Kiến thức chuẩn bị
Lưới và điểm lưới
Trong không gian Euclide 2 chiều, tọa độ(x; y)được gọi là tọa độ nguyên nếux ∈Zvày ∈Z.
Cho điểmM (khác gốc tọa độO) và 2 vectơ − → u, − → v có tọa độ nguyên, − → u và
→ v không cùng phương Tập tất cả các ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến
T k − → u +t − → v (k, t ∈ Z ) là một lưới Mỗi lưới khác nhau có hình cơ sở là các hình bình hành khác nhau về kích thước (Hình 1.1).
Khi hai vectơ − → u và − → v vuông góc và có cùng độ dài, chúng tạo thành một lưới vuông với hình cơ sở là hình vuông Trong hệ trục tọa độ song song với các cạnh của hình vuông cơ sở, các đỉnh của hình vuông sẽ là các điểm có tọa độ nguyên, với đơn vị độ dài tương ứng là độ dài cạnh hình vuông cơ sở (|− → u |, |− → v |).
Mỗi vị trí ảnh của điểmM qua phép tịnh tiến nói trên là một điểm lưới.
Hiển nhiên các điểm lưới có tọa độ nguyên.
Lưới nói chung và lưới vuông nói riêng có các tính chất sau:
• Trùng với chính nó khi điểm lưới này dịch chuyển đến điểm lưới kia bằng sự dịch chuyển song song.
• Trùng với chính nó khi xoay180 o xung quanh một điểm lưới bất kỳ của nó.
Trong phạm vi nội dung bài luận, chúng tôi sử dụng lưới vuông để nghiên cứu về định lý Pick.
Đa giác lưới, điểm biên và điểm trong
Đa giác lưới là những đa giác đơn không tự cắt, với tất cả các đỉnh là điểm lưới Điểm biên là các điểm lưới nằm trên các cạnh của đa giác, bao gồm cả các đỉnh Trong khi đó, điểm trong là những điểm lưới nằm bên trong vùng của đa giác lưới.
Hình 1.3: A và B là hai điểm biên, C là một điểm trong của đa giác lưới P
Định lý Pick
Sơ lược về việc chứng minh định lý Pick
Kể từ khi định lý Pick được phổ biến, nhiều phép chứng minh đã được công bố, trong đó nổi bật là chứng minh của Honsberger thông qua việc phân chia đa giác thành các tam giác nguyên thủy và chứng minh dựa vào định lý Euler của Funkenbusch Để làm cho việc trình bày các phép chứng minh trở nên ngắn gọn và rõ ràng hơn, tác giả sẽ giới thiệu một số đơn vị kiến thức cần thiết.
Tam giác nguyên thủy là tam giác có các đỉnh là điểm lưới, không có điểm lưới nào khác nằm trên các cạnh và bên trong của nó.
Mệnh đề 1.1 Tam giác nguyên thủy có diện tích bằng 1
2 Chứng minh Theo hình học giải tích, diện tích tam giác với các đỉnh(x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ),(x 3 ; y 3 )là
Các đỉnh của tam giác nguyên thủy là các điểm lưới, dẫn đến giá trị x và y đều là số nguyên Do đó, giá trị của P (diện tích) là số nguyên dương, với giá trị nhỏ nhất bằng 0 Nếu P = 0, ba điểm lưới sẽ trùng nhau hoặc thẳng hàng, không tạo thành tam giác Do đó, diện tích của một tam giác nguyên thủy tối thiểu là 1.
2. Để chỉ ra rằng nó chính xác bằng 1
Tam giác nguyên thủy T được đặt vào hình chữ nhật R sao cho một cặp cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng đi qua đỉnh bên trái nhất và đỉnh bên phải nhất của T Cặp cạnh còn lại của hình chữ nhật được đặt trên hai đường thẳng đi qua đỉnh cao nhất và đỉnh thấp nhất của T.
Hình 1.4: Tam giác nguyên thủy T trong hình chữ nhật R
Hình chữ nhật R thu được có k điểm trong vàl điểm biên (trong đó có
Không gian R có thể được chia thành các tam giác nguyên thủy, và bất kỳ sự phân vùng nào của R đều chứa số lượng tam giác nguyên thủy giống nhau Chúng tôi sẽ chứng minh điều này thông qua một số góc cụ thể.
(c) Hình 1.5: Góc nhìn từ các điểm lưới trong hình chữ nhật
Mỗi điểm trong của R là đỉnh chung của một số tam giác nguyên thủy, với góc tại đỉnh đạt tới 360 độ Điều này cho thấy rằng với k điểm trong, ta có góc 360 độ (Hình 1.5(a)).
• Tại mỗi điểm biên không là đỉnh của R (có l − 4 điểm như thế), tam giác nguyên thủy đóng góp một góc là180 o Vậy, từl − 4điểm cho ta góc(l − 4)180 o (Hình 1.5(b)).
• Tại mỗi điểm biên là đỉnh của R, tam giác nguyên thủy đóng góp 90 o nên từ 4 đỉnh cho ta góc4.90 o (Hình 1.5(c)).
Tính tổng tất cả các góc của tam giác nguyên thủy trong một phân vùng nhất định, ta có công thức tổng quát là k.360° + (l - 4)180° + 4.90° Đồng thời, tổng các góc trong mỗi tam giác luôn bằng 180°, vì vậy với tam giác, ta có tổng các góc là 180°.
Do đó,n chỉ phụ thuộc vàokvàl mà không phụ thuộc vào cách phân vùng
Rthành các tam giác nguyên thủy Như vậy, bất kỳ sự phân vùng nào củaR cũng chứa số tam giác nguyên thủy như nhau.
Chúng ta sẽ phân vùng R thành các tam giác nguyên thủy đồng dạng bằng cách vẽ các ô vuông cơ sở và tất cả các đường chéo của chúng Phân vùng này bao gồm n tam giác nguyên thủy, mỗi tam giác có diện tích bằng 1.
2 Khi đó ta có diện tích của hình chữ nhậtRlà
Hình 1.6 cho thấy rằng R được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy đồng dạng, được ký hiệu là T1, T2, , Tn, trong đó T là một trong các tam giác nguyên thủy này Diện tích của mỗi tam giác Ti (với i = 1, n) được ký hiệu là A(Ti).
Từ kết quả chứng minh trên ta có
Mặt khác, khi điền các tam giácT i vàoRlại có n
Hay, mọi tam giác nguyên thủy đều có diện tích là 1
Tổng số đo các góc trong của đa giác có n cạnh
Mệnh đề 1.2 Tổng số đo các góc trong của đa giác có n cạnh (n ∈ N , n ≥ 3) là
Chứng minh Ta chứng minh điều này bằng phương pháp quy nạp.
Đối với n = 3, tổng các góc trong của tam giác là 180 độ Giả sử điều này đúng với n = k (k ∈ N, n > 3), có nghĩa là đa giác có k cạnh có tổng số đo các góc trong là (k - 2)180 độ Để chứng minh điều này đúng với n = k + 1, chúng ta xem xét một đa giác có k + 1 cạnh Bằng cách nối hai đỉnh không liền kề gần nhau nhất, đa giác này có thể được chia thành một đa giác có k cạnh và một tam giác Do đó, tổng số đo các góc trong của đa giác có k + 1 cạnh sẽ bằng tổng số đo các góc trong của đa giác có k cạnh cộng với tổng số đo các góc trong của một tam giác.
Để chứng minh, ta có công thức (k − 2)180° + 180° = (k − 1)180° = [(k + 1) − 2]180° Định nghĩa 1.1: Đa giác đơn là một đa giác có các cạnh không tự cắt và không có lỗ hổng, nghĩa là miền của đa giác là một miền đơn liên.
Mỗi đa giác đơn có thể được phân hoạch thành các tam giác, trong đó các đỉnh của tam giác là đỉnh của đa giác hoặc điểm bên trong Hình nhận được từ phân hoạch này là một đồ thị phẳng Định lý 1.2.2, hay còn gọi là định lý cạnh, cho phép tính số cạnh của đồ thị dựa trên số đỉnh nằm trên biên và số đỉnh bên trong của đa giác.
E = 3I + 2B − 3, trong đó E là số cạnh, B là số đỉnh biên, I là số đỉnh trong.
Hình 1.7: Đa giác Q có 5 đỉnh biên, 2 đỉnh trong, số cạnh là E = 3.2 + 2.5 − 3 = 13.
Chứng minh Xét một đa giác đơn với phân hoạch tam giác hoàn toàn.
• Nếu chèn thêm vào đa giác một đỉnh trong thì số cạnhE sẽ tăng thêm
3 cạnh Thật vậy, gọiE t là số cạnh của đa giác sau khi chèn thêm một đỉnh trong Khi đó, ta có
Khi chèn thêm một đỉnh biên vào đa giác, số đỉnh biên của đa giác ban đầu sẽ trở thành đỉnh trong của đa giác mới, có thể bằng 0 Số cạnh E sẽ tăng thêm x + 2, trong đó x là số cạnh nối đỉnh biên mới với các đỉnh biên của đa giác cũ, và 2 cạnh nối với 2 đỉnh biên của đa giác cũ để hình thành đa giác mới Do đó, nếu gọi Eb là số cạnh của đa giác sau khi chèn thêm một đỉnh biên, ta có thể xác định mối quan hệ giữa số cạnh trước và sau khi chèn.
E + x + 2 = (3I + 2B − 3) + x + 2 = 3(I + x) + 2(B − x + 1) − 3 = E b Định lý được chứng minh.
Chứng minh định lý Pick dựa vào phép phân chia đa giác thành các tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970)) 11
thành các tam giác nguyên thủy (Honsberger(1970))
Theo định lý Pick, một tam giác nguyên thủy có 3 điểm biên (B) và 0 điểm trong (I) sẽ có diện tích bằng 1.
2 Vậy, định lý Pick tính đúng cho diện tích của tam giác nguyên thủy. Tiếp theo, ta cần xem xét định lý Pick với một đa giác lưới bất kỳ Ta chứng minh rằng, mọi đa giác lưới đều có thể được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy và số lượng tam giác nguyên thủy trong các cách phân vùng khác nhau là bằng nhau Chúng ta sẽ chứng minh điều này bằng cách thiết lập một số góc như khi chứng minh về diện tích tam giác nguyên thủy.
Giả sử có một đa giác lưới với v đỉnh, B điểm biên và I điểm trong Các tam giác nguyên thủy trong phân vùng sẽ đóng góp vào việc đo các góc của đa giác này.
• Mỗi điểm trong của đa giác đóng góp một góc360 o Suy ra, vớiI điểm trong cho ta góc360I o
Tại mỗi điểm biên không phải là đỉnh của đa giác, tam giác nguyên thủy tạo ra một góc là 180 độ Với B - v điểm như vậy, tổng số góc sẽ là (B - v)180 độ.
Tại mỗi đỉnh của đa giác, tam giác nguyên thủy tạo ra một góc tương ứng với góc trong của đa giác tại điểm đó, do đó tổng số góc tại v đỉnh là (v - 2)180 độ.
Nếu sự phân vùng đa giác này cóntam giác nguyên thủy thì tổng các góc sẽ là180n o (vì tổng 3 góc trong mỗi tam giác là180 o ) nên ta có
Lại có diện tích mỗi tam giác nguyên thủy đúng bằng 1
2 nên đa giác sẽ có diện tích là
2 + I − 1. Định lý được chứng minh.
Chứng minh định lý Pick dựa vào định lý Euler (Funken-
Chứng minh Xét một đa giác lưới bất kỳ được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy Dễ thấy rằng đây là một đồ thị phẳng (Hình 1.8).
Hình 1.8: Đa giác lưới được phân vùng thành các tam giác nguyên thủy
Theo lý thuyết đồ thị, mọi biểu diễn phẳng của một đồ thị đều có số vùng bằng nhau, dẫn đến số tam giác nguyên thủy trong các phân vùng đa giác cũng giống nhau Định lý Euler (1758) thiết lập mối liên hệ giữa số đỉnh (V), số cạnh (E) và số vùng (F) của một đồ thị phẳng liên thông, trong đó một vùng là vùng vô hạn.
Giả sử đa giác lưới có B điểm biên và I điểm trong, theo Định lý cạnh (Định lý 1.2.2), tổng số cạnh trong một phân vùng đa giác được xác định rõ ràng.
VìV là số đỉnh của đồ thị phẳng (ở đây là đa giác lưới) nên ta có
Thay thế các giá trịV, E của đa giác vào công thức định lý Euler ta được
Đối với đa giác lưới, đồ thị phẳng này bao gồm các vùng tam giác nguyên thủy và một vùng vô hạn Diện tích của mỗi tam giác nguyên thủy được biết là 1.
2 Do đó, diện tích của đa giác sẽ là
2 = A. Định lý được chứng minh.
Một số dạng tổng quát của định lý Pick
Đối với hình đa liên
Hình đa liên trong không gian Euclide 2 chiều là một đa giác lưới có chứa các lỗ hổng bên trong, với các lỗ hổng này là các đa giác lưới đơn.
Diện tích của hình đa liên (a) được xác định bằng diện tích của đa giác P trừ đi diện tích của tam giác H, là lỗ hổng trong hình Áp dụng định lý Pick, chúng ta có thể tính toán diện tích này một cách chính xác.
Vậy, diện tích chính xác của hình đa liên (a) là 14.5.
Mặt khác, nếu áp dụng trực tiếp định lý Pick cho hình đa liên (a) ta được
Dễ thấy giá trị này kém diện tích chính xác của nó 1 đơn vị đúng bằng số lỗ hổng của nó.
Bằng cách tương tự, ta cũng tính được diện tích chính xác của hình đa liên (b) có hai lỗ hổngH 1 ,H 2 là
Nếu áp dụng trực tiếp định lý Pick cho hình đa liên (b) ta được
Dễ thấy giá trị này kém diện tích chính xác của nó 2 đơn vị đúng bằng số lỗ hổng của nó.
Kết quả thực nghiệm về diện tích của hai hình đa liên trên dẫn đến một phỏng đoán về cách kết hợp số lỗ hổng vào định lý Pick
2 + I + H − 1, (1.3) trong đóBlà số điểm biên,Ilà số điểm trong vàHlà số lỗ hổng của hình đa liên.
Chúng tôi sẽ chứng minh rằng phỏng đoán này đúng với mọi hình đa liên trong không gian Euclide 2 chiều bằng phương pháp quy nạp Đầu tiên, đối với hình đa liên P có một lỗ hổng H, diện tích của nó được xác định một cách chính xác.
2 + I P − I H là một kết quả đúng.
Giả sử (1.3) đúng với hình đa liênP cóklỗ hổng, có nghĩa là ta có
2 + (I P − I H 1 − I H 2 − ã ã ã − I H k − B H 1 − B H 2 − ã ã ã − B H k ) + k − 1 là diện tích của hình đa liênP cók lỗ hổng Ta cần chứng minh (1.3) đúng với hình đa liênP cók + 1lỗ hổng Thật vậy
Vậy, (1.3) đúng với mọi hình đa liên trong không gian Euclide 2 chiều.
Đối với hình đa diện trong không gian ba chiều
Trong phần này, chúng tôi đánh giá tính khả thi của công thức định lý Pick khi áp dụng để tính thể tích của các hình đa diện trong không gian Euclide.
3 chiều. Để bắt đầu một cách trực quan, ta kiểm tra một ví dụ cụ thể như sau: Trong không gian E 3, xét tứ diện τ với 4 đỉnh có tọa độ
(0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (1, 1, r), vớirlà một số nguyên dương (Tứ diện Reeve).
Dễ thấy rằng r cũng chính là chiều cao của τ và đáy của nó là tam giác nguyên thủy có diện tích 1
2 Từ đó ta có thể tích của tứ diệnτ là
Tứ diện τ có 4 đỉnh và không chứa điểm nguyên nào bên trong khi chiều cao lớn hơn 1 Khi chiều cao tăng, tứ diện trở nên dẹt hơn, dẫn đến việc không có điểm nguyên nào nằm trong nó Nếu áp dụng công thức định lý Pick để tính thể tích của tứ diện, ta sẽ xác định được thể tích của tứ diện τ.
Dựa vào các công thức từ (1.4) và (1.5), chúng ta nhận thấy rằng định lý Pick chưa thể áp dụng trực tiếp để tính thể tích của các hình đa diện trong không gian 3 chiều Tuy nhiên, có thể thiết lập một số điều kiện nhằm mở rộng định lý Pick cho không gian Euclide 3 chiều.
Hình 1.10: Hai tứ diện tương tự tứ diện Reeve
Lưới cơ bản và lưới thứ cấp
Trong không gian Euclide 3 chiều, tọa độ (x; y; z) được gọi là tọa độ nguyên nếux ∈Z,y ∈Zvàz ∈Z.
Cho điểm M (khác gốc tọa độO) và 3 vectơ − → u, − → v , − → w có tọa độ nguyên,
Ba vectơ này là độc lập tuyến tính, không cùng phương Tập hợp tất cả các ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến T k − → u + t − → v + h − → w (với k, t, h ∈ Z) tạo thành một lưới cơ bản L Mỗi lưới cơ bản L có đơn vị thể tích là hình hộp cơ sở được hình thành bởi ba vectơ − → u, − → v và − → w.
Với mỗi số nguyênnta xác định mộtlưới thứ cấp L nnhư sau:
Khin = 1ta có lưới thứ cấpL 1 trùng với lưới cơ bảnL.
Các lưới trong không gian 3 chiều có những tính chất tương tự như trong không gian 2 chiều, với mỗi vị trí ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến tạo ra một điểm lưới có tọa độ nguyên Để mở rộng định lý Pick vào không gian 3 chiều, chúng ta sẽ áp dụng các lưới cơ bản và lưới thứ cấp theo định nghĩa đã nêu.
Một số loại đa diện đặc biệt
Một tập con ΓcủaE 3 được gọi là một đa diện kỳ dị nếu nó khác rỗng và có một phủ đơn hình thẳng hữu hạn.
Bao lồi của một tập hữu hạn điểm trong E³ được gọi là đa giác lồi nếu nó có chiều 2 Giao điểm của đa giác lồi γ với một trong các phẳng giá của nó trong E³ được xem là cạnh của γ nếu có chiều 1, hoặc đỉnh của γ nếu có chiều không Gọi l là một lưới trong E² Diện tích của đa giác lưới γ có biên là đường cong Jordan γ được tính theo công thức nhất định.
2 l(γ) − 1, (1.6) trong đó l(γ) là số điểm lưới của l thuộc γ (bao gồm cả điểm biên và điểm trong),l(γ)là số điểm lưới củaltrênγ.
Bao lồi của một tập hữu hạn điểm trong E3 được gọi là đa diện lồi nếu nó có chiều 3 Giao điểm của đa diện lồi Γ với các phẳng giá trong E3 được phân loại thành mặt (chiều 2), cạnh (chiều 1) và đỉnh (chiều không) của Γ.
Biên của đa diện lồi Γ được định nghĩa là hợp các mặt của nó, ký hiệu là Γ Nếu Γ là một đa diện lồi, thì các mặt của Γ là các đa giác lồi Mỗi cạnh hoặc đỉnh của Γ phải là cạnh hoặc đỉnh của ít nhất một mặt của Γ, đồng thời, mỗi cạnh hoặc đỉnh của bất kỳ mặt nào trong Γ cũng phải là cạnh hoặc đỉnh của chính nó.
Mọi đa diện lồi đều có một phủ đơn hình thẳng hữu hạn, do đó nó được coi là một đa diện kỳ dị theo định nghĩa đã nêu Định nghĩa 1.2 xác định rằng, với L là một lưới cơ bản trong E³, một tập con Π của E³ được gọi là một L-đa diện.
1 Πlà một đa diện kỳ dị,
3 Π có một phủ đơn hình phẳng mà tất cả các đỉnh của nó thuộc lưới L BiênΠcủa một đa diệnΠlà tập tất cả các điểm biên củaΠ.
Một trường hợp đơn giản của L-đa diện là L-tứ diện, trong đó mỗi L-tứ diện được cấu thành từ 3-đơn hình với các đỉnh thuộc L Tứ diện cơ bản là tứ diện có các đỉnh là điểm lưới và không chứa điểm lưới nào khác ngoài các đỉnh của nó Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng một tập con π của E3 được gọi là một L-mặt kỳ dị nếu
1 πlà một đa diện kỳ dị,
3 Nếuπ khác rỗng thìπ có một phủ đơn hình thẳng gồm tất cả các đỉnh thuộcL. Định nghĩa 1.4 Một tập conπcủaE 3được gọi là mộtL -mặt không rẽ nhánh nếu:
1 πlà mộtL-mặt kỳ dị,
2 πkhác rỗng và thuần túy 2 chiều,
3 π có một phủ đơn hình thẳngK mà tất cả các đỉnh của nó thuộcLvà không có đơn hình 1 chiều nào của nó liên thuộc với nhiều hơn hai đơn hình 2 chiều.
Biên của một L-mặt không rẽ nhánh π, ký hiệu là π, được xác định là hợp của tất cả các đơn hình 1 chiều của K mà chỉ thuộc một 2-đơn hình của K Định nghĩa này cho thấy biên không phụ thuộc vào sự lựa chọn phủ K Một ví dụ cụ thể của L-mặt không rẽ nhánh là tam giác, là một đơn hình 2 chiều với 3 đỉnh thuộc lưới cơ bản L Định nghĩa 1.5 mô tả một tập con p của E³ là một L-đường kỳ dị.
1 plà một đa diện kỳ dị,
3 Nếu p khác rỗng thì p có một phủ đơn hình thẳng mà tất cả các đỉnh của nó thuộcL.
Một trường hợp đặc biệt của L-đường kỳ dị là L-đoạn thẳng, là một đơn hình 1 chiều với các điểm cuối thuộc L Đặc trưng Euler của đa diện được xác định bởi một công thức liên quan đến số nguyên n.
(−1) i+1 V i = −V 0 + V 1 − V 2 + V 3 − ã ã ã , trong đóV i là số đơn hình chiềuicủa đa diện.
Như vậy, đặc trưng Euler của hình tứ diện là
Biên của khối tứ diện là hình tứ diện với đặc trưng Euler bằng -2 Khối tứ diện có một mặt 3 chiều chính là chính nó, do đó đặc trưng Euler của nó cũng được xác định.
Một vài bổ đề và hàm số
Dãy Farey
Phân số Farey, được đặt theo tên nhà địa lý học John Farey (1766-1826), được ông công bố vào năm 1816 trong một tạp chí Triết học, nơi ông trình bày những tính chất thú vị của loại phân số này Việc nghiên cứu phân số Farey giúp giải đáp câu hỏi về số lượng phân số khác nhau và tối giản trong khoảng [0, 1] Dãy Farey thứ n, ký hiệu là F n, là tập hợp các phân số tối giản trong khoảng [0; 1] với mẫu số không vượt quá n, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Các số 0, 1 được gọi là các phần tử cơ sở của mọi dãy Farey vì được viết dưới dạng 0
Ví dụ 2.1.1 Một vài dãy Farey như:
Ta cũng có thể biểu diễn một vài dãy Farey như sau:
Hoặc dưới dạng cây Stern:
Định lý Pick đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh đặc trưng chính của dãy Farey, theo Mệnh đề 2.1 Từ đặc trưng này, chúng ta có thể tiếp tục chứng minh các đặc trưng khác của dãy Farey.
Mệnh đề 2.1([6]) Trong một dãy Farey, với hai phân số liên tiếp bất kỳ a b và c d ta có bc − ad = 1
Ví dụ 2.1.2 Hai phân số liên tiếp 1
3 trongF 3 có2.2 − 1.3 = 4 − 3 = 1 Hai phân số liên tiếp 2
Để chứng minh mệnh đề này, chúng ta áp dụng hệ tọa độ vuông góc trên mặt phẳng, phân tích các điểm nguyên thành hai lớp: điểm nhìn thấy và điểm bị ẩn.
• (a, b)là một điểm nhìn thấy nếuavàbnguyên tố cùng nhau.
• (ka, kb)là một điểm bị ẩn bởi(a, b)vớik ∈Zvàk > 1. y
Hình 2.1: (6, 3) là điểm bị ẩn bởi điểm nhìn thấy (2, 1)
Các điểm nhìn thấy và bị ẩn được sắp xếp dễ dàng trên hệ tọa độ Giả sử avàb là hai số nguyên khác 0 và nguyên tố cùng nhau, thì điểm P(a, b) bị ẩn bởi điểm Q(c, d).
Từ hai tam giác4OM Qvà4ON P đồng dạng ta có: c a = d b ⇔ c d = a b
Rõ ràng, điểm Q gần gốc tọa độ O hơn điểm P, vì P không nằm trên trục Oy (với a ≠ 0) và c < a Tương tự, ta cũng có d < b Tuy nhiên, vì a b = c d, nên a b không phải là phân số tối giản, tức là a và b không nguyên tố cùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu.
Hình 2.2: Điểm P (a, b) bị ẩn bởi điểm Q(c, d)
Trong sự liên kết phân số a/b của dãy Farey F_n với điểm nguyên (a, b), vì a và b là tối giản (tức là a và b nguyên tố cùng nhau), nên (a, b) trở thành điểm nhìn thấy Điều này có nghĩa là mỗi điểm nhìn thấy trong một vùng mặt phẳng nhất định tương ứng với một phân số trong dãy F_n nào đó Để minh chứng rõ hơn, chúng ta sẽ xem xét dãy F_4.
1 1 với các điểm nguyên tương ứng như hình vẽ (Hình 2.3).
Với các phân số a b trong dãy F 4 ta cób 6 4, a 6 3 (trừ 1
1) Do đó, các điểm nhìn thấy (a, b) nằm trên hoặc bên trong hình chữ nhật có các đỉnh là
Vì các phân số này đều bé hơn1(trừ 1
Các điểm nhìn thấy tương ứng nằm trên hoặc phía trên đường thẳng nối hai điểm O(0, 0) và (1, 1), tức là đường thẳng x = y Do đó, các điểm nhìn thấy được giới hạn bên trong và trên biên tứ giác R được tạo bởi các đường thẳng Oy, x = y, x = 3 và y = 4.
Mỗi điểm nhìn thấy trong Rl tương ứng với các phân số trong dãy F4 Giả sử T(u, v) là một điểm nhìn thấy trong không gian này.
Hình 2.3: Các điểm nguyên tương ứng các phân số trong F 4
• NếuT ∈ Oy thì nó phải là điểm (0, 1), tương ứng với phân số 0
• NếuT nằm trên đường thẳngx = ythì nó phải là điểm(1, 1), tương ứng với phân số 1
Nếu điểm T nằm ở các vị trí khác trong R, thì u sẽ nhỏ hơn v vì T nằm phía trên đường thẳng y = x Ngoài ra, v sẽ nhỏ hơn 4 vì T nằm trên hoặc dưới đường thẳng y = 4 Cuối cùng, u và v là các số nguyên tố cùng nhau vì T là điểm nhìn thấy.
Các phân số u và v đều có mẫu số nhỏ hơn hoặc bằng 4, đồng thời là các phân số tối giản Theo định nghĩa, chúng thuộc vào dãy F4.
Cuối cùng, chúng ta sẽ tổng hợp từ dãy F4 đến dãy Fn Việc vẽ các đường nối từ gốc tọa độ O đến các điểm tương ứng trong dãy Fn tạo thành một "quạt" xuất phát từ O Độ dốc của đường nối tới điểm (a, b) được xác định bởi phân số b/a Vì các phân số trong dãy Fn được sắp xếp theo thứ tự tăng dần về độ lớn, nên độ dốc của các đường nối tương ứng sẽ giảm dần Do đó, các phân số liên tiếp trong dãy sẽ tạo ra các đường nối liên tiếp trong quạt và ngược lại.
Hình 2.4: L(a, b) và M (c, d) tương ứng đại diện cho a b và c d liên tiếp
Lấy a, b và c, d đại diện cho hai phân số liên tiếp trong dãy, với L(a, b) và M(c, d) là hai điểm nhìn thấy OL và OM là hai đường nối trong quạt của dãy F n, dẫn đến việc không có điểm nhìn thấy nào trong tam giác OLM hoặc trên đoạn LM Cụ thể, không có điểm nhìn thấy nào trên OL và OM vì L và M là các điểm nhìn thấy Do đó, tam giác OLM chỉ có các đỉnh là điểm nguyên Áp dụng định lý Pick với B = 3 và I = 0, ta có kết quả mong muốn.
2 là diện tích của4OLM.
Trong dãy F n, phân số a/b xuất hiện trước phân số c/d, dẫn đến a/b < c/d hoặc b/a > d/c Khi xem xét tam giác theo chiều ngược kim đồng hồ, diện tích của 4OLM có thể được tính bằng công thức hình học giải tích.
Theo chứng minh ở trên, lại có
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.2([6]) (Phân số trung bình) Nếu a b , c d và e f là ba phân số liên tiếp bất kỳ trong một dãy Farey thì c d = a + e b + f
Ví dụ 2.1.3 Ba phân số liên tiếp 1
4 Ba phân số liên tiếp 5
Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1 ta cóbc − ad = 1vàde − cf = 1nên suy ra bc − ad = de − cf ⇔ bc + cf = de + ad
⇔ c(b + f ) = d(e + a) ⇔ c d = a + e b + f Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.3([9]) Nếu a b và c d là hai phân số liên tiếp bất kỳ trong một dãy Farey thì b + d > n.
Ví dụ 2.1.4 Hai phân số liên tiếp 1
2 trongF 3 có3 + 2 = 5 > 3 Hai phân số liên tiếp 1
Chứng minh rằng với a/b và c/d là hai phân số liên tiếp trong dãy F_n, ta xét phân số trung bình (a + c)/(b + d) Ta có: (a + c)/(b + d) - a/b = [b(a + c) - a(b + d)] / [b(b + d)] = (bc - ad) / [b(b + d)] = 1/[b(b + d)], với b(b + d) > 0 Tương tự, ta cũng có c/d - (a + c)/(b + d) = [c(b + d) - d(a + c)] / [d(b + d)] = (bc - ad) / [d(b + d)] = 1/[d(b + d)], với d(b + d) > 0, vì bc - ad = 1 theo Mệnh đề 2.1.
Nếu b + d 6 n thì a + c b + d ∈ F n Điều này vô lý vì a b và c d là hai phần tử liên tiếp Suy ra b + d > n.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.4([9]) Không có hai phân số liên tiếp nào trong một dãy Farey có cùng mẫu số ngoại trừ hai phần tử cơ sở 0
1 Chứng minh Vớin = 1ta có F 1 =
1 , 1 1 gồm 2 phần tử liên tiếp chính là hai phần tử cơ sở có mẫu số là 1.
Vớin > 1và a b và c b là hai phân số liên tiếp trong dãyF n :
1 là hai phân số liên tiếp nên suy ra b = c = 1 ⇒ a = 0 ⇒ n = 1 (Vô lí)
• Nếub > 1thì a + 16 c vì c b > a b và c < b vì c b < 1.
Mặt khác, ta lại có a b < a b − 1 < a + 1 b 6 c b
Do đó, a b − 1 là một phân số nằm giữa hai phân số liên tiếp a b và c b Điều này là vô lý.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.5([9]) Trong một dãy F n bất kỳ, tổng các tử số bằng một nửa tổng các mẫu số.
Ví dụ 2.1.5 DãyF 2 có tổng các tử số là0 + 1 + 1 = 2và tổng các mẫu số là
DãyF 5có tổng các tử số là0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 2 + 3 + 4 + 1 = 19và tổng các mẫu số là
Chứng minh Để chứng minh mệnh đề này, đầu tiên, ta cần chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.1 Nếu a b là một phân số của dãy F n thì b − a b cũng là một phân số của dãy F n đó.
Chứng minh Vì a b là một phân số của dãyF n nên ta có(a, b) = 1và06 a b 6 1 Suy ra
Hay b − a b cũng là một phân số của dãyF n Bổ đề được chứng minh.
Quay lại việc chứng minh Mệnh đề 2.5, áp dụng bổ đề trên ta được
Mệnh đề 2.5 được chứng minh.
Mệnh đề 2.6([9]) Trong dãy F n bất kỳ, mẫu số của phân số liền trước và liền sau phân số 1
2 là số nguyên lẻ lớn nhất không vượt quá n
Ví dụ 2.1.6 Dãy F 4 có mẫu số của phân số liền trước và liền sau phân số 1
2 là3 DãyF 7có mẫu số của phân số liền trước và liền sau phân số 1
Chứng minh Gọi a b là phân số liền trước 1
2 trong dãyF n bất kỳ Theo Mệnh đề 2.1 ta có b − 2a = 1 ⇔ b = 2a + 1.
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.3 ta có b + 2 > n ⇔ b > n − 2 ⇔ b > n − 1
Vậy, b là số nguyên lẻ bé nhất không vượt quá n Mệnh đề 2.6 được chứng minh.
Đường tròn Ford
Trong phần này, chúng tôi tìm hiểu về đường tròn Ford dựa vào tài liệu
[9] Đường tròn Ford là một trong những mở rộng hình học của phân số Farey.
Với mỗi số nguyênm, tại điểm(m, 1
2 ), vẽ một đường tròn có bán kính bằng 1
Khi có một chuỗi đường tròn tiếp xúc liên tiếp, chúng ta có hai tiếp tuyến chung là hai đường thẳng ngang y = 0 và y = 1 Các tiếp điểm của mỗi đường tròn trong chuỗi đầu tiên với hai tiếp tuyến này lần lượt là (m, 0) và (m, 1) Giữa hai đường tròn liên tiếp, chúng ta vẽ một đường tròn tiếp xúc với chúng và đường thẳng y = 0 Quá trình này tiếp tục với các chuỗi đường tròn mới, tạo thành hình vẽ như mô tả.
Hình 2.5 mô tả chuỗi các đường tròn tiếp xúc liên tiếp, trong đó tiếp điểm của mỗi đường tròn với đường thẳng y = 0 là một số hữu tỷ Hai đường tròn sẽ tiếp xúc nhau nếu và chỉ nếu hai số hữu tỷ tương ứng nằm liên tiếp trong một dãy Farey, như thể hiện trong Hình 2.6.
Trong hệ tọa độ Oxy, đường tròn Ford, ký hiệu C(a, b), là các đường tròn có tâm tại tọa độ (a, b) và tiếp xúc với trục OX tại điểm có hoành độ là phân số tối giản a/b Hình 2.6 minh họa chuỗi các đường tròn tiếp xúc cùng với dãy Farey.
Một số hình ảnh đẹp của đường tròn Ford sau khi được cách điệu trong
[9] và tác giả sưu tầm trên internet (Hình 2.7).
Mệnh đề 2.7 Với hai đường tròn Ford khác nhau C(a, b) và C(c, d) , khi đó:
1 Hai đường tròn tiếp xúc nhau nếu |bc − ad| = 1
2 Hai đường tròn không tiếp xúc nhau nếu |bc − ad| > 1
Chứng minh ChoC(a, b)vàC(c, d)là hai đường tròn Ford có bán kính tương ứng làr,Rvà các ký hiệu như hình vẽ (Hình 2.8).
Hình 2.7: Đường tròn Ford cách điệu
Dễ thấy rằng, bán kính của mỗi đường tròn chính là tung độ tâm của nó. Hay r = 1 2b 2 và R = 1
GọiDlà khoảng cách giữa hai tâmO 1 vàO 2 Áp dụng định lý Pytago cho 4M O 1 O 2 vuông tạiM ta được
Hình 2.8: Đường tròn Ford C(a, b), C(c, d) Xét hiệu sốD 2 − (r + R) 2 ta được
Đẳng thức b²c² − 2bcad + a²d² − 1b²d² = (bc − ad)² − 1b²d² > 0 xảy ra khi và chỉ khi |bc − ad| = 1 Điều này có nghĩa là khi |bc − ad| = 1, ta có D² − (r + R)² = 0, tức là hai đường tròn tiếp xúc nhau Nếu |bc − ad| > 1 thì
D 2 − (r + R) 2 > 0, hai đường tròn không tiếp xúc nhau Mệnh đề được chứng minh.
Khi biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ, bất kỳ hai phân số Farey liên tiếp nào cũng có hai đường tròn đi qua chúng, và hai đường tròn này sẽ tiếp xúc nhau Điều này được minh họa qua dãy Farey thứ 7.
Mệnh đề 2.8 Giả sử a b < e f < c d là ba phân số liên tiếp của dãy F n Khi đó
C(a, b) tiếp xúc với C(e, f ) tại điểm
5 7 Hình 2.9: Biểu diễn F 7 và C(e, f) tiếp xúc với C(c, d) tại điểm
Chứng minh Ký hiệu độ dài các đoạn như hình vẽ (Hình 2.10).
Hình 2.10: C(a, b) tiếp xúc C(c, d) Áp dụng định lý Thales ta có m e f − a b = n
(Vì a b và e f là hai phân số liên tiếp trongF n nêneb − af = 1.) và n =
2f 2 (b 2 + f 2 ) Vậy, tọa độ điểmA 1là(x 1 , y 1 ), trong đó: x 1 = e f − m = e f − b f (b 2 + f 2 ) y 1 = 1
Bằng cách tương tự, ta cũng tìm được tọa độ củaA 2 Mệnh đề được chứng minh.
Một số bài toán khác
Định lý Pick không chỉ được ứng dụng trong dãy Farey và đường tròn Ford mà còn được sử dụng để giải quyết nhiều bài toán khác, như những bài toán mà tác giả đã sưu tầm.
Bài toán 2.3.1 Chứng minh rằng không có tam giác đều nào có các đỉnh là các điểm nguyên.
Định lý Pick chứng minh rằng diện tích của một đa giác lưới bất kỳ được tính bằng nửa số điểm biên cộng với số điểm bên trong và trừ đi 1 Điều này cho thấy diện tích của các đa giác lưới, bao gồm cả tam giác lưới, là một số hữu tỷ.
Tuy nhiên, bằng công thức tính diện tích sơ cấp thường dùng nhất, ta tính được diện tích của một tam giác đều cạnha là
Diện tích của một tam giác đều không thể là số hữu tỷ, vì a² là số hữu tỷ (theo định lý Pythagore), trong khi √3 là số vô tỷ Do đó, tích của chúng sẽ là số vô tỷ.
Vậy, không có tam giác đều nào có các đỉnh là các điểm nguyên.
Bài toán 2.3.2 Tìm tất cả các số nguyên dươngnsao cho tồn tạin- giác đều có các đỉnh là các điểm nguyên.
Giả sử tồn tại n-giỏc đều A1, A2, , An có các đỉnh là các điểm nguyên Theo Định lý Pick, diện tích của tam giác A1, A2, A3 là một số hữu tỷ.
2n ∈Q ⇒ 2 cos 2π n ∈Q (2.3) Xét dãy đa thức{F n } n>1xác định bởi
Dễ thấy với mỗin,F n là monic có bậcn, có hệ số nguyên và
2 cos 2π n là một nghiệm của đa thứcF n − 2 (2.4)
Do không có tam giác đều với các đỉnh là điểm nguyên, nên cũng không tồn tại lục giác đều Do đó, giá trị của n chỉ có thể là 4 Hình vuông có thể có các đỉnh là điểm nguyên, điều này dễ dàng nhận thấy.
Bài toán Frobenius (Bài toán 2.3.3) đặt ra vấn đề về việc đổi tiền tại ngân hàng chỉ với hai loại tiền tệ là 3 nghìn và 5 nghìn Câu hỏi đặt ra là liệu có thể đổi một tờ tiền n nghìn (n ∈ N) thành các tờ 3 nghìn và 5 nghìn hay không Trong một số trường hợp, như khi n = 4, việc đổi tiền không khả thi, trong khi với các giá trị n lớn hơn, việc này luôn có thể thực hiện Một câu hỏi thú vị là giá trị lớn nhất của n mà không thể đổi được là bao nhiêu, và đây là vấn đề lần đầu tiên được Frobenius nêu ra.
Bằng cách toán học hóa vấn đề, chúng ta có thể diễn tả bài toán như sau: Cho tập A = {a1, a2, , ad} gồm d số nguyên dương với d > 1, sao cho ước chung lớn nhất (UCLN) của (a1, a2, , ad) bằng 1 Một số tự nhiên n được coi là có thể biểu diễn theo tập A nếu tồn tại các số tự nhiên m1, m2, , md sao cho n = m1*a1 + m2*a2 + + md*ad.
P i=1 m i a i Tìm số tự nhiên lớn nhất không biểu diễn được theo tập
Kết quả của bài toán này được gọi là số Frobenius của A và kí hiệu là g(a 1 , a 2 , , a d ).
Mệnh đề 2.9 Nếu p và q là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau (p, q > 1) thì g(p, q) = pq − p − q.
B (−1, p − 1) px + qy = pq − p − q px + qy = pq
Chứng minh Trong hình trên, tứ giácABCDkhông chứa điểm nguyên nào trên các cạnh ngoàiA, B, C, D Áp dụng công thức dây giày ta có
= p + q. Áp dụng Định lý Pick ta thấy số điểm nguyên nằm trong tứ giácABCDlà p + q − 1, dễ thấy các điểm này đều nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Mỗi đường thẳng trong hệ phương trình px + qy = pq = p - q + i với i = 1, p + q - 1 chỉ chứa tối đa một điểm nguyên nằm trong tứ giác ABCD Kết hợp với thông tin trước đó, mỗi đường thẳng này đều có đúng một điểm nguyên trong tứ giác ABCD.
Mỗi đường thẳng có phương trình px + qy = m với m = pq + 1, pq + 2, đều có ít nhất một điểm nguyên trong góc phần tư thứ nhất, từ đó chúng ta có thể suy ra điều cần chứng minh.
Bài toán 2.3.4 yêu cầu chứng minh rằng điểm nguyên G nằm trong tam giác ABC, với các đỉnh là điểm nguyên và không có điểm nguyên nào khác trên các cạnh ngoài các đỉnh Để chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC, ta cần phân tích vị trí của G và các đỉnh của tam giác Việc G là điểm nguyên duy nhất trong vùng tam giác cho thấy nó phải có vai trò đặc biệt trong cấu trúc hình học của tam giác.
Chứng minh Theo Định lý Pick, ba tam giác là4GAB, 4GBC, 4GACđều có diện tích bằng 1
3 AH. Áp dụng Định lý Thales trong4AHM ta được
Vậy,Glà trọng tâm của4ABC.
Bài toán 2.3.5 Chứng minh rằng nếu các đỉnh của một ngũ giác lồi là các điểm nguyên thì diện tích của nó không bé hơn 5
Giả sử ngũ giác không có điểm nguyên nào khác ngoài các đỉnh, ta nhận thấy rằng tồn tại hai đỉnh thỏa mãn hai hoành độ và hai tung độ có cùng tính chẵn - lẻ Trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh này sẽ là một điểm nguyên nằm trong hoặc trên các cạnh của ngũ giác Vì không có điểm nguyên nào khác trên các cạnh ngoài các đỉnh, điểm nguyên này sẽ nằm trong ngũ giác Do đó, bên trong ngũ giác có ít nhất một điểm nguyên, và theo Định lý Pick, diện tích của ngũ giác không bé hơn 5.
Nếu trên các cạnh của ngũ giác có điểm nguyên khác các đỉnh, ta có thể loại bỏ một đầu mút của cạnh chứa điểm nguyên đó và chọn nó làm đỉnh mới, tạo ra ngũ giác mới có diện tích nhỏ hơn Bằng cách lặp lại quy trình này một cách hữu hạn, chúng ta sẽ đạt được một ngũ giác mà các cạnh không chứa điểm nguyên nào khác ngoài các đỉnh Sau đó, ta có thể áp dụng Định lý Pick như trong trường hợp trước.
Vậy, ta có điều phải chứng minh.
Chọn một số nguyên lớn hơn 3, chứng minh rằng trong mặt phẳng tồn tại điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số vô tỷ Hơn nữa, với bất kỳ ba điểm nào, chúng tạo thành các đỉnh của một tam giác không suy biến có diện tích là số hữu tỷ.
Bằng phương pháp quy nạp, chúng ta sẽ xây dựng các điểm nguyên {A_n = (x_n, y_n)} với n > 1, sao cho n > 3 Các điểm A_1, A_2, , A_n phải thỏa mãn các điều kiện của bài toán, đồng thời các hoành độ và tung độ của chúng phải khác nhau đôi một.
Theo Định lý Pick, ba điểm bất kỳ có thể tạo thành ba đỉnh của một tam giác với diện tích hữu tỷ Để đảm bảo điều này, cần xây dựng một dãy điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ là số vô tỷ Ví dụ, các điểm A1 = (0, 0), A2 = (1, 1), A3 = (3, 2) đáp ứng yêu cầu này Giả sử với n > 4, ta có thể tiếp tục xác định các điểm A1, A2, , An-1 thỏa mãn điều kiện trên.
Với mỗi i = 1, n − 1, lấy số nguyên tố p i sao cho p i ≡ 1(mod4) và các số nguyêna i , b i thỏap i - a i , b i vàp i - a 2 i + b 2 i
= 1 Theo Định lý Trung Hoa, tồn tại số nguyênx n 6= x i , y n 6= y isao cho x n − x i - a i + k i p i (modp 2 i ), x n − x i - 0(modp) và y n − y i - b i (mod p 2 i ), ∀i = 1, n − 1. Ở đâyplà số nguyên tố khác tất cả cácp ivà không chia hết Q i6=j
(y i − y j ), tất nhiên là chọny n trước, chọnx n sau Ta có v p i (x n − y i ) 2 + (y n − y i ) 2
Suy ra,A n A i là số vô tỷ vớii = 1, n − 1.
Do y n − y i x n − x i 6= y i − y j x i − x j , ∀i 6= j ∈ {1, 2, ã ã ã , n − 1} nênA n , A i , A j không thẳng hàng.