thứ XVI)

Đặc điểm của giai đoạn này là việc nghiên cứu các đại lượng không đổi Những nội dung toán học đang được dạy ở trường phổ thông Việt Nam và nhiều

nước trên thế giới hiện nay có thể cho ta một khái niệm về thành tựu của giai đoạn này

c Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển (từ thế kỉ thứ XVII đến giữa thế kỉ

XIX)

Đặc điểm của giai đoạn này là việc sáng tạo ra toán học của các đại lượng không đổi Trong giai đoạn này, đối tượng chủ yếu của toán học là các quá trình, các chuyển động Giai đoạn này mở đầu bằng việc đưa đại lượng biến thiên vào hình học giải tích của Đềcác, với phép tính vi tích phân mà Niutơn và Lépnít đã hoàn thành toàn bộ Phần lớn kiến thức toán học ở giai đoạn này đang được dạy ở các trường Cao đẳng và ở những năm đầu của các trường đại học của nước ta

d Giai đoạn toán học hiện đại (từ giữa thế kỉ thứ XIX đến nay)

Người ta thường xem mở đầu của giai đoạn này là phát minh to lớn của Lôbasépski và Bôlyai về hình học Phi Ơclit, là sự ra đời của đại số hiện đại Đặc điểm của giai đoạn này là đối tượng của toán học đã mở ra rất rộng, nhiều lí thuyết toán học mới xuất hiện, vấn đề xây dựng cơ sở của toán học có một ý nghĩa đặc biệt quan trọng Toán học đã trở thành một khối thống nhất với những nền tảng và những phương pháp chung Trong toán học có hiện tượng phân ngành sâu sắc và giữa toán học với các khoa học khác có hiện tượng liên ngành chặt chẽ Phạm vi ứng dụng của toán học được mở rộng chưa từng thấy

1.2 Lịch sử toán với việc dạy học toán ở trường Trung học cơ sở

Nếu như đối với mỗi người, sự hiểu biết lịch sử khoa học là có ích, thì đối với

người giáo viên, việc hiểu rõ các sự kiện lịch sử cơ bản của khoa học mình giảng dạy, hiểu rõ các quy luật phát triển của khoa học ấy là điều rất cần thiết

1 Nghiên cứu lịch sử toán chúng ta thấy quá trình phát triển của toán học là

quá trình không ngừng tiến lên trên con đường khái quát hóa và trừu tượng hóa

Về phương diện là một khoa học thì toán học phát triển theo các quy luật khách quan Toán học là một trong các hình thái của ý thức xã hội loài người, vì vậy các quy luật chi phối sự phát triển của toán học về cơ bản chủ yếu vẫn là những quy luật chung của mọi hình thái ý thức xã hội

Nghiên cứu sự phát triển của toán học, chúng ta sẽ thấy được trong chừng mực nhất định, các phương pháp, các khái niệm và tư tưởng toán học đã phát sinh như thế nào, các lí thuyết toán học khác nhau đã hình thành ra sao trong lịch sử, mối quan hệ giữa các bộ phận của toán học, thấy được những việc đã xảy ra, những bước đang đi và con đường sẽ tới của toán học Nghiên cứu các giai đoạn phát triển của toán học, chúng ta còn nắm được các mối liên hệ phong phú của toán học, liên hệ giữa toán học với những nhu cầu và hoạt động thực tiễn của con người, với sự phát triển của các khoa học khác, các ảnh hưởng của

cơ cấu kinh tế và xã hội, của đấu tranh giai cấp (đặc biệt trong lĩnh vực tư

sự phát triển toán học, vai trò của nhân dân, của tập thể và cá nhân các nhà toán học, v.v…

Nghiên cứu lịch sử toán ta thấy sự phát triển của toán học không phải là một quá

trình bằng phẳng, đều đặn và liên tục của các chân lí toán học Có thể nói, lịch

sử toán học là lịch sử của sự đấu tranh gay gắt giữa cái mới và cái cũ, trong đó cái mới nhất định chiến thắng, mặc dù trải qua sự thất bại tạm thời và cả sự hi sinh của nhiều nhà khoa học tiến bộ Chẳng hạn, ở thế kỉ thứ XVII, phép tính vi phân vừa mới xuất hiện trong các công trình của Lépnít, Niutơn thì đã bị giáo chủ Becơli công kích kịch liệt Cuộc đấu tranh xung quanh các khái niệm cơ bản của giải tích, đặc biệt là khái niệm giới hạn, đã kéo dài suốt quá trình lịch sử ngành đó Sự xây dựng cơ sở của môn giải tích dựa trên lí thuyết giới hạn mãi đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận Cơ sở của hình học Phi Ơclít đã được biết từ năm 1826 với Lôbasepski, tuy nhiên phải đấu tranh lâu dài, đến cuối thế kỉ thứ XIX mới được thừa nhận và tiếp tục phát triển Về thực chất, hình học Phi Ơclít chỉ có thể phát triển sau khi lí thuyết tương đối của Anhstanh xuất hiện Như thế, lịch sử toán học cho biết bản thân toán học là không có tính chất giai cấp, nhưng có tác động của chế độ xã hội đối với sự phát triển của nó,

có thái độ của các giai cấp đối với nó, có quan điểm duy tâm và duy vật và có tính chất giai cấp trong việc xây dụng, giảng dạy và sử dụng nó

2 Nghiên cứu sự hình thành khoa học toán học, ta càng thấy rõ toán học có

hai hình thái: nó là khoa học chặt chẽ của Ơclit nhưng nó cũng là một nghệ thuật vô hạn, không cứng nhắc Khi được trình bày theo kiểu Ơclit, toán học là một khoa học suy diễn và có hệ thống, nhưng toán học trong quá trình tìm tòi, sáng tạo là một khoa học thực nghiệm và quy nạp Cả hai hình thái đó đều có từ lâu, cũng như chính bản thân toán học vậy Hệ thống suy diễn chặt chẽ từ các tiên đề của hình học Ơclít đã chi phối toán học trong một thời gian dài và khá quyến rũ Tuy nhiên, nhấn mạnh quá đáng sẽ đi chệch khỏi con đường đúng đắn nếu coi những yếu tố kiến thiết, phương pháp quy nạp, trực quan, tưởng tượng, cũng như quá trình tư duy tiền lôgic,… chỉ đóng một vai trò thứ yếu

Phương pháp suy diễn, thoạt nhìn khá giáo điều nhưng lại cho phép chiếm

lĩnh một cách nhanh chóng nhiều lĩnh vực đáng kể Tuy nhiên phương pháp kiến thiết của Xôcrát đi từ cái riêng đến cái chung, thoát khỏi giáo điều nhờ có

tư tưởng độc lập, sáng tạo là con đường nghiên cứu đầy hi vọng không gì so sánh được Phép suy diễn cần được bổ sung bằng trực quan, khát vọng tổng quát hóa liên tiếp cần được hạn chế và cân bằng nhờ trân trọng đến cái riêng

Nhu cầu thực tiễn (hiểu theo nghĩa rộng, kể cả nhu cầu của các khoa học lân cận và nhu cầu của bản thân toán học) là động lực của toán học, phương pháp tiên đề là tác phong của toán học hiện đại Nói rằng đặc trưng của phương pháp toán học là trừu tượng hóa, khái quát hóa thì ta cũng không quên một mặt khác của phương pháp toán học là phương pháp quy nạp, dự đoán, mò mẫm Tóm lại,

đặc trưng của phương pháp toán học là sự kết hợp chặt chẽ giữa cái cụ thể và cái trừu tượng, giữa phương pháp quy nạp và phương pháp suy diễn Hiểu như vậy, giáo viên dạy toán sẽ có ý thức lựa chọn phương pháp dạy học thích hợp, vừa phản ánh được bản sắc bộ môn, vừa thể hiện tư duy toán học hoàn chỉnh, vừa sát đối tượng, đạt yêu cầu giáo dục

3 Giáo viên toán cần hiểu rõ các vấn đề như: con người đã lao động thế nào

để sáng tạo ra các khái niệm toán học các hình ảnh cụ thể nào là cần thiết trong bước đầu hình thành khái niệm, tính chất, lí thuyết toán học trừu tượng các chứng minh chặt chẽ đã được xây dựng và tích lũy như thế nào trong lịch sử những sự kiện toán học điển hình, các bài toán lí thú mà người xưa đã giải trong hàng trăm năm; những khó khăn đặc biệt mà loài người đã phải vượt qua trong quá trình phát triển toán học

Lịch sử toán có thể giúp cho giáo viên trong công tác rất khó khăn của mình

là biến toán học thành một môn dạy hấp dẫn, thích thú đối với học sinh, làm cho các giờ toán không phải là một gánh nặng, một hình phạt đối với học sinh, mà là một nguồn vui, một cái gì đẹp đẽ, có thể giúp ích cho họ trong cuộc sống, trong công tác

Hiểu rõ lịch sử toán, giáo viên có thể kết hợp vào bài giảng của mình mà giới thiệu ngắn gọn, đúng lúc những nét về lịch sử khái niệm, lịch sử vấn đề, lịch sử các phát minh, tiểu sử các nhà khoa học,… làm cho giờ học thêm sinh động, có tác dụng khêu gợi khả năng sáng tạo của học sinh, động viên họ, giúp

4 Vì sao chuyên đề lịch sử toán lại hỗ trợ đắc lực cho giáo trình phương pháp

dạy học môn Toán THCS?

5 Phân tích sự cần thiết phải hiểu biết môn lịch sử toán đối với giáo viên toán

THCS

CHƯƠNG 2

SỰ PHÁT SINH TOÁN HỌC

2.1 Số tự nhiên và hệ thống ghi số

2.1.1 Sự hình thành khái niệm số ở người nguyên thủy

Rất lâu trước những văn tự cổ nhất, đã có những bức vẽ cho thấy một kiến thức về toán học và đo thời gian dựa trên sao trời Ví dụ các nhà cổ sinh vật học đã khám phá ra các mảnh đất thổ hoàng trong một hang động ở Nam Phi được trang trí bởi các hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN Cũng các di khảo tiền sử được tìm thấy ở châu Phi và Pháp, thời gian khoảng giữa 35000 TCN và 20000 TCN, cho thấy các cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian

Các bằng chứng còn tồn tại cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu là do phụ nữ, những người giữ các vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, hoặc ba mươi vạch trên xương hoặc hòn đá, theo sau là một vạch cách biệt khác Hơn nữa, các thợ săn đã có khái niệm về một, hai và nhiều cũng như không khi xem xét số bầy thú

Xương Ishango được tìm thấy ở thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN Bản dịch thông dụng nhất của hòn đá cho

ta thấy nó là bằng chứng sớm nhất thể hiện một dãy các số nguyên tố và phép nhân

Ai Cập cổ đại Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ 5 TCN đã vẽ các bức tranh về thiết kế hình học và không gian Người ta đã khẳng định các hòn đá tế thần ở Anh

và Scotland từ thiên niên kỉ thứ 3 TCN, bao gồm cả các ý tưởng hình học như hình tròn, hình elíp và bộ ba Pythagore trong thiết kế của nó

2.1.2 Các hệ thống ghi số

Nền toán học sớm nhất từng biết trong Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN -

2600 TCN ở nền văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) của Bắc Ấn

Độ và Pakistan, đã phát triển một hệ thống các đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại

sử dụng hệ cơ số 10, một công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng các tỉ lệ, các đường đi được đặt trên một góc vuông hoàn hảo, và một số các hình hình học và thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ và các bức vẽ các hình tròn và hình tam giác cắt nhau và đồng qui Các dụng cụ toán học tìm được bao gồm một thước đo cơ số 10 với độ chia nhỏ và chính xác, một dụng cụ vỏ

sò hoạt động như một chiếc compa để đo góc trên mặt phẳng hoặc theo các bội của

40-360 độ, một dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần của đường chân trời và bầu trời, và một dụng cụ để đo vị trí của các sao nhằm mục đích định hướng Bản viết tay Indus vẫn chưa được giải nghĩa; do đó ta biết được rất ít về các dạng viết của toán học Harappan Các bằng chứng khảo cổ đã làm các nhà sử học tin rằng nền văn minh này đã sử dụng hệ đếm cơ số 8 và đạt được các kiến thức về tỉ lệ giữa chu vi của đường tròn đối với bán kính của nó, do đó tính được số π

a Hệ thống ghi số không theo vị trí, ghi bằng chữ tượng hình

Khi trình độ đếm còn sơ khai thì loài người ghi số rất đơn giản, số chỉ số lượng là bao nhiêu thì ghi bấy nhiêu lần cùng một kí hiệu (theo nguyên tắc cộng).Kí hiệu phổ biến là các chữ tượng hình, bao gồm các chữ gạch đứng, gạch ngang, gạch chéo hoặc các chấm Chẳng hạn:

Chữ số Trung Quốc: -, =,, Chữ số La Mã: I, II,III, IV, V,VI, mà các chữ chính là: I, V, X, L, C, D, M

Cách ghi số cổ Hi Lạp

 (alfa): 1  (iôta): 10  (rô): 100

 (bêta): 2  (kapta): 20  (sigma): 200

 (gama): 3  (lămda): 30  (tô): 300

 (delta): 4  (muy): 40  (uypsilon): 400

 (epsilon): 5  (nuy): 50  (phi): 500

 (đigama): 6  (ksi): 60  (khi): 600

 (dzêta): 7  (ômicrôn): 70  (psi): 700

 (êtha): 8  (pi): 80  (ômêga): 800

 (thêta): 9 q (kôpa): 90  (xampi): 900 Chẳng hạn: số 857 được viết là:   

Hệ ghi số Babilon là một ví dụ về những hệ vị trí không thập phân Hình giống như chiếc đinh có mũ đại diện cho 1 và hình giống như một chiếc boomerang là đại diện cho 10 (ở khía cạnh này, số 10 vẫn được coi là một cái mốc đặc biệt) Tuy nhiên, điều đó không có nghĩa là muốn viết số 9 thì người ta đặt 9 hình cái đinh đó

ở cạnh nhau mà cho chúng chồng lên nhau thành ba hàng, mỗi hàng có ba số 1 viết như vậy Rõ ràng là cách viết này tỏ ra phức tạp và với số lớn thì rất khó có thể viết được Đó là lý do mà qui ước này không thể tồn tại cho tới ngày nay Tuy nhiên ảnh hưởng của nó thì đủ lớn để ngày nay chúng ta vẫn thấy cái bóng của nó mỗi ngày

Hệ lục thập phân này chính là nguyên nhân dẫn tới sự phân chia một giờ thành 60 phút, một phút thành 60 giây, cũng như việc chia một cung tròn thành 360 độ mà bạn đã biết

2.2 Toán học cổ Ai Cập

Toán học Ai Cập là ám chỉ toán học được viết dưới tiếng Ai Cập

Toán học Ai Cập cổ đại được đánh dấu bởi nhân vật truyền thuyết Thoth, người được coi là đã đặt ra mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học và thiên văn học, là

vị thần của thời gian

Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp đã thay thế tiếng Ai Cập trong ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập, và từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp nhất với toán học Hy Lạp và Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu toán học ở Ai Cập sau đó được tiếp tục dưới Đế chế Arab như là một phần của toán học Hồi giáo, khi tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết của các nhà học giả Ai Cập

Văn tự toán học cổ nhất tìm được cho tới nay là giấy cói Moskva, một văn tự bằng giấy cói của Vương quốc giữa Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày nay ta gọi

là "bài toán chữ", rõ ràng là chỉ để giải trí Một bài toán được coi là quan trọng ở mức nói riêng bởi nó đưa ra phương pháp tìm thể tích của một hình cụt: "Nếu bạn biết: một hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ 2 Bạn

sẽ bình phương số 4 này, được 16 Bạn sẽ nhân đôi 4, được 8 Bạn sẽ bình phương

2, được 4 Bạn sẽ cộng 16, 8, và 4 được 28 Bạn sẽ lấy một phần ba của 6, được 2 Bạn nhân 28 với 2 được 56 Và 56 là số bạn cần tìm."

Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) là một văn bản toán học Ai Cập quan trọng khác, một hướng dẫn trong số học và hình học Cùng với việc đưa ra các công thức diện tích và phương pháp nhân, chia và làm việc với phân số đơn vị, nó cũng chứa các bằng chứng về các kiến thức toán học khác (xem Egyptian Unit Fractions) bao gồm hợp số và số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân và trung bình điều hòa; và hiểu biết sơ bộ về sàng Eratosthenes và số hoàn hảo Nó cũng chỉ ra cách giải phương trình tuyến tính bậc một cũng như cấp số cộng và cấp số nhân

Cũng vậy, ba thành phần hình học có trong giấy cọ Rhind nói đến những kiến thức đơn giản nhất của hình học giải tích: (1) Đầu tiên và quan trọng nhất, làm thế nào

để xấp xỉ số π chính xác tới dưới một phần trăm; (2) thứ hai, một cố gắng cổ đại trong việc cầu phương hình tròn; (3) và thứ ba, sự sử dụng sớm nhất từng biết về lượng giác

Cuối cùng, giấy cọ Berlin cũng cho thấy người Ai Cập cổ đại có thể giải phương trình đại số bậc hai

2.3 Toán học Babilon

Toán học Babylon là ám chỉ bất kì nền toán học nào thuộc về cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầu Sumer cho đến đầu thời kì Hy Lạp hóa Nó được đặt tên là toán học Babylon là do vai trò trung tâm của Babylon là nơi nghiên cứu, nơi

đã không còn tồn tại sau thời kì Hy Lạp hóa Các nhà toán học Babylon đã trộn với các nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp Sau đó dưới Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt là Baghdad, một lần nữa trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo

Đối lập với sự thiếu thốn nguồn tài liệu của toán học Hy Lạp, sự hiểu biết về toán học Babylon của chúng ta là từ hơn 400 miếng đất sét khai quật được từ những năm 1850 Viết bằng kí tự Cuneiform, các miếng đất sét này được viết trong khi đất

sét còn ẩm, và được nung cứng trong lò hoặc bằng nhiệt từ Mặt Trời Một số trong

đó có vẻ là bài tập về nhà

Bằng chứng sớm nhất về các văn tự toán học là từ thời những người Sumer cổ đại, những người đã xây nên nền văn minh sớm nhất ở Lưỡng Hà Họ đã phát triển một

hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500 TCN trở về trước, người Sumer

đã viết những bảng nhân trên đất sét và giải các bài tập hình học và các bài toán chia Dấu vết sớm nhất của hệ ghi số Babylon cũng là trong khoảng thời gian này Một lượng lớn các tấm đất sét đã được phục hồi là vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, và bao gồm các chủ đề về phân số, đại số, phương trình bậc ba và bậc bốn, các tính toán về các bộ ba Pythagore Các tấm này cũng bao gồm cả bảng nhân, bảng lượng giác và các phương pháp giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đã đưa ra một xấp xỉ của số √2 chính xác tới năm chữ số thập phân

Toán học Babylon được viết bằng hệ cơ số 60 Do việc này mà ngày nay ta sử dụng

60 giây trong một phút, 60 phút trong một giờ và 360 (60 × 6) độ trong một vòng tròn Các tiến bộ của người Babylon trong toán học phát triển dễ dàng bởi số 60 có rất nhiều ước số Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp và La Mã, người Babylon có một hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, trong đó các chữ số viết

ở cột bên trái thể hiện giá trị lớn hơn, giống như hệ thập phân Thế nhưng họ lại thiếu một kí hiệu tương đương của dấu thập phân, và do đó hàng trong cách viết số thường được suy ra từ ngữ cảnh

CÂU HỎI

1 Nêu những đặc điểm của toán học cổ Ai cập về hệ thống ghi số

2 Nêu những đặc điểm của toán học Babilon về hệ thống ghi số

3 Theo bạn thì thành tựu nào của nền toán học Babilon là có ý nghĩa nhất.Vì

sao?

4 Người Ai Cập cổ đã tính thể tích hình chóp cụt khi biết chiều cao, diện tích

đáy lớn, diện tích đáy nhỏ bằng cách nào?

CHƯƠNG 3

TOÁN HỌC SƠ CẤP

3.1 Toán học cổ Hy Lạp

3.1.1 Toán học Hy Lạp và Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng 550 TCN – 300)

Toán học Hy Lạp là ám chỉ toán học được viết bằng tiếng Hy Lạp khoảng giữa 600 TCN và 450 Các nhà toán học Hy Lạp sống ở các thành phố rải rác trên toàn bộ Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, nhưng lại thống nhất về văn hóa và ngôn ngữ Toán học Hy Lạp đôi khi được gọi là toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa)

Toán học Hy Lạp đã trở nên phức tạp hơn rất nhiều so với các nền văn hóa trước

đó Tất cả các ghi chép còn tồn tại của các nền toán học tiền Hy Lạp đều cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, các quan sát liên tục được sử dụng để lập nên các phép đo dựa trên kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt được các kết luận từ các định nghĩa và tiên đề

Toán học Hy Lạp dường như bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN)

và Pythagoras (khoảng 582 - khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn,

họ có thể vẫn phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, và có thể cả Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras đã chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, và thiên văn từ các đạo sĩ Ai Cập

Thales đã sử dụng hình học để giải các bài toán như là tính chiều cao của các hình chóp và khoảng cách từ các tàu tới bờ biển Pythagoras được coi là người đầu tiên đưa ra chứng minh cho định lý Pythagore, mặc dù phát biểu của định lý đã đi qua một chặng đường lịch sử dài Trong lời bình luận về Euclid, Proclus phát biểu rằng Pythagoras đã diễn đạt định lý mang tên ông và dựng nên bộ ba Pythagore một cách đại số hơn là hình học Trường học của Plato có câu khẩu hiệu: "Không để những thứ nông cạn trong hình học vào đây."

Học thuyết Pythagoras đã khám phá ra sự tồn tại của các số hữu tỉ Eudoxus (408 - khoảng 355 TCN) đã phát minh ra phương pháp vét cạn, tiền thân của khái niệm hiện đại tích phân Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) đã lần đầu viết ra các luật về logic Euclid (khoảng 300 TCN) là ví dụ sớm nhất của một khuôn mẫu mà vẫn còn được sử dụng cho đến ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh Ông cũng nghiên cứu về các đường conic Cuốn sách của ông, Cơ bản, được tất cả những người có học biết đến ở phương Tây cho đến giữa thế kỉ 20 Thêm vào các

định lý quen thuộc của hình học, như định lý Pythagore, Cơ bản còn có cả chứng minh rằng căn bậc hai của hai là số vô tỉ và có vô hạn số nguyên tố Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) đã được sử dụng để tìm các số nguyên tố với người Hi lạp, toán học đã vượt lên cả việc ghi chép Những nhà toán học có tên tuổi tới nay đã để lại những định lí, tiên đề có giá trị khái quát cao trong cuộc sống và đặc biệt đối với lĩnh vực toán học

Một số người nói rằng người vĩ đại nhất trong các nhà toán học Hy Lạp, nếu không muốn nói là mọi thời đại, là Archimedes xứ Syracuse (287—212 TCN) xứ Syracuse Theo như Lucius Mestrius Plutarchus, ở tuổi 75, trong khi đang vẽ các công thức toán học ở trên cát, ông đã bị một tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ đại để lại ít bằng chứng về sự quan tâm vào toán học lý thuyết

Thales và định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học và toán học mêtric:

3.1.2 Toán học Hy Lạp cổ đại

Thuật ngữ Mathématiques, Mathématiciens, hay các ngôn từ tương đương trong ngôn ngữ Châu Âu đều bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp Chúng được phát sinh từ động

từ ”hiểu biết, học hỏi” Thời xa xưa nó chưa mang ý nghĩa đặc thù như ngày nay, từ

Hy Lạp; mathema có nghĩa là ”điều được đem ra giảng dạy”, nói một cách cụ thể hơn nó là một hình thức của tri thức

Việc dạy toán cổ xưa ở Hy Lạp

Chúng ta biết rất ít về việc dạy toán tại Hy Lạp Cổ đại Hình như một số trường triết học đã đóng một vai trò quan trọng trong việc đào tạo các nhà Toán học, khi

mà chuyên ngành hóa trí tuệ còn là ngoại lệ Ở thời kỳ cổ điển, người ta có nói đến

sự tồn tại của những trường gọi là “khoa học”, như trường Chios hoặc trường Cizyque Tuy nhiên, chúng ta không biết các trường ấy đào tạo phổ thông hay

chuyên ngành, và có phải là một cái gì khác cao hơn chứ không chỉ là một nhóm môn đệ tập trung xung quanh một ông thầy có tiếng tăm.

Như trong y học đã có những bằng chứng sớm hơn và vững chắc hơn về sự tồn tại của những trường y khoa – hình như môi trường gia đình có một vai trò trong sự đào tạo của nhà Bác học Chúng ta có rất ít chi tiết về tiểu sử các nhà toán học song cũng biết rằng, Archimèdes là con một nhà Thiên văn học, Hypsiclès là con một nhà toán học, các nhà hình học Ménechme và Dinostrate là hai anh em, còn Hypatie, nhà toán học nữ Hy Lạp duy nhất mà chúng ta biết, là con gái nhà toán học Theon ở Alexandria

Thực ra, Hy Lạp thời kỳ cổ điển không biết đến Nhà nước tập quyền kiểu ở Cận Đông thời Cổ đại, nơi đã nổi lên rất sớm nhu cầu đào tạo một giai cấp thư lại “viên chức” Hy Lạp thời đó hợp bởi nhiều thành bang nhỏ độc lập luôn tuôn xung đột với nhau, hoặc những tổ chức lỏng lẻo như kiểu thị tộc nên không cần đến các hệ thống giáo dục có tổ chức như ở Ai Cập, Babylone hoặc Trung Quốc

Tuy rằng thương mại, đạc điền và hàng hải đòi hỏi những tri thức tối thiểu về toán học và tuy các phép tính sơ đẳng có được dạy tại trường học, nhưng Thành bang

Hy Lạp không quan tâm mấy đến giáo dục trí tuệ và kỹ thuật cho thanh thiếu niên Nhà trường do các cá nhân khởi xướng, trong đó có một số trường trở nên nổi tiếng Hai nhà sư phạm vĩ đại người Athènes đầu Thế kỷ IV TCN là Socrates và Platon đều lập ra cơ sở giáo dục riêng của mình – Socrates lập trường hùng biện và Platon lập trường triết học

Cả hai ông đều coi toán học là công cụ không thể thiếu cho sự phát triển trí tuệ và thừa nhận môn học này đòi hỏi ”thể dục” và tập trung tinh thần Nhưng mỗi ông có một cách tiếp cận toán học khác nhau Socrates cho rằng, cũng như những cuộc tranh luận đối nghịch mà thanh niên rất ưa thích, toán học cần mở mang những đầu

óc ”minh mẫn” cho dù nội dung của nó không có mấy giá trị đối với người công dân mà lý tưởng là hiến mình cho đời sống chính trị Nhưng đối với Platon, một mặt thừa nhận toán học cũng có một vai trò giáo dục dự bị, song còn coi nó là một môn vỡ lòng cho nghiên cứu triết học – tức là triết học duy tâm Platon – và cả làm phương tiện chọn lọc bởi vì các môn toán học và triết học mà ông giảng dạy cùng với nhau tạo thành một hình thức tu luyện khổ hạnh trí tuệ thiết yếu cho đề án cải cách chính trị của ông

Thế kỷ III và II TCN đã chứng kiến một sự phát triển hết sức to lớn trong toán học

Đa số các tác phẩm của thời kỳ ấy còn đến ngày nay là tác phẩm của các nhà toán

Cập từ 306 đến 31 TCN Được biết rằng, các triều Vua Ptolémée áp dụng một chính sách đỡ đầu rộng rãi – trước kia chỉ dành cho một vài cá nhân, thường là các nhà thơ – bằng, cách lập ra một số cơ quan, nổi tiếng nhất là Thư viện và Bảo tàng Alexandria Những cơ quan mới đó rõ ràng đã đem lại một sự thúc đẩy mới cho nghiên cứu văn học Ảnh hưởng của chúng đối với sự phát triến của khoa học không rõ rệt bằng nhưng chắc phải có bầu không khí thuận lợi mà các cơ quan đó tạo ra chỉ có thể có lợi cho sự phát triển các khoa học

Tuy nhiên, chúng ta không biết những học giả vĩ đại thời đó được nhiều tài liệu chứng tỏ rằng đã có mặt tại Alexandria – như Hérophile de Chalcédoine, Euclides, Straton de Lampraque, Aristarque de Samos, Eratosthène de Cyrèrle, Apollonius de Perge – có đào tạo môn đệ, giảng dạy hoặc thuyết giảng hay không, trong khuôn khổ Bảo tàng Alexandria hay với tư cách cá nhân Vậy là chưa phải đã chắc chắn tồn tại một trường học hẳn hoi tại Alexandria, thực ra mãi đến thời đế chế La Mã, Bảo tàng Alexandria này mới hoạt động như một trường đại học và rồi được mô phỏng tại Ephèse, Athènes, Smyrne hoặc Egine

Các văn bản toán học

Bên cạnh toán học thuần tuý theo đúng truyền thống Hy Lạp, còn có một loạt văn bản toán học có thể gọi là mang tính chất ”tính toán”- giống như văn bản tìm thấy trong toán học Ai Cập, Babylone hoặc Trung Hoa; ví dụ, một bộ sách toán học khá muộn, được coi là của Héron d’Alexandrie, đã được soạn thảo và sử dụng cho đến tận thời kỳ Byzance Có lẽ nó dùng để đào tạo các kỹ thuật viên, như trong các văn bản Babylone hoặc Ai Cập Các bài toán đặt ra đều nói rõ ràng đến một tình hình

cụ thể, cho dù tình hình đó nhiều khi chỉ là một phương tiện giảng dạy

Hoàn toàn không có điều gì tương tự trong các sách cổ điển của Euclides, Archimèdes hoặc Apollonius, những người ít quan tâm đến các ứng dụng thực hành Cách trình bày lý thuyết số của Euclides hoàn toàn không cần viện dẫn những ví dụ về số Các tác phẩm còn đến ngày nay hình như cho thấy, có sự tách biệt rõ rệt giữa nghiên cứu thuần túy và ứng dụng thực hành Tuy nhiên, cho dù hai chủ đề này được phân biệt rõ ràng như vậy, cũng các tác giả ấy đều được quan tâm đến toán học ”thuần túy” lẫn ”ứng dụng” như nhau

Bộ phận toán học Hy Lạp mà theo quy ước ta gọi là “thuần túy” có 4 đặc điểm sau đây:

Trình bày suy diễn: những chuyên luận cổ điển, như nguyên lý của Euclides được trình bày theo cách suy diễn Kết quả được xác lập bằng chứng minh, hoặc bằng kết

quả đã đạt được chứng minh từ trước hoặc bằng những nguyên lý đặt ra ngay từ đầu Đây có thể coi như là một cách tiếp cận nửa theo tiên đề, nhấn mạnh đến khía cạnh lôgích và tất yếu của toán học Song, cần ghi nhận rằng nhiều khi khó tách rời khía cạnh hùng biện với ưu điểm là thu hút sự chú ý của học sinh và nhằm đạt tới hiệu quả tâm lý và sư phạm, với khía cạnh lôgích tập trung vào cơ cấu tất yếu và khách quan của biện luận

Xu hướng hình học: cho dù nói đến lý thuyết số, hình học hay thiên văn học, xu hướng của những sách chứng minh này về cơ bản là hình học Toán học cổ đã du nhập nhiều ký hiệu khác nhau để ghi các số và phân số cũng đã dùng những cách viết tắt Nhưng, chính ở việc sử dụng những hình hình học mà người Hy Lạp đi xa nhất trong thử nghiệm dùng những ký hiệu ”biểu diễn” Khả năng chia nhỏ các hình thành những phần tử, ấn định các quay tắc dựng hình được phép, tìm ra những đặc tính hình như đã ”có mặt” trong các hình, tất cả các khía cạnh ấy hoàn toàn thích hợp với cách trình bày suy diễn

3.2 Toán học cổ Trung Quốc

3.2.1 Toán học Trung Quốc cổ đại (khoảng 1300 TCN-200 CN)

Bắt đầu từ thời nhà Thương (1600 TCN— 1046 TCN), toán học Trung Quốc sớm nhất còn tồn tại bao gồm các số được khắc trên mai rùa Các số này sử dụng hệ cơ

số 10, vì vậy số 123 được viết (từ trên xuống dưới) bằng một kí hiệu cho số 1 rồi đến một kí hiệu hàng trăm, sau đó là kí hiệu cho số 2 rồi đến kí hiệu hàng chục, sau

đó là số 3 Đây là hệ cơ số tiến bộ nhất trên thế giới vào thời điểm đó và cho phép tính toán được thực hiện bởi bàn tính Thời điểm phát minh ra bàn tính không rõ,

nhưng tài liệu cổ nhất vào 190 trong Lưu ý về the Art of Figures viết bởi Xu Yue

Bàn tính có thể đã được sử dụng trước thời điểm này

Ở Trung Quốc, vào 212 TCN, vua Tần Thủy Hoàng đã ra lệnh đốt tất cả sách trong nước Cho dù lệnh này không được tuân thủ hoàn toàn, nhưng ta vẫn biết rất ít về toán học Trung Hoa cổ đại

Từ triều Tây Chu (từ 1046), công trình toán học cổ nhất còn tồn tại sau cuộc đốt sách là Kinh Dịch, trong đó sử dụng 64 quẻ 6 hào cho mục đích triết học hay tâm linh Các hào là các bộ hình vẽ gồm các đường gạch đậm liền hoặc đứt nét, đại diện cho dương và âm

Sau cuộc đốt sách, nhà Hán (202 TCN) - 220 đã lập các công trình về toán học có thể là phát triển dựa trên các công trình mà hiện nay đã mất Phần quan trọng nhất trong số đó là Cửu chương toán thuật, tiêu đề của nó xuất hiện trước 179 CN,

nhưng là nằm trong các tiêu đề khác tồn tại trước đó Nó bao gồm 264 bài toán chữ, chủ yếu là nông nghiệp, thương nghiệp, áp dụng của hình học để đo chiều cao và tỉ

lệ trong các chùa chiền, công trình, thăm dò, và bao gồm các kiến thức về tam giác vuông và số π Nó cũng áp dụng nguyên lí Cavalieri (Cavalieri's principle) về thể tích hơn một nghìn năm trước khi Cavalieri đề xuất ở phương Tây Nó đặt ra chứng minh toán học cho Định lý Pythagore, và công thức toán học cho phép khử Gauss Công trình này đã được chú thích bởi Lưu Huy (Liu Hui) vào thế kỉ thứ 3 trước Công nguyên

Ngoài ra, các công trình toán học của nhà thiên văn học, nhà phát minh Trương Hành (Zhang Heng, 78-139) đã có công thức cho số pi, khác so với tính toán của Lưu Huy Trương Hành sử dụng công thức của ông cho số pi để tính thể tích hình cầu V theo đường kính D

V= D3 + D3 = D3

Người Trung Quốc cũng sử dụng biểu đồ tổ hợp phức còn gọi là 'hình vuông thần kì', được mô tả trong các thời kì cổ đại và được hoàn chỉnh bởi Dương Huy (1238-1398)

3.2.2 Toán học Trung Quốc cổ điển (khoảng 400-1300)

Tổ Xung Chi (Zu Chongzhi) (thế kỉ 5) vào thời Nam Bắc Triều đã tính được giá trị của số π chính xác tới bảy chữ số thập phân, trở thành kết quả chính xác nhất của

số π trong gần 1000 năm

Trong hàng nghìn năm sau nhà Hán, bắt đầu từ nhà Đường và kết thúc vào nhà Tống, toán học Trung Quốc phát triển thịnh vượng, nhiều bài toán phát sinh và giải quyết trước khi xuất hiện ở châu Âu Các phát triển trước hết được nảy sinh ở Trung Quốc, và chỉ rất lâu sau mới được biết đến ở phương Tây, bao gồm số âm, định lý nhị thức, phương pháp ma trận để giải hệ phương trình tuyến tính và Định

lý số dư Trung Quốc về nghiệm của hệ phương trình đồng dư bậc nhất

Số âm được đề cập đến trong bảng cửu chương từ thời nhà Hán, 200TCN

Định lý nhị thức và tam giác Pascal được Yang Hui nghiên cứu từ thế kỷ 13

Ma trận được người Trung Quốc nghiên cứu và thành lập bảng ma trận từ những năm 650 TCN

Người Trung Quốc cũng đã phát triển tam giác Pascal và luật ba rất lâu trước khi

nó được biết đến ở châu Âu Ngoài Tổ Xung Chi ra, một số nhà toán học nổi tiếng

ở Trung Quốc thời kì này là Nhất Hành, Shen Kuo, Chin Chiu-Shao, Zhu Shijie, và những người khác Nhà khoa học Shen Kuo sử dụng các bài toán liên quan đến giải tích, lượng giác, khí tượng học, hoán vị, và nhờ đó tính toán được lượng không gian địa hình có thể sử dụng với các dạng trận đánh cụ thể, cũng như doanh trại giữ được lâu nhất có thể với lượng phu có thể mang lương cho chính họ và binh sĩ

Thậm chí sau khi toán học Châu Âu bắt đầu nở rộ trong thời kì Phục hưng, toán học Châu Âu và Trung Quốc khác nhau về truyền thống, với sự sụt giảm của toán học Trung Quốc, cho tới khi các nhà truyền đạo Thiên Chúa giáo mang các ý tưởng toán học tới và đi giữa hai nền văn hóa từ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18

3.3 Toán học cổ Ấn Độ

3.3.1 Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 CN)

Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng thế kỉ 9 TCN), trong đó có xấp xỉ số π chính xác tới 2 chữ số thập phân[15] và Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) là các văn bản hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, và căn bậc ba; tính căn bậc hai của 2 tới năm chữ số thập phân; đưa ra phương pháp cầu phương hình tròn, giải phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai; phát triển bộ ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu và nêu chứng minh cho Định lý Pythagore

Pāṇini (khoảng thế kỉ V TCN) đã lập công thức cho ngữ pháp của tiếng Phạn Kí hiệu của ông tương tự với kí hiệu toán học, và sử dụng các ngôn luật, các phép biến đổi, đệ qui với độ phức tạp đến mức ngữ pháp của ông có sức mạnh tính toán ngang với máy Turing Công trình của Panini cũng đi trước cả lý thuyết hiện đại ngữ pháp hình thức (formal grammar) (có vai trò quan trọng trong điện toán), trong khi dạng Panini-Backus được sử dụng bởi những ngôn ngữ lập trình hiện đại nhất lại rất giống với luật ngữ pháp của Panini Pingala (khoảng thế kỉ thứ 3 đến thứ nhất TCN) trong bản luận thuyết của mình về thi pháp đã sử dụng một phương pháp ứng với hệ nhị phân Thảo luận của ông về tổ hợp của các phách, tương ứng với định lý nhị thức Công trình của Pingala cũng chứa các ý tưởng cơ bản của các

số Fibonacci (được gọi là mātrāmeru) Văn bản Brāhmī được phát triển ít nhất từ thời triều Maurya vào thế kỉ 4 TCN, với những bằng chứng khảo cổ học cho thấy

nó xuất hiện vào khoảng 600 TCN Chữ số Brahmi ở vào khoảng thế kỉ 3 TCN Giữa năm 400 TCN và 200 CN, các nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích duy nhất cho toán học Họ là những người đầu tiên phát triển transfinite number, lý thuyết tập hợp, logarit, các định luật cơ bản của lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn, dãy số và dãy cấp số, hoán vị và tổ

hợp, bình phương và lấy xấp xỉ căn bậc hai, và hàm mũ hữu hạn và vô hạn Bản thảo Bakshali được viết giữa 200 TCN và 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng và cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai, phương trình không mẫu mực, và sự

sử dụng số 0 và số âm Các tính toán chính xác cho số vô tỉ đã được tìm ra, bao gồm tính căn bậc hai của các số tới bao nhiêu chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên)

3.3.2 Toán học Ấn Độ cổ điển (khoảng 400-1600)

Cuốn Surya Siddhanta (khoảng 400) giới thiệu các hàm lượng giác như sin, cosin,

và sin ngược, và đưa ra các luật để xác định chuyển động chính xác của các thiên thể, tuân theo vị trí thật của chúng trên bầu trời Thời gian vũ trụ tuần hoàn được giải thích trong cuốn sách, được sao chép từ một công trình trước đó, tương ứng với năm thiên văn với 365,2563627 ngày, chỉ dài hơn 1,4 giây so với giá trị hiện đại Công trình này đã được dịch ra tiếng Ả Rập và Latin trong thời Trung Cổ

Aryabhata vào năm 499 giới thiệu hàm versin, đưa ra bản sin đầu tiên, phát triển các kĩ thuật và thuật toán của đại số, vô cùng nhỏ, phương trình vi phân, và đạt được lời giải hoàn chỉnh cho các phương trình tuyến tính bằng một phương pháp ứng với phương pháp hiện đại, cùng với các tính toán thiên văn chính xác dựa trên thuyết nhật tâm Một bản dịch tiếng Ả Rập của cuốn Aryabhatiya có từ thế kỉ 8, sau

đó là bản Latin vào thế kỉ 13 Ông cũng tính giá trị π chính xác tới bốn chữ số sau dấu phẩy Madhava sau đó vào thế kỉ 14 đã tính giá tị của số π chính xác tới chữ số thập phân thứ mười một là 3.14159265359

Chứng minh của Brahmagupta rằng

Vào thế kỉ XVII, Brahmagupta đã đưa ra định lý Brahmagupta, đẳng thức Brahmagupta và công thức Brahmagupta lần đầu tiên, trong cuốn Brahma-sphuta-

siddhanta, ông đã giải thích một cách rõ ràng cách sử dụng số 0 vừa là kí hiệu thay thế vừa là chữ số thập phân và giải thích hệ ghi số Hindu-Arabic Theo một bản dịch của văn bản tiếng Ấn về toán học này (khoảng 770), các nhà toán học Hồi giáo

đã được giới thiệu hệ ghi số này, mà họ gọi là hệ ghi số Ả Rập Các nhà học giả Hồi giáo đã mang kiến thức về hệ ghi số này tới Châu Âu trước thế kỉ XII, và nó đã thay thế toàn bộ các hệ ghi số cũ hơn trên toàn thế giới Vào thế kỉ X, bình luận của Halayudha về công trình của Pingala bao gồm một nghiên cứu về dãy Fibonacci và tam giác Pascal, và mô tả dạng của một ma trận

Vào thế kỉ XII, Bhaskara lần đầu tiên đặt ra ý tưởng về giải tích vi phân, cùng với khái niệm về đạo hàm, hệ số vi phân và phép lấy vi phân Ông cũng đã chứng minh định lý Rolle (một trường hợp đặc biệt của định lý giá trị trung bình), nghiên cứu phương trình Pell, và xem xét đạo hàm của hàm sin Từ thế kỉ XIV, Madhava và các nhà toán học khác của Trường Kerala, phát triển thêm các ý tưởng của ông Họ

đã phát triển các khái niệm về thống kê toán học và số dấu phẩy động, và khái niệm căn bản cho việc phát triển của toàn bộ giải tích, bao gồm định lý giá trị trung bình, tích phân từng phần, quan hệ giữa diện tích dưới một đường cong và nguyên hàm của nó, kiểm tra tính hội tụ, phương pháp lặp để giải nghiệm phương trình phi tuyến, và một số chuỗi vô hạn, chuỗi hàm mũ, chuỗi Taylor và chuỗi lượng giác Vào thế kỉ XVI, Jyeshtadeva đã củng cố thêm rất nhiều định lý và phát triển của Trường Kerala trong cuốn Yuktibhasa, văn bản về đạo hàm đầu tiên trên thế giới, cũng đưa ra khái niệm tích phân Phát triển toán học ở Ấn Độ chững lại từ cuối thế

kỉ XVI do các rắc rối về chính trị

Aryabhata

3.4 Toán học ở Trung Ả và Cận đông

Đế chế Ả Rập Đạo Hồi được thiết lập trên toàn bộ Trung Đông, Trung Á, Bắc Phi, Iberia, và một số phần của Ấn Độ trong thế kỉ VIII đã tạo nên những cống hiến quan trọng cho toán học Mặc dù phần lớn các văn bản Đạo Hồi được viết bằng tiếng Ả Rập, chúng không hoàn toàn được viết bởi những người Ả Rập, rất có thể

do vị thế của Hy Lạp trong thế giới Hellenistic, tiếng Ả Rập được sử dụng như là ngôn ngữ viết của các học giả không phải người Ả Rập trong thế giới Đạo Hồi thời bấy giờ Một số trong những nhà toán học Đạo Hồi quan trọng nhất là người Ba

Tư

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī, một nhà toán học và thiên văn học Ba Tư thế

kỉ thứ 9, đã viết một vài cuốn sách quan trọng về hệ ghi số Hindu-Arabic và về các

phương pháp giải phương trình Cuốn sách của ông Về tính toán với hệ ghi số

Hindu, được viết khoảng năm 825, cùng với công trình của nhà toán học Ả Rập

Al-Kindi, là những công cụ trong việc truyền bá toán học Ấn Độ và hệ ghi số Arabic tới phương Tây Từ algorithm (thuật toán) bắt nguồn từ sự Latin hóa của tên ông, Algoritmi, và từ algebra (đại số) từ tên của một trong những công trình của ông, Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī hīsāb al-ğabr wa’l-muqābala (Cuốn cẩm nang về tính toán bằng hoàn thiện và cân đối) Al-Khwarizmi thường được gọi là "cha đẻ của đại số", bởi sự bảo tồn các phương pháp đại số cổ đại của ông và các cống hiến của ông đối với lĩnh vực này Các phát triển thêm của đại số được thực hiện bởi Abu

Hindu-Bakr al-Karaji (953—1029) trong học thuyết của ông al-Fakhri, ở đó ông mở rộng

các quy tắc để thêm cả lũy thừa số nguyên và nghiệm nguyên vào các đại lượng chưa biết Vào thế kỉ X, Abul Wafa đã dịch công trình của Diophantus thành tiếng

Ả Rập và phát triển hàm tang

Chứng minh đầu tiên bằng quy nạp toán học xuất hiện trong một cuốn sách viết bởi Al-Karaji khoảng 1000 CN, người đã sử dụng nó để chứng minh định lý nhị thức, tam giác Pascal, và tổng của các lập phương nguyên Nhà nghiên cứu lịch sử toán học, F Woepcke, đã ca ngợi Al-Karaji là "người đầu tiên giới thiệu các định lí của các phép tính đại số."

Ibn al-Haytham là người đầu tiên bắt nguồn sử dụng các công thức tính tổng của lũy thừa bậc bốn sử dụng phương pháp quy nạp, từ đó phát triển thành phương pháp tính tích phân

Omar Khayyam, nhà thơ thế kỉ XII, cũng là một nhà toán học, viết Bàn luận về

những khó khăn của Euclid, một cuốn sách về các thiếu sót của cuốn Cơ sở của

Euclid, đặc biệt là tiên đề về đường thẳng song song, và do đó ông đặt ra nền móng cho hình học giải tích và hình học phi Euclid Ông cũng là người đầu tiên tìm ra nghiệm hình học của phương trình bậc ba Ông cũng có ảnh hưởng lớn trong việc cải tổ lịch

Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī

Nhà toán học Ba Tư Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vào thế kỉ XIII đã tạo nên những bước tiến trong lượng giác hình cầu Ông cũng viết các công trình có ảnh hưởng lớn tới tiên đề về đường thẳng song song của Euclid

Vào thế kỉ XV, Ghiyath al-Kashi đã tính giá trị số π tới chữ số thập phân thứ 16 Kashi cũng có một thuật toán cho phép tính căn bậc n, là trường hợp đặc biệt của các phương pháp đã đưa ra hàng thế kỉ sau bởi Ruffini và Horner Các nhà toán học Hồi giáo đáng lưu ý khác bao gồm al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, Thabit ibn Qurra, Abu Kamil và Abu Sahl al-Kuhi

Đến thời Đế chế Ottoman (từ thế kỉ XV), sự phát triển của toán học Hồi giáo bị chững lại Điều này song song với sự chững lại của toán học khi người Roma chinh phục được thế giới Hellenistic

John J O'Connor và Edmund F Robertson viết trong cuốn MacTutor History of Mathematics archive:

"Những nghiên cứu gần đây vẽ ra một bức tranh mới về những thứ mà ta nợ toán học Đạo Hồi Hiển nhiên rất nhiều các ý tưởng nghĩ ra trước đó đã trở thành những khái niệm tuyệt vời do toán học Châu Âu của thế kỉ mười sáu, mười bảy, mười tám theo ta biết là đã được phát triển bởi các nhà toán học Ả Rập/ Đạo Hồi bốn thế kỉ trước đó Trong nhiều khía cạnh, toán học được nghiên cứu ngày nay còn gần hơn

về phong cách đối với những thứ đó của toán học Đạo Hồi hơn là những thức của toán học Hellenistic."

3.5 Toán học ở Châu Âu

Mối quan tâm đến toán học của châu Âu Trung cổ là do nhiều lý do rất khác so với của các nhà toán học hiện đại Một lý do đó là niềm tin rằng toán học là chìa khóa

để hiểu được thứ bậc trong tự nhiên, thường được đánh giá trong cuộc đối thoại Timaeus của Plato và chuyến đi lớn mà Chúa đã "sắp xếp tất cả mọi thứ theo kích thước, số lượng, và cân nặng"

3.5.1 Thời kì Trung cổ sơ khai (khoảng 300-1100)

Boethius (480–524) đã dành một nơi cho toán học trong môn học khi ông đưa ra khái niệm "quadrivium" (tiếng Latinh: bốn con đường) để chỉ các môn số học, hình

học, thiên văn học, và âm nhạc Ông viết De institutione arithmetica, dịch thoáng nghĩa từ tiếng Hy Lạp tiêu đề của cuốn Introduction to Arithmetic của

Nicomachus; De institutione musica, cũng phát triển từ gốc Hy Lạp; và một loạt các đoạn lấy từ cuốn Cơ sở của Euclid Công trình của ông mang tính lý thuyết hơn

là thực hành, và là công trình nền tảng của toán học cho đến khi các công trình toán

học của Hy Lạp và A Rập được phục hồi

3.5.2 Sự hồi sinh của toán học tại châu Âu (1100-1400)

Vào thế kỉ XII, các nhà học giả Châu Âu đã chu du đến Tây Ban Nha và Sicily để tìm các văn bản tiếng A Rập, trong số chúng là cuốn Al-Jabr wa-al-Muqabilah của Al-Khwarizmi, được dịch thành tiếng Latinh bởi Robert of Chester và văn bản đầy

đủ của cuốn Cơ sở của Euclid, được dịch thành rất nhiều phiên bản bởi Adelard of Bath, Herman of Carinthia, và Gerard of Cremona

Những nguồn mới này lóe lên một thời kì hồi sinh của toán học Fibonacci, vào đầu thế kỉ XIII, đưa ra công trình toán học quan trọng đầu tiên ở châu Âu kể từ thời của Eratosthenes, một khoảng thời gian hơn một nghìn năm Thế kỉ XIV đã chứng kiến

sự phát triển của các khái niệm toán học mới để giải quyết một loạt bài toán Một lĩnh vực quan trọng cống hiến cho sự phát triển của toán học đó là phân tích các chuyển động địa phương

Thomas Bradwardine đưa ra rằng vận tốc (V) tăng theo tỉ lệ số học khi tỉ số của lực (F) với lực cản (R) tăng theo số mũ Bradwardine diễn tả điều này bằng một loạt các ví dụ cụ thể, nhưng mặc dù lôgarít thời đó chưa xuất hiện, ta có thể biểu diễn kết luận của ông dưới dạng V = log (F/R) Phân tích của Bradwardine là một ví dụ của việc chuyển đổi kĩ thuật toán học được sử dụng bởi al-Kindi và Arnald of Villanova để định tính bản chất của thuốc trộn thành một bài toán vật lý khác

Là một người trong nhóm Oxford Calculators vào thế kỉ XIV, William Heytesbury, thiếu giải tích vi phân và khái niệm giới hạn, đã đưa ra việc đo vận tốc tức thời

"bằng con đường mà có thể được mô tả bởi một vật thể nếu nó được dịch chuyển

đi theo cùng một tốc độ mà với điều đó nó được di chuyển trong thời khắc đã cho" Heytesbury và những người khác đã xác định bằng toán học khoảng cách đi được của một vật thể chuyển động có gia tốc không đổi (mà ta có thể giải dễ dàng bằng Tích phân), nói rằng "một vật thể chuyển động mà nhận vận tốc giảm hoặc tăng không đổi sẽ đi trong một thời gian nào đó cho trước một khoảng cách hoàn toàn bằng với khoảng cách ấy mà sẽ đi được nếu nó đang chuyển động liên tục trong cùng một thời gian với tốc độ trung bình"

luận sau đó về cuốn Hình học của Euclid, Oresme đưa ra một phân tích chi tiết tổng

quát trong đó ông nói rằng một vật thể sẽ nhận được trong mỗi số gia của thời gian một số gia của bất kì tính chất nào mà tăng như số lẻ Do Euclid đã chứng minh tổng của các số lẻ là các số chính phương, tổng các tính chất đạt được bởi vật thể tăng theo bình phương thời gian

3.5.3 Toán học hiện đại sơ khai châu Âu

Ở châu Âu vào buổi bình minh của thời kì Phục Hưng, toán học vẫn còn bị hạn chế bởi các kí hiệu cồng kềnh sử dụng hệ ghi số La Mã và diễn đạt các quan hệ bằng từ ngữ, hơn là bằng kí hiệu: không có dấu cộng, không có dấu bằng và không sử dụng

x thay cho đại lượng chưa biết

Vào thế kỉ XVI các nhà toán học châu Âu bắt đầu tạo nên những bước tiến mới mà không cần biết đến những nơi khác trên thế giới, tới mức như ngày nay Bước tiến đầu tiên trong số đó là nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba, thông thường được ghi công cho Scipione del Ferro vào khoảng 1510, nhưng xuất bản lần đầu tiên bởi Johannes Petreius ở Nürnberg trong cuốn Ars magna của Gerolamo Cardano, trong đó cũng có nghiệm tổng quát của phương trình bậc bốn từ học trò của Cardano Lodovico Ferrari

Từ thời điểm này, toán học phát triển nhanh chóng, bổ trợ cho và lấy lợi ích từ các tiến bộ mới cùng thời của vật lý học Quá trình này càng được thúc đẩy bởi những tiến bộ trong ngành in Cuốn sách toán học sớm nhất được in là cuốn Theoricae nova planetarum của G v Peuerbach vào 1472, theo sau là một cuốn sách về số học thương mại Treviso Arithmetic năm 1478 và cuốn sách toán học thực sự của Euclid, cuốn Cơ sở được in và xuất bản bởi Ratdolt năm 1482

Do nhu cầu cấp thiết về định hướng và vẽ bản đồ chính xác cho những khu vực rộng lớn, lượng giác đã phát triển thành một ngành lớn của toán học Bartholomaeus Pitiscus là người đầu tiên sử dụng từ Trigonometria (lượng giác) trong cuốn sách cùng tên của ông vào năm 1595 Bảng sin và cosin của Regiomontanus được xuất bản vào 1533

Isaac Newton Cuốn sách của Georg von Peuerbach

Đến cuối thế kỉ, nhờ có Johannes Müller von Königsberg (1436-1476) và François Viète (1540-1603), cùng với những người khác, mà toán học đã được viết bằng hệ ghi số Hindu-Arabic và theo một dạng mà không quá khác xa so với các kí hiệu sử dụng ngày nay

CÂU HỎI

1 Vì sao toán học cổ Hi Lạp thuộc toán học sơ cấp mặc dù những thành tựu

toán học của Ácsimét vượt xa thời đại hàng chục thế kỷ?

2 Hãy nêu những đặc trưng của toán học cổ Trung Quốc

3 Hãy nêu những đặc trưng của toán học cổ Ấn Độ

4 Hãy nêu những thành tựu chủ yếu của toán học Châu Âu thời kỳ Trung cổ và

phục hưng

5 Anh (chị) rút ra được những điều gì bổ ích từ lịch sử toán học sơ cấp để phục

vụ dạy học toán THCS

CHƯƠNG 4

TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN

4.1 Toán học của những đại lượng biến thiên

1638, Galilê đã tìm ra được biểu thức toán học cho các định luật và sự rơi các vật thể Trước đó ít lâu, Kê-Ple (1609-1619) đã phát minh ra và đồng thời phát biểu về mặt toán học những định luật nổi tiếng về chuyển động của các hành tinh Năm

1686, Niuton tìm ra định luật vạn vật hấp dẫn Những thành tựu này, do toán học,

đã nảy sinh tư tưởng triết học về tính vạn năng của phương pháp toán học, nó thống trị khối óc nhiều nhà bác học và triết học lớn nhất của thế kỉ XVII như Đề-các, Xpinôda, Lépnit, Niuton

Trong thế kỉ này đã có những sự biến đổi trong các hình thức tổ chức nghiên cứu toán học Năm 1662, hội Hoàng gia Luân Đôn bắt đầu hoạt động Năm 1666, Viện hàn lâm Paris được thành lập và có những tập san khoa học định kì Việc sáng tạo toán học chịu áp lực trực tiếp của nhu cầu thực tiễn, làm cho toán học chuyển sang giai đoạn nghiên cứu các yếu tố động, các phép biến đổi và sự phụ thuộc hàm

số Ăng ghen đã nói: “Đại lượng biến thiên của Đề Các là một bước ngoặc trong

toán học Nhờ nó sự vận động và phép biện chứng đã xâm nhập vào toán học và cũng chính là nhờ nó, phép tính vi tích phân đã có sơ sở để xuất hiện và được Niuton, Lépnit hoàn thành chứ không phải do hai ông tạo ra.”

4.1.2 Toán học thế kỉ XVII và XVIII

Thế kỉ XVII đã mở đầu tất cả, hoặc hầu như tất cả các ngành toán học mà ngày nay là cơ sở cổ điển của nền giáo dục toán học cao cấp Điểm qua những thành tựu của thế kỉ XVII ta thấy:

Các công trình của Đề các và Phécma, lần đầu tiên, môn hình học giải tích được trình bày như là một phương pháp biểu thị các kích thước, các dạng và các tính chất hình học của các đối tượng bằng những hệ thức số, thực chất là phương pháp tọa độ

Giải tích toán học đã bắt đầu xuất hiện dưới những hình thức khác nhau Đầu tiên vào khoảng từ năm 1665 đến 1666, trong các công trình của Niuton, phép tính tích phân ra đời dưới dạng lí thuyết thông lượng (mãi đến thế kỉ thứ XVII mới xuất bản) và trong các tác phẩm của Lép nít (xuất bản trong các năm 1682 – 1688 và sau nữa) nó có dạng phép tính các vi phân

Ngay sau khi xuất hiện giải tích toán học, những bài toán cơ học và vật lí được viết dưới dạng các phương trình vi phân mà từ đó việc giải chúng gần như là nhiệm

vụ chủ yếu nhất của toán bộ toán học Từ giải tích, người ta nói đến những bài toán biến phân, mà việc giải chúng, về sau đã làm xuất hiện được tính biến phân, bộ phận ra đời sớm nhất của giải tích hàm

Liên hệ mật thiết với giải tích, các ứng dụng hình học của nó tạo thành một phần riêng của toán học Từ công thức bán kính cong của Kêple (Kepler Johann, 1571-1630) năm 1604 các biểu thức toán học của đường túc bế, thân khai của Huyghen (1629-1695) năm 1673, đã trở thành môn hình học vi phân do Klerô (Clairaut Alexis Claude, 1713-1765) đặt cơ sở

Bộ môn hình học xạ ảnh cũng đã xuất hiện Năm 1636, Đêgiácgơ (1593 – 1662), kĩ sư và kiến trúc sư người pháp, người sáng tạo ra lí thuyết phối cảnh đã phát triển một cách hệ thống và đầy đủ sự biểu diễn phối cảnh hình học các phần xa

vô tận, phép đối hợp,… Ngoài Đêgiácgơ còn có Pascal (1640), Laghe (1685) đã đưa sự biểu diễn phối cảnh vào lí thuyết diện cônic Hình học xạ ảnh được hoàn thiện bởi nhà toán học Pháp Pôngxơlê (Jean Victor Poncelet, 1788-1867) Hình học họa hình được đánh giá là quan trọng trong kiến trúc, kĩ thuật cơ khí … do nhà toán học Pháp Mônggiơ (Gaspard Monge, 1764-1818) đặt nền móng Thực ra trong nhiều thế kỉ trươc đó, nhất là vào thời kì Trung cổ, việc xây dựng các đền đài lăng tẩm đều do những kiến trúc sư chỉ đạo Họ đã phải sử dụng khá nhiều khái niệm về hình học họa hình nhưng tiếc là chưa có ai đúc kết thành kí thuyết và ghi lại thành sách Công lao của Mônggiơ là xây dựng hình học họa hình thành lí luận, có tính ứng dụng cao

Trong thế kỉ XVII, đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học Trong đó công cụ kí hiệu bằng chữ đã được củng cố Lí thuyết tổng quát về các phương trình được xác định Trong phạm vi này có thể kể:

- Việc xác lập và có đôi chút tiến triển của vấn để khả quy của các phương trình đại số

- Việc đặt cơ sở cho lí thuyết định thức và quy tắc, mang tên Cơrame, do Lépnit nêu ra năm 1693 Cần nói thêm rằng danh từ “định thức” mới được dùng từ năm

1815 (Do Côsi) và kí hiệu định thức được dùng từ năm 1841 (do Keli)

- Những cố gắng liên tục (những tất nhiên là vô hiệu) trong việc tìm cách giải bằng căn thức các phương trình bậc cao hơn bốn

- Những cố gắng nhằm chứng minh định lí cơ bản của đại số và số nghiệm của phương trình đại số

Lí thuyết được số phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của

Phéc-ma, quyết định sự phát triển về sau của nó Đặc biệt, có hai định lí do ông phát biểu

mà không chứng minh

- Định lí Phéc-ma lớn “Phương trình Đi ô phăng x n + y n = z n , n > 2 và nguyên, không có nghiệm nguyên dương”

- Định lí Phéc-ma nhỏ: “Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên không chia hết

cho p thì a p-1  1 (mod p), nghĩa là a p-1 = 1 chia hết cho p (Ơ le là người đầu tiên

đã chứng minh định lí này, một định lí cơ sở của lí thuyết đồng dư)

Năm 1665, Pascan lần đầu tiên đã phát biểu nguyên lí của phép quy nạp toán học Ông cùng với Phecma và Lepnit đã sáng tạo ra những khái niệm cơ bản về tổ hợp trong một loại bài báo

Lí thuyết xác xuất mà những bài toán của nó cũng được nghiên cứu với lí thuyết tổ hợp, khoảng giữa thế kỉ thứ XVII đã bắt đầu được hình thành như một khoa học Nhưng chỉ với những tác phẩm của Pascan, Phecma và Huyghen , khái niệm kì vọng toán học mới trở thành quen thuộc

Vào cuối thế kỉ thứ XVII, Bec-nu-li (1654-1705) đã phát minh ra dạng đơn giản nhất của quy luật các số lớn (xuất bản năm 1713) hoàn thành giai đoạn đầu tiên của lịch sử lí thuyết xác xuất theo sự phân loại của Kônmôgôrốp

4.1.3 Sự hoàn thiện của phương pháp và các công cụ tính toán trong thế kỉ thức XVII và XVIII

Toán học ở thế kỉ XVII và đầu thế kỉ XVIII đã trải qua những khó khăn lớn lao,

có tính chất toán thực hành, tập trung vào việc lập các bảng hàm số lượng giác và vấn đề xác định giá trị số 

Nhờ sự nỗ lực phi thường của các nhà bác học có tiếng và những người tính toán không tên tuổi, các bảng lượng giác đã lập xong, tính với các cung sai kém 2 Tham gia bảng tính có Cô-péc-níc, Kếp-lê, Buyghi, Vi-ét Những bản này hết sức

cần thiết đối với những người đi biển, các nhà thiên văn, người xây dựng và nhà chế tạo

Để tính toán người ta đã phải dùng những đường tròn có bán kính khổng lồ Chẳng hạn để xác định sin 1’, Vi-et đã đưa về việc tính cạnh của một đa giác đều nội tiếp có 3.211 cạnh và của đa giác đều ngoại tiếp có 3.212 cạnh Kết quả là người

ta đã được những giá trị gần đúng của số  với độ chính xác cao Sen Ksơ đã tìm được trên 700 số lẻ thập phân của , và từ đó không còn nhu cầu phục vụ thực hành nữa

Lô-ga-rit được tìm thấy từ đầu thế kỉ XVII, nhưng cơ sở lí thuyết của nó thì đã được bàn đến từ lâu Vấn đề là so sánh hai cấp số, cấp số cộng và cấp số nhân và

mở rộng cho đầy đủ khái niệm lũy thừa Nhiều nhà toán học đã liên tiếp khắc phục những khó khăn xây dựng xong bảng lô-ga-rít thập phân, lô-ga-rit Nêpe (cơ số e) lô-ga-rit các hàm số lượng giác và từ năm 1620 đã lập xong thước tính logarit Trong khoảng chưa đầy một thế kỉ, các bảng logarit và thước tính logarit đã được phổ biến trên toàn thế giới và đã là một công cụ hỗ trợ không gì thay thế được trong tính toán Logarit giữ vai trò đặc biệt quan trọng vào nửa sau thế kỉ thứ XVIII, được coi là phương tiện trung gian làm giảm nhẹ phép tính trong lượng giác

và thiên văn Đầu tiên các tính chất của logarit được biết và được trình bày bằng ví

dụ số Từ cách viết bằng chữ (năm 1684) chuyển sang cách viết tắt (1742), chẳng hạn Lab= La+ Lb Trong thời gian này các phép tính logarit là phép tính ngược của phép tính nâng lên lũy thừa và coi logaritt là một lũy thừa nào đó Sự phân biệt kí hiệu Ln và log cho logarit tự nhiên và logarit thập phân đã có từ năm 1821 (do Cô si)

Chúng ta nhận xét thấy rằng trong quá trình giải các bài toán để lập các bảng tính toán thuần túy đã xuất hiện những yếu tố của giải tích các đại lượng vô cùng

bé Đó là khái niệm về hàm số logarit do Nê-pe nêu ra và việc bỏ đi các đại lượng nhỏ, không đáng kể, chẳng hạn trong công trình của Bơ-ric Ngược lại, việc áp

dụng các yếu tố của giải tích các đại lương vô cùng bé đã tạo ra phương pháp thuận lợi để tính các logarit

Các nhà toán học thế kỉ thứ XVII cũng đã tìm ra được những con đường khác nhằm khắc phục khó khăn trong tính toán và đã bắt đầu xuất hiện những máy tính

Có lẽ chiếc máy tính cổ điển nhất là máy của giáo sư người Đức Vinhem Sichka (1623) dùng để giảng toán và thiên văn Đến năm 1958 người ta mới tìm thấy sơ đồ

và bản giải thích sơ đồ của máy này trong hồ sơ lưu trữ của Kếp le Chính vì phát hiện muộn nên đến thời gian gần đây nhất người ta vẫn coi rằng Bơ-le Pat-xcan (1623-1662) là người làm ra chiếc máy tính kế toán đầu tiên (1642) Chiếc máy tính của Pat-xcan được xây dựng theo nguyên tắc bánh xe tạo ra một thiết bị đặc biệt, gọi là bánh xe Ốtne dùng trong các máy tính đơn sơ

Nhiều phương pháp tính đã được tìm ra trong khi giải bằng số các phương trình đại số một cách gần đúng Vi-et là người đầu tiên có ý nghĩ này Niu-tơn đặc biệt chú ý đến phương pháp gần đúng ngay từ bước đầu cuộc đời sáng tạo toán học của ông Năm 1676 Niu tơn trình bày phương pháp tính gần đúng nghiệm của các phương trình mà ngày nay còn trình bày trong các giáo trình đại số cao cấp và sơ cấp Ta sẽ thấy rõ phương pháp của Niu tơn qua ví dụ giải phương trình: y3 – 2y –

5 = 0 Giả sử y = 2 là nghiệm của cần tìm, với sai số nhiều nhất là

10

1 , nghiệm đúng

sẽ là biểu thức chứa y = 2 + p Đưa giá trị này vào phương trình xuất phát ta được phương trình mới đối với ẩn p là: p3 + 6p2 + 10p – 1 = 0 Bỏ qua những lũy thừa bậc cao của p, ta được p = 0,1 Lại thay vào phương trình trên có giá trị p = 0,1 + q

ta được một phương trình được biểu thị thành dãy: y = 2 + 0,1 – 0,0054… (phương pháp này được Niu tơn phát triển để giải phương trình 2 ẩn)

Những thành từ mới mẻ vừa kể trên đã làm giàu thêm cho toán học sơ cấp Đồng thời mỗi phát minh này cũng giúp ích nhiều cho sự phát triển của giải tích toán học và đại số cao cấp Ở đây ta thấy sự phát triển gắn bó không phân chia

được trong toàn bộ các thành phần của toán học Những quan niệm của toán học sơ cấp chuyển sang phạm vi cao cấp, ngược lại, toán học sơ cấp được bồi bổ bằng những sự kiện và quan điểm của toán học cao cấp “Toán học sơ cấp” là một thuật ngữ chưa được định nghĩa và giải thích thống nhất Sự phân chia toán học ra sơ cấp

và cao cấp, mà ngày nay hay dùng, mang tính chất quy ước lịch sử, và không thể đòi hỏi có tính chất khoa học được

4.2 Hình học giải tích

4.2.1 Đề các (René Descartes, (1596-1650)

Ông là một nhà bác học người Pháp lỗi lạc, nhà triết học, vật lí học, toán học, sinh lí học Cậu bé Rơnê Đề -các mồ côi cha mẹ từ thuở còn nằm nôi, vốn dòng quý tộc, đã được nuôi dưỡng, dạy dỗ trong môi trường dòng

Từ nhỏ Đề-các đã rất chăm học, hay thắc mắc và mỗi khi không được người lớn giải đáp đến cặn kẽ thì thường không ăn ngon, ngủ không yên vì suy nghĩ, tìm hiểu vấn đề Suốt đời, ông luôn tự cải tạo trong khoa học mà ông hết lòng say mê

nó Mục đích nghiên cứu của ông là sáng tạo ra phương pháp suy diễn toán học tổng quát cho việc nghiên cứu mọi vấn đề của khoa học tự nhiên Chủ nghĩa duy lí trong quan niệm của Đề -các trước hết thừa nhận lí trí và sự suy diễn chặt chẽ là nhằm chống lại triết học kinh viện của nhà chung Những quan hệ căng thẳng với nhà thờ công giáo đã buộc ông phải chuyển sang Hà Lan vào năm 1629 (Ông sinh tại Hà Lan) Thái độ thù địch của những người theo chủ nghĩa thần bí buộc ông phải một lần nữa lánh sang Thụy Điển năm 1649, ở đây, một năm ông qua đời Ông là một nhà bác học duy vật Đề các khẳng định vật chất là cơ sở duy nhất của tồn tại và nhận thức Tính chất quan trọng của vật chất là tính phân chia được

và tính cơ động Bản chất của vật chất là đặc tính 3 chiều của nó Đề các cho rằng toán học phản ánh những tính chất của vật chất Toán học không thể chỉ là khoa học về số hoặc về hình Toán là khoa học nhiều mặt, trong đó phải có tất cả các vấn

đề liên quan đến thứ tự và đo đạc Toàn bộ nội dung của toán học phải được khảo sát theo những quan điểm thống nhất, được nghiên cứu bằng một phương pháp duy nhất Bản thân tên gọi môn khoa học này cũng phải phản ánh được tính chất toàn

diện của nó Đề các đề nghị gọi nó là “Toán học vạn năng” Những quan niệm chung này được nêu cụ thể trong tác phẩm nổi tiếng của ông “Phương pháp luận”

ra đời năm 1637 cùng với 3 phụ lục về “Quang học”, “Thiên văn học” và “ Hình

học” Phụ lục thứ ba ngày nay ta gọi là hình học giải tích đã tôn ông lên hàng bất tử

vì ông đã phát minh cho nhân loại một phương pháp nghiên cứu hình học mới kết hợp giữa hình học và đại số

4.2.2 Hình học giải tích của Đềcác

Mối liên hệ giữa đại số kí hiệu và hình học các đường cong, rất cần thiết đối với môn toán học vạn năng của Đề các được tìm thấy ngay khi xác lập được sự đẳng cấu của trường các số thực và trường các đoạn thẳng Chỉ còn phải xác định các phép toán trên các đoạn thẳng sao cho chúng thực sự lập thành một trường Tổng và hiệu các đoạn thẳng, rõ ràng cũng là đoạn thẳng, tức là những phần tử của trường các đoạn thẳng Những khó khăn khi nhân và chia các đoạn thẳng đã được Đềcác khắc phục bằng cách đưa vào đoạn thẳng đơn vị và bằng cách dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư Ông đã dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư giống như ngày nay người ta thường làm trong các sách giáo khoa về hình học

Hai tư tưởng sau đây là cơ sở trong toàn bộ “Hình học” của Đề Các: đưa đại

lượng biến thiên và sử dụng hệ tọa độ vuông góc

Tập “Hình học” của Đềcác gồm 3 quyển

Quyển 1: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ bằng các đường tròn và đường thẳng” Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những đường cong hình học Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán hình học có thể giải được bằng thước và compa đều đưa về việc giải các phương trình không cao hơn

bậc hai Đềcác không trình bày cặn kẽ và tổng quát những quy tắc chung của môn hình học giải tích mà chỉ xen vào giới thiệu trong lời giải những bài toán khó

Quyển 2: Viết về “Bản chất của các đường cong” Nội dung cơ bản là việc

khảo sát cụ thể các đường cong bậc khác nhau, sự phân loại chúng và trình bày các tính chất của chúng Đềcác phân loại đường cong căn cứ vào chỗ có thể khảo sát chúng bằng các công cụ do ông sử dụng hay không Theo đó, những đường cong thừa nhận được là những đường cong có thể vạch ra bằng một chuyển động liên tục hoặc bằng một số những chuyển động như thế, trong đó chuyển động sau phải được xác định bởi chuyển động trước (nhờ thước và compa) Những đường con còn lại ông gọi là đường cong cơ học (về sau, Lépnit gọi là đường cong siêu việt Các tính chất của đường cong tìm được một cách ngẫu nhiên nhờ những phương pháp đặc biệt, thiếu hệ thống, tổng quát

Như vậy, ta có thể dựng được mọi đường cong thừa nhận được bằng một cơ cầu quay bản lề nào đó Và, không cần chứng minh cũng có thể khẳng định trước rằng mọi đường cong đó đều được biểu thị bởi các phương trình đại số Vậy là Đềcác đã giới thiệu trước một trong các định lí chủ yếu của động học cơ cáu (Kem-

pe chứng minh định lí này năm 1876) Nội dung của định lí đó là: nhờ các phép quay bản lề phẳng, trong đó chuyển động của những khâu trước hoàn toàn xác định chuyển động của những khâu sau, có thể vạch được các cung của bất kì đường cong đại số nào và không thể vạch được những đường con siêu việt Đềcác đã phân chia đường cong theo loại, căn cứ vào số phép quay bản lể và điều này là rất bất tiện Về sau, Niutơn đã phân loại đường cong dựa theo bậc của phương trình

Trong quyển 3, Đề Các cũng trình bày những định lí về phép dựng pháp tuyến

và tiếp tuyến của đường cong Ông đặc biệt nhấn mạnh ý nghĩa của các định lí nêu trên đối với quang học Kết thúc quyển 2 là phần nói về khả năng mở rộng phương pháp Đềcác cho trường hợp 3 chiều, trong đó đã trình bày phương pháp biểu diễn đường cong ghềnh bằng cách chiếu nó lên hai mặt phẳng vuông góc nhau mà giao

tuyến của chúng là một trong các trục tọa độ Tuy nhiên không thấy nói đến ba tọa

độ của một điểm trong không gian và phương trình của các mặt

Quyển 3: Đề cập “Những bài toán về các khối, các thể” Nội dung là xây dựng

lí thuyết tổng quát về việc giải phương trình và sử dụng quỹ tích cùng với các công

cụ đại số để giải phương trình Kí hiệu đại số của Đề Các đã không khác lắm với kí hiệu hiện đại Mọi phương trình đều được coi là đã đưa về dạng Pn(x) =0, trong đó

Pn(x) là đa thức với các hệ số nguyên sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x Từ việc khảo sát vấn đề chia hết của Pn(x) cho ( x – a) trong đó a là nghiệm của phương trình, Đề Các đã rút ra kết luận sâu sắc rằng số nghiệm của phương trình bằng số mũ cao nhất Đề Các cũng đã nói đến các nghiệm thực (dương), nghiệm giả (âm) và cả những nghiệm có thể tưởng tượng ra được (ảo và phức) Tuy nhiên ông chưa chứng minh được kết luận này Mãi đến năm 1797, Gaoxơ mới chứng minh được điều đó

Đề Các đã chứng tỏ rằng trong các dãy hệ số có bao nhiêu lần đổi dấu thì có bấy nhiêu nghiệm dương, và có bao nhiêu lần lặp dấu thì có bấy nhiêu nghiệm âm Ông cũng đã nêu ra phương pháp biến đổi hệ số của phương trình để làm thay đổi các nghiệm theo ý muốn: tăng lên, giảm đi hoặc làm thay đổi dấu Về vấn đề tính khả quy, tức là việc biểu diễn hàm số hữu tỉ nguyên với các hệ số hữu tỉ dưới dạng tích của các hàm số cùng loại ấy là một dự đoán xuất chúng Đềcác đã chứng tỏ rằng phương trình bậc ba chỉ được giải bằng căn thức bậc hai (bằng thước và compa) nếu nó là khả quy Ông đã đưa vấn đề tính khả quy của phương trình bậc 4

về vấn đề tính khả quy của phương trình bậc 3

Hình học giải tích của Đề Các còn có nhiều thiếu sót Trước hết, phạm vi của ngành khoa học này mới chỉ được bàn đến do những đòi hỏi xuất phát từ những nguồn gốc triết học, hơn là từ những nhu cầu của phương pháp và chỉ hạn chế trong việc khảo sát các đường cong đại số Việc phân loại các đường cong đại số theo

loại, chứ không phải theo bậc của phương trình, theo biểu thức của chúng cũng chưa tốt

Đềcác chưa làm xong việc áp dụng công cụ đại số vào hình học Ông chưa mở rộng phương pháp của ông vào việc nghiên cứu tính chất các đường cong theo tính chất các phương trình tương ứng Các trục toạ độ còn chưa được bình đẳng, chỉ có một trục luôn luôn được vạch ra, còn trục kia được vạch khi cần thiết Dạng của đường cong cũng chỉ mới được nghiên cứu trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ, trong các góc phần tư khác chưa được chú ý

Tuy nhiên tập “Hình học” của Đề Các đã đánh dấu một bước tiến có giá trị

nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác

phẩm này trở thành kinh điển Tập “Hình học” của Đề Các còn nêu tư tưỏng mới

có tác dụng phát triển đại số lí thuyết

4.2.3 Hình học giải tích của Phécrna (Pierre de Fermat, 1601 - 1665)

Phécma xuất thân từ một gia đinh thương gia sống ở miền nam nước Pháp Ông hoạt động về luật ở Tuludơ, làm cố vấn cho các cơ quan địa phương Ông chỉ nghiên cứu toán học trong những lúc rỗi rãi Ông đã đạt được những kết quả xuất sắc về lí thuyết số, về hình học, về phép tính các đại lượng vô cùng bé, về quang học Phécma không thích xuất bản các tác phẩm của mình, mà chỉ thông báo những thành tựu qua thư từ hay qua những cuộc tiếp xúc đàm luận với các nhà bác học lỗi lạc Vì vậy tuyệt đại đa số những công trình nghiên cứu của Phécma chỉ xuất bản sau khi ông mất, tức là từ năm 1679 về sau

Sự xuất hiện môn hình học giải tích không phải là công lao riêng của Đềcác Những người cùng thời cũng có những công trình, dưới dạng chưa đầy đủ, được Đề Các cải biên phát triển lên Đồng thời với Đề Các thì Phécma cũng có những cống hiến phát triển những quan điểm về hình học giải tích, tức là việc đưa ra hệ toạ độ

vuông góc, việc ứng dụng các phương pháp đại số vào hình học Tác phẩm “Nhập

môn lí thuyết về quỹ tích phẳng và không gian” của Phécma được nhiều người biết