Bài giảng Phương pháp Toán Lý cung cấp cho sinh viên phương pháp giải những phương trình đạo hàm riêng xuất hiện khi mô tả các quá trình vật lý khác nhau, như hiện tượng dao động, truyền sóng, truyền nhiệt, khuếch tán hay thế của các trường vật lý. Bên cạnh đó, sinh viên cũng được cung cấp các kiến thức về các hàm đặc biệt như các đa thức trực giao, hàm gamma, hàm cầu mà cần thiết khi tìm nghiệm của các phương trình toán lý.
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI
Phương trình đạo hàm riêng cấp hai và phân loại
1.1.1 Phương trình đạo hàm riêng cấp hai
Phương trình đạo hàm riêng là loại phương trình bao gồm hàm chưa biết, các đạo hàm riêng của hàm đó và các biến số độc lập Cấp của phương trình được xác định bởi cấp cao nhất của đạo hàm riêng mà ta cần tìm trong phương trình.
là phương trình đạo hàm riêng cấp một,
là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn,
là phương trình đạo hàm riêng cấp hai Để đơn giản ta quy ước cách bỏ dấu đạo hàm riêng, chỉ dùng biến phía dưới, chẳng hạn phương trình
hay h x '' x h '' yy h z '' z 0được viết là x z 0. x yy z h h h
Trong phần sau ta chỉ khảo sát phương trình đạo hàm riêng cấp hai
1.1.2 Phân loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai với hai biến số độc lập
Gọi u x y( , )là hàm số của hai biến số độc lập x, y Dạng tổng quát của phương trình đạo hàm riêng cấp hai có dạng:
Phương trình (1.2) được xem là phương trình tuyến tính khi nó thể hiện tính tuyến tính với các hàm cần tìm và tất cả các đạo hàm riêng Dạng tổng quát của phương trình này là x² + 0, x + xy + yy = x + y.
Phương trình (1.3) được biểu diễn dưới dạng Au + Bu + Cu + Du + Eu + Fu = G, trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm phụ thuộc vào biến x và y Lưu ý rằng số 2 trong phương trình này được thêm vào nhằm mục đích thuận tiện cho các phép tính sau này.
Nếu G(x,y) = 0 thì phương trình (1.3) gọi là phương trình thuần nhất, G(x,y) ≠
0 gọi là phương trình không thuần nhất
Nếu phương trình (1.2) có dạng x 2 ( , , , , ) 0, x xy yy x y
Phương trình tuyến tính với đạo hàm cấp cao được biểu diễn dưới dạng Au + Bu + Cu + Fu = 0 Để giải quyết các phương trình này, trước tiên cần thực hiện một số biến đổi nhằm đưa chúng về dạng đơn giản hơn.
Ta thực hiện phép đổi biến: x y , , bằng cách đặt:
( , ); xx y y( , ). (1.5) Chú ý rằng ta có thể biểu diễn ngược lại:
( , ).x y (1.6) Để chuyển phương trình (1.4) qua biến mới , ta thực hiện phép tính u xx , u xy , u yy ,u x , u y như sau: x x x ; u u u x x
Việc tính u u y , xy ,u yy tương tự như trên Thay tất cả vào (1.4), ta được
CA B C và F không chứa đạo hàm riêng bậc hai theo , Nếu phương trình xuất phát tuyến tính, tức là
F u u u x y Du Eu Fu G thì F có dạng:
3 trong đó , , , có thể là hàm của và
So sánh các biểu thức (1.4) và (1.7), chúng có cấu trúc tương tự nhau Tuy nhiên, bằng cách thực hiện các phép biến đổi thích hợp, chúng ta có thể điều chỉnh một hoặc hai trong số các biến A, B, C để trở thành không.
Khi đó, (1.7) trở nên đơn giản hơn, và việc giải nó cũng dễ dàng hơn Để tìm được phép đổi biến phù hợp với các điều kiện đã nêu, ta có bổ đề sau:
Xét phương trình vi phân:
A Z BZ Z C Z (1.8) với A, B, C phụ thuộc vào x, y; Z là hàm của x, y
Bổ đề: Điều kiện cần và đủ để hàm Z ( , )x y là nghiệm của phương trình(1.8) là ( , )x y
( là hằng số bất kì) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thường:
Thật vậy, nếu Z ( , )x y là nghiệm của phương trình (1.8) thì nó là nghiệm của (1.9)
Để xác định hàm Z, chúng ta chỉ cần giải phương trình vi phân thường (1.9) mà đã được biết cách giải Cụ thể, từ phương trình (1.9), ta có thể tiếp tục phân tích và tìm ra kết quả cần thiết.
Có 3 khả năng xảy ra:
- Nếu B 2 - AC > 0 phương trình (1.9) có hai nghiệm phân biệt, phương trình
- Nếu B 2 - AC = 0 phương trình (1.9) có nghiệm kép, phương trình (1.7) thuộc loại parabôlic
- Nếu B 2 - AC < 0 phương trình (1.9) có hai nghiệm phân biệt, phương trình
1.1.3 Chuyển phương trình đạo hàm riêng về dạng chính tắc
Khi B 2 - AC > 0 thì (1.10) và (1.11) là thực và độc lập Giả sử rằng nghiệm của các phương trình (1.10) và (1.11) là ( , )x y C 1 ,( , )x y C 2 Ta chọn
Khi đó A0,C0, phương trình (1.7) trở thành
B (1.12) (1.12) được gọi là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình hypecbôlic
Khi B 2 - AC = 0, phương trình (1.9) chỉ có một tích phân tổng quát
, ( , ),x y trong đó, ( , ) x y là hàm tùy ý Khi đó A 0, B 0, phương trình (1.7) trở thành
(1.13) được gọi là dạng chính tắc thứ nhất của phương trình parabôlic
Khi B 2 - AC < 0, phương trình (1.9) có hai nghiệm phức liên hợp
Phương trình (1.14) gọi là dạng chính tắc của phương trình eliptic
Tóm lại, để chuyển phương trình đạo hàm riêng x 2 0, x xy yy x y
Au Bu Cu Du Eu Fu G về dạng chính tắc ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Thiết lập phương trình đặc trưng (PTĐT)
Có 3 khả năng xảy ra:
- Nếu B 2 - AC > 0 thì PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt ( , )x y C 1 , ( , )x y C 2.
- Nếu B 2 - AC = 0 thì PTĐT có một nghiệm thực: ( , )x y C Ta chọn biến mới ( , )x y , ( , )x y tùy ý
- Nếu B 2 - AC < 0 thì PTĐT có hai nghiệm phức liên hợp
Ta chọn biến mới ( , )x y , ( , ).x y hoặc ( , )x y i ( , ); x y ( , ) i ( , ).x y x y
Ví dụ 1: chuyển phương trình đạo hàm riêng sau về dạng chính tắc
2 x 0. tt x u a u Giải: Theo trên, ta có A = 1, B = 0, C = -a 2 , B 2 - AC = a 2 > 0 Do đó phương trình thuộc loại hypecbôlic
Lập phương trình đặc trưng: ( x)d 2 a dt 2 ( ) 2 0
Giải phương trình đặc trưng:
Nếu x 2 x d d a d a t x at C dt (C 1 , C 2 là hai hằng số tùy ý) Theo trên ta chọn x at , x at
( ) ( ) ( ) ( ) tt t t t t t t t t t t u u u a u u a u a u au au au u Thay tất cả vào phương trình đã cho, ta được
Ví dụ 2: Chuyển phương trình đạo hàm riêng sau về dạng chính tắc
Giải: Theo trên, ta có A = 1, B = -1, C = 2, B 2 - AC = -1 < 0 Do đó phương trình thuộc loại eliptic
Lập phương trình đặc trưng: (dy) 2 2dxdy2(dx) 2 0 y'' 2 ' 2y 0
Thực hiện phép đổi biến đặt y x , x , ta được z z z ; x
Thay các giá trị của đạo hàm riêng vào phương trình đã cho ta được
Phương trình vật lý toán và các điều kiện
Phương trình vật lý toán là các phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân hoặc phương trình vi tích phân, được hình thành từ việc phân tích toán học các hiện tượng vật lý Nó đại diện cho biểu thức toán học của hiện tượng vật lý đang được nghiên cứu, trong đó mọi số hạng đều mang ý nghĩa vật lý quan trọng.
Trong vật lý, các biến độc lập thường bao gồm thời gian (t) và các tọa độ không gian (x, y, z) Một số phương trình đạo hàm riêng bậc hai phổ biến trong lĩnh vực này bao gồm các phương trình mô tả sự biến đổi của các đại lượng vật lý theo thời gian và không gian.
Trường hợp một chiều phương trình có dạng
Trường hợp một chiều phương trình có dạng
Các phương trình trên đều có vô số nghiệm Vì vậy, ta cần phải xác định thêm các điều kiện phụ để xác định nghiệm chính xác của nó
Khi xác định nghiệm hoặc đạo hàm tại một thời điểm cụ thể, ví dụ như t = 0, chúng ta gọi đó là bài toán có điều kiện đầu Trong trường hợp một chiều, các điều kiện này được diễn đạt dưới dạng cụ thể.
Nếu quá trình diễn ra trong một khoảng không gian hữu hạn, ví dụ như x nằm trong khoảng (0, L), và các điều kiện tại biên không gian được xác định, thì bài toán sẽ có các điều kiện biên Trong trường hợp một chiều, các điều kiện này sẽ được diễn đạt dưới dạng cụ thể.
- Bài toán có các điều kiện đầu và điều kiện biên cho trước gọi là bài toán hỗn hợp
- Bài toán chỉ biết điều kiện đầu và các quá trình diễn ra trong không gian vô hạn gọi là bài toán Côsi
Các điều kiện đầu và điều kiện biên thường được xác định từ thực nghiệm, dẫn đến tính chất gần đúng Tuy nhiên, cần thiết lập bài toán để đảm bảo rằng nghiệm tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện phụ Bài toán này được gọi là bài toán thiết lập đúng.
Một số phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng
1.3.1 Phương pháp chuyển về dạng chính tắc Để giải phương trình đạo hàm riêng ta có thể chuyển phương trình về dạng đơn giản hơn (dạng chính tắc) có thể giải được
Ví dụ 4: Giải phương trình u tt a u 2 x x 0 (1.19) Giải: Như đã xét ở ví dụn 1 bằng cách đổi biến, đặt: x at , x at
Ta đưa phương trình về dạng 2 u 0.
Từ phương trình trên ta có:
với φ và là hàm tùy ý
Trở lại biến cũ, ta có
( , ) ( ) ( ) u x t xat xat là nghiệm tổng quát của phương trình (1.19) Do φ và là hàm tùy ý nên phương trình (1.19) có vô số nghiệm
Phương pháp này cho phép biểu diễn hàm nhiều biến dưới dạng tích của các hàm một biến, từ đó thay thế vào phương trình đã cho Kết quả là chuyển đổi phương trình đạo hàm riêng thành các phương trình vi phân thường của hàm một biến.
Ví dụ 5: Giải phương trình Laplace trong trường hợp ba chiều
Biểu diễn hàm u(x, , )y z dưới dạng tích của các hàm một biến u x y z( , , ) X x( ) Y(y) Z(z) (1.21) Đạo hàm (1.21) theo các biến x, y, z rồi thay vào phương trình (1.20), ta được
X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z Chia hai vế phương trình trên cho X(x)Y(y)Z(z) , ta được
Vế trái của phương trình (1.23) là hàm của x và y, trong khi vế phải là hàm của z Do đó, hai vế của phương trình cần phải bằng một hằng số, mà chúng ta ký hiệu là k 3 2 Khi đó, phương trình (1.23) sẽ được chuyển đổi thành một dạng mới.
Tương tự, vế trái của (1.25) cũng là hàm của x, vế phải là hàm của y, do vậy chúng cũng bằng hằng số, ta có
Nếu k1 ≠ 0 thì nghiệm của (1.26) là
X x a k e a k e , k 1 , (1.28) với a(k1) và a’(k1) là các hằng số tùy ý, thay đổi theo k1
Tương tự như vậy các nghiệm của (1.27) và (1.24) là
Z(z)c k e( ) ik z c k e'( ) ik z ,k 3 0 và k 3 (1.30) Vậy nghiệm của phương trình là
(1.31) trong đó a(k1) và a’(k1), b(k2) và b’(k2), c(k3) và c’(k3) là các hằng số tùy ý
Trong trường hợp các k i = 0 (i = 1, 2, 3) thì nhiệm của phương trình tương ứng là
1 Xác định cấp của các PTĐHR sau: a u xx + u yy = 0 b u xxx + u xy + a(x)u y + logu = f(x,y) c u xxx + u yyy + a(x)u xxy + u 2 = f(x,y)
2 Phương trình nào trong các PTĐHR sau là PTĐHR tuyến tính thuần nhất hoặc không thuần nhất? a u xx + u yy - 2u = x 2 b u xx = u c u xx - 2u xy + u yy = cosx
3 Chứng tỏ rằng u(x,t) = cos(x - ct) là nghiệm của phương trình u t + cu x = 0
4 Chứng tỏ rằng ( ) y u F xy xG x
là nghiệm tổng quát của phương trình
5 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau u xy u x 0 (Gợi ý: đặt v = uy)
là một nghiệm của phương trình x z 0 x yy z u u u trong miền ( , , )x y z (0,0,0)
7 Phân loại phương trình đạo hàm riêng sau: a 4u x x 5u xy u yy u x u y 2 b u x x u xy u yy u x 0. c 3u x x 10u xy 3u yy 0. d u x x 2u xy 3u yy 4u x 5u y u e x
8 Phân loại các phương trình đạo hàm riêng sau: a xu x x u yy x 2 b x u 2 x x 2xyu xy y u 2 yy e x c e u x x x e u y xy u. d u x x u xy xu yy 0.
9 Giải phương trình sau u x x a u 2 yy 0. a Bằng phương pháp chuyển về dạng chính tắc b Bằng phương pháp tách biến
CÁC HÀM ĐẶC BIỆT
Đa thức Legendre
Phương trình Legendre là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng:
Phương trình (1 - x y²)'' 2x' - y + ν(ν + 1)y = 0, với ν là hằng số dương, xuất hiện trong việc giải quyết nhiều bài toán trong cơ học cổ điển, lý thuyết trường điện từ, truyền nhiệt và cơ học lượng tử có tính đối xứng cầu.
Với 1 x 2 0, chia (2.1) cho 1 x 2 ta thu được dạng chuẩn
Các hệ số của phương trình trên giải tích tại x = 0 Gốc x = 0 là điểm bình thường nên có thể tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi
Viết rõ các số hạng của chuỗi trên theo thứ tự tăng dần bậc lũy thừa của x 2.1.a2 + 3.2.a2x + 4.3.a4x 2 + + (s + 2)(s+1) as+2x s +
Các hệ số của chuỗi trên phải đồng nhất bằng không nên ta có:
, (s = 0, 1, 2, ) (2.6) Biểu thức trên cho ta mối liên hệ giữa các hệ số, trừ hai hệ số a0 và a1 Hai hệ số này là tùy ý sẽ được xác định sau
Từ các kết quả trên ta có thể biểu diễn chuỗi (2.2) dưới dạng:
Phương trình (2.7) chứa hai hằng số tùy ý và y1(x), y2(x) độc lập tuyến tính nên nó là nghiệm tổng quát của phương trình (2.1)
Xét trường hợp thường gặp trong các bài toán vật lý, đó là khi v là số nguyên dương: v = n Khi đó phương trình (2.1) có dạng:
Phương trình (2.7) chứa hai hằng số tùy ý và các hàm y x y x 1 ( ), 2 ( ) độc lập tuyến tính, dẫn đến nghiệm tổng quát cho phương trình (2.1) Chuỗi này hội tụ khi x < 1 Xét trường hợp thường gặp trong các bài toán vật lý, khi là số nguyên dương, tức là = n, phương trình (2.1) sẽ có dạng cụ thể.
(1x y 2) '' 2 xy'n n( 1)y0 (2.8) Dựa vào kết quả ở trên ta tìm nghiệm của (2.8)
Khi n là số chẵn, đa thức y(x) có cấp n, cụ thể là a(n+2) = a(n+4) = = 0 Ngược lại, nếu n là số lẻ, đa thức y(x) cũng tương đối với y(x^2) Các đa thức này được nhân với một số hằng số và được gọi là đa thức Legendre.
Bây giờ ta xác định biểu thức tổng quát để xác định các hệ số của đa thức Từ phương trình (2.6) ta có
(2.9) Chọn hệ số a n là hệ số tùy ý sao cho a 0 1 Để thỏa mãn điều kiện này ta chọn
Sau đó ta biểu diễn tất cả các hệ số a n 1 , a n 2 , theo a n Từ (2.9) và (2.10) ta có:
(2.11) Nghiệm dạng đa thức của phương trình Lengendre gọi là đa thức Lengendre ký hiệu là P x n ( ) Từ (2.11) ta thu được
2 n (với n là lẻ) Một số đa thức Legendre cấp thấp có dạng (đồ thị biểu diễn trên hình 2.1)
2.1.2 Công thức Rodrigues đối với P x n ( ) Đa thức Legendre có thể xác định bởi công thức
Thật vậy, xét hàm số:
Đạo hàm hàm số trên ta có: ( 2 1)du 2 x nxu
dx (2.14) Đạo hàm (2.14) n1 lần bằng cách áp dụng công thức Leibnitz
(1 x ) " 2 2 y xy ' n n ( 1) y 0 Phương trình trên chứng tỏ y là một nghiệm của phương trình Legendre
Biểu thức trên là đa thức cấp n
2.1.3 Hàm sinh của đa thức P x n ( )
Sau đây ta sẽ chứng tỏ rằng đa thức P x n ( ) là hệ số của z n trong khai triển hàm
được gọi là hàm sinh đối với đa thức Legendre P x n ( ) Để chứng tỏ điều này chúng ta khai triển ( , )x z theo (2 xz z 2 ) Áp dụng công thức
2.1.4 Các công thức truy hồi
Ta có các công thức truy hồi sau
Chứng minh: Đạo hàm hàm sinh (2.15) theo z ta có
Sử dụng (2.15) một lần nữa
So sánh các hệ số khai triển của z n trong phương trình trên dẫn đến công thức
(2 n 1) xP x n ( ) ( n 1) P n ( ) n x P n ( ) x (n 2) (2.17) Đạo hàm hàm sin (2.15) theo x ta có
So sánh các hệ số của z n ta được
P x P x xP x P x (2.18) Mặt khác, trong (2.17) đổi chỉ số n thành n-1 ta có
(2 n 1) xP n ( ) x nP x n ( ) (n 1) P n ( ) x (n 2) (2.19) Đạo hàm biểu thức trên theo x
(2n1)P n ( ) (2x n1)xP n ( )x nP n ( ) (n 1)x P n ( )x (2.20) Nhân (2.18) cho n-1 rồi cộng vào (2.20) ta được
ta có thể chứng tỏ z (x z) z x
( ) x ( ) 1( ) n n n nP x P x P x (2.22) Nhân phương trình trên cho x rồi cộng vào (2.20) ta được
(1x P x) ( ) n nP n 1( ) nxx P x n ( ) (2.23) Để hiểu ý nghĩa vật lý của hàm sinh chúng ta xét ví dụ sau
Ví dụ: Tìm điện thế V tại điểm P do điện tích +q đặt tại Q gây ra
Giả sử gốc đặt tại O (như hình vẽ 2.2) Khi đó
Biểu thức trên có dạng hàm sinh đối với biến cos , do vậy ta có
Tương tự, khi r ta có
2.1.5 Tính trực giao của đa thức Legendre
Cho P x P x m ( ), n ( ) là hai đa thức Legendre, ta có kết quả sau gọi là tính trực giao của đa thức Legendre
Do P x P x m ( ), n ( ) là đa thức Legendre nên nó thỏa mãn phương trình Legendre:
Nhân hai vế của phương trình trên lần lượt cho P n (x) và P m (x) ta được:
Lấy hiệu hai phương trình trên:
Tích phân hai vế theo x từ 1 1
( n 1) P n ( ) (2 n 1) x x P x n ( ) nP n ( ) x 0 Thay chỉ số n bằng n-1
Mặt khác, từ (2.17) ta có:
Đây là công thức truy hồi cho ta mối quan hệ giữa P x n ( ) và P n 1 ( ) x
Hàm Legendre liên kết
2.2.1 Phương trình Legendre liên kết
Phương trình legendre liên kết là phương trình vi phân cấp 2 có dạng
(2.26) với m 2 n 2 Nhận xét rằng nếu m0 thì (2.26) có dạng của (2.1)
Ta xét trường hợp m0 Để tìm nghiệm của phương trình (2.26) ta viết
Thay (2.27) vào (2.26), sau vài phép biến đổi đơn giản ta được
Ta thấy nếu m0 thì phương trình trên chính là phương trình Legendre với nghiệm là P x n ( )
Gọi Y(x) là nghiệm của phương trình Legendre
Tức là : (1 x 2 ) y " 2 xy ' n n ( 1) Y 0 (2.29) Đạo hàm (2.29) m lần ta được :
So sánh (2.30) với (2.28) ta thấy vị trí của u(x) trong (2.28) chính là vị trí của Y(x) trong (2.30) Nghĩa là u x ( ) Y x ( ) ( ) m là nghiệm của phương trình (2.28), mà ( ) n ( )
(2.31) là đa thức cấp n-m, là nghiệm đa thức của phương trình Legendre liên kết, gọi là đa thức Legendre liên kết , ký hiệu P x n m ( ) Vậy
Nhận xét rằng : mn thì P n m ( )x 0nghĩa là mn
Chú ý rằng nếu m < 0, dấu của m² trong (2.26) không thay đổi, điều này cho thấy nghiệm của (2.26) đối với m > 0 cũng là nghiệm đối với m < 0 Do đó, khi m < 0, ta có thể thay thế m bằng -m trong các biểu thức trên.
2.2.2 Tính trực giao của đa thức Legendre liên kết
Cho P n m ( ),x P k m ( )x là hai đa thức Legendre liên kết Khi đó :
Mặt khác, trở lại phương trình
(1 x ) y m 2 mx (1 x ) m y n(n 1) m (m 1) (1 x ) m y 0 (2.36) Chú ý rằng nghiệm của (2.35) là m m n ( ) d P x dx còn nghiệm của (2.36) là
Ta viết lại (2.36) dưới dạng :
Như vậy ta có công thức liên hệ giữa L m nk và L m nk 1 Từ công thức này ta đi đến kết quả :
Hàm đa thức Hermite
Phương trình Hermite là phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất có dạng
2 2 0 y xy vy (2.37) Phương trình này xuất hiện trong cơ học lượng tử (khi giải phương trình schrodinger cho dao động tử điều hòa)
Vì gốc x0 là điểm bình thường nên chúng ta có thể tìm nghiệm dưới dạng
Thay tất cả vào (2.31) ta có
Để đa thức đúng với mọi x thì tất cả các hệ số phải đồng nhất bằng không, do vậy
Từ (2.39) ta có thể tính được tất cả các hệ số của chuỗi
Ta xét trường hợp thường gặp trong các bài toán vật lý Đó là trường hợp khi vn (n là số nguyên dương) Khi đó (2.39) có dạng
Khi j n thì các hệ số a n 2 a n 4 0 nghĩa là (2.28) là đa thức cấp n Bây giờ ta tìm biểu thức tổng quát xác định dạng của đa thức
Nghiệm này gọi là đa thức Hermite bậc n và được kí hiệu là H x n ( )
Ta chọn a 0 sao cho a n 2 , n để thỏa mãn điều kiện đó thì ta chọn :
+ Khi n là số lẻ thì nghiệm đa thức của (2.37) vẫn được viết như (2.40) nếu ta chọn
Một số đa thức Hermite cấp thấp có dạng như sau :
2.3.2 Công thức Rodrigues cho đa thức Hermite Đa thức Hermite được xác định theo công thức sau
(2.41) Để chứng minh (2.41) là nghiệm của phương trình Hermite ta đặt q e x 2 Ta có
26 Đạo hàm phương trình trên n1 lần theo quy tắc Leibnitz ta được
2 2( 1) q 0 n n n q xq n (2.42) Mặt khác ta viết y ( 1) n q ( ) n
Ta lại đặt u e y x 2 , khi đó :
Biến đổi biểu diễn u " qua u ' và u
( 2 2( 1) ) 2 ( 2 ) 2 2 2 x x x u e y xy n y e x y xy e ny xu nu
Từ phương trình (2.43) ta có : u " 2xu ' 2nu0
Phương trình này cho thấy u(x) là nghiệm phương trình Hermite với tham số nguyên dương n Vậy
là nghiệm đa thức của phương trình Hermite
2.3.3 Các công thức truy hồi
Ta có các công thức truy hồi sau :
Chứng minh : Đạo hàm công thức Rodrigue (2.41) ta có
H x xH x H x (2.44) Đạo hàm (2.44) ta lại có
Mặt khác vì H x n ( ) là nghiệm của phương trình Hermite nên ta có:
Từ hai phương trình trên ta có
H x n H x (2.45) trong phương trình (2.44) thay n bằng n1 ta có:
Kết hợp với (2.45) ta thu được
H x xH x n H x (2.46) Dựa vào các công thức truy hồi trên ta có thể tính các đa thức Hermite bậc cao hơn
Sử dụng công thức Rodrigue ta có thể tìm được hàm sin đối với H x n ( )
(2.47) Đạo hàm (2.47) n lần theo t ta có:
Cho t0 ta thu được công thức Rodrigues
2.3.5 Tính trực giao của đa thức Hermite
Chứng minh + Xét khi mn Đặt F x n ( )e x 2 /2 H x n ( ) Đạo hàm F x n ( ) ta có
F x x x x (2.48) Chúng ta sẽ chứng tỏ dãy F x n ( ) trực giao trong khoảng ( , ) Nhân hai vế (2.48) với F x m ( )ta được
F x F x x x x x F x Đổi chỉ số m thành n và ngược lại ta có:
Trừ phương trình trên cho phương trình dưới rồi tích phân từ đến ta được:
Sử dụng tích phân từng phần ta được
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Vậy ta có thể viết
Từ phương trình này ta có
Hàm đa thức Laguerre
Phương trình Laguerre là phương trình vi phân cấp hai tuyến tính thuần nhất có dạng
Phương trình (1) ' 0 xy x yvy (2.50) xuất hiện trong cơ học lượng tử, liên quan đến chuyển động của điện từ trong trường thế xuyên tâm của hạt nhân, cụ thể là bài toán Hiđrô Với gốc x=0 là điểm kì dị đơn, chúng ta có thể tìm nghiệm dưới dạng chuỗi.
(2.51) Để xác định các hệ số a k và p ta thay (2.51) vào phương trình (2.52), ta có
Để phương trình (2.50) đúng với mọi giá trị của x, tất cả các hệ số phải bằng không Do đó, để (2.51) trở thành nghiệm của (2.50), ta cần p = 0.
Trong số hạn đầu tiên ta đổi chỉ số k thành k + 1, kết quả là
Khi v là số dương n thì từ (2.52) ta có thể thấy tất cả các hệ số có chỉ số lớn hơn n đều bằng không (a k+1 = a k+2 = =0) và
Nghiệm đa thức phương trình Laguerre ký hiệu là L n (x), gọi là đa thức Laguerre , xác định bởi
Dạng của một số đa thức Laguerre cấp thấp là
2.4.2 Hàm sinh đối với đa thức Laguerre L n (x)
(2.55) Hàm Ф(x,z) thỏa mãn phương trình
vào (2.56) ta thấy nó thỏa mãn Mặt khác thay
vào (2.56) ta thấy L n (x) thỏa mãn phương trình Laguerre (2.50)
Nhân (2.55) với Z -n-1 và tích phân theo đường tròn bao quanh gốc, ta thu được: z/1 1
(2.57) Biểu thức trên chính là biểu diễn tích phân của L n (x)
Bằng cách đạo hàm hàm sinh trong phương trình (2.50) theo x và z ta thu được các công thức truy hồi
2.4.3 Công thức Rodrigue cho đa thức Laguerre Đa thức Laguerre có thể xác định qua công thức
(2.59) Để chứng minh công thức này chúng ta quay lại biểu diễn tích phân của L n (x) Với biến đổi
với đường bao mới là quanh điểm s Theo công thức tích phân Cauchy (đối với đạo hàm) ta có
(2.60) Đây là công thức Rodrigue xác định công thức Laguerre
Công thức Rodrigue cũng có thể chứng minh bằng cách đạo hàm hàm sinh n lần rồi cho z tiến về không
2.4.4 Tính trực giao của đa thức Laguerre
Tự thân các đa thức Leguerre L n (x) không tạo thành một dãy các hàm trực giao, nhưng các hàm e -x/2 L n (x) thì trực giao trong khoảng (0,∞)
(2.62) Để chứng minh (2.62) ta chú ý rằng đối với hai đa thức Legruerre L n (x), L m (x) ta đều có
'' ( )(1 m ) ' ( ) m m 0 xL x x L x nL '' ( ) n (1 ) ' ( ) n n 0 xL x x L x nL Nhân các phương trình trên lần lượt cho L n (x) và L m (x) rồi trừ cho nhau ta được
Nhân hai vế cho xe -x , chú ý rằng: ( )
Tích phân hai vế từ 0 đến +∞ ta được
Nếu n = m ta có thể chứng minh 2 2
2.4.5 Đa thức Laguerre liên kết Đạo hàm (2.50) m lần ta được
'' ( 1 ) ' ( ) 0 xz m x z n m z (2.64) Phương trình này gọi là phương trình Laguerreliên kết, dễ suy ra rằng nghiệm của nó là
L x n là đa thức cấp n – m, gọi là đa thức Laguerre liên kết
Một số đa thức Laguerre liên kết cấp thấp có dạng như sau:
Hàm gamma
2.5.1 Định nghĩa: Hàm Gamma với biến số a ký hiệu ( )a xác định qua tích phân suy rộng như sau
Sử dụng phương pháp đổi biến: đặt t = √𝑥 ; t 2 = x ⇒ dx = 2tdt
Lưu ý rằng tích phân dạng e x 2 dx
đã được tính trong giải tích bằng cách áp dụng tích phân ( x 2 y 2 )
, miền D là toàn mặt phẳng, trong tọa độ cực
Hệ quả: Nếu a là số tự nhiên (an) thì: (n 1) n!
Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của (0)
Để tính tích phân trên ta phải tìm nguyên hàm của hàm 1 xe x ,việc xác định nguyên hàm này rất khó, ta có thể áp dụng tính chất trên
Tổng quát ta có thể chứng minh rằng hàm ( )a hội tụ khi a0, phân kỳ ở vô cùng khi a ≤ 0.
Phương trình Bessel
2.6.1 Định nghĩa và nghiệm của phương trình Bessel
Phương trình Bessel là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất có dạng
'' ' ( ) 0 x y xy x v y (2.68) trong đó v là hằng số
Phương trình (3.7) có điểm kì dị tại x = 0 Tìm nghiệm riêng của phương trình dưới dạng chuỗi:
(2.69) Chuỗi (2.69) hoàn toàn xác định nếu ta xác định được a k và r Thay (2.69) vào (2.68), ta được
Chuỗi trên chỉ bằng không khi các hệ số của x bằng không
+ Hệ số của số hạng bậc thấp nhất là x r
Ta xét nghiệm riêng của phương trình (2.68) với r = v, gọi nghiệm riêng này là y 1(x):
Thay vào phương trình (2.68) ta có:
Do a 1 = 0 nên a 3 cũng bằng không
Tổng quát ta có thể chứng tỏ rằng: a 2 k 1 0 (k 0,1, 2, ) và
Vì a0 tùy ý nên để đơn giản ta chọn a 0 có dạng a 0 = 1
(2.71) Nghiệm này gọi là hàm Bessel loại 1 cấp v, ký hiệu là J v (x)
(2.72) Với r = -v bằng cách tính tương tự ta có thể xác định được hàm riêng thứ hai
Hàm này cũng là hàm Bessel, ký hiệu là J -v (x) Vậy:
- Nếu v không phải là số tự nhiên thì hai nghiệm riêng J x ( ) và J ( )x của phương trình sẽ độc lập tuyến tính nên nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là:
- Nếu v là số tự nhiên n thì có thể chứng tỏ được rằng J n (x) = (-1) n J -n (x), nghĩa là hai nghiệm J x ( ) và J ( )x là phụ thuộc tuyến tính
Bằng cách tương tự ta có thể xác định được
Nếu \( v \) là số tự nhiên \( n \), thì \( J_n(x) = (-1)^n J_{-n}(x) \), cho thấy rằng hai nghiệm \( J_n(x) \) và \( J_{-n}(x) \) có mối quan hệ phụ thuộc tuyến tính Để tìm nghiệm tổng quát cho phương trình (2.68) với \( \nu \) là số nguyên \( n \), cần xác định một hạng tử độc lập tuyến tính với \( J_n(x) \) Để thực hiện điều này, ta cần biến đổi hàm \( Y_\nu(x) \) về dạng thích hợp.
Nghiệm trên gọi là hàm Bessel loại hai bậc α Nó còn được gọi là hàm
Neumann bậc α ký hiệu là N α (x) Ta cũng có thể chứng tỏ rằng
Y x Y x Đồ thị của ba hàm Y n (x) đầu tiên được biểu diễn trên hình 1.3
Nghiệm tổng quát của phương trình Bessel đối với tất cả các giá trị của α là
Trong một số ứng dụng nghiệm của phương trình Bessel được biểu diễn dưới dạng phức
Các hàm độc lập được tuyến tính này được xem là hàm Bessel loại ba bậc α hay hàm Hankel thứ hai bậc α
2.6.3 Các công thức truy hồi
Trong biểu thức cuối, thay tổng k bằng k + 1, ta có
Ví dụ 4: Xác định J 3/2(x) Áp dụng công thức ( ) 1( ) 1( ) , v 2 v v
Theo ví dụ 3, ta có
Hàm Bessel cầu, được ký hiệu là J(n+1/2)(x) và J-(n+1/2)(x) với n là số nguyên không âm, đóng vai trò quan trọng trong các bài toán về dao động sóng, đặc biệt khi tọa độ cầu là phù hợp.
(2.78) gọi là hàm sinh của hàm Bessel loại 1 J n (x) Để chứng minh (2.78) ta xét các hàm mũ e xt/2 và e -xt/2 Khai triển Laurent các hàm này theo t ta có
Nhân chúng với nhau ta có
Có thể thấy rằng hệ số của t 0 (ứng với trường hợp m = k) chính là J 0(x)
Tương tự, các hệ số của t n được tạo bởi các số hạng khi k –m = n chính là J n (x)
Điều này chứng tỏ rằng các hệ số của khai triển Laurent của hàm sinh chính là hàm Bessel bậc nguyên
2.6.5 Tính trực giao của hàm Bessel
Nếu λ và μ là hai hằng số khác nhau thì
Biểu thức trên là tính trực giao của hàm Bessel Để chứng tỏ (2.80) trước hết ta chứng tỏ
Từ phương trình Bessel (2.68) ta đổi biến thành λx, ta có
Nghiệm của phương trình là J n (λx) Giả sử có hai phương trình, một cho y1 với hằng số λ và một cho y2 với hằng số μ.
Nhân phương trình đầu cho y 2 và phương trình sau cho y 1 rồi trừ cho nhau, ta có
Tích phân hai vế ta được
( ) xy y dxx y y 'y y ' Lưu ý rằng ở trên ta đã bỏ qua hằng số tích phân
Bây giờ cho μ → λ và áp dụng quy tắc L’Hospital, ta có
Rút '' ( )J n x từ phương trình trên rồi thay vào tích phân ta có:
Mặt khác, nếu λ và μ là hai nghiệm phân biệt của chương trình RJ n (x) +
SxJ n ’(x) với R và S là hằng số thì chúng ta có
- Nếu R và S không đồng thời bằng không thì
- Nếu R = 0, S ≠ 0 hoặc R ≠ 0, S = 0 thì λ hoặc μ là nghiệm của phương trình
J n (x) = 0 hoặc J n ’(x) = 0 Khi đó biểu thức trên vẫn đúng
1 Nghiệm đa thức cấp n của phương trình Legendre có dạng
a Tính P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) b Sử dụng công thức Rodrigue tính P1(x), P2(x), P3(x), P4(x) Kiểm tra lại kết quả ở câu a
2 Chứng tỏ rằng Pn(-x) = (-1) n Pn(x) và P’n(-x) = (-1) n+1 P’n(x)
4 Xác định Pn(1) và Pn(-1)
5 Xác định các đa thức Legedre liên kết P x P x P 1 1 ( ), 2 3 ( ), 2 3 (cos ), P 3 2 (cos ), P x 4 2 ( ),
6 Chứng tỏ rằng P x 2 3 ( ) là nghiệm của phương trình Legendre liên kết ứng với m 2, n = 3
7 Tìm nghiệm riêng của phương trình Hermite dưới dạng chuỗi Áp dụng tính
8 Chứng minh công thức Rodrigue xác định đa thức Hermite Áp dụng tính H0(x),
11 Xác định dạng cảu các hàm Besel J0(x), J1(x), J1/2(x),J-1/2(x)
DAO ĐỘNG CỦA DÂY ĐÀN HỒI
Thiết lập phương trình dao động của dây đàn hồi
Xét dao động của một dây đàn hồi đồng chất có khối lượng với mật độ là ρ Giả thiết rằng:
- Dao động của dây là dao động ngang, tức là phương dao động của các phần tử trên dây vuông góc với phương truyền sóng
Dao động của dây là hiện tượng dao động với biên độ rất nhỏ Để mô tả toán học cho dao động này, ta gắn một hệ trục tọa độ Oxu vào dây, trong đó trục hoành Ox nằm trùng với dây ở trạng thái cân bằng, còn trục tung được sử dụng để biểu diễn độ lệch của dây.
Độ lệch của các phần tử trên dây ra khỏi vị trí cân bằng được xác định bởi tung độ u của chúng Tại thời điểm t, các phần tử ở vị trí khác nhau có độ lệch khác nhau, dẫn đến u trở thành hàm của thời gian t và tọa độ x, được biểu diễn dưới dạng hàm hai biến u = u(x, t) Điều kiện dao động bé được thể hiện bằng các phương trình toán học cụ thể.
Để thiết lập phương trình dao động của dây, ta cần phân tích một đoạn dây giới hạn bởi hai điểm x1 và x2 Các lực tác động lên đoạn dây này bao gồm lực căng và có thể có cả ngoại lực Việc hiểu rõ các lực này là cần thiết để mô tả chính xác dao động của dây.
46 của ngoại lực ta giả thiết thêm rằng nó song song với Ou và hướng xuống dưới (ví dụ như trọng lực)
Trong đoạn dây chịu tác dụng của lực căng T1 và T2 tại hai đầu mút, các lực này hướng theo phương tiếp tuyến của dây Chúng tôi sẽ chứng minh rằng trong điều kiện dao động bé và khi ngoại lực chỉ hướng theo phương Ou, T1 và T2 có cùng độ lớn nhưng khác nhau về phương chiều Khi chiếu các lực căng lên phương Ox, ta có thể phân tích rõ hơn về sự tương quan giữa chúng.
(3.2) Chú ý rằng ngoại lực (nếu có) không có thành phần theo phương Ox
Theo giả thiết: u x 1 u x 2 0 cos 1 Điều này có nghĩa cos không phụ thuộc vào vị trí các điểm mà ta xét, tức là không phụ thuộc vào x
Ta có: T 1 cos T 2 cos ( T 2 T 1 ) cos T 2 T 1 0 T 2 T 1 T
Thành phần lực căng theo phương Ou là:
Ta có thể viết lại dưới dạng:
Khi dây chịu tác động của ngoại lực theo phương hướng xuống dưới, được đặc trưng bởi mật độ lực g x t ( , ) với là hằng số, điều này phản ánh thực tế rằng dây đang chịu ảnh hưởng của trọng lực Do đó, thành phần theo phương Ou của ngoại lực sẽ được xác định.
(3.5) Theo định luật II Newton, ta có
T dx g x t dx dx x t u u dx T dx g x t dx t x
Do đoạn tách ra khỏi dây là tùy ý, tức là đoạn x x 1, 2 là tùy chọn nên hàm dưới dấu tích phân trong (3.6) phải bằng không Vậy:
Phương trình (3.7) mô tả dao động cưỡng bức của dây đàn hồi dưới tác động của ngoại lực Đây là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính không thuần nhất với hai biến.
Nếu dây dao động tự do (không chịu tác dụng của ngoại lực thì g x t ( , ) 0) Phương trình (3.7) trở thành:
2 0 tt tt u a u (3.8) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính thuần nhất của hàm hai biến.
Dao động tự do của dây đàn hồi dài vô hạn – Bài toán Côsi
Xét dao động tự do của dây đàn hồi dài vô hạn, ta đặt dây theo trục Ox và giả thiết rằng dây dao động bé Vào thời điểm ban đầu, dạng của dây được xác định bởi f(x) và vận tốc đầu được xác định bởi F(x) Bài toán này bao gồm phương trình dao động cùng với các điều kiện ban đầu.
(3.10) Theo phương pháp đã trình bày ở trên, ta chọn:
Phương trình (3.9) có dạng chính tắc:
Phương trình này được giải như sau:
Từ phương trình trên ta có:
với và là các hàm tùy ý
Nghiệm tổng quát của phương trình (3.9) được biểu diễn qua công thức (3.11), trong đó các hàm và là tùy ý, cho thấy phương trình này có vô số nghiệm Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định nghiệm phù hợp với các điều kiện đầu được nêu trong (3.10).
Từ điều kiện đầu ( , ) 0 ( ) u x t t f x ta có:
(3.13) Tích phân hai vế (3.13) theo x từ 0 đến x, lưu ý để phân biệt trong (3.13) ta thay x bằng
Từ các phương trình (3.12) và (3.14) ta có:
Lưu ý rằng ở phương trình (3.16) để không nhầm lẫn và rõ ràng hơn trong các tích phân ta đã thay x bằng
(3.17) là nghiệm của phương trình (3.9) thỏa mãn các điều kiện biên (3.10) Ta nói (3.10) là nghiệm Đalămbe của bài toán Côsi đối với phương trình dao động của dây
Ví dụ 1: Tìm dạng của dây đàn hồi dài vô hạn ở các thời điểm t bằng
2a 2a 2a 2a Biết rằng dây dao động tự do, ở thời điểm ban đầu dạng của dây xác định bởi:
dây không có vận tốc đầu
Theo (3.17) ta có nghiệm của phương trình là
Biểu thức xác định dạng của dây tại các thời điểm như sau:
Bằng phương pháp đồ thị có thể vẽ dạng của dây tại các thời điểm trên
Ví dụ 2: Tương tự như ví dụ 1, trong trường hợp này, điều kiện ban đầu là dây không có độ lệch Tại thời điểm ban đầu, các phần tử trên dây nằm trong khoảng từ -1 đến 1 với vận tốc V0.
Theo (3.17) ta có nghiệm của phương trình là
Dao động tự do của dây đàn hồi hữu hạn
Xét dao động tự do của dây đàn hồi có chiều dài hữu hạn L, được gắn chặt tại hai đầu tại vị trí x = 0 và x = L Ở thời điểm ban đầu, hình dạng của dây được xác định bởi hàm f(x) và vận tốc đầu được xác định bởi hàm F(x) Các phương trình và điều kiện liên quan sẽ được áp dụng để mô tả quá trình dao động của dây.
Phương trình: u tt a u 2 xx 0 (3.18) Điều kiện biên: 0 0 u x và 0 u x L (3.19) Điều kiện đầu: 0 ( ) u t f x và
Chúng ta sẽ giải phương trình bằng phương pháp tách biến, trong đó hàm nhiều biến được biểu diễn dưới dạng tích của hai hàm một biến Cụ thể, ta đặt u(x, t) = X(x)T(t), với X(x) và T(t) là các hàm một biến cần được xác định.
Thay (3.21) và (3.18), chia tất cả cho a X x T t 2 ( ) ( ) ta có:
Do các hàm T(t) và X(x) biến thiên độc lập nên ta có thể đặt:
X x (3.23) với c là hằng số Giải được (3.22) và (3.23) thay vào (3.21) ta được nghiệm của bài toán
Trước hết ta giải (3.23), lưu ý rằng với cách đặt (3.21) thì từ điều kiện biên (3.38) ta có các điều kiện với X(x) như sau:
( ) ( ) 0 ( ) 0 u x L X L T t X L (3.25) Sau đây ta biện luận dấu của c để nghiệm của phương trình (3.23) thỏa mãn điều kiện (3.24), (3.25)
- Nếu c là số dương thì ta đặt: c 2 ( 0), khi đó:
X x (3.26) Nghiệm của phương trình này là:
X x Ae Be (A, B là các hằng số bất kỳ) Áp dụng điều kiện (3.24) và (3.25): X (0) A B 0
Hệ phương trình này cho A = B = 0 Điều này làm X x ( ) bằng 0 với mọi x, do đó không thể chấp nhận được, nghĩa là c không thể nhận giá trị dương
- Nếu c0 : phương trình (3.26) có nghiệm tổng quát là
Từ các điều kiện biên, ta có
C1 + C2 l = 0 do đó C1 = C2 = 0 Khi đó X(x) = 0 nên ta cũng không thể nhận giá trị c = 0
- Nếu c là số âm, ta đặt c 2 , khi đó:
X x (3.27) Nghiệm phương trình (3.27) là: X x ( ) A cos x B sin x Áp dụng điều kiện (3.24) và (3.25) cho nghiệm trên, ta được:
X L B L L (B phải khác 0 vì nếu B = 0 thì X(x) = 0)
(với k là số nguyên khác không) (3.28)
Như vậy không liên tục mà chỉ nhận các giá trị là bội của
Để chỉ rõ sự thay đổi của theo k ta viết lại: k k L
T t c a T t Ở trên ta đã xác định
Nghiệm của phương trình này là:
Chú ý rằng ở trên ta cũng đã đưa vào chỉ số k tương ứng với k C D k , k là các hằng số tùy ý
( , ) ( ) (t) cos sin sin k k k k k k k at k at k x u x t X x T C D B
Do B k , C , k D k là các hằng số tùy ý nên ta có thể gộp chung lại và lại đặt chúng là A k và B k , tức là:
( , ) ( ) ( ) cos sin sin k k k k k k at k at k x u x t X x T t A B
(3.31) là nghiệm riêng của phương trình (3.18) thỏa mãn điều kiện biên (3.19) Nghiệm tổng quát của (3.18) là tổng tất cả các nghiệm riêng của nó
( , ) k ( ) ( ) k k cos k sin sin k k k at k at k x u x t X x T t A B
Lưu ý rằng tổng trên có thể chạy với k từ -1 đến -∞, tuy nhiên sự khác biệt chỉ nằm ở các hằng số, và các hằng số này là tùy ý Do đó, chỉ cần cho k chạy từ giá trị đã chỉ định.
Nghiệm tổng quát (3.32) của phương trình (3.18) đáp ứng điều kiện biên (3.19), tuy nhiên, nó không phải là nghiệm cuối cùng của bài toán do vẫn còn chứa các hằng số chưa được xác định.
Xác định các hằng số A k và B k từ điều kiện đầu
(3.33) Để xác định A k ta nhân hai vế (3.33) cho sinm x
rồi lấy tích phân theo x từ
(3.34) Áp dụng điều kiện trực giao đối với hàm sinm x:
Để phù hợp với công thức (3.32) ta đổi chỉ số m sang chỉ số k:
Tương tự như trên, để xác định B k ta nhân hai vế (3.37) cho sinm x
rồi tích phân theo x từ 0L Ta có:
(3.38) Tóm lại: Nghiệm tổng quát của bài toán là
( , ) k cos k sin sin k k at k at k x u x t A B
, với A k và B k xác định bởi (3.37) và (3.38)
55 Ý nghĩa vật lý của nghiệm
( , ) ( ) ( ) sin cos sin sin k k k k k k x k at k x k at u x t X x T t A B
Số hạng đầu vế phải biểu diễn một dao động điều hòa với tần số k k a,
Tương tự, số hạng thứ hai cũng biểu diễn dao động điều hòa tần số k k a,
Tổng hai thành phần này biểu diễn một dao động điều hòa với tần số: k k a L
Biên độ k sin 2 k sin 2 k 2 k 2 sin k a k x k x
Các phần tử ở các vị trí khác nhau dao động với biên độ khác nhau, trong đó các điểm đứng yên được gọi là điểm nút, còn các điểm dao động với biên độ cực đại được gọi là điểm bụng Để làm rõ điều này, chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp cụ thể với k = 1 và k = 2.
1( , ) 1cos at 1sin at sin x u x t A B
(3.42) (3.42) biểu diễn một dao động điều hòa với:
( , ) cos at sin at sin x u x t A B
(3.43) (3.43) biểu diễn một dao động điều hòa với:
Trong trường hợp tổng quát, các điểm nút xác định bởi:
k Vậy có k+1 điểm nút (kể cả điểm biên) cách đều nhau Điểm bụng xác định bởi: (2 1) ( 1, 2, , k) i 2 x i L i
Vậy có k điểm bụng cách đều nhau
Một dây đàn hồi có chiều dài L được cố định ở hai đầu tại x = 0 và x = L Dây này dao động tự do mà không có vận tốc ban đầu, với dạng ban đầu được xác định rõ ràng.
Tìm biểu thức xác định độ lệch của dây ở thời điểm t > 0
Theo bài toán tổng quát đã xét ở trên, nghiệm của bài toán là
( , ) k cos k sin sin k k at k at k x u x t A B
Ta thấy rằng các số hạng ứng với k chẵn đều bằng không nên ta có thể viết lại nghiệm
Ta có thể chứng tỏ chuỗi này hội tụ Vậy biểu thức trên là nghiệm của bài toán.
Dao động cưỡng bức của dây đàn hồi hữu hạn
Trong trường hợp dây chịu tác dụng của ngoại lực hướng xuống dưới, được đặc trưng bởi g x t ( , ), chúng ta cần xem xét các điều kiện biên và điều kiện đầu tương tự như trong bài toán trước Điều này dẫn đến việc thiết lập một bài toán mới với những yếu tố tương đồng.
Ta tìm nghiệm riêng của bài toán dưới dạng sóng dừng
58 với T t k ( ) là hàm chưa biết Khi đó nghiệm tổng quát là
Nhận thấy rằng với nghiệm dạng (3.48) thì điều kiện biên của bài toán đã được thỏa mãn Để xác định T t k ( ) ta thay (3.48) vào (3.44)
Ta giả sử rằng đối với mỗi t0 quy định, hàm g(x,t) phân tích được thành chuỗi theo sink x:
Bằng cánh nhân hai vế của g(x,t) cho sinm x
rồi tích phân từ 0 đến L như đã thực hiện khi xác định A k ta có
(3.50) đúng với mọi x nên các hệ số của sink x
phải đồng nhất bằng không nên ta có
Phương trình vi phân thường cấp 2 không thuần nhất với hệ số hằng số có thể được giải bằng các phương pháp đã biết Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng được ký hiệu là T(t).
thì k ( ) k cosk at k sink at
với A B k , k là hai hằng số tùy ý và T t k * ( ) là một nghiệm riêng của phương trình (3.51) thì nghiệm tổng quát của (3.51) là
Các hằng số A k , B k được xác định theo điều kiện đầu đối với (3.46)
( , ) k cos k sin k (t) sin k k at k at k x u x t A B T
Từ điều kiện ( , ) 0 ( ) u x t t f x ta có
Ví dụ 4: Giống ví dụ 3, ta chỉ bổ sung dây chịu tác dụng của ngoại lực hướng xuống đặt trung bởi g 0 ( g 0 là hằng số)
Nghiệm tổng quát của bài toán là
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất được ký hiệu là T(t, k), trong khi nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất được ký hiệu là T*(t, k) Như đã đề cập trước đó, chúng ta có thể phân tích và áp dụng các nghiệm này để giải quyết các vấn đề liên quan.
( , ) k cos k sin k sin k k at k at k x u x t A B T
Bằng cách thử với T k là hằng số ta xác định được nghiệm riêng T k *
( , ) k cos k sin 2 1 1 k sin k g L k at k at k x u x t A B
Từ điều kiện ( , ) 0 ( ) u x t t f x ta có
1 Cho một dây đàn hồi dài vô hạn, ở thời điểm ban đầu, dây không có vận tốc, dạng ban đầu xác định bởi :
Biết rằng dây dao động tự do với vận tốc truyền sóng a = 2, chúng ta sẽ vẽ dạng của dây tại các thời điểm t = 0, t = 0,5, t = 1 và t = 2,5 Đồng thời, cần xác định độ lệch của các phần tử trên dây tại các vị trí x = -1, x = 0, và x = 1 ở những thời điểm đã nêu.
2 Cho một dây đàn hồi dài vô hạn, ở thời điểm ban đầu dây không có vận tốc, dạng ban đầu xác định bởi f(x) = sinx Biết rằng dây dao động tự do, xác định dạng của dây ở các thời điểm t > 0
3 Một sợi dây đàn hồi chiều dài L gắn chặt tại hai đầu x = 0 và x = L Dây dao động tự do, không có vận tốc đầu, dạng ban đầu xác định bởi :
Tìm biểu thức xác định dạng của dây ở các thời điểm t > 0
4 Tương tự bài 3 nhưng dạng ban đầu của dây là ( ) x f x sin
5 Một sợi dây đàn hồi chiều dài L gắn chặt tại hai đầu x = 0 và x = π Dây dao động tự do, không vận tốc đầu, dạng ban đầu xác định bởi f(x) = sinx a Viết phương trình và các điều kiện của bài toán b Tìm nghiệm của phương trình trên bằng phương pháp tách biến
6 Một sợi dây đàn hồi chiều dài L gắn chặt tại hai đầu x = 0 và x = L Dây dao động tự do, ở thời điểm ban đầu dây trùng với trục Ox, vận tốc đầu xác định bởi :
trong đó v0 là hằng số dương và π/2 < c < L - π/2 Tìm biểu thức xác định dạng của dây ở các thời điểm t > 0
7 Một sợi dây đàn hồi chiều dài L gắn chặt tại hai đầu x = 0 và x = L, thời điểm ban đầu dây trùng với trục Ox, vận tốc đầu bằng không Dây dao động do chịu tác dụng của ngoại lực xác định bởi -ρg(x,t) = -bρShx (b là hằng số dương) Tìm biểu thức xác định dạng của dây ở các thời điểm t > 0
9 Một sợi dây đàn hồi chiều dài L gắn chặt tại hai đầu x = 0 và x = L Dạng ban đầu xác định bởi ( )
vận tốc đầu bằng không, dây chịu tác dụng của ngoại lực đặc trưng bởi g(x,t) = g0 = const Tìm biểu thức xác định dạng của dây ở các thời điểm t > 0
DAO ĐỘNG CỦA MÀNG ĐÀN HỒI
Thiết lập phương trình dao động của màng
Xét dao động của màng đàn hồi đồng chất với mật độ mặt là , giả sử dao động ngang và có biên độ nhỏ Để thiết lập phương trình dao động, ta tách một phần nhỏ của màng, được giới hạn bởi chu tuyến L, và phân tích các lực tác động lên phần này.
Gắn vào màng một hệ trục tọa độ Oxyu sao cho ở trạng thái cân bằng màng nằm hoàn toàn trên mặt
Oxy là trục vuông góc với màng, trong đó độ lệch của các phần tử trên màng so với vị trí cân bằng được xác định qua tọa độ u Tại mỗi thời điểm t, các phần tử trên màng có vị trí (x, y) dao động khác nhau, tức là có độ lệch khác nhau Do đó, u được coi là hàm của các biến x, y và t.
, , uu x y t điều kiện dao động bé được viết là: ux 1;uy 1.
Lực tác dụng lên màng bao gồm lực các căng T
Lực căng T tác động lên màng tại chu tuyến L, với hướng theo pháp tuyến tại điểm tiếp xúc Tương tự như bài toán dao động của dây, trong điều kiện dao động nhỏ, lực căng tại các điểm chỉ khác nhau về phương chiều nhưng có độ lớn bằng nhau.
Trên chu tuyến L ta lấy một vi phân cung ds, P là một điểm bất kỳ trên dS Lực căng tại P được xác định như sau
Tại điểm P trên tiếp tuyến L, gọi n là pháp véctơ và véctơ đơn vị của L Các cosin chỉ phương của n được ký hiệu là cos α, cos β, cos γ, trong khi các cosin chỉ phương của véctơ tiếp tuyến được ký hiệu là cos 'α, cos 'β, cos 'γ Lực căng T tại điểm P được xác định dựa trên các véctơ này.
cos , os , os ; cos ', os ', os ' ; n c c s c c T T s n
os ' os os ' os os 'cos os cos ' cos ' os cos os '
Chiếu lực căng T lên phương Ou ta có:
Vì ds rất bé, lực căng tại mọi điểm trên ds được coi là bằng nhau Do đó, thành phần lực căng theo phương Ou trên vi phân ds có thể được xác định một cách đồng nhất.
Thành phần theo phương Ou của lực căng tác dụng lên màng:
cos ' os cos os ' os ' cos '
Theo hình học vi phân:
Do điều kiện dao động bé
Áp dụng công thức Green: , ,
Giả sử mỗi điểm trên màng chịu tác động của ngoại lực hướng xuống dưới, được đặc trưng bởi hàm g x y t , , Khi đó, thành phần ngoại lực theo phương Ou tác động lên màng sẽ được xác định.
Vì phần tách ra khỏi màng là tùy ý nên tích phân 4.3 đúng với mọi miền D, muốn vậy thì phần dưới dấu tích phân phải bằng không
Phương trình 4.4 mô tả dao động của màng dưới tác động của ngoại lực, là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính không thuần nhất Khi màng dao động tự do mà không chịu ngoại lực, hàm g(x, y, t) trở thành 0, dẫn đến một phương trình có dạng khác.
4.5 đây là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính không thuần nhất.
Dao động tự do của màng chữ nhật gắn chặt biên
Xét dao động tự do của màng chữ nhật đàn hồi đồng chất có kích thước L1 và L2 được gắn chặt theo biên, với dạng ban đầu được xác định bởi hàm f(x, y) và vận tốc đầu được mô tả bởi F(x, y) Bài toán này bao gồm phương trình dao động cùng với các điều kiện biên và điều kiện đầu cụ thể.
Giải phương trình 4.6 bằng phương pháp tách biến: Đặt u x, , t y X x Y y T t 4.9
Thay 4.9 vào 4.6 rồi chia tất cả cho a X x Y y T t 2 ta có
Vì các biến biến thiên độc lập nên ta có thể viết
Chú ý rằng với cách tách biến 4.9 và điều kiện biên 4.7 ta có các điều kiện biên cho hàm X x và Y y như sau
X X L Y Y L 4.10 Ở chương 3 ta đã lý luận cho trường hợp
X x theo đó với điều kiện
4.10 phương trình này chỉ có nghiệm khi
Lý luận tương tự như vậy đối với phương trình
Y y C ta thấy phương trình này chỉ có nghiệm khi
T t C a T t Hằng số C đã được xác định ở trên nên ta có
Nghiệm riêng của phương trình 4.13 là
C là các hằng số tùy ý
Nghiệm riêng của phương trình 4.6 thỏa mãn điều kiện biên là
Tần số riêng của màng chữ nhật được xác định bởi các dao động riêng, hay còn gọi là sóng đứng Mỗi điểm trên màng tại tọa độ (x,y) thực hiện một dao động điều hòa với tần số k, k1, k2.
Nghiệm tổng quát của phương trình là tổng tất cả các nghiệm riêng
4.16 chưa phải là nghiệm của bài toán vì nó còn chứa hai hằng số tùy ý k k 1 2
A và B k k 1 2 Các hằng số này sẽ được xác định bằng điều kiện đầu
Xác định các hằng số k k 1 2
- Từ điều kiện ban đầu u t 0 f x y , ta có:
Như vậy để xác định hệ số k k 1 2
A , ta phải phân tích hàm f x y , thành chuỗi
Trước tiên biểu diễn f x y , qua 1
Mặt khác, ta biểu diễn k 1 y
So sánh 4.17 và 4.22 ta thấy
- Từ điều kiện ban đầu 0
Bằng cách tương tự như trên, ta có:
4.24 Ý nghĩa vật lý của nghiệm
, , sin sin cos sin sin sin k k x y t k k k x k y k k k k k x k y k k u A t B t
Ta nhận thấy rằng nghiệm của bài toán là sự chồng chập của các dao động điều hòa với tần số khác nhau
Số hạng thứ nhất của vế phải 4.25 biểu diễn dao động điều hòa tần số
Số hạng thứ hai biểu diễn dao động điều hòa
Do vậy 4.25 biểu diễn dao động điều hòa tần số
Cụ thể, ta xét dạng dao động của màng trong một số trường hợp đơn giản sau + Trường hợp k 1 1,k 2 1
Phương trình này biểu diễn dao động điều hòa tần số
Các điểm nút là những điểm không dao động, xác định bởi
Các điểm nút là: (0; tùy ý); (L1; tùy ý); (tùy ý; 0); (tùy ý; L1).
Có nhiều điểm nút liên tục tạo thành các đường nút, trong đó các đường nút được xác định bởi x = 0, x = L, y = 0 và y = L Những đường này không chỉ là biên mà còn là các đường nút mặc nhiên do màng gắn chặt theo biên.
Các điểm bụng, là những điểm dao động với biên độ cực đại, xác định bởi:
Nghiệm của phương trình này là 1 ; 2 ,
vậy màng có một điểm bụng
Dạng dao động của màng được biểu diễn trên hình 4.3
Phương trình này biểu diễn dao động điều hòa tần số
Các điểm nút là những điểm không dao động, xác định bởi
Các điểm bụng xác định bởi:
Nghiệm của phương trình này là 1 2 1 3 2
vậy màng có hai điểm bụng
Nhận thấy rằng các điểm ở hai vùng ngăn cách nhau bởi một đường nút thì dao động ngược pha Thật vậy xét u 12 x y t, ,
Hình 4.3 Dao động riêng của màng với k 1 = 1,k 2 = 1
Ta thấy biến đổi dấu của
đổi dấu dương sang âm khi y đi từ miền 0 y L 2 / 2 sang miền L 2 / 2 y L 2
Dạng dao động của màng được biểu diễn trên hình 4.4
Xác định dao động của màng vuông kích thước L, được gắn chặt ở biên theo các trục tọa độ dương Màng dao động tự do, với hình dạng ban đầu được xác định rõ ràng.
màng không có vận tốc đầu
Theo bài toán ta có phương trình và các điều kiện sau
Hình 4.4 Dao động riêng của màng với k 1 = 1,k 2 = 2
Dao động tự do của màng tròn
Nghiên cứu dao động tự do của một màng đàn hồi hình tròn với bán kính q, được cố định ở biên Ở thời điểm ban đầu, hình dạng của màng được xác định bởi hàm f(x), trong khi vận tốc được xác định bởi hàm F(x, y).
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ tại tâm O, đảm bảo màng nằm hoàn toàn trên mặt phẳng Oxy và ở trạng thái cân bằng Dựa vào điều này, ta có thể xác định phương trình và các điều kiện liên quan.
Phương trình dao động: u tt a u 2 xx u yy 0 4.27 Điều kiện biên: u x 2 y 2 q 2 0 4.28 Điều kiện đầu: u x y , ,0 f x y u x y , ; t ' , ,0 F x y , 4.29
Do hình dạng tròn của màng, bài toán được chuyển sang tọa độ cực với các biến số: \( x = r \cos \phi \) và \( y = r \sin \phi \) Khi đó, hàm số \( u(x, y, t) \) được chuyển đổi thành \( u(r, \phi, t) \) Hàm \( u(r, \phi, t) \) cần phải thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Phương trình dao động có dạng: 2 2 2 1 1 2 2 2 u u u 0 a r r r r t r
4.31 Điều kiện biên: u r q 0 4.32 Điều kiện đầu: u t 0 f r , , u t t 0 F r ,
Giải phương trình 4.27 bằng phương pháp tách biến Đặt u r , , t V r , T t 4.34
Thay 4.34 vào 4.27 rồi chia tất cả cho a R T 2 ta được
Vì các biến biến thiên độc lập và lý luận tương tự các phần trước ta đặt
Nghiệm của phương trình 4.35 là
Các nghiệm này thay đổi theo nên ta viết lại
Phương trình đối với V r , là
Với điều kiện biên 4.32 và điều kiện 4.33 , hàm V r , phải thỏa mãn điều kiện
Ta cũng giải phương trình 4.38 bằng phương pháp tách biến Đặt V q , R r 4.40
Thay vào 4.38 rồi chia tất cả cho R r ta có
Lưu ý rằng với cách đặt 4.40 thì hàm phải thỏa mãn điều kiện
lý luận tương tự như các phần trên ta thấy
không thể nhận giá trị dương nên ta có phương trình đối với :
Một nghiệm riêng của 4.41 là
Ta viết nghiệm của phương trình 4.41 dưới dạng số thực và đính chỉ số n để chỉ thay đổi của nghiệm theo n
4.43 Điều kiện đối với R r là
R R q 4.44 Đặt r, phương trình 4.43 có dạng
Phương trình 4.45 là phương trình Bessel với tham số Nghiệm tổng quát của nó có dạng
Với điều kiện 4.41 thì n 0 và J n q 0
Gọi các nghiệm dương của phương trình J n q J n 0 là
Vì r nên ta có các trị riêng
4.47 tương ứng với mỗi trị riêng ta có hàm riêng
(4.48) Như vậy nghiệm riêng của phương trình 4.37 là
ta có nghiệm riêng của (4.31):
( , , ) co s sin co s n n m m nm nm nm at at u r t A B n q q
( ) ( ) ( ) co s sin sin n n n m m m nm nm n at at r
Nghiệm tổng quát của (4.31) có dạng:
( , , ) co s sin co s n n m m nm nm n m at at u r t A B n q q
( ) ( ) ( ) co s sin sin n n n m m m nm nm n at at r
Các hệ số A nm ,B nm , C nm và D nm trong phương trình (4.50) được xác định từ điều kiện ban đầu (4.33)
1 Ở thời điểm ban đầu t = 0, một màng vuông có dạng u(x, y, 0) = Axy(l - x)(l -y),
A = const Màng dao động không có vận tốc ban đầu Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến Đáp số :
2 Tìm nghiệm của phương trình sau bằng phương pháp tách biến
thỏa mãn điều kiện đầu
3 Tìm dao động ngang của màng tròn bán kính r = L với các biên gắn chặt, gây nên bởi độ lệch và vận tốc ban đầu đối xứng xuyên tâm Điều kiện ban đầu có dạng: ( , 0) ( ); u ( , 0) t ( ). u r f r r F r
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Thiết lập phương trình truyền nhiệt
Xét sự truyền nhiệt trong môi trường đồng chất đẳng hướng, nhiệt độ tại điểm (x, y, z) vào thời điểm t được ký hiệu là u(x, y, z, t) Khi nhiệt độ không đồng nhất, sẽ xuất hiện dòng nhiệt di chuyển từ vùng có nhiệt độ cao đến vùng có nhiệt độ thấp hơn Để thiết lập phương trình truyền nhiệt, ta tách một phần có thể tích V, được giới hạn bởi mặt kín S, và phân tích sự trao đổi nhiệt của thể tích V này trong khoảng thời gian từ t1 đến t2.
Sự truyền nhiệt trong môi trường tuân theo định luật Fourier, theo đó dòng nhiệt qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ.
Hệ số truyền nhiệt k tại điểm (x, y, z) trong môi trường đồng chất là một hằng số dương Dấu “-” thể hiện rằng dòng nhiệt di chuyển từ khu vực có nhiệt độ cao đến khu vực có nhiệt độ thấp.
80 thấp; n là pháp vectơ mặt ngoài của thể tích V; u n
là đạo hàm của hàm u x y z t( , , , ) theo hướng vectơ n
Ta đã biết cos cos cos u u u u gradu n n x y z
trong đó cosα, cosβ, cosγ là các cosin chỉ phương của n
Ta xét sự trao đổi nhiệt qua mặt kín S của thể tích V
Nhiệt lượng truyền qua mặt kín S trong khoảng thời gian từ t 1 t 2 là:
t t t S t S dt k u dS dt k gradu ndS n
Theo công thức Ostrogradsky, ta có
Giả sử trong thể tích V có một nguồn nhiệt với mật độ g(x, y, z, t), biểu thị lượng nhiệt sinh ra hoặc mất đi trong một đơn vị thể tích theo thời gian Từ thời điểm t1 đến t2, trong thể tích V sẽ xuất hiện một lượng nhiệt nhất định.
- Tổng hai phần nhiệt lượng này làm thể tích V biến đổi một nhiệt lượng là
trong đó c là nhiệt dung riêng, ρ là mật độ khối Ta có thể viết lại:
Theo nguyên lý cân bằng nhiệt ta có:
2 2 2 ( , , , ) 0 t t t t V t V t V u u u u dt k dV dt g x y z t dV dt c dV x y z t
Vì thể tích V là tùy chọn, tức là (5.5) đúng với mọi V nên ta phải có hàm dưới dấu tích phân luôn bằng không
Phương trình (5.6) mô tả quá trình truyền nhiệt trong môi trường đồng chất có nguồn nhiệt, thuộc loại phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính không thuần nhất với bốn biến Giải pháp u = u(x, y, z, t) của phương trình này thể hiện sự phân bố nhiệt độ trong môi trường truyền nhiệt.
Nếu trong môi trường không chứa nguồn nhiệt thì phương trình trở thành
2 x z 0 t x yy z u a u u u (5.7) (5.7) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính thuần nhất của một hàm bốn biến.
Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh dài vô hạn - Bài toán Côsi
Xét sự truyền nhiệt trong một thanh rất mảnh đồng chất dài vô hạn, với tiết diện nhỏ, ta có thể coi nhiệt độ tại các điểm trên cùng một tiết diện là như nhau Do đó, nhiệt độ của thanh chỉ thay đổi theo chiều dài, dẫn đến việc hàm nhiệt độ giảm từ bốn biến xuống còn hai biến: u(x, t) Giả thiết ban đầu là nhiệt độ trong thanh được xác định bởi hàm f(x) và không có nguồn nhiệt trong thanh Từ đó, ta có phương trình và các điều kiện ban đầu cần thiết để phân tích.
Giải phương trình (5.8) theo phương pháp tách biến Đặt u x t , X x T t (5.10)
Thay vào phương trình (5.8) và chia tất cả cho a 2 X(x)T(t) ta được
Do hai biến x và t biến thiên độc lập nên ta có thể đặt
X x (5.12) Trước hết ta giải phương trình (5.11)
Do điều kiện hữu hạn của nghiệm nên C không thể nhận giá trị dương hoặc bằng không Thật vậy
Nếu C > 0, ta đặt C 2 ( 0), khi đó
Dễ thấy rằng với nghiệm này thì khi t thì T t( ) , kéo theo
( ) , u t điều này không thể chấp nhận được
Với C = 0 ta cũng lý luận tương tự
Tức là nhiệt độ của thanh không thay đổi theo thời gian
Vậy hằng số C chỉ có thể nhận giá trị âm Ta đặt C 2 ( 0)
T t a T t Nghiệm của phương trình trên là
Nhận thấy rằng với mỗi giá trị khác nhau ta có một hàm T(t) khác nhau Để phân biệt ta đính thêm chỉ số vào nghiệm T(t) và hằng số A
X x B x D x (B, D là hằng số tùy ý) Tương tự như trên để phân biệt nghiệm theo ta viết lại:
Nghiệm riêng của phương trình (5.8) được biểu diễn bởi công thức u(λ, t) = [Mλ cos(λx) + Nλ sin(λx)e] - a²λ²t Trong đó, các hằng số B, A, λ được xác định là Mλ và Dλ, Aλ Nghiệm tổng quát của phương trình (5.8) là tổng của tất cả các nghiệm riêng, với λ không bị ràng buộc bởi điều kiện nào, cho thấy nó là một đại lượng liên tục Do đó, nghiệm tổng quát có thể được diễn đạt dưới dạng tích phân.
Với các hằng số tùy ý M(λ) và N(λ) được xác định từ điều kiện đầu, ta chú ý rằng sự thay đổi của M và N theo λ được thể hiện qua M(λ) và N(λ) Các hằng số này được xác định dựa trên điều kiện đầu, cụ thể là khi u_t = 0 = f(x).
= f x ( ) (5.16) Để xác định được M() và N() ta áp dụng phép biến đổi Fourier
Giả sử rằng f x( )có dạng
Nhớ lại rằng ˆ( )f là biến đổi Fourier của hàm f thì được xác định như sau ˆ ( ) ( ) i f f e d
Do f x( )là hàm số thực nên trong (5.19) ta chỉ lấy phần thực
So sánh (5.20) và (5.16) ta xác định được
Đổi thứ tự lấy tích phân ta có:
(5.22) Đây chính là nghiệm của bài toán
85 Để (5.21) có dạng đơn giản hơn ta tính 1 cos ( ) 2 2
(5.24) với hàm G x t( , , ) xác định bởi
(5.25) gọi là hàm phân bố
Tóm lại nghiệm của bài toán là
Ví dụ 1: Tìm sự phân bố nhiệt trong thanh mảnh dài vô hạn, biết rằng ở thời điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi
Hàm này có tính chất là hàm Delta, thật vậy
Điều này nghĩa là diện tích nằm dưới đường cong y = u(x, t, x0) bằng 1.
Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn
Nghiên cứu về sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn dài L với các mặt bên cách nhiệt, nơi trao đổi nhiệt chỉ diễn ra ở hai đầu mút tại x = 0 và x = L Thanh được đặt dọc theo trục x và ở thời điểm ban đầu, phân bố nhiệt trong thanh được xác định bởi hàm f(x) Giả thiết rằng trong thanh không có nguồn nhiệt.
Gọi h là hệ số truyền nhiệt ngoài thì nhiệt lượng truyền qua một đơn vị diện tích mặt tiếp xúc vào môi Hình 5.3 x
Lớp cách nhiệt Thanh mảnh
87 trường tại các đầu x = 0 là
Nhiệt độ môi trường tại các điểm tiếp xúc với đầu mút được ký hiệu là u t 0 * ( ) Nhiệt lượng này cần phải tương đương với dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích của mặt tiếp xúc tương ứng Theo định luật Fourier, nhiệt lượng này được xác định dựa trên nguyên tắc truyền nhiệt.
lưu ý rằng các cosin chỉ phương trong trường hợp này là cos 1,cos0,cos 0
Vậy ta có điều kiện biên tại đầu mút x0 là
(5.27) Tại đầu mút xL: lý luận tương tự như trên ta có
(5.28) (5.27) và (5.28) là các điều kiện biên tổng quát Ta xét một số trường hợp riêng sau
- Nếu hai đầu mút của thanh luôn được giữ bằng nhiệt độ môi trường ngoài tại đó thì ta có điều kiện biên
0 0 ( ); L ( ) x x L u u t u u t (5.29) Đặc biệt nếu nhiệt độ môi trường ngoài luôn bằng không thì
0 (0, ) 0; ( , ) 0 x x L u u t u u L t (5.30) Gọi là điều kiện biên Dirichlet
- Nếu hai đầu mút của thanh được cách nhiệt thì sẽ không có sự trao đổi nhiệt với môi trường ngoài, khi đó
(5.31) Gọi là điều kiện biên Neumann
5.3.2 Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn với điều kiện biên đồng nhất (điều kiện biên Dirichlet)
Xét sự truyền nhiệt trong thanh mảnh chiều dài L giới hạn bởi x0 và xL.Biết rằng thành bên cách nhiệt Nhiệt độ ở hai đầu mút luôn giữ bằng không, ở thời
88 điểm ban đầu sự phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi hàm số f x( ), trong thanh không có nguồn nhiệt
Ta có bài toán bao gồm phương trình, các điều kiện biên và điều kiện đầu là
0 ( ) u t f x (5.34) Giải phương trình bằng phương pháp tách biến Đặt u x t( , )X x T t( ) ( )
Tương tự như bài toán truyền nhiệt trong thanh vô hạn ta có
Chú ý rằng với các điều kiện biên (5.33) ta có các điều kiện với hàm X x( ) là
( n D A n n ) (5.35) (5.35) là nghiệm riêng của bài toán, nghiệm tổng quát là tổng tất cả các nghiệm riêng
(5.36) Để xác định Mn ta áp dụng điều kiện đầu
Tương tự như trong bài toán dao động của dây ta có
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ tìm hiểu sự phân bố nhiệt trong một thanh mảnh có chiều dài L = 2, với các giới hạn x = 0 và x = 2, trong khi hai đầu mút của thanh được giữ ở nhiệt độ bằng không Ở thời điểm ban đầu, nhiệt độ trong thanh được xác định bởi các điều kiện cụ thể.
5.3.3 Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn với điều kiện biên Neuman
Bài toán này xem xét điều kiện biên Neumann cho hai đầu mút của thanh cách nhiệt, thay vì điều kiện biên thuần nhất như trước.
Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến, sử dụng các kết quả đã tính ở trên Với điều kiện biên (5.37) ta có điều kiện với hàm X x( ) như sau:
M n B A (5.39) Lưu ý rằng giá trị 0 cũng được tính đến Giá trị này tương ứng với hàm riêng là hằng số, T t 0 ( ) C 0 , do vậy u x t 0 ( , ) X 0 ( ) ( ) x T t 0 C 0 (là hằng số tùy ý)
Các hằng số C M 0 , n được xác định từ điều kiện đầu
(5.41) Tích phân hai vế (5.40) theo x từ 0 đến L ta có
C dx M dx C dx M dx f x dx
Mặt khác, nhân hai vế của (5.40) cho cosm x
rồi tích phân theo x từ 0 đến L ta có
(5.43) Kết hợp (5.42) và (5.43) ta có
Ví dụ 3: Tìm nhiệt độ u x t( , ) trong thanh kim loại dài 25cm được cách nhiệt ở các đầu mút và mặt bên Nhiệt độ ban đầu trong thanh xác định bởi
Sự truyền nhiệt trong thanh mảnh hữu hạn có điều kiện biên không đồng nhất
Xét sự truyền nhiệt trong thanh mảnh có chiều dài L, được giới hạn bởi x = 0 và x = L Thanh có thành bên và đầu mút tại x = 0 cách nhiệt, trong khi đầu mút tại x = L có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài, với nhiệt độ tại x = L được xác định bởi hàm u(t) tại L Ở thời điểm ban đầu, sự phân bố nhiệt trong thanh được xác định bởi hàm số f(x), trong khi thanh cũng có nguồn nhiệt g(x, t).
Ta có bài toán bao gồm phương trình
(5.45) Áp dụng (5.27), (5.28) ta có điều kiện biên (để đơn giản ta đã đặt h L h ) Điều kiện biên *
Trước tiên ta thực hiện đổi biến hàm để chuyển điều kiện biên (5.45) về dạng đồng nhất Đặt v x t( , )u x t( , )u t L * ( ) (5.47)
Hay u x t( , )v x t( , )u t * L ( ) (5.48) Khi đó phương trình biến đổi như sau, và điều kiện đầu thay đổi như sau
Bài toán được xác định bởi phương trình (5.49) cùng với điều kiện biên (5.50) và điều kiện đầu (5.51) Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm v(x, t) và sau đó thay vào (5.48) để xác định nghiệm u(x, t) mà chúng ta cần tìm Đầu tiên, ta sẽ giải phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình (5.49).
( , ) 2 0 t xx v x t a u (5.52) Áp dụng phương pháp tách biến, đặt: v x t( , )X x T t( ) ( )
Sử dụng các kết quả đã thu được ở các phần trước ta có
Từ điều kiện biên (5.50) ta có: X ' (0) ( ) T t 0 X ' (0) 0
Mặt khác x L cos( ) ( ) sin( ) ( ) x L hv k v B h L T t k B L T t x
(5.53) (5.53) cho thấy không liên tục mà nhận các giá trị gián đoạn là nghiệm của phương trình ( ) h tg L
Do tính đối xứng của nghiệm nên ta chỉ lấy những nghiệm dương Gọi các nghiệm của phương trình (5.53) là 1 2 3
Ta có các nghiệm riêng tương ứng với n là
( , ) ( ) ( ) cos( ) a n t cos( ) a n t n n n n n n n n v x t X x T t B x A e M x e với M n B A n n là hằng số tùy ý Để đơn giản ta viết lại nghiệm như sau
( , ) cos( ) a n t n n n v x t M x e (5.54) Nghiệm tổng quát là tổng tất cả các nghiệm riêng
Để xác định M n ta sử dụng điều kiện đầu (5.51)
Nhân hai vế của phương trình trên cho cos( m x ) rồi tích phân theo x từ 0L
0 0 0 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) cos( )
Sử dụng điều kiện trực giao
Nghiệm của phương trình (5.49) được tìm dưới dạng
(5.58) trong đó, n ( ) t được xác định theo (5.56)
Thay (5.57) và (5.58) vào (5.49) ta có
Để phương trình trên đúng với mọi x thì các hệ số phải đồng nhất bằng không, ta có
Phương trình vi phân cấp một không thuần nhất được biểu diễn bởi T t a T t t (5.60) Nghiệm tổng quát của phương trình này bao gồm một hằng số tùy ý, và hằng số này sẽ được xác định thông qua điều kiện đầu.
Bằng cách tương tự như trên ta có
Vậy bài toán đã được giải xong
Trong ví dụ 4, chúng ta nghiên cứu sự phân bố nhiệt trong một thanh mảnh có chiều dài L, được giới hạn bởi x = 0 và x = L Thanh này không có nguồn nhiệt, với bề mặt bên và đầu mút tại x = 0 cách nhiệt, trong khi tại x = L, thanh trao đổi nhiệt và nhiệt độ môi trường bên ngoài là 0 Ở thời điểm ban đầu, nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh đều bằng u0.
Ta có bài toán bao gồm
Phương trình u t a u 2 xx 0 Điều kiện biên x 0 0; x x x L x L u hu k u Điều kiện đầu u t 0 u 0
Nhận thấy rằng điều kiện biên đã đồng nhất nên không cần phải đổi biến hàm Áp dụng các kết quả đã tính ở trên
với các n là nghiệm của phương trình: ( ) h tg L
1 Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt, hai đầu mút của thanh được giữ ở nhiệt độ bằng 0, trong thanh không có nguồn nhiệt Tại thời điểm ban đầu t = 0 nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh là không đổi và bằng T 0 ĐS: 0 2 2 2 2
2 Giống bài 1 chỉ khác là thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi f x( )x( x) ĐS:
3 Giống bài 1 chỉ khác là thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi:
4 Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên và hai đầu mút của thanh cách nhiệt, trong thanh không có nguồn nhiệt Tại thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt trong thanh xác định bởi ( ) Ax ( x ). f x ĐS: 2 2 2 2 2 2
5 Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt Đầu mút x0 cách nhiệt, còn đầu mút x luôn được giữ ở nhiệt độ bằng 0 Tại thời điểm ban đầu t = 0, nửa đầu của thanh có nhiệt độ bằng 0, nửa sau của thanh có nhiệt độ không đổi T0 và trong thanh không có nguồn nhiệt ĐS: 0 2 2 2 2
6 Giống bài 5, chỉ khác là tại thời điểm ban đầu t = 0 phân bố nhiệt độ trong thanh xác định bởi:
7 Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt Nhiệt độ đầu mút x0 luôn được giữ bằng không, còn đầu mút x cách nhiệt Tại thời điểm ban đầu t = 0 nhiệt độ tại mọi điểm trong thanh đều bằng T 0 và trong thanh không có nguồn nhiệt ĐS: 0 2 2 2 2
8 Tìm sự phân bố nhiệt ở thời điểm t > 0 trong thanh đồng chất chiều dài , thành bên cách nhiệt Nhiệt độ đầu mút x0 luôn được giữ bằng không, còn đầu mút x cách nhiệt Tại thời điểm ban đầu t = 0, nửa đầu của thanh có nhiệt độ bằng không, còn nửa sau của thanh có nhiệt độ không đổi bằng T 0 , trong thanh không có nguồn nhiệt ĐS: 0 2 2 2 2
