BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

- Trình bày được cách viết phương trình tham số của đường thẳng.. - Trình bày được các vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu..

- Trình bày và vận dụng được các công thức tính khoảng cách, góc

- Trình bày được cách viết phương trình tham số của đường thẳng

- Trình bày được các vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng và mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu Vận dụng được các công thức để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng; của đường thẳng với mặt phẳng và của đường thẳng với mặt cầu

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Cho đường thẳng Vectơ u 0 gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu giá của nó song song hoặc trùng với

Cho đường thẳng đi qua M x y z 0; 0; 0 và có vectơ chỉ phương là u( ; ; )a b c

Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  có dạng

0 0

• Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì k u k ( 0)cũng là vectơ chỉ phương của 

• Nếu đường thẳng  đi qua hai điểm A, B thì AB là một vectơ chỉ phương

Cho đường thẳng có phương trình (1) thì

• u( ; ; )a b c là một vectơ chỉ phương của 

• Với điểm M  A thì M x 0at y; 0bt z; 0ct trong đó t là một giá trị cụ thể tương ứng với từng điểm

M

2 Khoảng cách

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M ,có vectơ chỉ phương u và điểm M0  Khi đó để tính khoảng cách từ M

đến ta có các cách sau:

Trang 2

Cách 1: Sử dụng công thức d[M d, ] | [ 0, ] |

| |

MM u u

Cách 2:

+) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với 

+) Tìm giao điểm H của (P) với 

+) Khi đó độ dài MH là khoảng cách cần tìm

Cách 3:

+) Gọi N d , suy ra tọa độ N theo tham số t

+) Tính MN2 theo t

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai

|Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau  đi qua M có vectơ chỉ phương u và 0 'đi qua '

0

M có vectơ chỉ phương '

u Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng  và ' được tính theo các cách sau:

Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung MN Khi đó độ dài MN là khoảng cách cần tìm

Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa qua  và song song với ' Khi đó khoảng cách cần tìm

là khoảng cách từ một điểm bất kì trên 'đến  P

3 Vị trí tương đối

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 0 0 0

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng

Trang 3

( ) : AxBy Cz  D 0 có vecto pháp tuyến n a ( ; ; )A B C và đường thẳng

0

0 0

đi qua M x y z 0; 0; 0 có vecto chỉ phương u d ( ; ; )a b c

Để xét vị trí tương đối của d và  a , ta sử dụng phương pháp sau:

* Nếu u d và n a cùng phương u d  k n a với k0 thì d( )

* Nếu u n d a 0;u d và n a không cùng phương thì d cắt  a

Vị trí tương đối giữa đường thảng và mặt cầu

Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng và mặt cầu có phương trình lần lượt là

Để xét vị trí tương đối d và  a , ta sử dụng phương pháp sau:

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của  S đến d

Thay (1), (2), (3) vào (4), ta được A x 0atB y 0btC z 0ct D 0 (*)

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm t thì d/ /( )

+) Nếu phương trình (*) có nghiệm t duy nhất thì d cắt  a

+) Nếu phương trình (*) có vô số nghiệm t thì d( )

Trang 4

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng d và mặt phẳng (a) ta giải phương trình (*), sau đó thay giá

trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x,y,z)

Phương pháp đại số

Thay x, y, z từ phương trình tham số của d vào phương trình (S), khi đó ta được phương trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm của (d) và (s) theo số nghiệm của phương trình bậc hai theo t

Chú ý: Để tìm điểm chung của đường thẳng và mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau đó thay

giá trị của t vào phương trình tham số của d để tìm (x,y,z)

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn

4 Góc

Góc giữa hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d lần lượt có các vectơ pháp tuyến là 1, 2 u u1, 2

Góc giữa d và 1 d bằng hoặc bù với góc giữa 2 u u 1, 2

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu '

d của nó trên (a)

Trang 5

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng

Bài toán 1 Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng

Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA2i 3j5 ;k OB 2j4k Tìm một vectơ chỉ

phương của đường thẳng AB

• Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B: Một vectơ chỉ phương của d là AB

• Đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0và song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ chỉ phương của  cũng là vectơ chỉ phương của d

• Đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0 và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d  (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng là vectơ chỉ phương của d

Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q)

Cách 1: Tìm một điểm và một vectơ chỉ phương

- Tìm toạ độ một điểm A d bằng cách giải hệ phương trình mặt phẳng của (P), (Q) với việc chọn giá

trị cho một ẩn

- Tìm một vectơ chỉ phương của d a:  n n p, Q

Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

• Đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0và vuông góc với hai đường thẳng d d Vì 1, 2 d d d1, d2

nên một vectơ chỉ phương của d là:

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) có phương trình

3x4y7z 2 0 Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là

Gọi u là vectơ chỉ phương của đường thẳng ( ) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) :P n p (3; 4;7)

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u d

Do đường thẳng d song song với (P) và (Q) nên

Ví dụ 4 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4;-1), B (2;4;3), C (2;2;-1) Phương trình

tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với BC là

Do  song song với BC nên một vectơ chỉ phương của  là u (0;1; 2)

Vậy phương trình tham số của đường thẳng  là

14

Gọi u là một vectơ chỉ phương của  thì un1 và u n2

Suy ra u cùng phương với [ ,n n Chọn 1 2] u(1;1; 1)

Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;1;-1), B (-2;3;1) và C (0;-1; 3) Gọi d là

đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Phương trình đường thẳng d là

Ví dụ 7 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;2;3), N (3;4;5) và mặt phẳng P :x2y3z140

.Gọi là đường thẳng thay đổi nằm trong mặt phẳng (P), các điểm H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N trên Biết rằng khi MH = NK thì trung điểm của HK luôn thuộc một đường thẳng d cố định, phương trình của đường thẳng d là

Gọi I là trung điểm của HK

Do MH = NK nên HMI  KNI IM IN Khi đó I thuộc mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của

đoạn MN

Ta có (Q) đi qua trung điểm của MN là điểm J (2;3;4) và nhận 1 (1;1;1)

2

n MN  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là Q :x   y z 9 0

Trang 10

Chọn A

Ví dụ 8 Trong không gian Oxyz, cho điểm E (1;1;1), mặt cầu 2 2 2

( ) :S x y z 4 và mặt phẳng

 P :x3y5z 3 0 Gọi  là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm A, B sao

cho OAB là tam giác đều Phương trình tham số của  là

Mặt cầu  S có tâm O(0;0;0) và bán kính R = 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB

Ta có OAB là tam giác đều cạnh R nên 3 3

Chọn c = -1 thì b = -1 và a = 2 Ta được một vectơ chỉ phương của  là u(2; 1; 1) 

Vậy phương trình của đường thẳng là

1 211

Trang 11

Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng 0  Khi đóH ,M H0 u Khi đó

đường thẳng d là đường thẳng đi qua M ,H 0

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với d (Q) là mặt phẳng đi qua 0 M và chứa d Khi 0

đó d( )P ( )Q

• Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M0x y z0; 0; 0và cắt hai đường thẳng d d 1, 2

Cách 1: Gọi M1 d1 d,M2d2d Suy raM M M , thẳng hàng Từ đó tìm được 0, 1, 2 M M và suy 1, 2

ra phương trình đường thẳng d

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d1; Q là mặt phẳng đi qua M và chứa 0 d Khi đó 2

d P  Q Do đó một vectơ chỉ phương của d có thể chọn là u n n p, Q

• Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d d : Tìm các giao 1, 2điểmA d1 ( ),P Bd2( )P Khi đó d chính là đường thẳng AB

• Đường thẳng d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d d : Viết phương trình mặt phẳng (P) 1, 2song song với  và chứa d mặt phẳng (Q) song song với 1  và chứa d Khi đó 2 d( )P ( )Q

• Đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d d chéo nhau: 1, 2

Cách làm: Gọi Md1, Nd2 Từ điều kiện 1

Đường thẳng d có phương trình tham số là

Trang 14

Hướng dẫn giải

Ta có N   d N( 2 2 ;1  t t;1t)

A là trung điểm của MNM(4 2 ;5 t t;3t)

Mà M( )P nên tọa độ M thỏa phương trình (P), ta được:

Ví dụ 6: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(-3;3; -3) thuộc mặt phẳng

( ) : 2 x2y z 150 và mặt cầu( ) : (S x2)2 (y 3)2 (z 5)2100 Đường thẳng  qua A, nằm

trên mặt phẳng (a ) cắt (S) tại M, N Để độ dài MN lớn nhất thì phương trình đường thẳng là

Mặt cầu (S) có tâm I (2;3;5), bán kính R = 10 Mặt phẳng (a ) có vectơ pháp tuyến n(2; 2;1)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên I và mặt phẳng ( a ).IK ( ) nên phương trình

đường thẳng IK đi qua I và vuông góc với mặt phẳng  a là

2 2

3 25

Phương trình mặt phẳng P qua A và vuông góc với  là:2x   y z 2 0

Gọi H là giao điểm của (P) và  H(2; 4; 2)

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường phân giác , suy ra H là trung điểm AA'A(2;5;1)

Do ABC nên đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là

( 2; 2;0) 2( 1;1;0)

Suy ra phương trình của đường thẳng BC là

431

 và hai điểm A(4;-2;4),

B(0;0;-2) Gọi d là đường thẳng song song và cách  một khoảng bằng 5 , gần đường thẳng AB nhất Đường thẳng d cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm nào dưới đây?

Để đường thẳng d thỏa mãn bài toán thì ta có hình vẽ tương ứng:

Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AB và là MN với M (0;-5;1), N (3; 1; 1)

Để d gần đường thẳng AB nhất thì d phải đi qua điểm D nằm trên đoạn MN mà

DN d d   MN  Do đóMN 3DN D (2; 1;1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u d (2; 1;1)

Trang 16

Suy ra phương trình tham số của d là

2 211

 Phương trình nào sau đây là

phương trình tham số của d?

Câu 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x3y z 0

và( ) : x   y z 4 0 Phương trình tham số của đường thẳng d là

Bài tập nâng cao

Câu 14: Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;-1;2), song song với mặt phẳng

 P : 2 x y z 3   0 đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

 nằm trong mặt phẳng (a), vuông góc

với đường thẳng , đồng thời 'cắt mặt cầu (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất

(x3)  (y 2)  (z 5) 36 Gọi  là đường thẳng đi qua A(2; 1; 3), vuông góc với đường thẳng d

và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách lớn nhất Khi đó đường thẳng  có một vectơ chỉ phương là

Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;1;0), B(3;0;2), C(4;3-4)

Phương trình đường phân giác trong của góc A là

x y

y z

Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;2), B(-2;3;1), C(3;-1;4)

Phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

Trang 20

ĐÁP ÁN 1-B 2-B 3-B 4-B 5-B 6-C 7-C 8-C 9-B 10-B

Vectơ chỉ phương của 1 làu1 ( 2;1; 2)

Vectơ chỉ phương của 2 là u2 (1;1; 4)

Vậy góc giữa hai đường thẳng đã cho là 45°

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n( )P (1;0; sin ) 

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là n(Q) (0;1; cos ) 

(d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của (d) là:

Trang 22

Ví dụ 2 Trong không gian Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(1;-1;2), song song với mặt phẳng

( ) : 2P x   y z 3 0 đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

Giả sử đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u d

Do 0 ( , )d  90 mà theo giá thiết d tạo  góc lớn nhất nên( , )d  90 u d u

và mặt phẳng( ) : 2P x y 2z 1 0 Đường thẳng  đi qua E (-2; 1;-2), song song với (P) có một

vectơ chỉ phương u( ; n;1)m đồng thời tạo với d góc bé nhất Tính 2 2

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x1)2y2 (z 2)24 và đường thẳng

Ta gọi B là hình chiếu của M trên đường thẳng d khi đó MB  MA

Suy ra MBmax MA nên đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với MA Đồng thời đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên ta có

Vậy khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất khi d đi qua H Ta có u d AH (2; 2;1)

Suy ra phương trình đường thẳng d là:

2 2

1 22

;

| u u, M

u

M u

Đường thẳng d đi qua điểm M(1;-2;0) và có một vectơ chỉ phương 1 u1 (2; 1;1)

Đường thẳng d đi qua điểm N(1; -1; 2) và có một vectơ chỉ phương 2 u2 (4; 2; 2)

Do u1 cùng phương với u2và Md2 nên d1/ /d 2

Bài tập nâng cao

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) và đường thẳng : 1 5

A d cắt và không vuông góc với  P

B d song song với  P

Thay (1), (2), (3) vào (*) ta được 1 2  t (2 4 ) 2(3t    t) 5 0

Phương trình này có vô số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm trong mặt phẳng  a

( ) : 2P m  m 2 x m 1 y(m2)zm   m 1 0 luôn chứa đường thẳng  cố định khi m thay

đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là?

Hướng dẫn giải

2 m  m 2 x m 1 y(m2)zm     m 1 0, m

Đường thẳng d qua A(1;-1;2) và có vectơ chỉ phương là1 u1(1; 2;1)

Đường thẳngd qua B (-3;-9;-2) và có vectơ chỉ phương là 2  2

u  m

nên B nằm trên đường thẳng d 1

Do đó hai đường thẳng này luôn có điểm chung là B nên hai đường thẳng không thể song song

Tọa độ giao điểm M của d và d' ứng với t và '

t là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 32

Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu  S đến đường thẳng d là

0 ] |( , )

Thế (1) , (2) , (3) vào phương trình  S và rút gọn về phương trình bậc hai theo t (*)

• Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì d không cắt  S

• Nếu phương trình (*) có một nghiệm thì d tiếp xúc  S

• Nếu phương trình (*) có hai nghiệm thì d cắt  S tại hai điểm phân biệt M , N

Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2

Vì hR nên d cắt mặt cầu  S tại hai điểm phân biệt

Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu 2 2 2

(S): x y  (z 2) 17 cắt trục Oz tại hai điểm A, B Tính

độ dài đoạn AB

A (x2)2 (y 3)2 (z 1)216 B x2y2 (z 2)225

| |

MA

AH d

u A

A x y z x  là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S)

có các tiếp điểm B, C, D sao cho ABCD là tứ diện đều

Giá trị của biểu thức P x0 y0z0 là

IBICID nên AI vuông góc với mặt phẳng (BCD) tại O Khi đó O là

tâm đường tròn ngoại tiếp BCD

3

AI x x