BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG MỤC TIÊU Kiến thức - Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng.. Kỹ năng -Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của

Trang 1

BÀI 1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

MỤC TIÊU

Kiến thức

- Nhận biết được vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương của đường thẳng

- Trình bày được cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng

- Trình bày được điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc vuông góc

- Hiểu được các công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng

Kỹ năng

-Viết được phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng dối qua một điểm M x y ( ;0 0)

và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm do trước

- Tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của một đường thẳng và ngược lại

- Biết cách chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng

- Tính được khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Tính được góc giữa hai đường thẳng

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu u0 và giá của u song song hoặc trùng với 

Nhận xét Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

Nếu u là vectơ chỉ phương của  thì ku k 0 cũng là vectơ chỉ phương của 

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu u0 và giá của n vuông góc với 

Nhận xét Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến

Nếu n là vectơ pháp tuyến của  thì kn k 0 cũng là vectơ pháp tuyến của 

Liên hệ giữa vectơ chỉ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

Cho đường thẳng  với uu u i; 2;nn n1; 2;k lần lượt là vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến và hệ

số góc của

Nhận xét 1 u n un 0 u n1, 1u n2, 20

1 Phương trình tham số của đường thẳng

Phương trình tham số của đường thẳng  là 0 1

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương trình tổng quát của đường thẳng  có dạng

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d ax by:   c 0 và a x b y c     0

Góc giữa hai đường thẳng

Góc giữa hai đường thẳng 1 và2, có vectơ pháp tuyến

Trang 3

Chú ý: Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc vuông nên khi tính Côsin của góc giữa hai

đường thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối côsin góc giữa hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến)

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng  2 2 

      được tính theo công thức:

Dạng 1 Xác định các yếu tố của đường thẳng khi biết phương trình đường thẳng

Bài toán 1 Phương trình được cho ở dạng tổng quát

Phương pháp giải

Các vectơ chỉ phương của  là ku k( 0)

Các vectơ pháp tuyến của  là kn k 0

+) Đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0 thỏa mãn ax0by0 c 0

+) Hệ số góc của đường thẳng là k a

b

Ví dụ: Cho đường thẳng : 2x3y 1 0

a) Xác định một vectơ chỉ phương và một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

b) Xác định điểm thuộc đường thẳng có hoành độ là 3

Hướng dẫn giải

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n 2;3

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng u3; 2 

b) Gọi M3; y là điểm thuộc đường thẳng 0  Khi đó ta có: 2.3 3 0 1 0 0 7

a) Xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng có hoành độ là 4

b) Biểu diễn các điểm thuộc đường thẳng có hoành độ là t

c) Xác định điểm trên đường thẳng  cách gốc tọa độ một khoảng bằng 5

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng có một vectơ pháp tuyến là n0(2;1) nên có một vectơ chỉ phương là u0( 1; 2)

Do đó các vectơ chỉ phương của đường thẳng có dạng ku0 ( k; 2 ),k k0 Vậy vectơ chỉ phương cần tìm là 4; 8  

b) Các điểm thuộc đường thẳng : 2x  y 5 0 có hoành độ t là t;5 – 2t 

c) Theo câu b ta có M t ;5 – 2t nên

OM  t   t   t  t   t

Vậy điểm cần tìm là M 2;1

 +) Đường thẳng đi qua điểm M x y 0; 0

+) Với mỗi giá trị của t thay vào phương trình tham số ta được tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng là u(2;3)

Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng là n3; 2

a) Xác định điểm trên trục hoành thuộc đường thẳng

b) Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hoành độ lớn gấp hai lần tung độ

Câu 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng  có phương trình tổng quát là 16x8y20190

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A  có vectơ pháp tuyến là n16,8 B  có vectơ chỉ phương là n   1; 2

Câu 5 Cho tam giác ABC với A     2; 4 ; B 2;1 ;C 3;0 Đường thẳng chứa trung tuyến AM của tam giác

ABC nhận vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương?

Câu 9 Đường thẳng  d có vectơ pháp tuyến n  a b, Mệnh đề nào sau đây sai?

A u1( ;b a ) là vectơ chỉ phương của  d

B u2  ( b a; ) là vectơ chỉ phương của  d

C n (ka kb k; ), 0 là vectơ pháp tuyến của  d

5 5

 

Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A 2;1 và đường thẳng :x2y 5 0 Điểm M

thuộc đường thẳng  sao cho AM  10 là

A M11; 2 , M2 4;3 B M11; 2 , M2 3; 4

C M1 1; 2 ,M2 3; 4 D M1 1; 2 ,M2 4;3

Trang 7

Bài tập nâng cao

Câu 12 Cho hai điểm A1; 2 ,   B 3;1 và đường thẳng : 1

 Tọa độ điểm C thuộc  để tam

giác ACB cận tại C là

Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A  1; 2 ,B 4; 2 ,  C 3;5 Một vectơ chỉ

phương của đường phân giác trong của góc A là

Trang 8

Cách 1 Ta có AB(3; 4), AC ( 4;3)|AB| | AC|

Suy ra  ABC là tam giác cân tại A

Gọi M là trung điểm của BC khi đó AM là vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc A

a b (theo giá thiết ta có a >0, b >0)

Do d đi qua M (4; 1) nên ta có 4 1 1

b a

b a

+) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng  làu( ; )a b

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng  là 0

Ví dụ 1 Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua A1; 2  và nhận u  1;0 làm vectơ chỉ phương

b) d đi qua hai điểm M3;1  và 2 2   

c) d đối xứng với d' :x2y160 qua l1 3 

d) d đi qua điểm B4; 3  và song song với đường thẳng : 2 3 ( )

a) Ta có A1; 2 d và u  1;0 là vectơ chỉ phương của d

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là 3 5 ( )

Vì u  1;0 là vectơ chỉ phương của d nên d không có phương trình chính tắc

b) Ta có MN 5; 3  là vectơ chỉ phương của d và M3;1d

Khi đó, phương trình tham số của đường thẳng d là 3 5 ( )

 cũng là vectơ chỉ phương của d vì d / / ' d 

Vì B4; 3  d nên phương trình tham số của đường thẳng d là

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A2;1 ,  B 1; 5   và C 2,3

a) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN của ABC

c) Viết phương trình đường thẳng AD là đường phân giác trong góc A của ABC D BC

d) Viết phương trình đường thẳng DG với G là trọng tâm của ABC

Hướng dẫn giải

a) Ta có AB3; 6  nên chọn u AB  (1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là 2 ( )

Ta có AC 4; 2 nên chọn U AC (2;1) là vectơ chỉ phương của AC

Vậy phương trình tham số của đường thẳng AC là 2 2 ( )

Ta có BC 1;8 là vectơ chỉ phương của BC

Vậy phương trình tham số của đường thẳng BC là 1 ( )

Ta có N 0; 2 là trung điểm của ACBN  ( 1; 7) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BN

Vậy phương trình đường trung tuyến BN là ( )

8 15

   nên chọn u AD (3; 1) là vectơ chỉ phương của AD

Vậy phương trình đường phân giác trong AD của ABC là 2 3 ( )

    nên chọn u DG (19; 2) là vectơ chỉ phương của DG

Vậy phương trình đường thẳng DG là

1193

123

Ta có AB 2;3 là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AB là 3 2 ( )

Ta có BC(5;0) nên chọn u BC (1;0) là vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là 1 ( )

2

t y

Vì AB/ /CD (ABCD là hình bình hành) nên AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng CD

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 4 2 ( )

Ta có AD/ /BC ABCD ( là hình bình hành) nên u BC là vectơ chỉ phương của đường thẳng AD

Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh AD là 3 ( )

1

t y

+) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là n( ; )A B

Khi đó, phương trình tổng quát của đường thẳng  là A x x0B y y00

Nếu đường thẳng  cắt trục Ox tại A a ;0 và cắt trục Oy tại điểm B 0;b thì đường thẳng  có phương trình đoạn chắn là x y 1( a b 0)

a b 

Ví dụ:

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M 1; 4 và nhận n(5; 1) làm vectơ pháp tuyến là 5x 1 y 4 0 hay x 5   y 1 0

Ví dụ 1 Lập phương trình tổng quát của đường thẳng d biết

a) d đi qua điểm A2;1 và nhận n 1 3 là một vectơ pháp tuyến

b) d đi qua điểm B0; 1  và có hệ số góc 1

2

k 

c) d đi qua điểm C 3; 2 và song song với đường thẳng d: 2x  y 7 0

d) d đi qua điểm D 2; 2 và vuông góc với đường thẳng : 6 ( )

a) Ta có A2;1d và n1; 3  là vectơ pháp tuyến của d

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là x 2 3y 1 0 hay x3y 5 0

b) Ta có 1 1; 1

k   n   

  là vectơ pháp tuyến của d

Khi đó ta chọn n1; 2  là vectơ pháp tuyến của d

Lại có B0; 1  d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là

c) Vì d song song với đường thẳng d' : 2x  y 7 0 nên n d n d' (2; 1) là vectơ pháp tuyến của d'

Lại có C 3;2 d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là

Lại có D  2; 2 d nên phương trình tổng quát của đường thẳng d là

(x 2) 2(y 2) 0 hay x 2y 2 0

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có A2;3 ,  B 2; 1   và C 4; 1 

a) Viết phương trình đường thẳng chứa các đường cao của ABC Tìm tọa độ trực tâm của ABC

b) Viết phương trình các đường trung trực của ABC Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của

ABC



c) Viết phương trình đường thẳng chứa các cạnh của ABC

d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC

Hướng dẫn giải

Trang 14

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

+ Ta có AB4; 4  là vectơ pháp tuyến của đường cao CH (vì ABCH)

Chọn n CH 1; 1  là vectơ pháp tuyến của CH

Với C 4; 1 : CH thì phương trình đường cao CH là x 4 y 1 0 hay x  y 3 0

+) Ta có AC   2; 4 là vectơ pháp tuyến của đường cao BH (vì ACBH)

Chọn n BH (1; 2) là vectơ pháp tuyến của BH

Với B(2; 1) BH thì phương trình đường cao BH là x– 2 2 y 1 0 hay x2y0

+) Ta có BC  6;0 là vectơ pháp tuyến của đường cao AH (vì BCAH)

Chọn n AH (1;0) là vectơ pháp tuyến của AH

Với A( 2;3) AH thì phương trình đường cao AH là x 2 0

+) Ta có H AHCH nên tọa độ trực tâm H là nghiệm của hệ phương trình

b) +) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận BC làm vectơ pháp tuyến

Ta có M 1; 1 là trung điểm của BC và BC  6;0 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của

đoạn thẳng BC hay n 1;0 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của BC Vậy phương trình đường trung trực của BC là x 1 0

+) Đường trung trực của đoạn thẳng AC đi qua trung điểm AC và nhận AC làm vectơ pháp tuyến

Ta có N3;1 là trung điểm của AC và AC   2; 4 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của

AC hay n' 1; 2 là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AC

Vậy phương trình đường trung trực của AC là

+) Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm AB và nhận AB làm vectơ pháp tuyến

Ta có P 0;1 là trung điểm của AB và AB4; 4  là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB

hay n''1; 1  là vectơ pháp tuyến của đường trung trực của AB

Vậy phương trình đường trung trực của AB là

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp của ABC là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp ABC là nghiệm của hệ phương trình

Vậy l1; 0 là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

c) +) Ta có AB4; 4  là vectơ chỉ phương của ABn AB (1;1) là vectơ pháp tuyến của AB

Với A( 2;3) AB thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AB là

Trang 15

+) Ta có AC   2; 4 là vectơ chỉ phương của ACn AC (2;1) là vectơ pháp tuyến của AC

Với A( 2;3) AC thì phương trình tổng quát của đường thẳng chứa cạnh AC là

2 x   2 y 3 0 hay x 2   y 1 0

+) Ta có BC  6;0 là vectơ chỉ phương của BCn BC (0;1) là vectơ pháp tuyến của BC

Với C  4; 1 BC thì phương trình tổng quát chứa cạnh BC là

0 x   4 y 1 0 hay y 1 0

d) Đường thẳng qua A2;3 và song song với BC sẽ nhận n BC (0;1) làm vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán là

 Phương trình nào sau đây là phương

trình tổng quát của đường thẳng d?

Ta Có M (2;-3) là trung điểm của AB và AB(2; 4)   2 (1; 2)

Gọi d là đường thẳng trung trực của AB thì d qua M (2;-3) và nhận u(2;1) làm vectơ chỉ phương nên

Gọi AH là đường cao của tam giác

AH đi qua A (2;-1) và nhận BC    ( 7; 3) (7;3) làm vectơ pháp tuyến

Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là 7(x 2) 3(y  1) 0 7x3y 11 0

BM qua B (0;2) và nhận n(5; 3) làm vectơ pháp tuyến

Vậy đường trung tuyến BM có phương trình là 5x3(y2) 0 5x3y 6 0

Với mọi điểm N thì|NP NQ | | PQ| | HP HQ | |NP NQ |max|PQ|

Dấu bằng xảy ra khi N trùng H (-2;-19)

Dạng 3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

C Vuông góc nhau D Cắt nhau nhưng không vuông góc

Hướng dẫn giải

 vô nghiệm nên hai đường thẳng đã cho song song

Cách 2 Đường thẳng A có vectơ pháp tuyến 1 n1 (1; 2) và 2 và A, có vectơ pháp tuyến

2 ( 3;6)

Hai đường thẳng  2, 1 có n2  3 và 1n1  1 nên hai đường thẳng này song song

Cho đường thẳng 1 có vectơ pháp tuyến n và đường thẳng1 2 có vectơ pháp tuyến n 2

Khi đó:

+) n1kn k2;  và có một điểm chung (hoặc c c1kc2 ) thì hai đường thẳng trùng nhau

+) n1kn k2;  và lấy một điểm bất kì của 1 không thuộc 2 thì hai đường thẳng song song (hoặc c1ck2 )

+) n1kn2; k thì hai đường thẳng cắt nhau: Trong trường hợp hai đường thẳng cắt nhau nếu

Ví dụ 5 Cho hai đường thẳng d1:m1x2m 2 0 và

x y

D D

m m m

m

m m

+ Nếu D0 và D x 0 (hoặc D y 0) thì hệ vô nghiệm

+ Nếu DD x D y 0 thì hệ vô nghiệm

Ví dụ 6: Hai đường thẳng d mx1:   y m 1,d2:x my 2 song song khi và chỉ khi

b) Biện luận vị trí tương đối của d với d2: 2m1x  y 2 0 theo m

c) Trong trường hợp d cắt d 3 tại B, tìm quỹ tích điểm B khi m thay đổi

x

y

D x

D y

0

2

m D

1 2

22

m x

x m

m y

y m

a) Tìm mối quan hệ giữa a và b để d 1 và d 2 cắt nhau

b) Tìm điều kiện giữa a và b để d 1 và d 2 cắt nhau tại một điểm thuộc trục hoành

 thì d 1 cắt d 2 tại điểm thuộc trục hoành

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng

  C 3; 2 D Không có giao điểm

Câu 3 Cho hai đường thẳng d và d' biết d: 2x  y 8 0 và : 1 2

 Biết I a b là tọa độ giao  ,

điểm của d và d' Khi đó tổng a b bằng

Câu 4 Cho đường thẳng d1: 2x  y 15 0 và d2:x2y 3 0 Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 5 Cho bốn điểm A    1; 2 , B 4;0 , C 1 3 ,  D 7; 7  Vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và

CD là

Câu 6 Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳngd y: 2 –1x ?

Câu 14 Cho tam giác ABC với A  1;3 , B 2; 4 ,   C 5 và đường thẳngd: 2x3y 6 0 Đường

thẳng d cắt cạnh nào của tam giác ABC ?