Một số vấn đề về tính chất và đồ thị của hàm số trong giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠNNGUYỄN THỊ THU THANH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2019... BỘ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THU THANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ THU THANH

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 8460113

Người hướng dẫn : TS Nguyễn Hữu Trọn

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản của hàm số 3

1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số 4

1.2.1 Hàm số chẵn và hàm số lẻ 4

1.2.2 Hàm đồng biến và nghịch biến 4

1.2.3 Hàm số tuần hoàn 4

1.2.4 Hàm lồi và hàm lõm 5

1.2.5 Cực đại, cực tiểu của một hàm số 5

1.2.6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 6

1.2.7 Các phép biến đổi đồ thị 7

2 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 9 2.1 Hàm số và tính tuần hoàn 9

2.2 Hàm số và tính chẵn lẻ 13

2.3 Hàm số, tiếp tuyến và đồ thị 19

2.4 Hàm số và tính liên tục 22

2.5 Hàm số và tính đơn điệu 28

2.6 Hàm số và tính lồi lõm 36

3 BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ

3.1 Các bài toán nhận dạng đồ thị hàm số 413.2 Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số 523.3 Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số 623.4 Các bài toán liên quan đến tương giao của đồ thị hàm số 76

Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

T HP T QG : Trung học phổ thông quốc gia,

V M S : Vietnam Mathematical Society ,

IM O : International Mathematical Olympiad

LỜI MỞ ĐẦU

Hàm số là một nội dung quan trọng trong chương trình toán ở THPT,

là đề tài hay, lôi cuốn phần lớn giáo viên và học sinh, đặc biệt là họcsinh khá giỏi Trong những năm gần đây, với việc đổi mới hình thức thi

từ tự luận sang trắc nghiệm, các đề thi toán THPT quốc gia càng chútrọng đến việc khai thác các tính chất và đồ thị của hàm số trong việcthiết kế các đề thi trắc nghiệm, trong việc giải các bài toán trắc nghiệmTHPT Hơn nữa, trong các kỳ thi HSG các cấp như cấp tỉnh, cấp quốcgia, quốc tế và các kỳ thi Olympic Toán sinh viên trong nước và quốc

tế thì các bài toán liên quan đến tính chất và đồ thị của hàm số cũngthường xuyên xuất hiện Những bài toán rất thú vị và đôi khi rất khó,tuy nhiên trong các tài liệu dành cho học sinh THPT và một số nghiêncứu trước đây thì ứng dụng tính chất và đồ thị của hàm số chưa đượctrình bày một cách hệ thống và đầy đủ

Vì vậy với suy nghĩ và theo ý tưởng đó chúng tôi khai thác các tínhchất và đồ thị của hàm số góp phần nâng cao hiệu quả việc giảng dạycủa giáo viên và học tập của học sinh ở trường THPT hiện nay Đó là lý

do tôi chọn đề tài " MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH CHẤT VÀ ĐỒ THỊCỦA HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP” để làm đề tài luận vănthạc sĩ

Ngoài Mục lục, Danh mục các ký hiệu, Mở đầu và Kết luận, nội dungcủa luận văn được chúng tôi trình bày trong 3 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản vềtính chất và đồ thị của hàm số Đây là phần lý thuyết cơ sở để xâydựng phương pháp và vận dụng cho các bài toán ứng dụng ở cácchương sau.

• Chương 2 Sử dụng tính chất của hàm số trong giải toán sơ cấp.Chương này, chúng tôi trình bày một số các bài toán (tự luận)

sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số trong chương trình toán

sơ cấp ở bậc phổ thông Có thể chia theo các chủ đề sau: Hàm số

và tính tuần hoàn, Hàm số và tính chẵn lẻ, Hàm số, tiếp tuyến và

đồ thị, Hàm số và tính liên tục, Hàm số và tính đơn điệu, Hàm số

và tính lồi lõm, Tuy nhiên, trong nhiều bài toán chúng liên quanđến nhiều tính chất khác nhau của hàm số

• Chương 3: Bài toán trắc nghiệm liên quan đến đồ thị của hàm số.Chương này, nội dung chính là chúng tôi trình bày các bài toántrắc nghiệm liên quan đến đồ thị hàm số cụ thể là: Các bài toánnhận dạng đồ thị, Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu củahàm số, Các bài toán liên quan đến tính chất hàm lồi, hàm lõm, Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ tận tình của thầy TS.Nguyễn Hữu Trọn; Trường Đại học Quy Nhơn Chúng tôi xin bày tỏ sựkính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã tận tình giúp đỡ chúngtôi, đã truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập

và thực hiện luận văn Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Banlãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, KhoaToán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương Pháp Toán

Sơ Cấp khóa 20 đã dày công giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điềukiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài.Nhân đây chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinhthần của gia đình, bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để chúngtôi hoàn thành tốt khóa học và luận văn này

Mặc dù luận văn được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức củabản thân, nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức vàkinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của quý thầy côgiáo để luận văn được hoàn thiện hơn.

Quy Nhơn, tháng 7 năm 2019

Học viên

Nguyễn Thị Thu Thanh

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách cơ bản các định nghĩa,tính chất của hàm số như hàm số chẵn, hàm số lẻ, tuần hoàn đơn điệu,lồi lõm và giới thiệu một số định lý quan trọng liên quan đến tính đơnđiệu của hàm số, cực trị, phép biến đổi đồ thị của hàm số nhằm phục

vụ cho việc giải các bài toán sơ cấp liên quan đến hàm số và đồ thị ởtrường phổ thông Nội dung đặc biệt được lấy ra chủ yếu trong tài liệutham khảo [8]

Định nghĩa 1.1 Cho một tập hợp D ⊂ R và D khác rỗng

Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc

D với một và chỉ một số, kí hiệu là f (x); số f (x) đó là giá trị của hàm

1.2 Một số tính chất đặc biệt của hàm số.

1.2.1 Hàm số chẵn và hàm số lẻ

Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) với tập xác định D ⊂ R

i) Hàm số f với tập xác định D được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi

Định lí 1.1 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)

i) Nếu f0(x) > 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) đồng biếntrên khoảng đó

ii) Nếu f0(x) < 0 với mọi x ∈ (a; b) thì hàm số y = f (x) nghịch biếntrên khoảng đó

1.2.3 Hàm số tuần hoàn

Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f (x) xác định trên D ⊂ R được gọi làhàm số tuần hoàn nếu có một số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta luôn

là hàm lồi thực sự (chặt) trên (a, b)

ii) Hàm số f (x) được gọi là hàm lõm trên (a, b) nếu với mọi x1, x2 ∈(a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α + β = 1 ta đều có

f (αx1 + βx2) ≥ αf (x1) + βf (x2) (∗0)Nếu dấu đẳng thức (∗0) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói f (x)

là hàm lõm thực sự (chặt) trên (a, b)

1.2.5 Cực đại, cực tiểu của một hàm số

Định nghĩa 1.6 Giả sử y = f (x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b)

và điểm x0 ∈ (a; b)

a) Nếu có một số h > 0, sao cho với mọi x thuộc (x0 − h, x0 + h) và

x 6= x0 mà ta có f (x) < f (x0), thì ta nói rằng hàm số f(x) đạt cựcđại ( hay cực đại địa phương ) tại điểm x0

b) Nếu có một số h > 0, sao cho với mọi x thuộc (x0 − h, x0 + h) và

x 6= x0 mà ta có f (x) > f (x0), thì ta nói rằng hàm số f(x) đạt cựctiểu ( hay cực tiểu địa phương ) tại điểm x0 Các điểm cực đại, cựctiểu của hàm số thường được gọi chung là các điểm cực trị

Định lí 1.2 Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h)

và có đạo hàm trên K hoặc trên K\ {x0} (h > 0)

i) Nếu

(

f0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0)

f0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0, x0 + h)thì x0 là một điểm cực đại của hàm số

ii) Nếu

(

f0 (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − h, x0)

f0 (x) > 0, ∀x ∈ (x0, x0 + h)thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 1.3 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 − h; x0 + h)(h > 0) và f0(x0) = 0

i) Nếu f00(x0) < 0, thì hàm số đạt cực đại tại x0

ii) Nếu f00(x0) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

1.2.6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Định nghĩa 1.7 Cho hàm số y = f (x) xác định trên miền D ⊂ R

i) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D nếu

1.2.7 Các phép biến đổi đồ thị.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C) Khi đó, với số a > 0 ta có:

i) Hàm số y = f (−x) có đồ thị được suy ra từ (C) bằng cách, lấy đốixứng đồ thị (C) qua trục Oy

ii) Hàm số y = −f (x) có đồ thị được suy ra từ (C) bằng cách, lấy đốixứng đồ thị (C) qua trục Ox

Nhận xét 1.2.1 Từ đồ thị hàm số (C) : y = f (x) biến đổi để có

đồ thị hàm số (C0) : y = −f (−x) ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1: Từ đồ thị (C) : y = f (x) suy ra (C1) : y = f (−x)

Bước 2: Từ (C1) : y = f (−x) suy ra (C0) : y = −f (−x)

iii) Hàm số y = f (|x|) được suy ra từ (C) bằng hai bước:

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy

Bước 2: Bỏ phần nằm bên trái Oy của đồ thị (C) Lấy đối xứngphần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy

iv) Hàm số y = |f (x)| được suy ra từ (C) bằng hai bước:

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox

Bước 2: Bỏ phần (C) nằm phía dưới Ox Lấy đối xứng phần đồ thị

Hệ quả 1.1 Từ đồ thị (C) : y = u(x).v (x) suy ra đồ thị (C0) : y =

|u(x)|.v (x) bằng hai bước:

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị(C) : y = u(x).v (x)

Bước 2: Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của đồ thị (C) Lấyđối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox

v) Hàm số y = f (x) + a; (a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách, tịnhtiến đồ thị (C) lên phía trên (theo phương của Oy) a đơn vị nếu

a > 0, tịnh tiến xuống dưới |a| đơn vị nếu a < 0

vi) Hàm số y = f (x + a); (a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách, tịnhtiến đồ thị (C) sang phải (theo phương của Ox) |a| đơn vị nếu a < 0,tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu a > 0

Định lí 1.4 (Định lí Rolle) Giả sử f là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và

có đạo hàm tại mọi x ∈ (a, b) Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất mộtđiểm c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0

Định lí 1.5 (Định lí Lagrange) Giả sử f là hàm liên tục trên [a, b] và cóđạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b) Khi đó tồn tại ít nhất một điểm

c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) = f0(c) (b − a) hay f0(c) = f (b) − f (a)

b − a .

số và tính tuần hoàn; Hàm số và tính chẵn lẻ; Hàm số, tiếp tuyến và đồthị; Hàm số và tính liên tục; Hàm số và tính đơn điệu; Hàm số và tính lồilõm, Tuy nhiên, trong nhiều bài toán chúng liên quan đến nhiều tínhchất khác nhau của hàm số.

n.

Đặt T = na = mb Khi đó

(

F (x + T ) = f (x + na) + g (x + mb) = f (x) + g (x) = F (x) , ∀x ∈ M

G (x + T ) = f (x + na) g (x + mb) = f (x) g (x) = G (x) , ∀x ∈ MHơn nữa ∀x ∈ M thì x ± T ∈ M

Vậy F (x) , G (x) là những hàm tuần hoàn trên M

Bài toán 2.2 Có tồn tại hay không các hàm số f : R → R và g : R → Rtrong đó g là hàm số tuần hoàn và thỏa mãn:

x3 = f ([x]) + g ([x]) , x ∈ R,với [x] là số nguyên lớn nhất bé hơn hoặc bằng x ?

Lời giải

Giả sử có các hàm số f và g thỏa mãn đề bài

Gọi T là chu kì của g thì T > 0

Vì

x3 = f ([x]) + g ([x]) , ∀x ∈ Rnên

(x + T )3 = f (x + T ) + g (x) ,suy ra

f ([x + T ]) − f ([x]) ≡ T3 + 3T2 + 3T x2.(∗)Cho x ∈ [0, [T ] + 1 − T ] thì vế trái (*) là hằng số nên (*) cho ta một đathức bậc hai có vố số nghiệm, do đó T = 0, điều này vô lý

Vậy không tồn tại hai hàm số f, g thỏa mãn đề bài

Bài toán 2.3 Cho a > 0 và hàm số f : R → R thỏa điều kiện

4 − f (x) + f2(x)

= 1

2 +

f (x) − 1

2

Bài toán 2.4 Cho hàm số f (x) xác định trên D và

−1

f (x),suy ra

f (x + 4a) = −1

f (x + 2a) = f (x).

Do đó f (x) là hàm số tuần hoàn

Bài toán 2.5 Cho hàm số y = f (x) được xác định trên R và thỏa mãn

(

f (x + 3) ≤ f (x) + 3

f (x + 2) ≥ f (x) + 2, ∀x ∈ R

Chứng minh rằng g(x) = f (x) − x là hàm tuần hoàn

Lời giải.Từ điều kiện đầu bài ta có:

Vậy g(x) là hàm tuần hoàn

Bài toán 2.6 Tìm tất cả các đa thức f (x) với hệ số thực sao chocos f (x), x ∈ R là hàm tuần hoàn

Lời giải.

a) Ta có hàm số y = f (x) + g(x) có tập xác định D

Do hàm số y = f (x); y = g(x) lẻ nên ∀x, x ∈ D ⇒ −x ∈ D và

f (−x) = −f (x); g(−x) = −g(x),mà

f (−x) = f (−x) + g(−x) = −f (x) − g(x) = − [f (x) + g(x)] = −f (x),suy ra hàm số y = f (x) + g(x) là hàm số lẻ

Bài toán 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số

y = x3 − (m2 − 9)x2 + (m + 3)x + m − 3,nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Bài toán 2.10 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

Với mọi x < 0 ta có −x > 0, suy ra

Lời giải Điều kiện xác định √

x2 + 1 6= 1 ⇔ x 6= 0,Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\ {0}

Dễ thấy với mọi x ∈ R\ {0} ta có −x ∈ R\ {0} và f (−x) = f (x)

Dễ thấy với mọi x ∈ R ta có −x ∈ R và f (−x) = f (x)

Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.

Bài toán 2.12 Cho hàm số f : R → R xác định bởi

y = f (x) = (1999)x+ (1999)2−x.Với giá trị nào của a thì hàm y = f (x + a) là hàm số chẵn ?

Lời giải Ta có

f (x) = (1999)x+ (1999)2−x, ∀x,suy ra

Vậy nếu a = 1 thì y = f (x + a) là hàm chẵn trên R

Bài toán 2.13 Giả sử f (x) là hàm lẻ tăng Chứng minh rằng nếu a, b, c

Vì c = −a − b và f lẻ nên điều kiện F ≤ 0 tương đương với

f (a)f (b) ≤ −f (c) (f (a) + f (b)) = f (a + b)f (a) + f (a + b)f (b)(∗)

Do hàm f là hàm tăng và a ≥ 0, b ≥ 0 nên a + b ≥ a, a + b ≥ b, suy ra(*) đúng Vậy F ≤ 0

Khi quay góc 450 ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ thì điểm(a, b) biến thành điểm  a − b

√

2 ,

a + b

√2



Do đó điểm (x, sin x) biến thành điểm  x − sin x

√

2 ,

x + sin x

√2

.Như vậy, sau khi thực hiện phép quay trên và phép vị tự có tâm là gốctọa độ và tỉ số √

2, từ đồ thị y = sin x ta nhận được đồ thị của y = f (x).Bài toán 2.15 Hãy tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồthị của hàm số f (x) = x

3 + 1

x , biết rằng mỗi một trong các tiếp tuyến

đó cùng với các trục tọa độ giới hạn một tam giác có diện tích bằng 1

2.

!2a3 6= 1
Diện tích tam giác OBC là

S = 1

2|yB| |xC| = 1

2

... quay phép vị tự có tâm gốctọa độ tỉ số √

2, từ đồ thị y = sin x ta nhận đồ thị y = f (x).Bài toán 2.15 Hãy tìm phương trình tất tiếp tuyến với đ? ?thị hàm số f (x) = x

3... dụng tính chất sau hàm liên tục:

(1) Tổng hiệu hàm liên tục liên tục

(2) Nếu k(x) hàm liên tục λ ∈ R hàm số f (λx) liên tục.Giả sử α, β ∈ [a; b]

Theo điều kiện toán hàm f... −f (x),suy hàm số y = f (x) + g(x) hàm số lẻ

Bài tốn 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số< /p>

y