CÁC DẠNG TOÁN VỀ LIÊN PHÂN SỐ

Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các sốhạng của một dãy số là một ví dụ.. Ngoài việcMTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính

Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt hơn các MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính các số

hạng của một dãy số là một ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lýmột quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác Ngoài việcMTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học

mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán về các tính chấtcủa dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổngquát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy từ đó giúp cho việc pháthiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo Việc biết cách lập

ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinhnhững kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.Sau đây là một số quy trình tính số hạng của một số dạng dãy sốthường gặp trong chương trình, trong ngoại khoá và thi giải Toán bằngMTBT:

I.DÃY TRUY HỒI

Dạng 1 Dãy Fibonacci

.1.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ

mỗi tháng để được một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng laisinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗi tháng lại sinh ra một đôi thỏ conkhác v.v… và giả sử tất cả các con thỏ đều sống

Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì

đẻ đôi thỏ đầu tiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?

Giải

- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.

- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2 Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2.

- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được Vậy có

2 đôi thỏ trong tháng 3

- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2,đôi thỏ số 3 chưa đẻ Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …

Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)

Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.

Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh.

.1.3 Các tính chất của dãy Fibonacci:

hai tính chất này mà có thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonaccibằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử không thể tính

được (kết quả không hiển thị được trên màn hình) Các tính chất từ 3

đến 7 có tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài toán có

liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8

giúp tìm các số hạng không chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của

các dãy biến thể của Fibonacci có tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng

nào đó Dạng toán này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực

1.4 Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử

Tính theo công thức tổng quát

Ta có công thưc tổng quát của dãy:

Trong công thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta

dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 1 

b/ c

1 a 5 ( ( ( 1 5 ) 2 ) ) ^ Ans ( ( 1  5 ) 2 ) ) ^ Ans ) Muốn tính n = 10 ta ấn 10  , rồi dùng phím  một lần để chọn lại

Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B

ALPHA A SHIFT STO A

Dạng 2 Dãy Lucas

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n  2 a, b là hai sốtùy ý nào đó)

Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1

thì dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci

 -> lấy u4+ u3 = u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta  một lần và  cứliêntụcnhư vậy n – 5 lần

Cách 2:Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

a → A -> Gán a vào ô nhớ A (U1)

Lặp lại các phím:  ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

8 → A -> Gán 8 vào ô nhớ A (U1)

Dạng.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1(với n  2 a, b là hai sốtùy ý nào đó)

# SHIFT #  Đưa 2 DL vào quy trình lặp rồi ấn dấu  n – 4 lần và đọc kết

Ví dụ1: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n  2) Lập qui trìnhbấm phím liên tục để tính un+1?

Giải

Dạng.4 Dãy phi tuyến dạng1

Cho Cho u1 = a, u2 = b, un 1 u2nu2n 1 (với n  2).

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím:

b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

2 a 2 SHIFT STO B

x x > lấy u2+ u1 = u3 (u3 = b2+a2) gán vào B

Lặp lại các phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u3 + u2 = u4 gán vào A

2  ALPHA B 2 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: x2  ALPHA A x2 SHIFT STO A

2  ALPHA B 2 SHIFT STO B

563097750000 + 598385209= 563 696 135209

Dạng.5 Dãy phi tuyến dạng 2

Cho Cho u1 = a, u2 = b, un 1  A u2n  B u2n 1 (với n  2)

Bây giờ muốn tính un ta  một lần và  , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, un 1 3u2n2u2n 1 (n  2) Lập qui trìnhbấm phím liên tục để tính un+1?

Ấn các phím:

1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A

2 SHIFT STO B > gán u3 = 2 vào biến nhớ B

ALPHA A  ALPHA B 1 SHIFT STO C tính u4 đưavào CLặp lại các phím:

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B

ALPHA A  ALPHA B 1 SHIFT STO C

ALPHA B ALPHA A SHIFT STO A

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím:

b SHIFT STO A -> gán u2 = b vào biến nhớ A

ALPHA X 1 SHIFT STO X

Dạng 8 Dãy phi tuyến dạng

( ( 5 ALPHA B 1 ) a 3 ) ( ALPHA A x  2 ) a 5 ) SHIFT STO A

( ( 5 ALPHA A 1 ) a 3 ) ( ALPHA B x  2 ) a 5 ) SHIFT STO B

Dạng.9 Dãy Fibonacci tổng quát

Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất

(thao tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp

dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót

thứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểudiễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnhhưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải.

Ví dụ: Cho u1 = a, u2 = b, un 1 Au2nBu2n 1 (với n  2)

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím:

a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A

b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B

Bây giờ muốn tính un ta  một lần và  , cứ liên tục như vậy n – 4 lần

Nhận xét:  Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều

làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao Chẳng hạn vớicách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn   liên tục n – 5lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần

 Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi

ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn,tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được côngthức truy hồi của dãy các dãy số

 Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máytính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hếtcác kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này

II/ Lập quy trình tính số hạng của dãy số:

1) Dãy số cho bởi công thức số hạng tổng quát:

trong đó f(n) là biểu thức của n cho trước

Cách lập quy trình:

- Ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A : 1 SHIFT STO A

- Lập công thức tính f(A) và gán giá trị ô nhớ : A = A + 1

- Lặp dấu bằng: = = .

Giải thích:

1 SHIFT STO A : ghi giá trị n = 1 vào ô nhớ A f(A) : A = A + 1 : tính un = f(n) tại giá trị A (khi bấm dấubằng thứ lần nhất) và thực hiện gán giá trị ô nhớ A thêm 1 đơn vị: A

= A + 1 (khi bấm dấu bằng lần thứ hai)

* Công thức được lặp lại mỗi khi ấn dấu =

Ví dụ 1: Tính 10 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

- Lặp lại phím: = = .

- Khi bấm: a = màn hình hiện u1 = a và lưu kết quả này

- Khi nhập biểu thức f(un) bởi phím ANS , bấm dấu = lần thứnhất máy sẽ thực hiện tính u2 = f(u1) và lại lưu kết quả này

- Tiếp tục bấm dấu = ta lần lượt được các số hạng của dãy số u3,

u4

Ví dụ 1: Tìm 20 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

1 1

n

u u

3 1

Vậy n = 4 là số tự nhiên nhỏ nhất để u 4 = 3 là số nguyên.

3) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi dạng:

Bấm phím:b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B

Và lặp lại dãy phím:

 A + ANPHA A  B + C SHIFT STO A

 A + ANPHA B  B + C SHIFT STO B

Giải thích: Sau khi thực hiện

b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B

trong ô nhớ A là u 2 = b,

máy tính tổng u 3 := Ab + Ba + C = Au 2 + Bu 1 + C và đẩy vào trong ô nhớ B , trên màn hình là: u 3 : = Au 2 + Bu 1 + C

Sau khi thực hiện:  A + ANPHA A  B + C SHIFT STO A

máy tính tổng u 4 := Au 3 + Bu 2 + C và đưa vào ô nhớ A Như vậy khi

đó ta có u4 trên màn hình và trong ô nhớ A (trong ô nhớ B vẫn là

u3)

Sau khi thực hiện:  A + ANPHA B  B + C SHIFT STO B

máy tính tổng u 5 := Au 4 + Bu 3 + C và đưa vào ô nhớ B Như vậy khi

đó ta có u5 trên màn hình và trong ô nhớ B (trong ô nhớ A vẫn là

u4)

Tiếp tục vòng lặp ta được dãy số u n+2 = Au n+1 + Bu n + C

*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta có thể sử dụng chức

năng COPY để lập lại dãy lặp bởi quy trình sau (giảm được 10 lần bấmphím mỗi khi tìm một số hạng của dãy số), thực hiện quy trình sau:

Bấm phím:b SHIFT STO A  A + B  a + C SHIFT STO B

 A + ANPHA A  B + C SHIFT STO A

 A + ANPHA B  B + C SHIFT STO B

SHIFT COPY



- Thực hiện quy trình:

2 SHIFT STO A  3 + 4  1 + 5 SHIFT STO B

 3 + ANPHA A  4 + 5 SHIFT STO A

 3 + ANPHA B  4 + 5 SHIFT STO B

ta cũng được kết quả như trên.

4) Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:

* Thuật toán để lập quy trình tính số hạng của dãy:

- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n

B : chứa giá trị của u n

C : chứa giá trị của u n+1

Ví dụ : Cho dãy số được xác định bởi:

- Tìm quy luật cho dãy số, dự đoán công thức số hạng tổng quát

- Chứng minh công thức tìm được bằng quy nạp

Ví dụ 1: Tìm a2004 biết:

Giải:

- Trước hết ta tính một số số hạng đầu của dãy (an), quy trình sau:

1 SHIFT STO A 0 SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + 1 )

 ( ( ANPHA A + 2 ) ( ANPHA A + 3 ) ) ( ANPHA B + 1 ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =ANPHA A + 1 ANPHA : ANPHA B

a4 = 27 3.9

50 5.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1) đúng

 2004

2003.400920050

Ví dụ 2 : Xét dãy số:

Chứng minh rằng số A = 4an.an+2 + 1 là số chính phương

Giải:

- Tính một số số hạng đầu của dãy (an) bằng quy trình:

3 SHIFT STO A  2 - 1 + 1 SHIFT STO

B

 2 - ANPHA A + 1 SHIFT STO A

 2 - ANPHA B + 1 SHIFT STO B SHIFT COPY

2

a     dự đoán công thức số hạng tổng quát:

3

3(3 1)6

n

n n

4(4 1)10

2

a   

5

5(5 1)15

Bằng phương pháp quy nạp ta cũng dễ dàng chứng minh được (*)

2) Dự đoán giới hạn của dãy số:

2.1 Xét tính hội tụ của dãy số:

Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính được nhiều số hạngcủa dãy số một cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm các số hạng củadãy số sẽ giúp cho ta trực quan tốt về sự hội tụ của dãy số, từ đó hìnhthành nên cách giải của bài toán

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của dãy số (an):

1 SHIFT STO A

sin ( ANPHA A )  ( ANPHA A + 1 )

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + 1

Dựa vào sự biểu diễn trên giúp cho ta rút ra nhận xét khi n càng

lớn thì an càng gần 0 (an 0) và đó chính là bản chất của dãy hội tụ đến

số 0

2.2 Dự đoán giới hạn của dãy số:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng dãy số (un), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi:

Giải:

- Thực hiện quy trình:

2 = ( 2 + ANS )

Dựa vào kết quả trên ta nhận xét được:

1) Dãy số (u n ) là dãy tăng

2) Dự đoán giới hạn của dãy số bằng 2

Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được dãy số (un) tăng

và bị chặn  dãy (un) có giới hạn

+ Gọi giới hạn đó là a: limu n = a Lấy giới hạn hai vế của công

thức truy hồi xác định dãy số (un) ta được:

limu n = lim( 2u n ) hay a = 2 a 2

0

22

Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, 3 ) xác định bởi:

ta đều nhậ được kếtquả là 0.

 dự đoán giới hạn của dãy số bằng

2



.

Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phương pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh được xn (0 ;

2

)

và dãy (xn) không giảm  dãy (xn) có giới hạn

2

