MỘT số DẠNG của ĐỊNH lý RITT và ỨNG DỤNG vào vấn đề DUY NHẤT

Để mô tả kết quả của Ritt, ta kí hiệu MC tương ứng, AC là tập các hàm phân hình tương ứng, nguyên trên C và kí hiệu LC là tập các đa thức bậc 1 Đặt E, F là các tập con khác rỗng của MC,

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐAI HOC SƯ PHẠM > > _ •

PHẠM NGỌC HOA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ RITT

VÀ ỨNG DỤNG VÀO VẤN ĐỀ DUY NHẤT

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS Vũ Hoài An

2 GS.TSKH Hà Huy Khoái

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Hà Huy Khoái và TS

Vũ Hoài An Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Cáckết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác

Tác giả

Phạm Ngọc Hoa1

Lời cảm ơn

Luận án được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán thuộc trường Đại học Sưphạm - Đại học Thái Nguyên, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.TSKH Hà Huy Khoái và TS Vũ Hoài An Các thầy đã truyền cho tác giả kiến thức,kinh nghiệm học tập và sự say mê nghiên cứu khoa học Với tấm lòng tri ân sâu sắc,tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với hai thầy

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại họcThái Nguyên, Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, cácPhòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa Toán cùng toàn thể giáoviên trong khoa, đặc biệt là tổ Giải tích đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp dở tác giảtrong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Cao đẳng Hải Dương,Phòng Ban chức năng, Phòng Đào tạo, các giảng viên trong Khoa Tự Nhiên đã tạomọi điều kiện thuận lợi giúp dở tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoànthành luận án

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ mônToán Giải tích và Toán ứng dụng Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên,Trường Đại học Thăng Long và Trường Cao đẳng Hải Dương đã luôn giúp dở, độngviên tác giả trong nghiên cứu khoa học

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới những người thân trong gia đình, đặc biệt làchồng cùng hai con trai, những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả và dành hếttình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án

Tác giả

Phạm Ngọc Hoa

4

Mục lục

ill

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Định lý cơ bản của lý thuyết số phát biểu rằng mọi số nguyên n > 2 đều biểu diễn

duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố có dạng

n = pm Pk k , với k > 1,

ỏ đó các thừa số nguyên tố Pi, , p k đôi một phân biệt và các số mũ tương ứng m 1 >

1, , m k > 1 được xác định một cách duy nhất theo n Ritt là người đầu tiên tương tựđịnh lý này đối với các đa thức

Để mô tả kết quả của Ritt, ta kí hiệu M(C) (tương ứng, A(C)) là tập các hàm

phân hình (tương ứng, nguyên) trên C và kí hiệu L(C) là tập các đa thức bậc 1 Đặt E,

F là các tập con khác rỗng của M(C), khi đó một hàm phân hình F(z) được gọi là không phân tích được trên Ex F nếu bất kỳ cách viết thành nhân tử F(z) = f o g(z) với

f (z) E E và g(z) E F đều kéo theo hoặc f là tuyến tính hoặc g là tuyến tính Năm

1922, Ritt [46] đã chứng minh định lý sau

Định lý A (Định lý thứ nhất của Ritt) Cho F ỉà tập con khác rỗng của

C[z] \ L(C) Nếu một đa thức F(z) có hai cách phân tích khác nhau thành các đa thức không phân tích được trên Fx F:

F = ựi o o • •• ^r = ýi o Ỷ 2 o •• • 'ộs, thì r = s, và bậc của các đa thức là bằng với bậc của các đa thức ip nếu không tính đến thứ tự xuất hiện của chúng.

Cũng trong [46], Ritt đã chứng minh định lý sau

Định lý B (Định lý thứ hai của Ritt) Giả sử rằng a, b,c,d E C[x] \ C thỏa

mãn aob = cod và gcd(deg(a); deg(c)) = gcd(deg(b); deg(d)) = 1 Khi đó tồn tại các hàm tuyến tính lj E C[x] sao cho (l 1 o a o l 2 , l- 1 o b o l 3 ,l 1 o c o

l 2 ,l- 1 o d o l 3 ) có một trong các dạng

(F F F F ) hoăc

n ± m m ± n) ibuụLs

6

(x n , x s h(x n ), x s h(x) n , x n ),

ở đó m,n > 0 là nguyên tố cùng nhau, s > 0 nguyên tố cùng nhau với n,

và h e C[x] \xC[x], l~ l là hàm ngược của lj, F n , F m là các đa thức Chebychev.

Ổ đây, phép phân tích F(z) = f o g(z) chính là phép hợp thành F(z) = f (g(z)) Do

đó, ta thấy rằng Định lý thứ hai của Ritt mô tả các nghiệm của phương trình a(b) =

c(d), ỗ đó a,b,c,d là các đa thức và bậc của các đa thức là nguyên tố cùng nhau Rõ

ràng phương trình đa thức được Ritt nghiên cứu là trường hợp riêng của phương

trình hàm P(f) = Q(g), ở đó P, Q là các đa thức và f,g là các hàm phân hình Phương trình hàm P(f) = Q(g) đã được nghiên cứu bỏi nhiều tác giả như Tạ Thị Hoài An-

Nguyễn Thị Ngọc Diệp [3], H.Fujimoto [19], Hà Huy Khoái-C.C.Yang [35],P.Pakoviclì [44], C.C.Yang-X.H.Hua [51],

Để ý rằng, phương trình hàm liên quan mật thiết đến vấn đề xác định duy nhấtđối với hàm phân hình-một ứng dụng của lý thuyết phân bố giá trị Vấn đề xác địnhduy nhất đã được nghiên cứu lần đầu tiên bỏi R.Nevanlinna Năm 1926,

R.Nevanlinna đã chứng minh được rằng: Với hai hàm phân hình f và g trên mặt

phẳng phức C, nếu chúng có chung nhau ảnh ngược (không tính bội) của 5 điểm

phân biệt thì f = g (Định lý 5 điểm) và nếu chúng có chung nhau ảnh ngược (có tính

bội) của 4

(a,b,c,d là các số phức nào đó sao cho

ad — bc = 0)(Định lý 4 điểm) Khỏi nguồn từ

Định lý 5 điểm và Định lý 4 điểm, vấn đề duy nhất đã được nghiên cứu liên tục vớihai hướng nghiên cứu chủ yếu và đã có rất nhiều kết quả sâu sắc của G.Dethloff, ĐỗĐức Thái, M Shirosaki, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy Khoái, Hà Huy Khoái-

Vũ Hoài An, Hà Huy Khoái-Vũ Hoài An-Lê Quang Ninh, Tạ Thị Hoài An, Tạ ThịHoài An-Hà Trần Phương, L.Lahiri, Trần Văn Tấn, Sĩ Đức Quang, A.Escassut,H.Piiịimoto

Tiếp theo, sự nghiên cứu được mỏ rộng sang một nhánh của lý thuyết xác địnhduy nhất đó là xem xét tập xác định duy nhất của các đa thức vi phân Và người đầutiên khỏi xướng cho hướng nghiên cứu này là Hayman Năm 1967, Hayman đãchứng minh một kết quả nổi tiếng rằng một hàm phân hình f trên trường số phức C

không nhận giá trị 0 và đạo hàm bậc k của f, với k là số nguyên dương, không nhận giá trị 1 thì f là hàm hằng Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau.

af + b

cf + d

điểm phân biệt thì g =

7

Giả thuyết Hayman [21] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện f

n (z)f '(z) = 1 với n là số nguyên dương và với mọi z e C thì f làhàm, hằng.

Giả thuyết này đã được chính Hayman kiểm tra với n > 1 và được Clunie kiểm tra

với n > 1 Các kết quả này và các vấn đề liên quan đã hình thành một hướng nghiêncứu được gọi là sự lựa chọn của Hayman Công trình quan trọng thúc đẩy hướngnghiên cứu này thuộc về Yang-Hua [51], hai ông đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối

với hàm phân hình và đơn thức vi phân của nó có dạng f n f Hai ông đã chứng minh

được rằng, với f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n là số nguyên, n > 11 nếu fnf1

và g n g cùng nhận giá trị phức a tính cả bội thì hoặc f, g sai khác nhau một căn bậc n

+ 1 của đơn vị, hoặc f, g được tính theo các công thức của hàm mũ với các hệ số thỏa

mãn một điều kiện nào đó Từ đó, các kết quả tiếp theo đã nhận được dựa trên xemxét các đa thức vi phân dạng (fn)(k), [fn(f - 1)](k) (Bhoosnurmath - Dyavanal [10], Fang

[18]) và có dạng [f n (af m + b)](k), [fn(f — 1)m](k) (xem Zhang và Lin, [54]), và có dạng(f)(/)p/(f),( xem K Boussaf- A Eseassut- J Ojedafll]) Năm 1997, thay vì nghiên cứucác đạo hàm bậc n, I Lahiri [36] đã nghiên cứu các trường hợp tổng quát hơn củacác đa thức vi phân không tuyến tính của các hàm phân hình nhận giá trị 1 tính cảbội Theo hướng nghiên cứu này, năm 2002 c Y Fang và M L Fang [17] đã chứngminh rằng, nếu n > 13, và đối với hai hàm phân hình khác hằng f và g, mà f(n)(f —1)2f và g(n)(g — 1)V nhận giá trị 1 tính cả bội, thì f = g Vào cuối những năm củathập kỷ này, vấn đề nhận giá trị cũng được xem xét đối với đa thức sai phân của cáchàm nguyên và các hàm phân hình Laine và Yang [37] đã nghiên cứu vấn đề phân

bố giá trị của tích sai phân đối với các hàm nguyên X C.-Qi, L.-Z Yang và K Liu[45] xem xét các tích sai phân và vi phân có dạng f (z)(n)f(z + c), và đã chỉ ra điềukiện để f = íg, với f và g là hai hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn

Năm 2007, xuất phát từ Định lý thứ hai của Ritt, F.Packovich [43] có ý

tưỏng xét ảnh ngược của hai tập compact đối với hai đa thức Ông đã tìm được điềukiện cho hai đa thức fl, f2 và hai tập compact Kp K2 thỏa mãn f1_1(Ki) = f2_1(K2) Kếtquả của F.Packovich được Đinh Tiến Cường mỏ rộng trong [13], [14] Từ Định lýRitt thứ hai và kết quả của F.Pakovich nói trên chúng tôi có nhận xét

Nhận xét Định lý Ritt thứ hai có thể được xem là kết quả đầu tiên về vấn đề xác

định hàm từ phương trình hàm P(f ) = Q(g), từ đó sinh ra các kết quả cho vấn đề xácđịnh đa thức thông qua điều kiện ảnh ngược của tập hợp điểm

Từ nhận xét này và các kết quả về phương trình hàm (xem [3], [35], [44]) nêutrên, vấn đề nghiên cứu được đặt ra tự nhiên như sau

Vấn đề 1 Xem xét sự tương tự hai định lý Ritt đối với hàm phân hình và đa thức vi

phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân

8

Vấn đề 2 Xem xét vấn đề xác định hàm, vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình và

đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân dưới góc độ của các định lýRitt

Từ đó, chúng tôi chọn đề tài: "Một số dạng của Định lý Ritt và ứng dụng vào vấn đềduy nhất" để giải quyết các vấn đề nghiên cứu trên đây, đồng

thời góp phần làm phong phú thêm các kết quả và ứng dụng của Lý thuyếtNevanlinna

2 Mục tiêu của luận án

2.1 Thiết lập một số định lý tương tự hai định lý của Ritt đối với hàm phân hình

và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức vàpadic

2.2 Tiếp cận Vấn đề xác định hàm, vấn đề duy nhất đối với hàm phân hình, đathức vi phân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp phức và p-adicdưới góc độ của hai định lý Ritt

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Vấn đề xác định hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thức sai phân trong trường hợp phức và padic dưới góc độ của hai định lý Ritt

q-Vấn đề duy nhất của hàm phân hình và đa thức vi phân, đa thức sai phân, đa thứcq-sai phân trong trường hợp phức và p-adic dưới góc độ của hai định lý Ritt

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

Sử dụng hai định lý chính và các tương tự của chúng cùng với các kiểu Bổ đềBorel của Lý thuyết phân bố giá trị để giải các phương trình hàm Các phương trìnhhàm này tương tự như phương trình hàm trong Định lý Ritt thứ hai

Sử dụng hai định lý chính để chuyển bài toán xác định hàm, bài toán duy nhất vềphương trình hàm Nhờ đó và các kết quả về phương trình hàm nói trên để đưa ra cáckết quả về vấn đề xác định hàm và vấn đề duy nhất

5 Ý nghĩa khoa học của luận án

Luận án đã đưa ra một cách tiếp cận mới đối với vấn đề xác định, vấn đề duynhất của hàm, đa thức vi phân và đa thức sai phân Đó là, xem xét các vấn đề nàydnới góc độ của hai định lý Ritt Nhờ đó thiết lập

đnợc các kết quả mới góp phần mỏ rộng thêm các ứng dụng của Lý thuyếtNevanlinna

6 Cấu trúc và kết quả của luận án

Luận án gồm có ba chnơng cùng với phần mỏ đầu, phần kết luận và tài liệu thamkhảo

9

Chnơng 1 với tựa đề: "Hai định lý của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức viphân của hàm phân hình" Trong chuông này, chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhấtđối với đa thức vi phân của hàm phân hình Nội dung của Chuông 1 đnọc viết dựatrên các bài báo [5], [7], [29] Việc nghiên cứu bài toán này gồm các bnớc sau.

Bước 1 Thiết lập các kết quả tuông tự hai định lý Ritt đối với hàm phân hình.

Bước 2 Chuyển bài toán duy nhất về phuong trình hàm và dùng kết quả

ỏ Bnớc 1

Nhn ta đã thấy ỏ trên, Định lý thứ nhất của Ritt đã chứng tỏ rằng: bất kỳ hai sựphân tích của một đa thức cho truớc thành các đa thức không phân tích đnọc sẽ chứacùng một số đa thức nhu nhau và bậc của các đa thức trong mỗi cách phân tích lànhu nhau nếu không tính đến thứ tự của chúng trong cách phân tích Từ đó, mục tiêuthứ nhất của Chuông 1 là: Thiết lập kết quả tuông tự Định lý thứ nhất của Ritt chohàm phân hình Tuy nhiên, ta thấy rằng, chứng minh của hai định lý của Ritt trong[46] duờng nhu không tuông tự đnọc cho hàm phân hình Lý do là ỏ chỗ, Ritt đãdùng đến điều kiện "hữu hạn" không điểm của đa thức trong chứng minh của ông.Khắc phục khó khăn này, truớc tiên chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2 Định lý 1.2.2

chính là một kiểu Định lý Ritt thứ hai đối với phnong trình hàm P(f 1 , f2) = Q(g 1 , g 2 ),

ở đó P, Q là các đa thức hai biến kiểu Yi và f1, f2, g 1 ,g 2 là các hàm nguyên Chú ýrằng, kết quả này đã đnọc phát biểu và chứng minh trong [2] và [32], tuy nhiên ỏ đâychúng tôi nhìn kết quả này dnới góc độ của Định lý Ritt thứ hai và đua ra một cáchchứng minh khác Nhờ áp dụng Định lý 1.2.2 và các hệ quả chúng tôi chứng minhđnọc Định lý 1.2.5, chính là một kết quả tuông tự Định lý Ritt thứ nhất đối với hàmphân hình Trong Chuông 1 còn trình bày các ứng dụng của Định lý 1.2.2 đó là Định

lý 1.3.1 và Định lý 1.3.2, các định lý này cho ta các kết quả mới về Bi — URSM cho

các hàm phân hình

Để ý rằng, vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân dạng (P(f ))(k), ỏ đó P là đathức và f là hàm phân hình, là một bài toán khó Khó khăn ỏ đây là trong truờng họptổng quát hiện chua có một mối liên hệ tốt giữa hàm đếm, hàm đặc trưng của f vớihàm đếm và hàm đặc trưng của (P(f ))(k) Vì vậy, các kết quả nhận được đã xét một sốtrường hợp riêng của bài toán này Đó là các dạng: [fn(f — 1)m](k) với f là hàmnguyên (xem [54]), (fn)(k) với f là hàm phân hình (xem [10]) Chúng tôi đã giảm bớt

khó khăn này đối với đa thức vi phân dạng (P d (f))(k) Từ đó và dùng các kiểu tương tựcủa Định lý chính thứ hai (Bổ đề 1.1.5) chúng tôi nhận được Định lý 1.3.10, đó làmột kết quả về tập xác định duy nhất đối với đa thức vi phân

Chương 2 với tựa đề: "Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất của đa thức viphân nhiều biến trên một trường không-Acsimet" Trong Chương 2, chúng tôi nghiêncứu vấn đề 2: vấn đề xác định, vấn đề duy nhất của hàm phân hình và đa thức viphân, đa thức sai phân, đa thức q-sai phân trong trường hợp p-adic dưới góc độ củaĐịnh lý Ritt thứ hai Nội dung chính của Chương 2 được viết dựa trên các bài báo[4], [5], [7] Như đã đề cập đến ỏ trên, vấn đề xác định hàm phân hình và vấn đề duy

10

nhất của các đa thức vi phân cũng đã được nghiên cứu và có các kết quả thú vị trongtrường hợp p-adic Trong [31], Khoái, An và Lai đã nghiên cứu đa thức vi phân dạng(fn)(k) và nhận được kết quả: nếu (fn)(k) và (g n ) (k nhận chung giá trị 1 có tính bội với f,

g là hai hàm phân hình khác hằng trên một trường không-Acsimet và n, k là các số

nguyên dương thỏa mãn n > 3k + 8 thì f và g sai khác nhau một căn bậc n của đơn vị.

Từ đó, bài toán thứ nhất đặt ra trong Chương 2 là: thay vì xét các hàm f, g, chúng tôixem xét các toán tử vi phân dạng (Pn(f ))(k) và (Q n (g)) (k nhận cùng một giá trị, ỏ đó P,

Q là các đa thức kiểu Fermat-Waring Từ đó, chúng tôi thiết lập được Định lý 2.2.7,

định lý này là một kết quả về vấn đề xác định duy nhất hàm phân hình trên mộttrường không-Acsimet và đa thức vi phân của nó Chú ý rằng điều kiện n > 3k + 5trong Định lý 2.2.7 là tốt hơn điều kiện tương ứng n > 3k + 8 trong kết quả củaKhoái-An-Lai (xem [31])

Trong [49] Yang đã đặt ra vấn đề sau: liệu đẳng thức f—1 (S) = g —1 (S) với S = { — 1,

1} đối với các đa thức cùng bậc f, g sẽ kéo theo f = g hay là f = —g ? Câu hỏi nàycũng đã được giải đáp trong [42], [43] Từ đó, câu hỏi thứ hai đặt ra trong Chương 2

là: cho S, T là các tập không điểm của các đa thức P(z), Q(z) tương ứng thì ta có thể kết luận gì về f, g nếu Ef (S) = Eg(T)? Định lý 2.2.8 cùng các hệ quả 2.2.9 và 2.2.10

đã giải đáp cho câu hỏi đặt ra và góp phần trả lời Câu hỏi của C.C.Yang trong [38],Câu hỏi của F.Pakovich trong [44] trong trường hợp p-adic Trong Chương 2 chúngtôi cũng thiết lập được các kết quả là Định lý 2.3.2, một kiểu Định lý Ritt thứ hai chomột vec-tơ các hàm nguyên p-adic Định lý 2.3.7 là kết quả cho vấn đề duy nhất của

đa thức vi phân nhiều biến p-adic

Chương 3 có tên gọi: "Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với tích sai phân, đa thức vi phân của hàm phân hình trên một trường không-Acsimet" TrongChương 3 chúng tôi nghiên cứu vấn đề 3 dưới góc độ Định lý thứ hai của Ritt Nộidung của Chương 3 được viết dựa trên các bài báo [6], [22]

q-Trong trường hợp phức, chủ đề này được nghiên cứu gần đây và đang được tiếptục bỏi C.Y.Fang-M.L.Fang ([17]), I.Lahiri ([36]), Laine-Yang ([37]), Liu-Cao([39]), X.C.Qi, L.Z.Yang-K.Liu ([45]), C.C.Yang ([50]), H.X.Yi ([52]), Tuy nhiên,các kết quả mới chỉ đề cập đến lớp hàm phân hình có bậc hữu hạn đối với tích saiphân hoặc bậc không đối với tích q-sai phân

Rất nhiều kết quả thú vị cũng đã nhận được đối với các hàm phân hình trên mộttrường không-Acsimet (xem [9], [16], [27], [28], [30], [41]) K.Boussaf, A Escassut,

J Ojeda ([11]) đã nghiên cứu vấn đề duy nhất đối với các hàm phân hình p-adic mà f

P (f ), g P (g) cùng nhận một hàm nhỏ Trong [9], J.-P Bezivin, K Boussaf và A.

Escassut, đã nghiên cứu các không điểm của đạo hàm một hàm phân hình padic.Mục đích của Chương 3 là thiết lập các kết quả đối với vấn đề duy nhất của tíchq-sai phân dạng fn f m (qz + c), của đa thức vi phân và q-sai phân dạng (f nm (z)f nd (qz +

c))(k) Vũ Hoài An-Phạm Ngọc Hoa [4], Vũ Hoài An-Phạm Ngọc Hoa-Hà Huy Khoái[6], Vũ Hoài An-Hà Huy Khoái [28] đã có các kết quả theo hướng nghiên cứu này

11

Chú ý rằng, tích q-sai phân và đa thức vi phân nêu trên chưa được đề cập trongtrường hợp phức Lý do là ỏ chỗ, mối liên hệ giUa hàm đặc trưng của hàm phân hình

f và hàm đặc trưng của hàm phân hình f (qz + c) có thể không thiết lập được trongtrường hợp phức Nó chỉ thiết lập được trong trường hợp padic do tính chất đặc biệtcủa chuẩn padic Dùng Bổ đề 3.1.2, 3.1.6 (các kiểu của Định lý chính thứ hai chohàm phân hình padic) và các Bổ đề kỹ thuật khác chúng tôi thu được Định lý 3.2.7,Định lý 3.3.4 cho vấn đề 3 Định lý 3.2.7 là một kết quả cho vấn đề duy nhất của tíchq-sai phân của hàm phân hình p-adic Định lý 3.3.4 là một kết quả cho vấn đề duynhất của tích q-sai phân, đa thức vi phân trong trường hợp padic

Các kết quả trong luận án được báo cáo tại Hội thảo quốc tế về giải tích phức vàứng dụng lần thứ 20 tại Hà Nội ngày 29/07-3 08/2012: Hội nghị Toán học phối hợpViệt-Pháp, Huế 20-24/08/2012; Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 8, Nha Trang 10-14/08/2013; Hội nghị Đại số- Hình học- Topo, Buôn Ma Thuột ngày 26-30/10/2016;Các Seminar của Bộ môn Giải tích, khoa Toán - trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên; Các

Seminar của nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Thăng Long và trường Cao đẳng Hải Dương

12

Chương 1

phan của hàm phân hình

Trong chương 1 chúng tôi nghiên cứu vấn đề duy nhất của hàm phân hình bằng cách cải tiến hai định lý củaRitt cho phù hợp với hoàn cảnh này Muốn vậy, trước hết chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2 như là một kiểu Định lýthứ hai của Ritt Từ đó, chúng tôi nhận được Định lý 1.2.5 và Định lý 1.3.2 Định lý 1.2.5 là một kiểu Định lý thứ

nhất của Ritt Định lý 1.3.2 là một kết quả đối với vấn đề Bi — URSM.

Tiếp theo, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.3 Đây là một kết quả về tập xác định duy nhất đối với hàm phânhình Từ đó, dùng Bổ đề 1.1.5 (một tương tự của Định lý chính thứ hai) và dùng các phương trình hàm (tương tựphương trình mà Ritt xem xét) chúng tôi nhận được Định lý 1.3.10- một kết quả về vấn đề duy nhất cho đa thức viphân

1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Trước hết, chúng tôi nhắc lại các ký hiệu và khái niệm cơ bản cùng với các kết quả bổ trợ dùng trong Chương 1(xem [1])

Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên C Với mỗi a € C, ta định nghĩa hàm : C ^ N xác định bỏi

nếu f (z) = a nếu f (z) = a với bội d

và đặt = v0 Ta định nghĩa hàm va : C ^ N xác định bỏi va (z) =min Ivf(z), l j , và đặt f = v° Đặt

Ta có các Bổ đề sau (xem trong [20]).

Bổ đề 1.1.1 (Định lý cơ bản thứ hai) Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a]_,a 2 , ,a q là các điểm phân biệt trong Cu {to} Khi đó

(q — 2)T(r, f) <Ỳ, Ni(r, —T) + S(r, f)

trong đó S(r,f) = 0(Tf (r)) với mọi r trừ ra một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn.

Hệ quả 1.1.2 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên C và a 1 ,a 2 , ,a q là các điểm phân biệt trong

C u {to} Giả sử f — aị không có không điểm hoặc f — ai có không điểm bội ít nhất mị, i = 1, , q Khi đó

E

Ta nhắc lại các khái niệm sau

Một đa thức khác hằng P(z) e C[z] được gọi là đa thức duy nhất cho các hàm phân hình trên C nếu với mọi cặp hàm phân hình f, g khác hằng trên C thỏa mãn P(f) = P(g), ta có f = g.

Tương tự, đa thức khác hằng P (z) e C[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình, nếu với bất kỳ cặp f, g là các hàm phân hình khác hằng trên C và hằng số c = 0 thỏa mãn P(f) = cP(g), ta có

f = g.

Đa thức duy nhất (tương ứng, duy nhất mạnh) đối với các hàm phân hình viết tắt là UPM (tương ứng, SUPM).

< 2

Ký hiệu M(C) là trường các hàm phân hình trên C Với f e M(C) và S c C u {TO}, ta định nghĩa

Ef(S) = u {(z,v a

f (z)): z e C}

Nếu trong định nghĩa trên, ta thay (z) bỏi V a j(z) (không tính bội) thì

ta kí hiệu tập nhận được là Ef (S) (ảnh ngược của S).

Giả sử m là một số nguyên dương hoặc TO, ta định nghĩa

E f,m) (S) = u { (z,V ĩm) (z)) : z e cỊ

Chú ý rằng, nếu m = TO thì Ef to )(S) = Ef(S) và nếu m = 1, thì Ef, 1)(S) c Ef (S). '

Giả sử F là tập con khác rỗng của M(C) Hai hàm f, g của F gọi là nhận S tính bội, (nhận S CM ), nếu Ef (S) = Eg(S) và

nhận S không tính bội, (nhận S IM), nếu Ef (S) = E g (S).

Cho tập S c C u {TO} Nếu Ef (S) = E g (S) kéo theo f = g với hai hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) khác

hằng f, g thì S gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) viết tắt là URSM (tương ứng, URSE).

Một tập S c C u {TO} gọi là tập xác định duy nhất đối với hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) không tính

bội, ký hiệu URSM — IM (tương ứng, URSE — IM), nếu Ef (S) = E g (S) kéo theo f = g.

Một tập S c C u {TO} gọi là URSM m ) ( tương ứng, URSE m ) ) nếu với bất kì hai hàm phân hình (hàm nguyên) f,g

thoả mãn điều kiện Ef,m)(S) = Eg,m)(S) kéo theo f = g.

Hai tập S 1 ,S 2 c C u {TO} được gọi là Bi — URSM (tương ứng, Bi — URSE), nếu với bất kì hai hàm phân hình (tương ứng, hàm nguyên) f,g thoả mãn điều kiện Ef (Si) = E g (Sị),i = 1, 2 kéo theo f = g.

BỔ đề 1.1.4 [24] Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C Nếu Ef (1) = Eg (1) thì một trong ba hệ thức sau là đúng:

1■ T(r, f) < N,(r, f) + N 2 (r, 1) + N2(r, g) + N2(r, 1) + S(r, f) + S(r, g),

Bất đẳng thức tương tự xảy ra đối với T(r, g);

f fg_- 1;

5- f - g

Bổ đề 1.1.5 [24] Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trên C.

Nếu Ef (1) = E g (1) ; thì một trong ba trường hợp sau đây là đúng:

Bổ đề 1.1.7 [40] Cho d,n e N*, d > n 2 , a i ,i = 1, , n + 1, là các hằng số khác không thuộc C, và f 1 , ,

f n + 1 là các hàm nguyên trên C, không đồng nhất không và thỏa mãn điều kiện a 1 fị + a 2 f d + +

a n + 1 f d + 1 = 0 Khi đó tồn tại một phân hoạch của các chỉ số, {1, ,n + 1} = uI v , thỏa mãn

i Mỗi I v đều chứa ít nhất 2 chỉ số;

ii Với j, i e I v ; ta có f i = c i j fj, ở đó c i j là hằng số khác không.

+ N2(r,g) + N^r,1^ r’/))) + S (r,f) + S (r,g),

diễn rút gọn là f = (f 1 : • • • : f N+1 )saơ cho ảnh của nó nằm trong đường

cong được xác định bởi

N +1

^ xd-qi Di (X1,X2,

i=1

1.2 Hai định lý của Ritt đối với các đa thức kiểu Fermat-Waring của các hàm phân hình

Xét các đa thức thuần nhất hai biến kiểu Fermat-Waring được xác định bỏi

P(zi,Z 2 ) = cz n + dzp m z m + ez^, Q(zi, Z 2 ) = uz n + vzp m z m + tz%.

Cho f 1 , f 2 ,g 1 ,g 2 là các hàm nguyên Trong mục này, chúng tôi xét phương trình hàm P( f 1 , f2) = Q(g 1 ,g 2 ) dưới góc độ

Định lý thứ hai của Ritt

Trước hết chúng tôi cần có bổ đề sau

Bổ đề 1.2.1 [2] Cho n,n 1 ,n 2 , ,n q E N*, a 1 ,a 2 , ,a q là các điểm,

q n' phân biệt của C c E C c = ồ và q > 2 + V — Khi đó các phương trình

i =1 n hàm

(f - P P (f - a 2 p (f - aq ) nq = cg n , (1.1)(f - ai )n i (f - a 2 )n 2 (f - aq p g n = c (1.2) không có nghiệm phân hình khác hằng (f,g).

Định lý sau là một kết quả tương tự Định lý thứ hai của Ritt Chú ý rằng, kết quả này đã được đề cập đến trong

Khoái-An-Ninh [32] và trong[2] Tuy nhiên, ỏ đây chúng tôi nhìn kết quả này dưới góc độ Định lý thứ hai của Ritt và đưa ra một cáchchứng minh khác

Định lý 1.2.2 Cho n,m E N * , n > 2m + 9, và c,d,e,u,v,t E C là các hằng số khác không Giả sử hoặc m

> 2, (m,n) =1 hoặc m > 4; f i , f 2 , g i , g 2 ỉà cấc hàm nguyên không đồng nhất không, Ỵ và — ỉà các hàm phân hình khác hằng thỏa mãn

Từ đây suy ra là một hàm hằng, điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy, f 2

có một trong các hằng số CT, C2, C3 bằng không Ta sẽ chứng minh rằng

Ta sẽ chứng tỏ rằng 1 + —1 = 0.C

2 „CGiả sử phản chứng rằng 1 + —1 = 0 Rõ ràng các đa thức

Từ đây suy ra f khác hằng và If cũng khác hằng.

Xét trnờng hợp m > 2, (m,n) = 1 Thế thì từ (1.6) ta thấy rằng số bội của mỗi không

điểm của f và f — dị là một bội của n Do n > 2m + 9 và Hệ quả 1.1.2 ta suy ra rằng

phnơng trình (1.8) không có nghiệm phân hình khác hằng, điều này mâu thuẫn với

giả thiết

Xét trnờng hợp m > 4 Do m + 1 > 2 + n — m

n

mị=

1

1

n , áp dụng Bổ đề1.2.1 cho (1.8) với q = m + 1,n = n,n1 = n — m, n2 = n3 = = nm = 1 ta cũng nhận

đnợc một mâu thuẫn với giả thiết

Do (1.12) là tương tự như (1.7) nên lập luận tương tự như chứng minh

C 1 = 0, ta nhận được một mâu thuẫn với giả thiết

Vì tgn = ef2 , nên từ (1.4) ta có

Giả sử rằng h1 không là hằng Từ (1.13) và (1.14) ta có

T(r,f) = T(r,g) + S(r,f ),S(r, f) = S(r,g),

T (r, f) = —T (r, h1) + S (r, f ),S (r, f) = S (r, h).

Đặt S(r) = S(r, f) = S(r, g) = S(r, h1) Ta xét các trường hợp sau đây Trường hợp l.m > 2, (m, n) = 1 Nếu hn - a và

hn-m - 3 không có không điểm chung thì mọi không điểm của hn - a đều có bội > m Thế thì

Ký hiệu £ là một can nguyên thủy bậc n của đơn vị, ta có

n(m — 1) < 2m,điều này mâu thuẫn với n > 2m + 9

Nếu hn — a và hn—m — p có không điểm chung thì tồn tại z0 sao cho hn (z0) = a và hn—m(z0) = ^ Từ (1.14) ta có

Vì (m, n) = 1 nên các phương trình zn — 1 = 0 và zn m — 1 = 0 có các nghiệm phân biệt khác z = 1 Đặt Ti, i =

1, , 2n — m — 2 là tất cả các

nghiêm đó Khi đó mọi không điểm của

thế, do Hệ quả 1.1.2 ta có

điều này mâu thuẫn với n > 2m + 9

Trường hợp 2 m > 4 Chú ý rằng phương trình zn — a = 0 có n nghiệm đơn, phương trình zn—m — p = 0 có n — m

nghiệm đơn Do đó zn — a = 0, zn—m — ^ = 0 ró nhiều nhất n — m nghiệm đơn chung Vì thế, có ít nhất m nghiệmcủa phương trình zn — a = 0 không phải là nghiệm của phương trình zn—m — p = 0, gọi các nghiệm đó là

Ti,T2, ,Tm Thế thì, mỗi không điểm của hi — Tj, j = 1, , m, có bội ít nhất là m Theo Hệ quả 1.1.2 ta có m(1

— —) < 2 Suy ra m < 3, mâu thuẫn với giả thiết

1

hn — a m hn — a m z

n-) < yr(r,hi)

h 1 — zj a m

j =1

Từ đây, kéo theo

nT(r, hi) < 2T(r, hi) + —T(r, hi) + S(r), (n — 2 — £■)T(r, hi) < S(r), suy ra

(1 —)(2n — m — 2) < 2, tức là, n < m m

2 + 3m — 2 2(m — 1) , (1.16)

khác hằng nên ta có

với h,l là các hằng số được xác định bỏi

Vậy Định lý 1.2.2 được chứng minh

□

Bổ đề sau đã được chứng minh trong [2] và [32]

Bổ đề 1.2.3 [2] Cho n,m e N*, c,d,e,u,v,t e C ỉà các hằng số khác không và n > 2 m + 4, và ho ặc m

> 2, (n,m) = 1, hoặc m > 4 Giả sử rằng (f, g) là nghiệm, phân hình khác hằng của phương trình

ỏ đó P e P có bậc lớn hơn 1 và f là hàm phân hình Ta có hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.4 Với mọi hàm phân hình f, ta đều có f n là hàm không phân tích được đối với P = {z n

+ dz n - m + e}, ở đó d,e là các hằng số phức khác không và n,m là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện n > m + 4.

Chứng minh Giả sử phản chứng rằng tồn tại D e P và g e M(C) sao cho

Định lý 1.2.5 Cho n,m là các số nguyên dương, thỏa mãn n > 2m + 4 và hoặc m > 2, (n, m) = 1, hoặc m > 4 Giả sử f và g là hai hàm phân hình khác hằng sao cho f (tương ứng, g) là không phân tích được trên Q (tương ứng, trên V) Khi đó, nếu ta có

f = lDs-r o • • • o D1 o g.

Nếu r < s thì f là hàm phân tích được trên Q, điều này là mâu thuẫn với giả thiết Vậy thì r = s và f = lg □

1.3 Định lý thứ hai của Ritt và vấn đề duy nhất đối với đa thức vi phân của

hàm phân hình

Trước tiên ta đưa ra hai ứng dụng của Bổ đề 1.2.3

Ký hiệu Y(a i ,bi,m,n)(x) = x n + a t x n - m + bi, (i = 1, 2),ỗ đỏ n,m G N*,n > m,a i ,b i , (i = 1, 2), là các số

phức khác không

Giả sử các đa thức Y( a b mn )(x), (i = 1,2), không có nghiệm bội với tập các không điểm tương ứng là S^ Gọi T i là

tập các không điểm của các đa thức Y(a.,bi,m,n)(x + 1), (i =1,2).

Định lý 1.3.1 Giả sử f, g là các hàm phân hình khác hằng với các ký hiệu

và giả thiết như trên Giả sử rằng n > 2m + 9, hoặc m > 2 và (m,n) = 1,

hoặc m > 4,Ef (S 1 ) = E g (So) Khi đó tồn tại số phức h sao cho g = hf

không có không điểm chung Từ Ef (S 1 ) = E g (S o ) suy ra tồn tại hàm nguyên c không có không điểm sao cho

fn + a 1 fn - m fm + bf = c(gn + a 2 gn -m g 2 m + bogn) ( 1 21 )

Do c là hàm nguyên không có không điểm, nên luôn viết được c dưới dạng c = eY = (e tf/n ) n Vì thế, không giảm

tổng quát, ta có thể giả sử c = 1 Khi đó (1.21) trỏ thành

fn+a 1 fr m f 2 m+bf = gn+aogn -m g 2 m + bogon ( 1 22 )

Chứng minh Viết f = ^~T (tương ứng g = — ) với /i, f2 (tương ứng gi,g 2 )

không có không điểm chung Từ Ef (S 1 ) = E g (S 1 ),Ef (T2) = E g(T2) suy ra tồn tại các hàm nguyên c, c không có

không điểm sao cho

fĩ + aifr m f? + bi/? = c(gĩ + a,2g;*-”gj* + b.2g?),(fi + Ã)" + a 2 (fi + f Ỵ- m fĩ + b2 fĩ

Ta gọi P(x) xác định như trên là da ¿Me eMp Mạn dược và viết P(x) = R(x) + bĩ

Đặt Vi = (ữ.,0), V2 = (0, b), Vi = (ữ-i—2, bi-2), i = 3, , q + 2 Đặt A = {a = (ai, a2)}, ỏ đó o^, a2 là 2 số phân biệt

thuộc tập {1, , q + 2} Đối với mỗi phần tử a E A, la đặt a = {ai, a2}, và ma trận liên kết

A = (Va.! \

Aa vv«2 J Giả sử rằng R(ti) + bĩ = 0 đối với bất kì không điểm ti của P' (x), (Bi)

Lấy bất kì a, a, 3, 33 E A Nếu a = ữWà ¡3 = 3 , và a = 3 hoặc a = 33 thì

Chú ý rằng, do đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện (Bi) nên suy ra rằng P(x) chỉ có các không điểm đon Chúng tôichứng minh định lý sau

Định lý 1.3.3 Giả sử P(x) là đa thức chấp nhận được và S là tập các không điểm của nó Giả sử các điều kiện (Bị), (B 2 ), (B 3 ) được thỏa mãn vàn > (2q + 3) 2

fị,f2 (tương ứng, gị,g2) là các hàm nguyên không có chung không điểm trên C Đặt

Q(zị, z2) = a n zn + bnz2 + (aịZị + bịZ2)n + -+ (ữqZị + bqZ2)n

Ta xét dạng tuyến tính L i (z ị ,z 2 ),i = 1, , q + 2, trên C2

Lị(zi, z2) = azi, L2(zi, z2) = bz2,

Ta sẽ chứng minh rằng với mỗi i = 1, 2, , q + 2, tồn tại hằng số ci sao cho Li(f ) = qL^g) Do ^ và g hằng, ta có

Li(f) = 0 Li(g) = 0 Vì n > (2q + 3)^, nên từ tó đề 1.1.7 suy ra với mỗi i = 1, 2, , q + 2, ta có một trong các khả năng sau xảy ra i/ Tồn tại i G {1, , q + 2} vớ i i = i sao cho

ii/ Tồn tại i' G {1, , q + 2} sao cho

iii/ Tồn tại các số i', i'' G {1, , q + 2}, i' = i'' sao cho

Li(f) = cii' Li'(g) = cii'' Li'' (g),cii' ,cii'' = 0

và do đó

Li'(g) = ci'i''Li''(g), ci'i'' = ° ơ-28)Nếu ta có (1.26) hoặc (1.28), ta sẽ gặp mâu thuẫn với giả thiết f và g khác hằng Vìthế, chỉ xảy ra (1.27), tức là, với mỗi i = 1, 2, , q + 2, tồn tại duy nhất i G {1, , q + 2}sao cho Li(f) = cii'Li'(g), điều này có nghĩa là

Li(fi,f2) = cii' Li' (gi^XvớiC)' = 1 (1.29)Bây giờ, ta tiếp tục chứng minh i = i' Giả sử phản chứng rằng i = i' Khi đó, tồn tại j

G {1, , q + 2} sao cho

j = ^ Lj(f) = cjiLi(g^ ở đó ji = 1 (1.30)Đặt a1 = i, a2 = j, a/

c / / ’

«2 «2 /t

1 '

cVP2

Từ các phương trình (1.33), (1.34) ta có

f = (Ả a )- í BA a / g\ f = (Áp)~ l CAp!g t (1.35)

Từ phương trình (1.35) ta nhận được (A a )~ 1 BA o! g t = (A p)-1 CAp>gt Do g khác hằng nên

ta có (A a )~ 1 BA a / = (Ap)-1 CApi.Do c n , = 1 và chú ý

detAadet(A a )-1 = 1, detApdet(Ap )-1 = 1,

suy ra ta có

điều này mâu thuẫn với giả thiết Vì vậy với mỗi i = 1,2, ,q + 2, tồn tại hằng số Cị

khác không sao cho Lị(f) = CịLị(g) Do 2 dạng tuyến tính Lị là độc lập tuyến tính và 3

dạng tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính, nên với mỗi j > 3 tồn tại các hằng số khác

không ajk sao cho

Do đó, với j > 3 ta có

2

^^ (c j c k ) a jk L k ( g ) 0 k=1

Vì f1, f2 là độc lập tuyến tính, nên kéo theo tất cả các hệ số cị là bằng nhau, đặt cị = c Khi

đó, có gị = c^ với i = 1, 2 Vậy f = g Bây giờ, ta hoàn thiện chứng minh của Định lý

1.3.3 Do giả thiết Ef (S) = E g (S) nên dễ thấy rằng tồn tại hàm nguyên h sao cho Q(f 1 , f 2 )

detBd = 1,detC d = 1 cdet Aa X n

,ldetAa

/detAp \ ndetAp/ ,

k=1

Tiếp theo, chúng tôi cần có các bổ đề sau.

Bổ đề 1.3.4 [1] Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C và n,k là một

số nguyên dương, n > k và a là một cực điểm của f Khi đó

l fk ( z _ a) n p + k , ở đó p = Ư j ° ( a ) , i f i k ( a )

BỔ đề 1.3.6 Cho f, (f ) (k) tò các hàm phân hình khấc hằng trên c và k là số nguyên dương Khi đó, ta có

Bổ đề 1.3.7 Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên c và n,k là các số nguyên dương, n > k + 1 Khi đó, ta có

m(r, ft) = m(r, fn) = m(rv fn ) = S(r, f ).Bỏi vì

Mr f < nm(r, f < m(r, f;) < m(r, Ã^ỊT) + S(r, f).Suy ra

BỔ đề 1.3.8 Cho f là một hàm, phân hình khác hằng trên c và n,k là

các số nguyên dương, n > 2k Khi đó, ta có

Bổ đề 1.3.9 Cho f là hàm phân hình khác hằng trên c và n, k là các số

nguyên dương, n > 2k, vồ P(z) tò đa thức có bậc d > 0 Khi đó, ta có

Cn) Do Bổ đề 1.3.7 ta có A = (Cn)(k) là khác hằng Mặt khác theo Bổ đề 1.3.6 và Bổ đề1.3.8 ta có

(n - 2k)T(r, C) + kN(r, C) + N(r, —^)

C n-k

< T(r, A) + S(r, f ) < T(r, Cn) + S(r, f),tức là

Định lý sau đây là kết quả về tập xác định duy nhất đối với đa thức vi phân

Định lý 1.3.10 Cho f, g là hai hàm phân hình khác hằng và P(x) là đa thức chấp nhận được Giả sử rằng các điều kiện (B 1 ), (B 2 ), (B 3 ) được thỏa mãn vàn > ( 2 q + 3) 2 , q > 1 và d > 3k + 5 Nếu (P d (f)) (k) m (P d (g)) (k) nÂận in' 1 PnÄ cả bội, thì f = g.

Chứng minh Ta có P(f) = (f - e1) (f - ed), ei e C,ei = 0, (P(f))d = (f - e

1)n (f - en)d•Đặt A = ((P (f ))d)(k), B = ((P (g ))d)(k),C = P (f ),D = P (g), F =

T(r, B) A N2(r, A) + N2(r, -1) + N2(r, B) + N2(r, -1) + S(r, A) + S(r, B).

Từ A = ((P(f))d)(k),B = ((P(g))d)(k) và do Bổ đề 1.3.9 thấy rằng S(r, A) = S(r, f), S(r, B) =S(r, g), ta nhận được

Kết hợp các bất đẳng thức trên ta có

T(r, A) < (2 + 2n + kn)T(r, f) + (2 + 2n)T(r, g) + kNi (r, C) + N(r,

+S (r,f) + S (r,g).T(r, B) < (2 + 2n + kn)T(r, g) + (2 + 2n)T(r, f) + kN1 (r, D) + N(r, -1)

+S (r,f) + S (r,g).T(r,A) + T(r, B) < (4 + 4n + kn)(T(r, f) + T(r,g)) + kNi(r,C)

+N(r, Q) + kNi(r, D) + N(r, ì) + S(r, f) + S(r, g)

Do Bổ đề 1.3.9 ta nhận được

(d - 2k)nT(r, f) + kN(r, C) + N(r, 4) < T(r, A) + S(r, f),

F(d — 2k)nT(r, g) + kN(r, D) + N(r, -1) < T(r, B) + S(r, g)

Do đó

(n — 2k)d(T(r, f) + T(r, g)) + kN(r, C) + N(r, ị) + kN(r, D) + N(r, 4)

< T(r, A) + T(r, B) + S(r, f) + S(r, s),(n — 2k)d(T(r, f) + T(r, g)) + kN(r, C) + N(r, ị) + kN(r, D) + N(r, 4)

< (4+4d+fcn)(T(r, f )+T(r,g))+kNi(r, C)+N(r, 4)+fcNi(r, D)+N(r, 4)

+S (r,f) + S (r,g).Bỏi vậy

(d—2k)n(T(r, f)+T(r,s)) < (4+4d+fcd)(T(r, f)+T(r,s))+S(r, f)+S(r, s),

((d — 2k)n — 4 — 4d — kn)(T(r, f) + T(r,g)) < S(r, f) + S(r,g)

4 + 4d + kn

Do d > 3k + 5 > 2k +, nên ta gặp mâuthuân

n

Trường hợp 2 (P(f ))d)(k) ((P(g))d)(k) = 1, ta có

P (f ) = (f — ei) (f — en), d = C d—k F

T(r,f) + S(r,f) < nd-k+rT(r,H).

C dMặt khác H = — nên ta suy ra

Từ đẫy, ta có S(r,H) = S(r,f) Tương tự, cố S(r,G) = S(r,g) Mặt khác, có

Ni(r, F) < Ni(r, Cd) + Ni(r, P) < Ni(r, f) + (k - 1)logr

T(r, G) < Ni(r, G) + Ni(r, G) + Ni(r, T+y) + S(r, G).

ndT(r, g) —(k— 1)logr < T(r, g) + (k— 1)logr+n(T(r, f )+T(r, g))+S(r, g),

(nd — 2(k — 1))T(r, g) < T(r, g) + n(T(r, f) + T(r, g)) + S(r, g),

(nd—2(k — 1))(T(r,g)+T(r,g)) < T(r,f)+ T(r,g)+2n(T(r,f)+ T(r,g)),

+S (r,f) + S (r,g),(nd — 2n — 2k + 1))(T(r, g) + T(r, g)) < S(r, f) + S(r, g)

2n —I— 2k_

Do đó ta gặp mâu thuẫn vì d > 3k + 5 >

nKhi đó (P(f))d = (P(g))d Vì thế P(f) = eP(g),ed = (S) = Eg(S) Do

Thế thì các điều kiện (Bi), (B2), (B3) trong các định lý 1.3.3 và 1.3.10 đnợc thỏa mãn

Chứng minh Trnớc hết, ta chứng minh rằng điều kiện (B1) đnợc thỏa mãn Vì n = 25, q

là tất cả các nghiệm của (1.38).

Hơn nữa, do b = -( -) 24 và do (1.38) ta có

Dễ dàng thấy rằng điều kiện (B2) được thỏa mãn Bây giờ ta chứng minh điều kiện (B3)được thỏa mãn Đặt V = (1,0) v2 = (0, b), v3 = (c, -) Ta xét a = (1, 2) /3 = (2, 3) Khi đó

Aa = (Vi ) , A = (v2 ) , và detAa = b, detA^ = —bc

Ta xét các trường hợp có thể xảy ra như sau

Aa = (vỉ ) , Ap/ = (V2 ) , và detAa/ = e, detA^/ = bc

Do b25 = -e25 ta nhân đươc ( ^ Aa)25 = (1^-)25

vdetAa/y ^ v det AạB

□

Kết luận của Chương 1

Trong Chương 1, chúng tôi đã chứng minh hai kết quả tương tự Định lý Ritt chohàm phân hình, đó là Định lý 1.2.2, Định lý 1.2.5 Chúng tôi cũng đã chứng minh được

một kết quả về Bị — URSM (Định lý 1.3.2), một kết quả về URSM (Định lý 1.3.3), một

kết quả về tập xác định duy nhất cho đa thức vi phân (Định lý 1.3.10)