Định lý Lagrange và ứng dụng trong toán phổ thông

Em xin chân thành cám ơn sn hưóng dan giúp đõ chí báo nhi¾t tình t¾n tâm cna thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang và toàn the các thay cô giáo trong to giái tích, các thay cô giáo trong kh

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA: TOÁN

——————————————–

BÙI TH± LINH

бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN PHO THÔNG

KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC

HÀ N®I, 2012

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

KHOA: TOÁN

——————– * ———————

BÙI TH± LINH

бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG

DUNG TRONG TOÁN PHO THÔNG

Chuyên ngành: Giái tích

Ngưài hưáng dan khoa hoc THS PHÙNG ĐÚC THANG

Hà N®i, 2012

LèI CÁM ƠN

Trong quá trình nghiên cúu đe tài vói sn hưóng dan nh¾t tình cna

thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang Cùng vói sn giúp đõ cna Thac

sy Pham Xuân Th%nh , sn no lnc cna bán thân em đã phan nào

nghiên cúu đưoc đe tài trên Do han che ve thòi gian, kien thúc nênchac chan khóa lu¾n này không tránh khói nhung thieu sót Em ratmong có đưoc nhung ý kien đóng góp quý báu cna các thay cô vàcác ban quan tâm đe đe tài đưoc hoàn thi¾n hơn

Em xin chân thành cám ơn sn hưóng dan giúp đõ chí báo nhi¾t tình

t¾n tâm cna thay giáo: Thac sy Phùng ĐÚc Thang và toàn the các

thay cô giáo trong to giái tích, các thay cô giáo trong khoa Toán, Thac

sy Pham Xuân Th%nh đã quan tâm tao đieu ki¾n giúp đõ em hoàn

thi¾n khóa lu¾n này, cũng như trong suot thòi gian thnc t¾p nghiêncúu tai trưòng ĐHSP Hà N®i 2

Sinh viên Bùi Th% Linh

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

3

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa lu¾n tot nghi¾p vói đe tài:

"бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG

TOÁN PHO THÔNG"

là công trình nghiên cúu cna riêng tôi, ket quá không trùng vói ket quánào Neu sai tôi xin ch%u hoàn toàn trách nhi¾m

Hà N®i, ngày 08 tháng 05 năm

2012 Sinh viênBùi Th% Linh

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

Mnc lnc

1.1 Giói han cna dãy so thnc và giói han cna hàm so 6

1.1.1 Đ%nh nghĩa giói han cna dãy so thnc 6

1.1.2 Đ%nh nghĩa giói han cna hàm so 6

1.2 Hàm so liên tuc 10

1.2.1 Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc tai m®t điem 10

1.2.2 Các tính c hat 10

1.2.3 Đ%nh nghĩa hàm so liên tuc trên m®t đoan 11

1.3 Đao hàm cna hàm m®t bien 13

1.3.1 Đao h àm cap m®t 13

1.3.2 Đao hàm cap cao 15

1.3.3 Đ%nh nghĩa 15

2 Đ%nh lí Lagrange và Nng dnng 17 2.1 Đ%nh lí Rolle 17

2.2 Đ%nh lý Lagrange 17

Mé ĐAU

1 Lý do chon đe tài

Lý thuyet giói han là cơ só cna giái tích toán hoc Bói v¾y, nghiêncúu ve lĩnh vnc này chúng ta thưòng xuyên phái giái quyet các bài toánliên quan đen giói han, trong đó phan lón liên quan đen giói han cnadãy so và giói han hàm so Giái bài toán giói han cna dãy so là vi¾clàm het súc phúc tap và khó khăn đoi vói sinh viên và các em hoc sinhkhá, giói toán trung hoc pho thông Các bài toán giói han cũng namtrong chương trình quy đ%nh cna h®i toán hoc Vi¾t Nam đoi vói kì thiOlympic toán hoc sinh viên hang năm giua các trưòng Cao Đang vàĐai hoc ve b® môn giái tích

Giái các bài toán ve giói han dãy so có nhieu phương pháp khácnhau, trong đó đ%nh lý Lagrange là m®t phương pháp manh đe giáicác bài toán giói han dãy so khó và phúc tap Vói muc đích tiep c¾nm®t hưóng nghiên cúu cna toán hoc hi¾n đai, đưoc sn hưóng dan chí

báo t¾n tình cna Thac sy Phùng ĐÚc Thang , tôi đã chon đe tài:

"бNH LÝ LAGRANGE VÀ ÚNG DUNG TRONG TOÁN

PHO THÔNG".

2 Mnc đích nghiên cNu

Cung cap cho hoc sinh m®t phương pháp đe có the xú lý các bàitoán giói han dãy so khó và đa dang Qua đó cnng co kien thúc ve

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

giói han cho hoc sinh và giúp hoc sinh v¾n dung thành thao đ%nh lýLagrange.

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nhac lai kien thúc cơ bán ve giói han Giúp hoc sinh nam chac đ

%nh lý Lagrange và khá năng v¾n dung sáng tao đ%nh lý đe giái bàitoán ve giói han

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

+ Đoi tưong nghiên cúu: Sinh viên và hoc sinh THPT

+ Pham vi nghiên cúu: Đ%nh lý Lagrange và úng dung trong toán phothông

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các đ%nh nghĩa, đ%nh lý, tính chat cna giói han dãy so,giói han hàm so, hàm so liên tuc và đao hàm cap m®t và cap cao cnahàm m®t bien vào trong khóa lu¾n

6 DN kien đóng góp mái

Đưa ra đưoc úng dung cna đ%nh lý Lagrange vào vi¾c giái các bàitoán ve giói han cna toán pho thông

Chương 1

Kien thNc chuan b%

so

1.1.1 Đ%nh nghĩa giái han cúa dãy so thNc

Cho dãy so thnc {u n } So a ∈ R đưoc goi là giói han cna dãy {u n } neu vói moi ε > 0 cho trưóc bao giò cũng ton tai m®t so n0 (phu

thu®c ε) sao cho vói moi n > n0 ta đeu có |u n − a| < ε.

Khi đó ta nói rang dãy {u n } hay h®i tu đen a hay tien đen giói han

a và ta viet u n → a(n → ∞) hay lim

→∞ u n = a.

M®t dãy không có giói han đưoc goi là dãy phân kì

1.1.2 Đ%nh nghĩa giái han cúa hàm so

1.1.2.1 Lân c¾n cúa m®t điem

Cho điem x0 ∈ R và so ε > 0 Khoáng (x0 − ε, x0 + ε) đưoc goi là ε- lân c¾n cna x0, kí hi¾u là Sε (x0).

1.1.2.2 Điem tn cúa m®t t¾p hap

Điem x0 ∈ R đưoc goi là điem tu ( hay điem giói han ) cna t¾p hop A ∈ R neu moi lân c¾n V cna x0 đeu chúa ít nhat m®t điem cna

A khác x0, túc là V ∩ (A\{x0}) ƒ= ∅, vói moi lân c¾n V cna x0.

Tù đ%nh nghĩa ta suy ra rang x0 là điem tu cna t¾p hop A khi và chí khi moi lân c¾n cna x0 đeu chúa vô so điem cna A.

1.1.2.3 Điem cô l¾p cúa t¾p hap

Cho t¾p hop A ⊂ R Điem x0 ∈ A đưoc goi là điem cô l¾p cna t¾p hop A neu ton tai m®t lân c¾n V cna x0 sao cho V ∩ A = {x0} (t¾p chí gom m®t điem x0)

1.1.2.4 Đ%nh nghĩa giái han cúa hàm so

Cho x0 là điem tu cna t¾p hop A ⊂ R và hàm so f : A → R.

Hàm so f đưoc goi là h®i tu đen b ∈ R khi x → x0 hay b là giói han cna hàm so f khi x → x0 neu vói moi ε > 0 ton tai δ > 0 sao cho

|f (x) − b| < ε vói moi x ∈ A thóa mãn đieu ki¾n 0 < |x − x0| < δ Khi

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

có the không đưoc xác đ%nh, ngay cá trong trưòng hop hàm f xác đ

%nh tai x0 thì giá tr% f (x0) không đóng vai trò nào cá trong đ%nhnghĩa này Sau đây ta nêu ra m®t đieu ki¾n tương đương vói đieuki¾n nêu trong đ%nh nghĩa và vì v¾y có the dùng nó đe đ%nh nghĩa

giói han cna hàm so

Đ%nh lý 1.1 Đe cho hàm f : A → R h®i tn đen b ∈ R khi x → x0

đieu ki¾n can và đú là vói moi dãy {x n } n ⊂ A\{x0}, x n → x0, ta có f (x n ) → b khi n → ∞.

Chúng minh a) Đieu ki¾n can: Giá sú lim

x→x0 f (x) = b Cho dãy {x n } n

⊂ A\{x0}, x n → x0(n → ∞) Ta chúng minh f (x n ) → b(n → ∞) Theo

x0 ta đeu có f (x n ) → b Ta chúng minh f (x) → b khi x → x0.

Neu f (x) không h®i tu đen b khi x → x0 thì:

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x δ ∈ A : 0 < |x δ − x0| < δ nhưng |f (x δ ) − b| ≥ ε Lay dãy δ n > 0, δ → 0, kí hi¾u x δ n = x n , ta có {x n }\A, 0 < |x n −x0|

< δ n → 0, do đó x n → x0(n → ∞) nhưng do |f (x n ) − b| ≥ ε, nên f (x n ) không h®i tu đen b khi n → ∞, trái vói giá thiet.

V¾y lim

x→x0 f (x) = b.

n

M®t so tính chat cúa giái han hàm so

Tù moi quan h¾ giua giói han hàm so và giói han dãy so nêu trong

nhieu đ%nh lý, nhưng thay rang tính chat cna giói han dãy so có the phát bieu lai cho giói han hàm so (vói nhung thay đoi thích hop).

Đ%nh lý 1.2 Cho t¾p hop A ⊂ R, x0 là điem tn cúa A, f : A → R

và g : A R là nhung hàm so xác đ%nh trên A Giá sú lim

đó, f (x n ) ≤ g(x n ) vói moi n > n0 Cho n → ∞ ta đưoc a ≤ b.

H¾ quá 1.1 Giá sú lim

x→x0 f (x) = a và ton tai δ > 0 sao cho f (x) ≤ b

vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ Khi đó a ≤ b.

Đ%nh lý sau đây có tính chat ngưoc lai

Đ%nh lý 1.3 Cho hàm so f : A → R, x0 là điem tn cúa A Neu

điem tn là x0 Giá sú lim

x→x0

f (x) =

lim

x→x0

h (x) = b và ton tai δ > 0 sao cho

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) vói moi x ∈ A thóa mãn 0 < |x − x0| < δ Khi đó

li

m

x→x0

g (x) = b.

Chúng minh Lay m®t dãy {x n } ⊂ A\{x0}, x n → x0 khi n → ∞ Vói

δ > 0 nêu trong giá thiet cna đ%nh lý ton tai n0 sao cho |x − x0| < δ vói moi n > n0 Khi đó ta có f (x n ) ≤ g(x n ) ≤ h(x n ) Cho n → ∞ ta

1.2.1 Đ%nh nghĩa hàm so liên tnc tai m®t điem

Cho t¾p hop A ⊂ R, hàm so f : A → R và điem x0 ∈ A Neu vói moi ε > 0 cho trưóc bao giò cũng ton tai δ > 0(phu thu®c vào ε) sao cho vói moi x ∈ {x ∈ A : |x − x0| < δ} ta đeu có |f (x) − f (x0)| < ε thì ta nói hàm f liên tuc tai điem x0.

Neu f liên tuc tai moi điem x ∈ A thì ta nói f liên tuc trên A.

Neu f không liên tuc tai điem x0 thì ta nói f gián đoan tai x0 hay

x0

là điem gián đoan cna f.

1.2.2 Các tính chat

1.2.2.1 Tính chat 1: Neu x0 là điem cô l¾p cna A thì f liên tuc tai x0

Th¾t v¾y, do x0 là điem cô l¾p nên ton tai δ − lân c¾n V δ (x0) =

{x ∈ R : |x−x0| < δ} sao cho V δ (x0)∩A = {x0} Vì the neu x ∈

V δ (x0)∩A thì x = x0 do đó |f (x) − f (x0)| = |f (x0) − f (x0)| =

0 < ε, vói ε là so dương cho trưóc bat kỳ.

1.2.2.2 Tính chat 2: Neu x0 là điem tu cna A thì f liên tuc tai x0 khi và

chí khi lim

x→x0 f (x) = f (x0) é đây đieu ki¾n 0 < |x − x0| không

đ¾t

ra vì tai x = x0 ta có |f (x) − f (x0)| = 0 < ε, vói ε là so dương

Hàm f : A → R đưoc goi là liên tuc tai x0 ∈ A neu vói moi lân c¾n

V cna f (x0) ton tai m®t lân c¾n U cna x0 sao cho f (U ∩ A) ⊂ V.

1.2.3 Đ%nh nghĩa hàm so liên tnc trên m®t đoan

Cho hàm so f : [a, b] → R Neu f liên tuc trên (a, b), liên tuc bên phái tai điem a và liên tuc trái tai điem b thì ta nói f liên tuc trên

đoan [a, b].

Đ%nh lý 1.5 Neu hàm f liên tnc trên đoan [a, b] thì nó b% ch¾n trên

đó Chúng minh Ta đi chúng minh phán chúng, giá sú f liên tuc trên

đoan

[a, b] nhưng không b% ch¾n trên đó Khi đó vói moi n ∈ N ∗ ton tai

n

x n ∈ [a, b] sao cho |f (x n )| > n Dãy {x n } n là dãy b% ch¾n, theo nguyên lý Bolzano - Weierstrass nó có chúa m®t dãy con {x n k } k h®i

tu đen x0.

Vì a ≤ x n k ≤ b vói moi k, nên cho k → ∞ ta suy ra a ≤ x0 ≤ b Do f liên tuc tai x0 ta có f (x n k ) → f (x0), tù đó |f (x n k )| → |f (x0)|, (k → ∞).

M¾t khác |f (x n k )| ≥ n k , vì the |f (x n k )| → +∞, (k → ∞), ta đi đen mâu thuan V¾y hàm f phái b% ch¾n trên đoan [a, b].

Đ%nh lý 1.6 Neu hàm f liên tnc trên đoan [a, b] thì nó đat đưoc c¾n

trên đúng và c¾n dưói đúng trên đó, túc là ton tai hai so x0,

Tương tn, ta chúng minh ton tai x r ∈ [a; b] sao cho f (x r ) = m.

Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lý Bolzano - Cauchy thú nhat) Giá sú hàm f :

[a; b] → R liên tnc trên đoan [a; b] và f (a).f (b) < 0 Khi đó ton tai c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.

Chúng minh Không mat tính tong quát ta có the giá thiet f (a) <

trên đúng, ton tai dãy {t n } n ⊂ A sao cho lim

→∞ t n = c Vì f liên tuc tai

c nên f (c) = lim

n→∞ f (t n ) ≤ 0 Do f (b) > 0 nên c ƒ= b và do đó c < b.

Neu f (c) < 0 thì do f liên tuc tai c, lim

x→c+f (x) = f (c) < 0, do đó

ton

n

tai δ > 0 sao cho c + δ < b và f (x) < 0 vói moi x ∈ [c; c + δ] Đ¾c

bi¾t

f (c + δ) < 0 Vì the c + δ ∈ A, đieu này mâu thuan vói c là c¾n trên

cna

A V¾y f (c) = 0.

Đ%nh lý này có ý nghĩa hình hoc rat rõ ràng: Neu m®t đưòng cong

liên tuc đi tù m®t phía cna truc x sang phía kia thì nó cat truc này.

Đ%nh lý 1.8 (Đ%nh lý Bolzano - Cauchy thú hai) Giá sú hàm f liên

tnc trên đoan [a; b] Khi đó f nh¾n moi giá tr% trung gian giua f (a)

và f (b), túc là vói moi so thnc λ nam giua f (a) và f (b), ton tai c ∈ [a; b] sao cho f (c) = λ.

Chúng minh Neu f (a) = f (b) đ%nh lý hien nhiên đúng Giá sú f (a) ƒ= f (b) Không mat tong quát ta có the xem rang f (a) < f (b) Giá sú λ là so sao cho f (a) < λ < f (b) Xét hàm g(x) = f (x) − λ Ta có g(a) < 0, g(b) > 0 Theo đ%nh lý 1.2.3.3, ton tai

c ∈ (a; b) sao cho g(c) = 0 hay f (c) − λ = 0 Do đó f (c) = λ.

1.3.1 Đao hàm cap m®t

1.3.1.1 Khái ni¾m hàm khá vi

Xét hàm so y = f (x) xác đ%nh trong lân c¾n U cna điem x0 ∈

R Cho x0 m®t so gia ∆x khá bé sao cho x0 + ∆x ∈ U Khi đó, so

∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) đưoc goi là so gia cna hàm so tương úngvói so gia đoi so ∆x tai điem x0.

∆x → 0 thì giói han đó đưoc goi là đao hàm cna hàm f đoi vói x tai x0

Đ%nh nghĩa : Cho U là t¾p mó trong R, f : U → R là m®t hàm xác đ%nh trên U Hàm f đưoc goi là khá vi trên U neu f khá vi tai moi điem cna U Khi đó hàm so

f r : U → R, x → f r (x) đưoc goi là đao hàm cna hàm so f trên U.

Neu f r liên tuc trên U thì ta nói rang f khá vi liên tuc trên U hay f thu®c lóp C1(U ).

Đ%nh lý 1.9 Cho t¾p mó U ⊂ R và hàm so f : U → R.

Neu f khá vi tai x0 ∈ U thì

f (x0 + h) − f (x0) = f r (x0)h + r(h).h trong đó r (h) → 0 khi h → 0.

Chúng minh Đ¾t f (x0 + h) − f (x0)

h − f r (x0) = r(h)

Do hàm f khá vi tai x0 ta có r(h) → 0 khi h → 0 Do đó

f (x0 + h) − f (x0) = f r (x0)h + r(h).h

Đ%nh lý 1.10 (Fermat) Cho t¾p hop mó U ⊂ R và hàm f : U → R Neu điem c ∈ U là điem cnc tr% cúa hàm f và neu ton tai f r (c) thì

Hàm f có đao hàm cap hai tai x0 còn goi là khá vi cap hai tai đó

M®t cách tong quát, giá sú ton tai đao hàm cap n − 1 cna f trên U,

khi đó có xác đ%nh hàm f (n−1) : U → R, x → f (n−1) (x) Neu hàm f

(n−1)

khá vi tai x0 ∈ U thì ta goi đao hàm cna f (n−1) tai x0 là đao hàmcap

n cna f tai x0 và kí hi¾u là f (n) (x0) : f (n) (x0) = (f (n−1))r (x0) Hàm f

có

đao hàm cap n tai x0 còn goi là khá vi cap n tai đó Đao hàm cna hàm

so f đưoc goi là đao hàm cap m®t cna f.

Ta quy ưóc đao hàm cap không cna hàm so f chính là f.

Chúng minh Vì f (x) liên tuc trên [a; b] nên nó đat giá tr% lón nhat M

và giá tr% nhó nhat m Theo đ%nh nghĩa ton tai x1, x2 ∈ [a; b] sao cho

M = f (x1) và m = f (x2).

Rõ ràng, neu M = m, thì f (x) là hàm hang Khi đó f r (c) = 0, vói moi x ∈ (a; b) Trong trưòng hop M ƒ= m thì f (x) không phái

là hàm hang, do đó phái có m®t trong hai điem x1, x2 không trùng vào

các điem đau mút a ho¾c b, chang han x1 Đieu này dan tói a < x1 <

b và the thì x1 là m®t điem cnc tr% Theo bo đe Fecmat, ta có f r (x1)

đó, ton tai điem c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f r (c)(b − a).

Chúng minh Xét hàm so g (x) = x[f (b) − f (a)] − f (x)(b − a) Rõ

ràng,

g (x) liên tuc trên [a; b] và có đao hàm trên (a; b) Hơn nua

g (a) = a[f (b) − f (a)] − f (a)(b − a) = af (b) − bf (a),

và

g (b) = b[f (b) − f (a)] − f (b)(b − a) = af (b) − bf (a), túc là g(b) = g(a) Theo đ%nh lý Rolle, ton tai c ∈ (a; b) sao cho g r (c)

g (x) = f (x) + c, ∀x ∈ [a; b].

Khóa lu¾n tot nghi¾p đai

Chúng minh a) Ta co đ%nh phan tú x0 ∈ [a; b] Vói moi x ∈ [a; b],

x ƒ=

x0, ton tai ξ nam giua x và x0 sao cho

f (x) − f (x0) = f r (ξ)(x − x0) = 0, túc là f (x) = f (x0) = c.

b) Áp dung phan a) cho hàm so h(x) = g(x) − f (x), ta có ngay

đieu phái chúng minh

Theo h¾ quá này ta thay: He F (x) là m®t hàm so mà đao hàm cna

nó bang f (x) trên (a; b) ho¾c [a; b], thì tat cá các hàm so mà đao hàm cna nó bang f (x) trên khoáng ho¾c trên đoan đó đeu có dang là

F (x) + C, ó đó C là hang so nào đay Như v¾y, neu biet m®t hàm

so F (x) mà

F r (x) = f (x), thì tù G r (x) = f (x), ta suy ra G(x) = F (x) + C.

Ta đi xét các ví du sau đây

Ví dn 2.1. a) Tìm tat cá các hàm so F (x) sao cho F r (x) = tan x b) Tìm tat cá các hàm so G (x) sao cho G r (x) = cot x.

cos x

=

sin x

(sin x) r sin x = (ln | sin x|) r

Do đó, tat cá các hàm so thóa mãn đe bài là G(x) = ln | sin x| + C

Ví dn 2.2 Tìm hàm so F (x) sao cho F r (x) = ln x.

Lòi giái

Vói ý tưóng là làm the nào đe viet đưoc ln x = (?) Đe làm đưoc

đieu đó ta thưòng dna vào công thúc tính đao hàm cna m®t tích, túc

là neu u = u(x), v = v(x) là các hàm so có đao hàm tai x, thì

(u.v) r = u r v + u.v r ,

hay m®t cách tương đương khác, ta có

u r v = (u.v) r − u.v r Như the, muon viet f (x) = (?) r , ta viet f (x) thành u r v ho¾c u.v r ,

roi sú dung công thúc trên đe chuyen ve công vi¾c tương tn đoi vói

u.v r hay u r v tương úng Vói ý tưóng đó, ta giái bài toán trên như sau:

Vói sn phân tích như ví du 2.2, ta viet

x.ex = x(e x)r = x.(e x)r + (x) rex − e x = (xe x)r − (e x)r = (xe x − e x)r

Do đó, F (x) = e x (x − 1) + C.

và hi¾u quá hơn Trưóc het ta xét hàm so

ta có the tìm m®t hàm so có dang P (x).e x mà đao hàm cna nó bang

Q (x).e x , ó đó degP = degQ Dna trên ý tưóng đó, ta giái bài toán

Đieu này xáy ra khi và chí khi

−

−

a5 = 1



a4 + 5a5 =1





a3 + 4a4 =1



a

0 + a1 = 1

V¾y tat cá các hàm so can tìm

Đen đây, ta chí vi¾c chon a, b sao cho