Một số khái niệm cơ bản của dãy số và dãy hàm
Một số khái niệm của dãy số
Dãy số là một ánh xạ a:NẹR được ký hiệu là pa n q, hoặc a1, a2, , an, Trong bài viết này, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu pa n q Dãy số pa n q được coi là có giới hạn LPR nếu với mọi ε > 0, tồn tại một điều kiện nhất định.
N “Npεq PNsao cho với mọi něN ta có
Ta ký hiệu lim nẹ8a n “L, hoặc a n ẹL khin ẹ 8.
Nếu dãy số \( p_n \) hội tụ đến giới hạn \( L \), thì nó được gọi là dãy hội tụ; ngược lại, nếu không hội tụ, dãy được xem là phân kỳ Định lý 1.3, hay còn gọi là định lý hội tụ đơn điệu, áp dụng cho dãy số \( p_n \).
1 Nếu pa n q tăng và bị chặn trên thì pa n q hội tụ, và hơn nữa ta có nẹ8lim a n “supta n :n PNu.
2 Nếu pa n q giảm và bị chặn dưới thì pa n q hội tụ, và hơn nữa ta có nẹ8lim a n “infta n :nPNu. Định nghĩa 1.4 (Dãy Cauchy, [1]) Dãy số pa n q được gọi là dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu với mọi εą0, tồn tại N “Npεq PN sao cho với mọiměněN ta có
|a m ´a n | ăε. Định lý 1.5 ([1]) Dãy pa n qhội tụ khi và chỉ khi pa n qlà dãy Cauchy.
Một số khái niệm của dãy hàm
Dãy hàm tf n pxqu xác định trên tập A được gọi là hội tụ điểm đến hàm số fpxq trên A nếu với mọi ε > 0 và mọi x thuộc A, tồn tại một số tự nhiên N sao cho khi n lớn hơn N, giá trị của dãy hàm tf n pxqu gần với giá trị của hàm fpxq trong khoảng ε.
N “Npε, xq PN sao cho với mọi něN ta có ˇ ˇfnpxq ´fpxqˇ ˇăε.
Hội tụ đều của dãy hàm tf n(pxq) trên tập A được định nghĩa là dãy này hội tụ đến hàm số f(pxq) nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số tự nhiên N(ε) sao cho với mọi n ≥ N và mọi x thuộc A, ta có |fn(pxq) - f(pxq)| ≤ ε.
Từ hai định nghĩa đã nêu, ta có thể rút ra nhận xét quan trọng rằng nếu dãy hàm \( t_n(x) \) hội tụ đều đến hàm số \( f(x) \) trên tập \( A \), thì \( t_n(x) \) cũng hội tụ điểm đến hàm số \( f(x) \) trên \( A \) Theo định lý 1.9, dãy hàm \( t_n(x) \) xác định trên \( A \subset \mathbb{R} \) hội tụ đều đến hàm số \( f(x) \) khi và chỉ khi giới hạn sup của \( |f_n(x) - f(x)| \) khi \( n \) tiến đến vô cực bằng 0 Hơn nữa, định lý 1.10 khẳng định rằng dãy hàm \( t_n(x) \) hội tụ đều đến \( f(x) \) trên \( A \) nếu và chỉ nếu với mọi \( \epsilon > 0 \), tồn tại \( N(\epsilon) \) sao cho với mọi \( m \geq N \) và mọi \( x \in A \), ta có \( |f_m(x) - f_n(x)| < \epsilon \).
Dãy hàm \( f_n(x) \) xác định trên tập hợp \( A \subset \mathbb{R} \) hội tụ điểm đến hàm số \( f(x) \) trên \( A \) khi và chỉ khi với mọi \( \epsilon > 0 \) và mọi \( x \in A \), tồn tại \( N(\epsilon, x) \in \mathbb{N} \) sao cho với mọi \( n \geq N \), ta có \( |f_n(x) - f(x)| < \epsilon \) Nếu dãy hàm \( f_n(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 \in A \) và hội tụ đều đến hàm số \( f(x) \) trên \( A \), thì hàm số \( f(x) \) cũng liên tục tại điểm \( x_0 \).
Nhận xét 1.13 Từ định lý trên ta suy ra nếu tf n pxquliên tục trên A và tf n pxqu hội tụ đều đến fpxq trên A thì fpxqliên tục trên A.
Một số khái niệm và tính chất của chuỗi số
Một số khái niệm của chuỗi số
Định nghĩa 1.14 ([2]) Cho dãy số thựctanu Một tổng có dạng a1`a2` ¨ ¨ ¨ `an` ¨ ¨ ¨ được gọi là một chuỗi số Chuỗi số được ký hiệu là a 1 `a 2 ` ¨ ¨ ¨ `a n ` ¨ ¨ ¨ “
Trong toán học, một chuỗi số được định nghĩa là tập hợp các số hạng, ký hiệu là a1, a2, , an, trong đó an là số hạng thứ n Một chuỗi được coi là xác định khi mỗi số hạng của nó có thể được biểu diễn như một hàm số phụ thuộc vào n, ký hiệu là an = f(n).
Ví dụ 1.1 Xét dãy số ta n u với a n “ 1 npn`1q Khi đó ta nhận được chuỗi số
8 ÿ n“1 a n “ 1 1.2 ` 1 2.3 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 npn`1q ` ¨ ¨ ¨ Định nghĩa 1.15 Xét chuỗi số (1.1) Ta đặt
Dãy tổng riêng thứ n của chuỗi số được ký hiệu là S_n, với S_n = a_1 + a_2 + + a_n Định nghĩa này cho thấy S_n là tổng của n số hạng đầu tiên trong chuỗi số đã cho.
• Nếu dãy sốtS n u hội tụ về số thựcS thì ta nói chuỗi số (1.1)hội tụvà có tổng là
• Nếu dãy số tS n u phân kỳ thì ta nói chuỗi số (1.1) phân kỳ(hay không hội tụ).
Ví dụ 1.2 ([2]) Xét chuỗi số
1 npn`1q Ta tính được S n “ 1´ 1 n`1, do đó nẹ8lim S n “1 Vậy chuỗi đó cho hội tụ và cú tổng bằng 1.
Một số tính chất cơ bản của chuỗi số
Tính chất 1.1 Nếu chuỗi số
8 ÿ n“1 u n hội tụ có tổng là S, chuỗi số
8 ÿ n“1 v n hội tụ có tổng là S 1 thì các chuỗi
8 ÿ n“1 pu n `v n qcũng hội tụ và có tổng là S`S 1
Chứng minh Gọi Sn và S n 1 lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số
8 ÿ n“1 vn Khi đó lim nẹ8Sn “S và lim nẹ8S n 1 “S Suy ra lim nẹ8pSn`S n 1 q “S`S 1
Ta có điều phải chứng minh.
Tính chất 1.2 Nếu chuỗi số
8 ÿ n“1 u n hội tụ có tổng làS thì chuỗi số
8 ÿ n“1 ku n cũng hội tụ và có tổng là kS.
Chứng minh Gọi S n là tổng riêng thứ n của chuỗi số
Ta có nẹ8lim kS n “k lim nẹ8S n “kS.
Ta có điều phải chứng minh.
Tính hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số sẽ không bị ảnh hưởng khi chúng ta loại bỏ một số hữu hạn các số hạng đầu tiên trong chuỗi.
Chứng minh Nếu bớt đi từ
8 ÿ n“1 u n m số hạng đầu tiên, ta được chuỗi số
Gọi S n và S k 1 lần lượt là các tổng riêng thứ n và thứ k của các chuỗi số
8 ÿ n“1 u n hội tụ ủS m`k ẹS khi m`k ẹ 8 ủS k 1 ẹS´S m khik ẹ 8
8 ÿ n“1 u n phõn kỳ Suy ra S m`k khụng cú giới hạn khi k ẹ 8 và do
S m hữu hạn Do đúS k 1 khụng cú giới hạn khik ẹ 8.
Chứng minh Gọi Sn và S n 1 lần lượt là các tổng riêng thứ n của các chuỗi số
8 ÿ n“1 vn Khi đó nẹ8lim S n “S và lim nẹ8S n 1 “S.
Suy ra lim nẹ8pS n `S n 1 q “S`S 1
Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 1.3 Xét sự hội tụ của chuỗi số
Bài giải Chuỗi này suy ra từ chuỗi điều hòa bằng cách ngắt bỏ đi 3 số hạng dầu tiên.
Mà chuỗi điều hòa phân kỳ nên chuỗi
Một số khái niệm và tính chất của chuỗi hàm
Một số khái niệm của chuỗi hàm
Định nghĩa 1.17 ([2]) Cho dãy hàm tu n pxqu xác định trên DĂ R Khi đó tổng có dạng
8 ÿ n“1 u n pxq “ u 1 pxq `u 2 pxq ` ¨ ¨ ¨ `u n pxq ` ¨ ¨ ¨ (1.2) được gọi là một chuỗi hàm xác định trên D.
Khi cố định x“x 0 PD thì ta nhận được chuỗi số
Nếu chuỗi số (1.3) hội tụ, thì x 0 được gọi là điểm hội tụ của chuỗi hàm (1.2) Ngược lại, nếu chuỗi phân kỳ, x 0 sẽ là điểm phân kỳ Tập hợp tất cả các điểm hội tụ và phân kỳ được gọi là miền hội tụ và miền phân kỳ của chuỗi hàm (1.2).
Khi đó ta nhận được dãy hàmtS n pxquvà dãy hàm này được gọi làdãy hàm tổng riêng thứ n của chuỗi hàm (1.2).
Tương tự như chuỗi số, sự hội tụ của chuỗi hàm cũng rất quan trọng Sự hội tụ này được định nghĩa dựa trên dãy hàm tổng riêng thứ n Cụ thể, xét chuỗi hàm (1.2) với dãy tổng riêng thứ n là tSn(pxqu).
1 Nếu tS n pxqu hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D Ă R thì ta nói chuỗi hàm (1.2) hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D, và được ký hiệu là
2 Nếu tS n pxquhội tụ đều đến hàm SpxqtrênDĂRthì ta nói chuỗi hàm (1.2) hội tụ đều đến hàm Spxqtrên D, và được ký hiệu là
Trong trường hợp chuỗi hàm
8 ÿ n“1 u n pxq hội tụ điểm đến hàm Spxq trên D thì ta cũng nói chuỗi hàm
8 ÿ n“1 u n pxq có tổng là Spxqvà ta viết
Khi đó ta gọi r n pxq “ Spxq ´S n pxq, xPD là phần dư của chuỗi hàm
Có hai loại chuỗi hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong toán học đó là chuỗi luỹ thừa và chuỗi lượng giác Cụ thể là:
1 Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng
2 Chuỗi lượng giác là chuỗi hàm có dạng a 0 `
8 ÿ n“1 pa n sinnx`b n cosnxq, trong đó a 0 , a n , b n PR.
Ví dụ 1.4 ([2]) Xét chuỗi hàm
8 ÿ n“0 x n “1`x`x 2 ` ¨ ¨ ¨ `x n ` ¨ ¨ ¨ Đây là tổng vô hạn của một cấp số nhân với số hạng đầu là 1 và công bội là x Nếu
Vậy chuỗi hàm trên hội tụ trong khoảngp´1,1q và có tổng Spxq “ 1
1´x. Định nghĩa 1.20 Chỗi hàm ř u n pxq được gọi là hội tụ đều tới hàm Spxq trên X,nếu @εą0,Dn 0 ą0 :n ąn 0 ủ|Spxq ´S n pxq|“|r n pxq|ăε,@xPX.
Tính chất cơ bản của chuỗi hàm
Nếu chuỗi hàm ÿ n u n pxq hội tụ đều về hàm Spxq trên X và các số hạng unpxq đều liên tục tại x0 PX, thì hàm Spxq cũng sẽ liên tục tại x0 PX.
Chứng minh Ta có xẹxlim0
Spxq “Spx0q ô lim xẹx 0 ÿunpxq “ÿ n unpx0q “ ÿ n xẹxlim0 unpxq
Ví dụ 1.5 Tính lim xẹπ ÿ n sinnx n 2 `x 2
Bài giải Ta thấy chuỗi trên hội tụ đều, có các số hạng liên tục tại x“π.
Do đó xẹπlim ÿ n sinnx n 2 `x 2 “ ÿ n xẹπlim sinnx n 2 `x 2 “0.
Tính chất 1.5 Cho chuỗi hàm ÿ n u n pxq hội tụ đều về hàm Spxqtrên ra, bs Nếu các số hạngu n pxqđều liên tục trên ra, bs@ně1thì żb a
” ÿu n pxq ı dx“ÿ n żb a u n pxqdx.
Khi chuỗi hàm ÿ n u n pxq hội tụ trên khoảng pa, bq tới Spxq và các số hạng u n pxq, u 1 n pxq liên tục trên khoảng này, nếu chuỗi ÿ n u 1 n pxq hội tụ đều trên pa, bq thì sẽ có những tính chất quan trọng liên quan đến sự hội tụ của chuỗi hàm.
Snpxq khả vi vàS n 1 pxq “ ÿ n u 1 n pxq.
Các định lý hội tụ của chuỗi số và chuỗi hàm
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu các định lý hội tụ liên quan đến chuỗi số và chuỗi hàm, bao gồm các điều kiện cần và đủ để đảm bảo sự hội tụ của chúng.
Các định lý hội tụ của chuỗi số
Định lý 2.1 ([1]) Nếu chuỗi số
8 ÿ n“1 a n hội tụ thì lim nẹ8a n “0.
Chứng minh Nếu chúng ta kí hiệuS n là tổng từng phần thứ n của chuỗi đã cho Khi đó
Bõy giờ ta cho n ẹ 8 thỡ cảS n`1 và S n cú cựng giới hạn Cho nờn lim nẹ8a n “0.
Từ định lý trên ta rút ra hệ quả quan trọng sau đây (kết quả này thường được gọi là Tiêu chuẩn phân kỳ).
Hệ quả 2.2 (Tiêu chuẩn phân kỳ) Nếu dãy ta n u không hội tụ đến 0 thì chuỗi số
Ví dụ 2.1 ([1]) Xét chuỗi số
8 ÿ n“1 n n`1 Vì nẹ8lim an “ lim nẹ8 n n`1 “1‰0 nên chuỗi đã cho phân kỳ (theo Tiêu chuẩn phân kỳ).
Ví dụ 2.2 ([1]) Xét chuỗi số
1 n Mặc dù nẹ8lim an“ lim nẹ8
1 n “0 nhưng chuỗi số đã cho phân kỳ.
Dựa trên tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số, chúng ta có thể áp dụng một tiêu chuẩn tương tự để đánh giá sự hội tụ của chuỗi số Định lý 2.3 (Tiêu chuẩn Cauchy) nêu rõ rằng chuỗi số cũng tuân theo các nguyên tắc hội tụ tương tự như dãy số.
8 ÿ n“1 a n hội tụ khi và chỉ khi với mọi εą0, tồn tại N PN sao cho với mọim ěn ěN, ta có ˇ ˇ ˇ m ÿ k“n`1 a k ˇ ˇ ˇăε.
Chứng minh Gọi tS n ulà dãy tổng riêng thứ n của chuỗi số
8 ÿ n“1 a n Ta biết rằng chuỗi số
8 ÿ n“1 an hội tụ khi và chỉ khi dãy tSnu hội tụ Mà dãy tSnu hội tụkhi và chỉ khi dãy tS n u là dãy Cauchy Điều này tương đương với
@ε ą0 DN PN, @měněN : |S m ´S n | “ ˇ ˇ ˇ m ÿ k“n`1 a k ˇ ˇ ˇăε. Định lý 2.4 ([1]) Giả sử
8 ÿ n“0 b n là hai chuỗi hội tụ và αlà số thực bất kỳ Khi đó các chuỗi
8 ÿ n“1 pa n `b n q cũng hội tụ và ta có
Ví dụ 2.3 ([2]) Xét tính hội tụ hoặc phân kỳ của chuỗi
Lời giải Chúng ta viết lại số hạng thứ n của chuỗi là tổng hai số hạng như sau a n “ 1 n ` n
2 n Bây giờ chuỗi đã cho là
Chuỗi thứ nhất (chuỗi điều hòa) là phân kỳ Chuỗi thứ hai là hội tụ Do đó chuỗi đã cho sẽ phân kỳ.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các dấu hiệu hội tụ cho các chuỗi số không âm Đầu tiên, chúng ta cần định nghĩa chuỗi số dương và chuỗi số dương thật sự.
• chuỗi số dương nếu a n ě0 với mọinP N;
• chuỗi số dương thật sự (hay chuỗi số dương nghiêm ngặt) nếu an ą 0 với mọi nP N. Định lý 2.6 ([1]) Chuỗi số dương
8 ÿ n“1 a n hội tụ khi và chỉ khi tồn tại M PR sao cho
8 ÿ n“1 an là chuỗi số dương nên ta có a n “S n ´S n´1 ě0 @n ě1.
Tức là tS n u là dãy tăng Do đó chuỗi số dương
Dãy tS n u hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn trên Theo định lý 2.7 (Tiêu chuẩn so sánh), nếu có hai chuỗi số dương, chúng ta có thể áp dụng các tiêu chuẩn để xác định tính hội tụ của chúng.
8 ÿ n“1 b n Giả sử tồn tại N PN sao cho a n ďb n với mọi něN Khi đó
Để chứng minh hai khẳng định trên là tương đương, chúng ta chỉ cần tập trung vào việc chứng minh khẳng định thứ nhất Ký hiệu tS n u sẽ đại diện cho tổng từng phần của biểu thức.
8 ÿ n“0 a n , tt n u là tổng từng phần của
8 ÿ n“0 b n Cho M “maxtS n ´t n : 1ďnăNu Chú ý rằng, nếu něN
Bất đẳng thức a n ďb n dẫn đến rằngS n ďt n `M trong đón PN ˚ Dãy tt n u là hội tụ, do đó bị chặn,cho nên tS n ucũng bị chặn.
Ví dụ 2.4 ([1]) Cho aą0 Xét sự hội tụ của chuỗi số
1`a n Lời giải Ta xét các trường hợp sau.
1`a n “1‰0, do đó chuỗi đã cho phân kỳ.
2 ‰0, nên chuỗi đã cho phân kỳ.
• Nếua ą1, ta sử dụng bất đẳng thức
Vì q “ 1 a ă 1 nên chuỗi hình học
8 ÿ n“1 q n hội tụ, do đó theo tiêu chuẩn so sánh (Định lý 2.7), chuỗi
1`a n hội tụ. Định lý 2.8 (Tiêu chuẩn so sánh giới hạn, [1]) Cho hai chuỗi số dương thật sự
1 nếu lim nẹ8 a n b n tồn tại thì sự hội tụ của chuỗi
8 ÿ n“1 b n suy ra sự hội tụ của chuỗi
2 nếu lim nẹ8 a n b n tồn tại và khác không hoặc nếu lim nẹ8 a n b n “ 8 thì phân kỳ của chuỗi
8 ÿ n“1 b n suy ra sự phân kỳ của chuỗi
) là hội tụ, nó bị chặn, do đóDM ą0sao choa n ďM b n Nếu
8 ÿ n“0 b n hội tụ, theo Định lý 2.4, vậy có
M b n hội tụ và khẳng định a) từ Định lý 2.7.
) hội tụ Áp dụng phần 1) chúng ta thấy rằng sự hội tụ của
8 ÿ n“0 a n dẫn đến sự hội tụ của
8 ÿ n“0 b n Bằng sự mâu thuẫn ta được khẳng định 2).
Ví dụ 2.5 ([1]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Lời giải Ta có a n “ln ´
1` 1 n ¯ và chúng ta sẽ lấy b n “ 1 n Khi đó a n b n “ ln`
Suy ra lim nẹ8 a n bn
“lne “1 Bằng Định lý 2.8 b) có lưu ý rằng chuỗi điều hòa phân kỳ. Chúng ta kết luận rằng
8 ÿ n“1 a n phân kỳ. Định lý 2.9 (Tiêu chuẩn tích phân, [1]) Cho f là một hàm số dương, liên tục, giảm trên r1,`8q và giả sử a n “ fpnq với mọi n P N Khi đó chuỗi số
8 ÿ n“1 a n hội tụ khi và chỉ khi tích phân suy rộng ż8 1 fptqdt hội tụ.
Chứng minh Chúng ta kí hiệu S n là tổng riêng thứ n của chuỗi
8 ÿ n“1 a n , và nếu chúng ta tổng hợp các bất đẳng thức fpnq ě żn`1 n fptqdt ěfpn`1q ě0 cho n“1,2, , N, ta được
Nếu tích phân \( \int_1^8 f(t) dt \) hội tụ, thì bất đẳng thức bên phải cho thấy rằng dãy \( t_S^N(u) \) là bị chặn Theo Định lý 2.6, điều này dẫn đến chuỗi cũng hội tụ.
Giả sử rằng tích phân \( \int_1^8 f(t) dt \) phân kỳ và cho \( M > 0 \) Khi đó, tồn tại \( D_x > 0 \) sao cho \( F(x) = \int_x^1 f(t) dt \) thỏa mãn \( F(x_0) \geq M \) Đặt \( N = x_0 \), ta có \( N + 1 \geq x_0 \), dẫn đến \( F(N + 1) \geq F(x_0) \geq M \) Như vậy, với bất kỳ giá trị nào của \( M \), ta có thể xây dựng một chuỗi.
Ví dụ 2.6 ([1]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Lời giải Ta lấy fpxq “ 1 xlnx, và chúng ta chú ý rằng xě 2, f là liên tục và dương. Hơn nữa f 1 pxq “ ´1 pxlnxq 2 ´ lnx`x1 x ¯
“ ´1`lnx pxlnxq 2 ă0, vìf giảm Cuối cùng, tính cấp nguyên hàm của 1 xlnx ta thayu“lnx, khi đódu“ 1 xdx ż dx xlnx “ ż du u “lnu`C “lnplnxq `C.
2 “ lim bẹ`8lnplnbq ´lnpln 2q “ `8 và chuỗi
Tiếp theo ta sẽ khảo sát hai tiêu chuẩn rất hiệu quả trong việc xét sự hội tụ của các chuỗi số dương Cho chuỗi số dương
Cn “ ? n an, Dn“ a n`1 a n và ta viết
C “ lim nẹ8C n , D“ lim nẹ8D n trong trường hợp các giới hạn này tồn tại hữu hạn hoặc vô hạn.
17 Định lý 2.10 (Tiêu chuẩn Cauchy, [1]) Cho chuỗi số dương (2.1).
1 Nếu tồn tại ră1vàN PN sao choCn ďr với mọi něN thì chuỗi (2.1) hội tụ.
2 Nếu C n ě1 với mọin ěN thì chuỗi (2.1) phân kỳ.
3 Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu C ă1và phân kỳ nếu C ą1.
Chứng minh Giả sử rằng ? n a n ď r ă1 với n ěN Như vậy cho n, a n ďr n và sự hội tụ của chuỗi (2.1) theo từ tiêu chuẩn so sánh, từ chuỗi hình học
Nếu \( C \) bằng 1, chúng ta chọn một số thực \( n \) thỏa mãn \( C \) bằng 1 Từ điều này, ta có thể áp dụng giới hạn \( \lim_{n \to \infty} a_n \), trong đó \( DN \) và \( N \) là các yếu tố liên quan Sự hội tụ của chuỗi (2.1) sẽ tiếp tục được chứng minh ở phần đầu.
Bất đẳng thức C n ě 1 dẫn đến a n ě 1 Nếu điều này đúng với n ě N, khi đó a n không thể có giới hạn0 và theo tiêu chuẩn phân kỳ chuỗi (2.1) phân kỳ Đặc biệt, nếu
C ą1, khi đó DN PN ˚ , C n ě1, n ěN và chuỗi (2.1) phân kỳ.
Ví dụ 2.7 ([1]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Vì C ă1 chúng ta kết luận rằng chuỗi
Ví dụ 2.8 ([2]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Chuỗi đã cho hội tụ. Định lý 2.11 (Tiêu chuẩn D’Alembert, [1]) Cho chuỗi số dương (2.1).
1 Nếu tồn tạir ă1và N PNsao choD n ďr với mọin ěN thì chuỗi (2.1) hội tụ.
2 Nếu D n ě1 với mọin ěN thì chuỗi (2.1) phân kỳ.
3 Đặc biệt, chuỗi (2.1) hội tụ nếu Dă1 và phân kỳ nếuDą1.
Chứng minh Giả sử rằng a n`1 a n ďr với n ěN, khi đó aN `1 ďraN, aN`2 ďraN `1 ďr 2 aN.
Bằng quy nạp ta được a N`k ďr k a N , cho bất kỳk PN ˚ Sự hội tụ của chuỗi (2.1) bây giờ từ tiêu chuẩn so sánh, vì
Chuỗi hình học với giới hạn ban đầu N và tỉ số r nhỏ hơn 1 được gọi là chuỗi hội tụ Để đảm bảo rằng D nhỏ hơn r và DN lớn hơn N, ta cần chọn một số thực r sao cho D nhỏ hơn r và Dn nhỏ hơn r cho mọi n lớn hơn hoặc bằng N Vấn đề là tìm cách rút gọn chuỗi này.
Bất đẳng thức D n ě 1 cho thấy rằng a n`1 ě a n Nếu điều này đúng với mọi n ě N, thì dãy ta n u không thể có giới hạn bằng 0 và theo tiêu chuẩn phân kỳ, chuỗi (2.1) sẽ phân kỳ.
Trong trường hợp đặc biêt, khi D ą 1, DN P N ˚ sao cho với n ě N, D n ě 1 thì chuỗi (2.1) phân kỳ.
Ví dụ 2.9 ([1]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Ta thấy 10 n`1 ă1, khi đó ně10 Vì vậy ta kết luận chuỗi
Định lý 2.12 cho thấy mối liên hệ giữa giới hạn của các dãy \( C_n \) và \( D_n \) Nếu \( u \) là một dãy số dương và tồn tại giới hạn \( \lim_{n \to \infty} D_n = L \), thì dãy \( C_n \) cũng hội tụ và có giới hạn \( \lim_{n \to \infty} C_n = L \).
Chứng minh Cho εą0, DN PN ˚ sao cho něN
Do đó, cho bất kỳ kP N ˚ , ta được ´
Tiếp theo,cho tùy ý kPN ˚ , bằng cách lấy căn thứ pN `kq, chúng ta được ´
N Điều đú cho ta thấy rằng, khi k ẹ 8, bờn trỏi biểu thức hội tụ đếnL´ε
2 Điều này dẫn đến DK 1 , K 2 PN ˚ sao cho k ěK1 ủ ´
N ąL`ε. Đặt K “maxtK 1 , K 2 u và kěK, khi đó
Cho thấy rằng C n hội tụ đến L.
Ví dụ 2.10 ([1]) Xét sự hội tụ của chuỗi số
Lời giải Đầu tiên ta thử tiêu chuẩn D’Alembert
8 và D 2n´1 “2 1 “2.Rõ ràng dãy tD n ukhông thỏa mãn giả thiết của tiêu chuẩn D’Alembert, vì vậy không thể áp dụng nó.
Chúng ta sử dụng tiêu chuẩn Cauchy
Vậy chuỗi đã cho hội tụ. Định lý 2.13 (Tiêu chuẩn Kummer, [1]) Cho ta n u,tc n u là hai dãy số dương thật sự sao cho chuỗi
1 c n phân kỳ Với mỗi n PN, đặt
Giả sử tồn tại một hằng số r > 0 và một số nguyên N sao cho K_n ≥ r với n ≥ N Khi đó, chuỗi (2.1) sẽ hội tụ Ngược lại, nếu K_n ≤ 0 với n ≥ N, chuỗi (2.1) sẽ phân kỳ Đặc biệt, nếu giới hạn của K_n là K, thì chuỗi cũng có những đặc điểm riêng.
8 ÿ n“1 a n hội tụ nếu K ą0 và phân kỳ nếu K ă0.
Chứng minh Đầu tiên giả sử rằng K n ěrą0, cho něN Theo đó, chon ěN c n a n ´c n`1 a n`1 ěra n`1 ą0 (2.3)
Dãy tc n a n u là một dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0, do đó nó hội tụ đến một giới hạn L Điều này có nghĩa là giới hạn của dãy này là L, và các giá trị của dãy sẽ tiến gần đến L khi n tăng.
8 ÿ k“1 pc k a k ´c k`1 a k`1 qhội tụ Bây giờ bất đẳng thức (2.3) cho thấy chuỗi
8 ÿ k“1 ra k`1 hội tụ Do đó
Nếu Knď0 với něN, khi đó an`1 a n ě cn c n`1
Vì vậy, chúng ta có một dãy của bất đẳng thức a N`1 a N ě c N c N`1 ; a N`2 a N`1 ě c N`1 c N`2 ; a N`3 a N`2 ě c N`2 c N`3 ;¨ ¨ ¨.
Nếu ta nhân k´1 bất đẳng thức kế tiếp ta được a N `1 aN ¨ a N`2 aN`1 ¨ ¨ ¨ a N`k aN`k´1 ě c N cN`1 ¨ c N`1 cN`2 ¨ ¨ ¨c N`k´1 cN `k
Suy ra a N`k a N ě c N c N`k và do đó aN`kěaNcN ¨ 1 c N `k Bây giờ sự phân kỳ của
8 ÿ n“1 an được suy ra từ sự phân kỳ của
Khi giới hạn K tồn tại và thỏa mãn K > 0 hoặc K < 0, các trường hợp còn lại được xem như bài tập Theo Định lý 2.14 (Tiêu chuẩn Raabe), cho dãy số dương thực sự n u, ta có thể áp dụng các quy tắc liên quan đến giới hạn này.
Giả sử tồn tại r ą1 và N PN sao cho K n ěr với něN, thì chuỗi (2.1) sẽ hội tụ Ngược lại, nếu R n ď1 với n ěN, chuỗi (2.1) sẽ phân kỳ Đặc biệt, trong trường hợp R n ẹR, chuỗi này sẽ có những đặc điểm riêng.
8 ÿ n“1 a n hội tụ nếu R ą1 và phân kỳ nếuR ă1.
8 ÿ n“1 n! pa`1qpa`2q ¨ ¨ ¨ pa`nq, aą0.
Lời giải Đầu tiên chúng ta thử tiêu chuẩn D’Alembert
D n “ a n`1 a n “ pn`1q! pa`1qpa`2q¨¨¨pa`n`1q n! pa`1qpa`2q¨¨¨pa`nq
“ n`1 a`n`1 vì D“1và tiêu chuẩn không đem lại kết quả Tuy nhiên
Chuỗi hội tụ nếu aą1 và phân kỳ nếu aă1 Cuối cùng, nếu a “1 a n “ n! p1`1qp1`2q ¨ ¨ ¨ p1`nq “ 1 n`1, thì chuỗi đã cho là chuỗi điều hòa và nó phân kỳ.
Tiếp theo ta sẽ khảo sát sự hội tụ của chuỗi với số hạng có dấu tuỳ ý Trước tiên ta giới thiệu định nghĩa sau. Định nghĩa 2.15 Chuỗi số
8 ÿ n“1 a n được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số
|a n | hội tụ. Định lý 2.16 ([1]) Nếu chuỗi
8 ÿ n“1 a n hội tụ tuyệt đối thì nó hội tụ.
|a k | là hội tụ Ta sẽ sử dụng Định lý 2.3 để chứng minh
8 ÿ k“1 a k hội tụ Cho εą0, bằng Định lý 2.3, DN P N ˚ sao cho m ěn ěN ủ |a n`1 | ` |a n`2 | ` ă ă ă ` |a m | ăε Như vậy m, n
Ví dụ 2.12 ([1]) Cho aPR Xét sự hội tụ của chuỗi số
Lời giải Chú ý rằng ở đây không bị giới hạn bởia, vì vậy nếu aă0, điều kiện dương và âm sẽ đan dấu Tuy nhiên, chúng ta sẽ xét chuỗi
|a| n n! Điều kiện này với chuỗi dương và ta có thể sử dụng tiêu chuẩn D’Alembert Bây giờ
Các định lý hội tụ của chuỗi hàm
Một số tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi hàm
Định lý 2.24(Tiêu chuẩn Weierstrass, [1]) Cho dãy hàmtf n pxquxác định trênAĂR và giả sử tM n u là dãy số dương sao cho
M n hội tụ thì chuỗi hàm
8 ÿ n“1 f n pxq hội tụ đều trênA.
Chứng minh Cho ε ą 0 và tS n u là tổng riêng thứ n của chuỗi ÿ n“1
8f n Ta sử dụng Định lý 1.11 cho thấy rằng tSnu hội tụ đều Cụ thể là, chúng ta sẽ thấy rằng tồn tại một số nguyên dương N sao cho
Nếu chúng ta kí hiệu Sn là tổng riêng thứ n của
Mn, thì tSnu là một dãy hội tụ
|Smpxq ´Snpxq| “ |fn`1pxq `fn`2pxq ` ¨ ¨ ¨ `fmpxq| ď |f n`1 pxq| ` |f n`2 pxq| ` ¨ ¨ ¨ ` |f m pxq| ďM n`1 `M n`2 ` ¨ ¨ ¨ `M m “S m ´S n ăε.
Ví dụ 2.15 ([1]) Chứng minh rằng chuỗi hàm
8 ÿ n“1 x n n 2 hội tụ đều trên đoạnr´1,1s.
Lời giải Từ|x| ď1, chũng ta có ˇ ˇ ˇ x n n 2 ˇ ˇ ˇď 1 n 2 và ta xác địnhM n “ 1 n 2 Chuỗi
1 n 2 hội tụ (một chuỗi p, với p“2) và nó cho thấy rằng
8 ÿ n“1 x n n 2 hội tụ đều trongr´1,1s. Định lý 2.25 (Tiêu chuẩn Abel, [1]) Cho hai dãy hàm ta n pxqu và tb n pxqu thoả mãn các điều kiện sau.
(i) Dãy ta n pxquđơn điệu (với mỗix) và tồn tại M ą0 sao cho
8 ÿ k“1 b k pxqhội tụ đều trên A ĂR.
8 ÿ k“1 akpxqbkpxq hội tụ đều trên A.
Chứng minh Cho S n là tổng riêng thứ n của chuỗi
8 ÿ k“1 a k b k Chúng ta sẽ thấy rằng tSnulà dãy Cauchy đều Choε ą0 Giả sử rằng chuỗi
8 ÿ k“1 bkhội tụ đều dẫn đến dãy của tổng riêngtB n uhội tụ đều đến tổngB hoặc tương đương, dãy của số dưR n “B´B n hội đều đếu 0 Khi đó DN P N ˚ sao cho
Nếu chúng ta áp dụng công thức phép cộng từng phần 2.20, ta được
S m pxq ´S n pxq “a m`1 pxqB m pxq ´a n pxqB n´1 pxq ´ m ÿ k“n ra k`1 pxq ´a k pxqsB k pxq
“a m`1 pxqrBpxq ´R m pxqs ´a n pxqrBpxq ´R n´1 pxqs ´ m ÿ k“n ra k`1 pxq ´a k pxqsrBpxq ´R k pxqs
“Bpxq ´ a m`1 ´a n pxq ´ m ÿ k“n ra k`1 pxq ´a k pxqs ¯ ´a m`1 pxqR m pxq `a n pxqR n´1 pxq ` m ÿ k“n ra k`1 pxq ´a k pxqsR k pxq
“ ´a m`1 pxqR m pxq `a n pxqR n´1 pxq ` m ÿ k“n ra k`1 pxq ´a k pxqsR k pxq. Khi đó, với měněN,@x, ta có
|a k`1 pxq ´a k pxq||R k pxq| ` |a m`1 pxq||R m pxq| ďM ε 4M ` ε
Từ tanu là một hàm đơn điệu, với điều kiện tổng cuối tất cả các dấu hiệu đồng nhất Sau khi thực hiện khử bên trái, ta có được biểu thức |ampxq 'an' 1pxq| không lớn hơn 2M.
Dãy \( tS_n \) là một dãy Cauchy đều, và kết quả này được rút ra từ Định lý 1.11 Theo Định lý 2.26 (Tiêu chuẩn Dirichlet), cho hai dãy hàm \( ta_n \) và \( tb_n \) thoả mãn các điều kiện nhất định.
(i) Dãy hàm ta n pxquđơn điệu giảm và hội tụ đến 0 (với mỗi x);
(ii) Tồn tại M ą0 sao cho ˇ ˇ ˇ n ÿ k“1 b k pxq ˇ ˇ ˇďM, @xPA, @nP N;
8 ÿ k“1 a k pxqb k pxq hội tụ đều trên A.
Ví dụ 2.16 ([1]) Chứng minh rằng chuỗi hàm
8 ÿ n“1 xe ´nx 2 hội tụ điểm nhưng không hội tụ đều trong khoảng p0,1q.
Để trình bày Định lý 1.11, cần sử dụng các số âm Hàm tf n u không hội tụ đều trong tập A nếu và chỉ nếu tồn tại Dε > 0 sao cho với mọi N, tồn tại m ≥ N và x N thuộc A, thỏa mãn điều kiện |f m(px N) - f n(px N)| ≥ ε.
Chúng ta sẽ áp dụng đáp số này của dãy tổng riêng tSnu của chuỗi đã cho.
Tức là S n pxq “ n ÿ k“1 xe ´kx 2
Vì vậy cho ε 0 “e ´ 2 và N PN ˚ , chúng ta sẽ chọn m“2N, n“N và x n “ 1
Do đó, chuỗi ř8 n“1xe ´nx 2 không hội tụ đều trong p0,1q.
Chuỗi lũy thừa
Chuỗi luỹ thừa là một trong những chuỗi hàm quan trọng nhất trong giải tích toán học, với nhiều ứng dụng thực tiễn Trong bài viết này, chúng ta sẽ khảo sát các định lý hội tụ liên quan đến chuỗi luỹ thừa.
8 ÿ n“0 a n px´cq n , (2.3) trong đócPRvàa n PRvới mọin“0,1,2, a n được gọi là hệ số của chuỗi luỹ thừa. Trong trường hợp c“0 thì ta nhận được chuỗi luỹ thừa có dạng
Bằng cách đổi biến ξ “x´c, chuỗi luỹ thừa (2.3) trở thành
Trong phần này, chúng ta chỉ khảo sát chuỗi lũy thừa có dạng (2.4) Theo Định lý 2.28, nếu chuỗi lũy (2.4) hội tụ tại điểm x khác 0, thì nó sẽ hội tụ tuyệt đối với mọi x trong khoảng p - r, r và hội tụ đều trong khoảng r - r1, r1 với mọi r1 lớn hơn 0.
8 ÿ n“0 a n x n là một chuỗi lũy thừa, rą0và giả sử rằng
Khi đó dãy ta n r n u phải hội tụ đến 0, vì vậy nó bị chặn, |a n r n | ďM sao cho nPN ˚ nếu |x| ăr, khi đó
Chuỗi hội tụ sau như là một chuỗi hình học, vì
8 ÿ n“0 a n x n hội tụ tuyệt đối Hơn nữa, nếu
|x| ăr 1 ăr, khi đó (2.7) cho thấy rằng ˇ ˇ ˇ
Từ chuỗi hội tụ sau, sự hội tụ đều của
Kết quả của định lý 2.29 chỉ ra rằng chuỗi luỹ thừa sẽ hội tụ trong một khoảng có bán kính R lớn hơn 0 Khoảng này được gọi là khoảng hội tụ, trong khi R được xác định là bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa.
Ví dụ 2.17 ( [1]) Xét chuỗi luỹ thừa
8 ÿ n“0 x n Ở đâya n “1, do đó ta có
|a n x n | “ |x| và R“1 Khi|x| “1thì chuỗi luỹ thừa trở thành
8 ÿ n“0 p´1q n Cả hai chuỗi này đều phân kỳ Vậy chuỗi luỹ thừa đã cho hội tụ trong khoảngp´1,1qnhưng không hội tụ tại hai đầu mút.
Ví dụ 2.18 ([1]) Xét chuỗi luỹ thừa
“ |x| n n`1 ẹ |x|, khi n ẹ 8, do đó R “ 1 Khi x “ 1 ta được chuỗi điều hòa
1 n, đây là chuỗi phân kỳ Khi x“ ´1, ta có chuỗi điều hòa đan dấu
Chuỗi hội tụ là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong phân tích Một chuỗi được coi là hội tụ nếu nó có giới hạn xác định Theo định lý Cauchy - Hadamard, cho dãy số tanu, ta có thể xác định giới hạn của nó bằng cách tính lim sup a n Điều này cho thấy rằng chuỗi hội tụ trong khoảng r từ -1 đến 1, nhưng không hội tụ tại điểm x = 1.
|an| (hữu hạn hoặc vô hạn) Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Chứng minh Nếu ρ vô hạn, khi đó chúng ta cần cho R “ 0 Mỗi chuỗi
8 ÿ n“0 a n x n hội tụ, x“0, vì vậy chúng ta chứng minh nó phân kỳ khi x‰0.
Cho x ‰ 0 là cố định Từ lim supa n
|a n | là vô hạn, tồn tại dãy con t nk a
|x|, kPN ˚ Điều này dẫn đến |a n k x n k | ě1, k PN ˚ Áp dụng tính chất phân kỳ.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng ρ là một số hữu hạn Để làm điều này, ta xem xét bất đẳng thức |x| < R và |x|^ρ < 1, điều này tương đương với việc ρ không bằng 0 Nếu ρ là một số thực tùy ý, ta sẽ thấy rằng nếu x là một số thực thỏa mãn |x|^ρ < 1, thì chuỗi sẽ được xác định rõ ràng.
8 ÿ n“0 a n x n hội tụ Từ chuỗi hội tụ tại x “0, chúng ta có thể giả sử x‰0 Cho r là một số thực sao cho |x|ρără1và ε“ r´ |x|ρ
Rõ ràng,ε ą0,DN PN ˚ sao cho a n
Vì |a n x n | ă r n Từ 0 ď r ă 1, chuỗi hình học
8 ÿ n“0 r n hội tụ và sự hội tụ của chuỗi
Để đảm bảo sự so sánh chính xác, chúng ta cần xác định rằng giá trị R không được quá lớn Đồng thời, R cũng không nên quá nhỏ; cụ thể, nếu |x| lớn hơn R, chuỗi sẽ không đạt yêu cầu.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét bất đẳng thức |x| ρ > 1 và sự tương đương với |x| > R Một điểm quan trọng là giá trị ρ không thể bằng 0, do đó, giả thiết cho thấy rằng ρ phải lớn hơn 0 và |x| ρ > 1.
|x| ăρ Bằng định nghĩa, ρ là điểm sự tích lũy lớn nhất của a n
|x| ăρ, là một số nguyên dương K sao cho nk b
Như vậy k, |a n k x n k | ą 1 và dãy a n x n không thể hội tụ đến 0 Bằng tiêu chuẩn phân kỳ, chuỗi
Chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin
Định nghĩa 2.31 ([2]) Cho hàm sốfpxqcó đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm a Khi đó chuỗi luỹ thừa có dạng
8 ÿ k“0 f pkq paq k! px´aq k “fpaq`f 1 paqpx´aq`f 2 paq
2! px´aq 2 `¨ ¨ ¨`f pkq paq k! px´aq k `¨ ¨ ¨ (2.5) được gọi là chuỗi Taylor của hàm sốfpxqtại điểm x“a.
Khi a “0 thì chuỗi (2.5) được gọi là chuỗi Maclaurin của hàm số fpxq.
Bán kính hội tụ R của chuỗi Taylor có thể bằng không hoặc khác không Nếu R khác 0, tổng S(x) của chuỗi Taylor thường không bằng f(x) Câu hỏi đặt ra là khi nào chuỗi Taylor hội tụ về hàm số f(x) Khi S(x) = f(x) trong khoảng (a - R, a + R), ta nói rằng hàm số f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor trong lân cận của điểm a.
T n pxq:“fpaq `f 1 paqpx´aq ` f 2 paq
Đa thức Taylor của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( a \) được định nghĩa như sau: Nếu hàm số \( f(x) \) có đạo hàm mọi cấp trong lân cận của điểm \( x_0 \) và thỏa mãn điều kiện \( |f^{(k)}(x)| \leq M k! \), thì theo định lý Taylor, có thể xây dựng đa thức Taylor cho hàm số này.
Khi đó trong khoảngpx 0 ´R;x 0 `Rq, hàm số fpxqkhai triển được một cách duy nhất dưới dạng fpxq “ fpx 0 q `f 1 px 0 qpx´x 0 q ` f 2 px 0 q
Hệ quả 2.33 chỉ ra rằng, trong lân cận của điểm x0, một hàm khả vi vô hạn f(pxq) có thể được khai triển thành chuỗi Taylor nếu và chỉ nếu giới hạn r(n)(pxq) khi n tiến đến vô cùng là 0 Trong đó, r(n)(pxq) là phần dư của chuỗi Taylor.
Hệ quả 2.34 ([2]) Giả sử hàm sốfpxqcó đạo hàm mọi cấp trong khoảngpx 0 ´R;x 0 `
Rqvà tồn tại M ą0 sao cho ˇ ˇf pnq pxqˇ ˇďM @xP px0´R;x0`Rq, @n PN. Khi đó chuỗi Taylor
8 ÿ k“0 f pkq px 0 q k! px´x 0 q k hội tụ đến hàm số fpxq trong khoảng px 0 ´ R;x 0 `Rq.
Ví dụ 2.19 ([1]) Tìm khai triển Maclaurin của hàm sốfpxq “?
1`x Lời giải x“ 1 2 , đạo hàm f n p0qthành một dãy
;1 2 ´ ´1 2 ¯´ ´ 3 2 ¯´ ´5 2 ¯ , Chúng ta thấy rằng ně2 f n p0q “ p´1q n´1 p2n´3q!!
Ví dụ 2.20 ([1]) Tìm khai triển Maclaurin của hàm sốfpxq “ 1
?1`x. Lời giải α“ ´ 1 2 ; đạo hàm f n p0qthành một dãy
Khai triển Maclaurin của một số hàm số sơ cấp
8 ÿ k“1 mpm´1qpm´2q ¨ ¨ ¨ pm´k`1q k! x k , |x| ă1 (2.11) Định lý 2.35 ([1]) Giả sử chuỗi luỹ thừa
8 ÿ n“0 a n x n có bán kính hội tụ là R Khi đó chuỗi luỹ thừa
8 ÿ n“0 na n x n´1 có bán kính hội tụ R.
Chứng minh Bằng Định lý Cauchy - Hadamard, chuỗi
8 ÿ n“0 na n x n´1 có bán kính hội tụ
8 ÿ n“0 na n x n´1 cũng có bán kính hội tụ như thế.
Hệ quả 2.36 ([1]) Giả sử chuỗi luỹ thừa
8 ÿ n“0 a n x n có bán kính hội tụ là R Khi đó chuỗi là một hàm khả vi vô hạn trên khoảng p´R;Rq và ta có ´ÿ 8 n“0 a n x n ¯1
Ví dụ 2.21 ([1]) Tìm chuỗi Maclaurin của hàm số fpxq “ 1 p1´xq 2
Lời giải Theo công thức (2.6), ta có
Bây giờ ta lấy đạo hàm thì được, |x| ă1
Một hệ quả quan trọng của Định lý 2.35 là tổng của một chuỗi lũy thừa liên tục trên khoảng hội tụ p´R, Rq Câu hỏi đặt ra là liệu hàm số này có liên tục tại hai đầu mút x“ ´ và x“R hay không Nếu chuỗi phân kỳ tại hai điểm này, hàm số f sẽ không xác định tại đó Định lý 2.37 (Định lý Abel) khẳng định rằng nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ tại điểm x“R, thì nó sẽ hội tụ đều trên đoạn r0, Rs.
Chứng minh Ý tưởng để chứng minh là
Áp dụng tiêu chuẩn hội tụ đều Abel’s (Định lý 2.25), chuỗi ∑₈ₙ₌₀ aₙ Rⁿ hội tụ và điều kiện hội tụ này không phụ thuộc vào x Do đó, chuỗi này hội tụ đều một cách tự động.
R ¯n là một chuỗi đơn điệu giảm với mọi x thuộc khoảng r0 đến Rs và có giá trị R ¯nˇ ˇ ˇ nhỏ hơn hoặc bằng 1 cho mọi x thuộc khoảng r0 đến Rs Điều này cho thấy chuỗi này bị chặn Do đó, điều kiện của tiêu chuẩn Abel’s được thỏa mãn, dẫn đến chuỗi lũy thừa ř8 n“0a n x n hội tụ đều trên khoảng r0 đến Rs.
Nó theo từ Định lý Abel’s và Định lý ?? nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ ở x “ R, tổng nó liên tục ởx“R Đặc biệt phương trình cho thấy lim xẹR ´
Ví dụ 2.22 ([1]) Áp dụng (2.14) vào hàm fpxq “ lnp1`xq.
Khi x“1, ta được chuỗi hội tụ
4` ¨ ¨ ¨ và công thức (2.14) cho thấy tổng bẳng lim xẹ1 ´ lnp1`xq “ ln 2.
Do đó, chuỗi điều hòa đan dấu hội tụ đến ln 2.
Một số phương pháp tìm tổng của chuỗi vô hạn
Sử dụng phương pháp tổng riêng
Để mô tả cho phương pháp này, ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 2.23 Tìm tổng của chuỗi số
37 Lời giải Xét tổng riêng thứn của chuỗi
2 Vậy tổng của chuỗi đã cho làS “ 1
Lời giải Nhân tổng S n với x 2 , ta được
1´x 2 Chia hai vế cho 1´x 2 ‰0, ta được
Rõ ràng sự hội tụ (phân kì) của chuỗi hàm phụ thuộc vào giá trị của biến x, cụ thể là nẹ8lim u n`1 u n “x 2 lim nẹ8
• Nếu|x| ă1thì chuỗi hàm hội tụ đến S “ lim nẹ8Sn “ x
• Nếux“1 thì ta tính được
• Nếux“ ´1thì ta tính được
Sử dụng chuỗi lũy thừa của các hàm số sơ cấp
Các kết quả về chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin có thể được dùng để tỉnh tổng của một số chuỗi hội tụ.
Lời giải Chuỗi số trên hội tụ theo tiêu chuẩn D’Alembert (Định lý 2.11) Áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.7) cho hàm sốfpxq “e x , và chox“2, ta nhận được
Lời giải Áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.9) cho hàm số fpxq “ cosx, và cho x“100, ta nhận được
Ta có thể sử dụng tổng đã biết của một số chuỗi quan trọng sau đây để tính tổng của một số chuỗi khác.
Ta xét một số ví dụ sau đây.
Ví dụ 2.27 ([2]) Tìm tổng của chuỗi vô hạn
400 ` ¨ ¨ ¨ ` 1 n 2 pn`1q 2 ` ¨ ¨ ¨ Lời giải Chuỗi có thể được viết lại thành ´ 1
• Chuỗi đầu tiên là chuỗi Dirichlet (2.13), nó hội tụ đến π 2
• Chuỗi thứ hai là (2.15), nó hội tụ đến 2.
• Cuỗi cuối cùng có thể viết lại
1 n 2 ´1 và tiếp tục sử dụng chuỗi Dirichlet (2.13).
3. Áp dụng công thức (2.12) ta được
Phương pháp lấy đạo hàm và tích phân của chuỗi
Bằng cách áp dụng đạo hàm và tích phân cho các chuỗi Maclaurin của những hàm số cơ bản đã biết, chúng ta có thể tính tổng của nhiều chuỗi luỹ thừa mới Trong phần này, chúng tôi sẽ sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm quan trọng.
• px n q 1 “nx n´1 ; d dxpu n q “ nu n´1 du dx,
Ví dụ 2.29 ([2]) Chứng minh rằng
Lời giải Áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) cho hàm số fptq “ 1
1´t, sau đó lấy tích phân hai vế từ 0 đến x, ta được żx 0
1´tdt “ żx 0 p1`t`t 2 ` ¨ ¨ ¨ `t n ` ¨ ¨ ¨ qdt đự Ơlnp1Ơtq ˇ ˇ ˇ x
S n “1`2x`3x 2 `4x 3 ` ¨ ¨ ¨ ` pn`1qx n Nhân cả hai vế của S n với x, ta được xS n “x`2x 2 `3x 3 ` ¨ ¨ ¨ `nx n ` pn`1qx n`1
• Nếux‰1 thì ta có p1´xqS n “ 1.p1´x n`1 q
• Nếux“1 thì S n “1`2`3`4` ¨ ¨ ¨ ` pn`1q “ pn`1qpn`2q
Lời giải Trước tiên ta áp dụng công thức khai triển Maclaurin (2.6) và thay x bởi ´z 2 , ta được
1`z 2 “1´z 2 `z 4 ´ ¨ ¨ ¨ ` p´1q n z 2n ` ¨ ¨ ¨ Lấy tích phân hai vế từ 0 đến x, ta được żx
1`z 2 “ żx 0 dz´ żx 0 z 2 dz` żx 0 z 4 dz´ ¨ ¨ ¨ ` p´1q n żx 0 z 2n dz` ¨ ¨ ¨ đựarctanxỘxƠ x 3
Phương pháp Abel
Từ các Định lý 2.28, Định lý 2.37 (Định lý Abel) ta rút ra nhận xét quan trọng sau đây về chuỗi luỹ thừa: Nếu chuỗi luỹ thừa
Nếu chuỗi luỹ thừa hội tụ trong khoảng từ p´1 đến 1, thì tổng Spxq của nó sẽ liên tục trên khoảng này Hơn nữa, nếu chuỗi này hội tụ tại điểm x“1, thì hàm Spxq sẽ liên tục bên trái tại điểm x“1.
Ta rút ra phương pháp Abel như sau: Nếu chuỗi số
8 ÿ n“1 an hội tụ thì tổng S của nó được xác định bởi
Để áp dụng phương pháp Abel, điều quan trọng là đảm bảo rằng chuỗi số đã cho hội tụ Sau đó, ta cần xác định chuỗi lũy thừa tương ứng và tìm các giới hạn của nó khi x tiến đến một giá trị nhất định Sự hội tụ của chuỗi số là điều kiện then chốt để sử dụng phương pháp này.
8 ÿ n“1 a n , nếu không phương pháp không thể áp dụng.
Ví dụ 2.32 ([2]) Xét khai triển Maclaurin của hàm số fpxq “ lnp1`xq, ta có fpxq “lnp1`xq “
8 ÿ n“1 p´1q n`1 n hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng của chuỗi này có thể được tính như sau
8 ÿ n“1 p´1q n`1 n “ lim xẹ1 ´ fpxq “ lim xẹ1 ´ lnp1`xq “ ln 2.
Ví dụ 2.33 ([2]) Xét khai triển Maclaurin của hàm số gpxq “arctanx, ta có gpxq “arctanx“
8 ÿ n“1 p´1q n 2n`1 hội tụ (theo tiêu chuẩn Leibniz) nên tổng của chuỗi này có thể được tính như sau
8 ÿ n“1 p´1q n 2n`1 “ lim xẹ1 ´ gpxq “ lim xẹ1 ´ arctanx“ π
2 `1.3 2.4 ´1.3.5 2.4.6 ` ¨ ¨ ¨ `p´1q n p2n´1q!! p2nq!! ` ¨ ¨ ¨ Lời giải Nếu|x| ă1thì chuỗi hội tụ Xét chuỗi lũy thừa p1`x 2 q ´
8 ÿ n“1 p´1q n p2n´1q!! p2nq!! x 2n Theo phương pháp Abel, ta tính được
Lời giải Chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz Xét chuỗi lũy thừa
8 ÿ n“0 p´1q n x 3n`1 3n`1 với khoảng hội tụ |x| ă1 Theo phương pháp Abel, ta có
Do đó ta có thể phân tích
1´t`t 2 ở đó A, B, C được xác định từ hệ phương trình
Tiếp theo, tháy thế các giá trị A, B và C vào tích phân, ta có żx
Một số ứng dụng của chuỗi Taylor
3.1 Tính giới hạn hàm số
Bằng việc sử dụng chuỗi Taylor để khai triển các hàm số sơ cấp, chúng ta có thể xác định một số giới hạn của hàm số Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho phương pháp này.
Ví dụ 3.1 Tính giới hạn
L“lim xẹ0 sinx´x x 3 Lời giải Xét khai triển Maclaurin của hàm số y“sinx, ta có sinx“x´x 3
Ví dụ 3.2 Tính giới hạn
L“ lim xẹ0 x 2 e x cosx´1. Lời giải Xét khai triển Maclaurin của hàm số y“e x và y“cosx, ta có e x “1` x
Ví dụ 3.3 Tính giới hạn
“ lim xẹ0 x 2 ´sin 2 x x 4 “lim xẹ0 x´sinx x 3 ¨lim xẹ0 x`sinx x
Xét khai triển Maclaurin với y“sinx, ta có
L“limx´ px´ x 6 3 `opx 3 qq x 3 lim xẹ0 x` px`opxqq x
Nhiều tích phân bất định không thể được biểu diễn bằng các hàm số sơ cấp, dẫn đến việc không thể tính chính xác các tích phân xác định tương ứng Tuy nhiên, trong một số trường hợp, nếu biểu diễn hàm số dưới dấu tích phân dưới dạng chuỗi luỹ thừa, ta có thể tính gần đúng giá trị của tích phân.
Ví dụ 3.4 ([2]) Tính gần đúng ż 1
0 e ´x 2 dx với độ chính xác10 ´4
Hàm số e^(-x^2) không có nguyên hàm là hàm số sơ cấp, do đó không thể áp dụng công thức Newton-Leibniz để tính tích phân Tuy nhiên, hàm này có thể được khai triển thành chuỗi lũy thừa trên R Dựa vào công thức khai triển Maclaurin của hàm e^x, ta có thể suy ra rằng e^(-x^2) = 1 - x^2.
Kết quả ta nhận được một chuỗi đan dấu và chuỗi này hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz. Để ý rằng số hạng thứ ba của chuỗi thoả mãn
Do đó để tính gần đúng tích phân với độ chính xác10 ´4 ta chỉ cần lấy hai số hạng của chuỗi, cụ thể là ż1{4 0 e ´x 2 dxô 1
Ví dụ 3.5 ([2]) Tính gần đúng ż `8
Lời giải Vì x ě2 nên x 3 ě8, do đó không thể áp dụng công thức ( ) để khai triển
1`x 3 “ p1`x 3 q ´1 thành chuỗi lũy thừa, công thức chỉ đúng khix 3 ă1 Ta có
Vì x 1 3 ď 1 8 , ta có thể khai triển ´
1` x 1 3 ¯´1 thành chuỗi lũy thừa đối với x 1 3 Ta được
Vì chuỗi ở vế phải thỏa mãn điều kiện của định lý Leibniz, việc tính gần đúng bằng tổng của k số hạng đầu sẽ dẫn đến sai số nhỏ hơn p3k`5q.2 1 3k`5 Sai số này sẽ nhỏ hơn 0,001 khi k lớn hơn 1 Do đó, kết quả của tích phân ż`8 2 dx được xác định.
Ví dụ 3.6 ([2]) Tính gần đúng ż0,1 0 sinx x dx với độ chính xác 0,00001.
Lời giải Sử dụng công thức khai triển Maclaurin cho hàmy “sinx, ta được sinx“x´ x 3
Từ đó, ta có sinx x “1´x 2
Vì 0,1 ą 0,00001; 0,001 3.3! “ 0,000055 ą 0,00001 và 0,00001 5.5! “ 0,00001 600 ă 0,00001 Do đó ż0,1 0 sinx x dxô0,1´0,000055“0,09994.
Ví dụ 3.7 Tính xấp xỉ ? 4 e với độ chính xác 0,0001.
Lời giải Vì ? 4 e“e 1 4 , ta khai triển hàm e x ở lân cận điểm x“0 Ta có e x “1` x
Trong đó R n pxq “ f pn`1q pξq pn`1q! x n`1 “ e ξ pn`1q!x n`1 ,ξ nằm giữa0vàx Lấyx“ 1
Vậy cần tìm n sao cho 1
Thử trực tiếp ta thấy với n “4, ta có
3.3 Ứng dụng trong phương trình vi phân
Chuỗi luỹ thừa là công cụ hữu ích trong việc giải các phương trình vi phân, đặc biệt khi nghiệm không thể biểu diễn bằng các hàm số sơ cấp.
Ta nhắc lại khai triển Taylor của hàm số ypxq tại lân cận của điểmx 0 như sau ypxq “ypx 0 q ` y 1 px 0 q
Ví dụ 3.8 ([2]) Tìm nghiệm y“ypxqcủa bài toán xy 2 ´y“ px´1q 2 , yp1q “1, y 1 p1q “ 0.
Lời giải Giả sử nghiệm của bài toán viết được dưới dạng chuỗi Taylor tại tâm x 0 , ypxq “ypx 0 q ` y 1 px 0 q
Hai hệ số đầu tiên của khai triển ta có thể tìm được nhờ vào điều kiện ban đầu Khi đó, tại x 0 “1 ta có ypxq “ yp1q ` y 1 p1q
Lấy vi phân phương trình đã cho ta được y 2 `xy 3 ´y 1 “2px`1q (3.1)
Thay x“1 vào (3.1), và sử dụng yp1q “1, y 1 p1q “0, y 2 p1q “1, ta được y 2 p1q `1.y 3 p1q ´y 1 p1q “0 suy ra y 3 p1q “ ´1.
Lấy vi phân phương trình trước một lần nữa, thay x“1 ta được
Khi đó, ta có yp1q “ 1, y 1 p1q “ 0, y 2 p1q “1, y 3 p1q “ ´1, y p4q p1q “5.
Ví dụ 3.9 ([2]) Tìm năm số hạng đầu tiên của nghiệm chuỗi của bài toán y 1 “x 2 `y 2 , yp0q “ 1
2. Lời giải Giả sử nghiệm chuỗi của bài toán được viết dưới dạng chuỗi Maclaurin ypxq “ yp0q ` y 1 p0q
Ba đạo hàm đầu tiên tìm được bằng cách lấy vi phân của phương trình vi phân y 2 “2x`2yy 1 y 3 “2`2py 1 q 2 `2yy 2 y p4q “6yy 2 `2yy 3
Tính các giá trị của các đạo hàm này tại x“0 và sử dụng điều kiện ban đầuyp0q “ 1 2 và phương trình vi phân đã cho y 1 “x 2 `y 2 , ta được y 1 p0q “0` ´1 2 ¯2
Thay thế các giá trị này vào chuỗi Maclaurin, ta được nghiệm xấp xỉ sau đây ypxq “ 1
Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau đây.
Bài viết này sẽ trình bày chi tiết và có hệ thống các kết quả cơ bản của lý thuyết chuỗi số và chuỗi hàm, với trọng tâm là các định lý hội tụ quan trọng của chuỗi số và chuỗi hàm.
• Đưa ra được một số phương pháp để tính tổng của một chuỗi trong trường hợp nó hội tụ.
• Giới thiệu một số ứng dụng quan trong của chuỗi Taylor.