GT nhat HM dinh ly stolz va ung dung 2016 07 31

Định lí Stolz và ứng dụng……….. ĐỊNH LÍ STOLZ VÀ ỨNG DỤNG HỒ MINH NHẬT Trường THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang Trong bài viết trình bày về định lí Stolz, các hệ quả và ứng dụng trong vi

Định lí Stolz và ứng dụng………

ĐỊNH LÍ STOLZ VÀ ỨNG DỤNG

HỒ MINH NHẬT Trường THPT chuyên Vị Thanh – Hậu Giang

Trong bài viết trình bày về định lí Stolz, các hệ quả và ứng dụng trong việc tìm giới hạn của dãy số dạng x n1 x n  x n a, cùng các giới hạn khác có dạng liên quan

1 Định lí Stolz và các hệ quả

1.1 Định lí Stolz

Cho hai dãy số  x và n  y thỏa mãn: n

a)  y là dãy tăng thực sự tới n 

1

a







 

1

x

a









Chứng minh

i) Trường hợp a  , khi đó 0 1

1









Theo định nghĩa giới hạn, với mọi e  cố định, tồn tại số nguyên dương N sao cho 0

với mọi n N , ta có: 1

e





2

Suy ra

 

2

Ta có



Từ đây suy ra tồn tại số nguyên dương N sao cho với mọi 1 n maxN N, 1 thì ta có

e e

e

 Điều này có nghĩa lim n 0

n

x

y 

ii) Trường hợp a hữu hạn tùy ý, khi đó 1

1

a









Đặt x n' x n ay n

1





Định lí Stolz và ứng dụng………

Áp dụng trường hợp a  0 suy ra

'

a



1







 

Khi đó tồn tại N đủ lớn sao cho với mọi n N thì x n1x n y n1y n  0 Suy ra dãy  x là dãy tăng và dần đến vô cùng n

1







n n

x

1







 

1.2 Hệ quả

1.2.1 Định lí trung bình cộng (Định lí trung bình Cesaro)

Nếu dãy  x có giới hạn là a (hữu hạn hoặc vô hạn) thì dãy số các trung bình n

cộng x1 x2 x n

n

Định lý này có thể phát biểu dưới dạng tương đương như sau:

Nếu limx n1x n thì lima x n

a

n 

Chứng minh Áp dụng định lí Stolz:

1

n

n

u







1.2.2 Định lí trung bình nhân

Nếu dãy  x dương và có giới hạn là a (hữu hạn hoặc vô hạn) thì dãy số các n

trung bình nhân n 1 .2

n

x x x cũng có giới hạn là a Chứng minh Đặt n 1 .2

n

s

n

Áp dụng hệ quả 1, ta có:

  ln 1 ln 2 ln  

n

Suy ra limn 1 .2 lim

x x x  s  a

1.2.3 Định lí trung điều hòa

Nếu dãy  x giới hạn là a (hữu hạn hoặc vô hạn) thì dãy số các trung bình n

điều hòa

n

n

x x  x cũng có giới hạn là a

Chứng minh Ta có lim x n  suy ra a lim 1 1

n

x  a

1



n

a



Định lí Stolz và ứng dụng………

2 Ứng dụng

2.1 Tìm giới hạn liên quan đến dãy số dạng x n1 x n  x n a

Dãy số x n1 x n  x n a là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng x n1  f x n , do giới hạn của dãy quá đơn giản (chỉ có thể là 0 hoặc ) nên ta chỉ xét giới hạn của dãy

ở dạng x n

n b , theo định lí trung bình Cesaro, ta xét giới hạn của

1

x b x b



 Khi đó

1

b b

b

b







Ví dụ 1 Cho dãy  x xác định bởi n 0x1  và 1 2

limnx và n 1 

lim

ln

n

n nx n



Giải Từ giả thiết suy ra x n1 x n và x  n 0;1 Vậy dãy  x giảm và bị chặn dưới n

nên có giới hạn Giả sử limx n L L  L L2 L  0

Ta có

1 1 1

n

nx









  

Theo định lí Cesaro

 

1

1

1

n

n

x

x







 

Vậy limnx  n 1

Từ đây suy ra

1  1  1

n

n



Theo định lí Stolz ta được

 

1

1

1

1

n

n

x







 



n

  

ln

n

n nx

n





Định lí Stolz và ứng dụng………

Ví dụ 2 Cho dãy  x xác định bởi n x  và 1 0 n 1 n 1 , 1, 2,

n

x

n n

Giải Từ cách xác định dãy số suy ra  x là dãy số dương và tăng n

Giả sử dãy  x bị chặn trên thì theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra dãy hội tụ, tức tồn n

tại số thực L hữu hạn sao cho lim x n   L L L 1 1 0

Vậy  x không bị chặn trên, nên n lim x n  

Ta có

2



Theo định lí trung bình Cesaro suy ra

2

Đặt u n x1x2   x v n, n n n

Khi đó  v là dãy tăng thực sự và lim n v   , theo định lí Stolz ta được n

1

1

1 2

1

2

3

1

2

1 lim

1 1 lim

2 2

n

n

n

n

x

x n

n n





















 

       

3

n

Ví dụ 3 Cho k là một số nguyên dương và dãy  x xác định bởi n

1

1

x





Tính limk

n

n x

Định lí Stolz và ứng dụng………

Giải Dễ dàng chứng minh được x n 0;1 ,    Và ta có n *

Suy ra  x là dãy giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn n

n

Vậy limx  n 0

Ta có

1

k k n

x

 

1 2

0

1

k k

j k j j

i

j i











Suy ra

1 2

1

1

1

k

j k j j

j

k

k









Vây theo định lí Cesaro ta được

1

1

k k n k

n

x







Ví dụ 4 (Đề thi Olympic 30-4 lần VI năm 2000) Cho dãy  x xác định bởi n

n

x

3 limx n

n

Giải Cách 1 (theo đáp án)

Nhận thấy x n   0, n

n

x

         (1) Lần lượt cho n  0,1, 2 ,n ở (1) rồi cộng lại ta được 1

0

n

Từ (1) và (2) suy ra

3

3

2

9

n

9

n

Mặt khác ta có

2

1

n





Định lí Stolz và ứng dụng………

           

Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có

2

2

Suy ra

1

1

n

k

n n k



Từ (2), (3), (4) và (5) suy ra

9

Vì

9

Vậy

3

n 

Cách 2 (sử dụng định lí Stolz)

0

Giả sử dãy có giới hạn hữu hạn là L thì 12

L L

L

  (vô nghiệm), điều này chứng tỏ dãy không bị chặn trên và limx   n

Ta có

3



Theo định lí Stolz ta được

3

1

x

Nhận xét Rõ ràng đề thi là bài toán rất khó khi phải sử dụng cách 1 để tìm

3 limx n

n Cách giải này sử dụng nhiều phép biến đổi và đánh giá phức tạp để được bất đẳng thức (*), từ đó sử dụng định lí kẹp suy ra giới hạn Cách giải 2 rõ ràng ngắn gọn, có nhiều ưu điểm hơn cách giải 1

Ví dụ 5 (Chọn đội tuyển Việt Nam, 1993) Cho dãy số  a được xác định bởi n a  1 1

n

a

   Hãy tìm tất cả các số thực b để dãy số a n

n

b

có giới hạn hữu hạn khác 0

0

n

a

    với mọi n , suy ra  a là dãy tăng và n a  n 1

với mọi giá trị của n Ta chứng minh a   khi n   Thật vậy, ta có n

1

n

a

Định lí Stolz và ứng dụng………

Suy ra lima   n

2

n

n

a

a

b b

3 2

1

1

n

n

a a

b

b



2

1

n

n

x

a

 , suy ra limx  n 0

3

b b



1 3

2

n

n

x

b b

b





2

b  thì lim 3

2

n

a n

b



2

b  thì lim a n

n

b

 

2

b  thì lim a n 0

n

b



2

b  là giá trị duy nhất thỏa yêu cầu bài toán

Nhận xét Ta có thể xét 3

2

b  ngay từ đầu, khi đó

3

2

1

3

2

n

a



Sau đó chỉ ra rằng khi 3

2

b  thì lim a n

n

b

2

b  thì lim a n 0

n

b

 , từ đây

dẫn đến kết luận Cách chứng minh này trình bày có gọn hơn nhưng nhìn mất tự nhiên

2.2 Các giới hạn khác có liên quan

Ở các ví dụ tiếp theo ta sẽ xét các dãy số không trực tiếp có dạng

 

1

x  x  x a, nhưng yêu cầu của bài toán gợi cho chúng ta đến định lí Stolz

(hoặc định lí Cesaro)

Ví dụ 6 Cho dãy  x xác định bởi: n

 

1

2006 1

x



Tìm limnx n

Giải Dễ thấy các số hạng của dãy đều dương

1

n

x x

x





Định lí Stolz và ứng dụng………

Do 0x1  nên từ 1  * dễ dàng chứng minh được x n 0;1 ,    n *

Ta lại có



Suy ra dãy  x giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn Giả sử a là giới hạn của dãy thì n

ta có

2016

0 1

a a

a



Khi đó

2014

1

1

Theo định lí Cesaro ta được

1 1

1

nx







Ví dụ 7 Cho dãy số  x xác định bởi n x0 1,x n1  sin x n , n 0,1, 2, Tìm

 

lim nx n

Giải Nhận xét x n 0;1 ,  n 0,1,2,

2

f x  x x  p

  

 , ta có x n1  f x n Dễ thấy f x là hàm tăng   trên 0;

2

p

 , và x0  1 x1 sin1 suy ra  x là dãy giảm n

Mặt khác dãy  x bị chặn dưới nên nó có giới hạn , giả sử giới hạn của dãy là a thì n

0;1

a  và a  sina, suy ra a  Vậy 0 x  khi n   n 0

Ta có

1

2 2 1

2

n

nx

n n









Mà theo định lí trung bình Cesaro ta được

1

sin

x x









2

Vậy

1

2 2

n

x nx

n







Ví dụ 8 Cho dãy số  x xác định bởi n

n n n

x x

x x





2 2 1

1

1

n i

x



Giải Trước hết ta xét giới hạn của dãy  x n

Định lí Stolz và ứng dụng………

0





Suy ra dãy  x là dãy tăng n

Giả sử dãy  x có giới hạn hữu hạn là a thì n

2009

2

0

a a

a a



Vậy dãy  x không có giới hạn hữu hạn hay lim n x   n

Từ đây suy ra

esaro

1

C

Cách khác: Ta có

2

1

i

x

n



1

2009 1



1

Đặt

2 2

n

i n

x u

x







1

1

1

1 2009

1 2009







1

1

1

n







Ví dụ 9 Giả sử lima n  Tính a 2

1

1

n

a

Giải Xét hai dãy số    u n , v như sau: n

n

n

Khi đó dãy  v là dãy tăng và lim n v   Ta có n

1 1

1 1

1 1

1

n

n

a

n









Định lí Stolz và ứng dụng………

Theo định lí Stolz suy ra

1

1

n



Ví dụ 10 Cho a là một số thực lớn hơn 1 Tính

2 1

2

n n

Giải Xét hai dãy số    x n , y như sau n



Khi đó dãy  y là dãy tăng thực sự tới n  Vì

2 1

1

1

n n

n n

n







1 1  2 12  1 12

2

n n

n n

a

y

Mặt khác ta có

1

1

1

1

1

1 1

1

n

a

na n











Do đó, theo định lí Stolz ta được

1

1

n

n n

n

a

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Tìm giới hạn của dãy  a với số hạng tổng quát n a được xác định bởi: n

2

1

1

2

n

Hướng dẫn

2

n

n

u

1

n

u



 c) Đặt u n  cos 1 cos 2   cos n v; n n2; lim n 0

n

u

v 

1

1

n

a

2

n

Định lí Stolz và ứng dụng………

Bài 3 Tìm các giới hạn

a)

2 lim

ln

n n

  

lim

ln

n n

  

 Hướng dẫn

2

n

n

u

n

n

u



Bài 4 Cho dãy số  x xác định bởi n x  , 1 0 1 1 , 1

n

e

giới hạn lim

ln

n

x

n

Hướng dẫn

1

esaro

1

1

n

n

n

C x

n

n e

Bài 5 Cho dãy  a thỏa n a1 1,a n1  a1a2   a n Tìm lima n

n

Hướng dẫn

2

u  n u  u u    u 

 1 

1

1

2



Bài 6 Cho dãy số  u xác định bởi n u   và 1 2

1

2

n n

u

Hướng dẫn

1 1

1

1

n

u nu











Bài 7 Cho dãy  u xác định bởi n

u  u  u u u u      Tính n limu n32

n

Hướng dẫn

1

1

1

n

u

 2 3

2

1 2

9

4

 



Bài 8 Cho dãy  x được xác định bởi n 1 0, 1 x n 1, 1, 2,

n

x  x  e  n  Tính limnx n

Định lí Stolz và ứng dụng………

Hướng dẫn

1

x  x  e  x  n x 

1

1

nx





Bài 9 Cho dãy số thực  x thỏa n 2

1

k





3

lim 3 n x  n 1

1

n

k



 thì ta có limx S  và lim n n 1 S n  , limx n  0

S S  x S S S  S  

1

S

Suy ra

3

Bài 10 Cho dãy  x thỏa n

2

2

1

n n

x

n





1

1

n k k n k

x k









Hướng dẫn Nhận xét 0x n    , suy ra 2, n 2 0 1 22 2 0

1

n

x

n







Áp dụng định lí Stolz – Cesaro:

2 1 1

1

2

1

n k

k n k

x

n n n

k













-o0o -

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải Các bài toán về dãy số NXBGD 2007

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD

2002

[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến

Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009

[4] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009

[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010

[6]Tô Văn Ban Giải tích những bài tập nâng cao NXBGD 2005

[7] www.diendantoanhoc.net