Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.

5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành

6) Dự kiến kết quả của đề tài

5) Phương pháp dùng qui nạp toán học 13

7) Phương pháp dùng các bất đẳng thức đã biết 16

III MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

1) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, biểu thức đại

số

20

20 2) Tìm điều kiện của tham số để phương trình, hệ phương

trình có nghiệm, vô nghiệm

22

3) Giải phương trình, hệ phương trình 23

PHẦN II: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

Toán học có vị trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát triển dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh(người học toán) những kĩ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Trong việc dạy toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học Góp phần hình thành và phát triển tư duy cho học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có giải toán bất đẳng thức

Một số thực trạng hiện nay khi dạy toán bất đẳng thức ở trường THCS đó là:

Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức thì chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề bài, mở rộng các bài toán mới Dẫn đến học sinh khi gặp bài toán khác một chút là không giải được, không nắm được phương pháp giải cho từng loại từng dạng

Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức ít, không liền mạch, phương pháp giải hạn chế Vận dụng toán bất đẳng thức vào các loại toán khó như cực trị, giải phương trình rất hạn chế

Vì vậy: phát triển năng lực, tư duy học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức là cần thiết Hơn nữa theo yêu cầu của thực tế, giáo viên nên cho học sinh tiếp cận các dạng toán nâng cao, phân loại đối tượng để học sinh được tiếp cận sớm, quen với một trong các dạng toán khó, đó chính là bất đẳng thức Trong nhiều năm học tôi đã tích luỹ được một số kiến thức

về toán bất đẳng thức xin trình bày ở đây một góc độ nhỏ

2) Mục đích nghiên cứu

2.1 Đề tài này có tác dụng giúp học sinh học môn toán nói chung và việc giải toán các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một bài tập có liên quan đến bất đẳng thức

2.2 Gây được hứng thú cho học sinh trong việc làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải quyết được một số bài tập

2.3 Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học

2.4 Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp căn bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập

2.5 Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục

3) Nhiệm vụ của đề tài

3.1 Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS

3.2 Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để làm bài tập

3.3 Rút ra một số nhận xét và chú ý khi làm từng phương pháp 3.4 Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho phù hợp cho từng phương pháp giải, cách đổi biến

3.5 Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải một

số phương trình đặc biệt

4) Phạm vi đề tài

Phát triển năng lực, tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh cấp THCS

5) Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành

Đề tài áp dụng đối với học sinh trong các buổi sinh hoạt câu lạc bộ, trong các giờ luyện tập, ôn tập cuối kỳ, cuối năm, kỳ học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS và thi tuyển vào cấp 3

Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức cơ bản, đưa ra phương pháp giải, bài tập áp dụng, sai lầm hay gặp, bài tập tự giải ở nhà

6) Dự kiến kết quả của đề tài

Khi chưa thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải được một số bài tập

về bất đẳng thức đơn giản, hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức

Nếu thực hiện được đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức, làm bài tập tốt hơn, tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự, hạn chế được rất nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức

Cho hai số a và b ta có: a lớn hơn b, kí hiệu a>b a - b > 0

a nhỏ hơn b, kí hiệu a<b a - b < 0

Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều

2.4 Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

b a

 a - c > b - d 2.5 Tính chất đơn điệu của phép nhân:

a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số dương

b a

 ac > bd 2.7 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức

a > b > 0 hoặc a < b < 0 

a

1 <

b

1Chú ý: ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức không chặt(a  b) tức là a > b hoặc là a = b

Trong các tính chất trên nhiều tính chất dấu “>” ( hoặc dấu”<”) có thể thay đổi bởi dấu “” ( hoặc dấu “ ”)

3 Các bất đẳng thức cần nhớ

3.1 a2  0; - a2  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.2 a  0 Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.3 -a  a  a  Xảy ra dấu đẳng thức khi a=0

3.4 a+b  a + b  Xảy ra dấu đẳng thức khi ab  0

3.5 a-b  a - b  Xảy ra dấu đẳng thức khi ab  0; a  b 

( các điều kiện này còn có thể diễn đạt là 

0

b a

b a

b

a 

4 ; với a, b >0

2 x3 + 4x +1 > 3x2 với x 0

3 x4 - x >

2 1

4 Cho a+b = c+d chứng minh rằng c2 + d2 +cd  3ab

Ta có: a+ b >1(1) bình phương hai vế ta được:

Bình phương 2 vế của (4) ta được: a4 + 2a2b2 + b4 >

4

1 (5) Mặt khác (a-b)2  0  a4 - 2a2b2 + b4 > 0 (6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta được 2(a4 + b4) >

4

1

 a4 + b4 >

8 1

Ví dụ 2:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Chứng minh rằng:

c b

1

+

a c

1

+

b a

a 

1

+

a c

b 

1 với a+b-c>0, b+c-a>0

Áp dụng bất đẳng thức:

x

1+

y

1 

b 

1+

b a

c 

1 

c

2

b c

a 

1 +

c b

b 

1+

b a

c 

1 

a

1 +

b

1 +

) 1 (

1 (

1



k k

Do đó: A <

2 2

1

2

3 3

1

+

4 3 2

1

+ +

) 1 (

).

1 (

1

1 +

4 3 2

1+ +

) 1 (

).

1 (

).

1 (

1

1

- 3 2

1 + 3 2

1

- 4 3

1+ +

1 2

Ví dụ 4: Cho x  0, y  0, z  0 Chứng minh rằng

(x+y)(y+z)(z+x)  8xyz(1)

b a

b a

1



n < n Giải

Gọi hai vế bất đẳng thức trên là A ta có

A = 1+(

2

1

+3

1)+( 22

1+ +

7

1)+( 32

1+ +15

1) + + ( 1

2

1

 + +

1 2

Và cuối cùng đạt được bất đẳng thức đúng hoặc hiển nhiên là C  D

Vì các phép biến đổi đều là tương đương nên A  B

- Để dùng các phép biến đổi tương đương ta cần chú ý các hằng đẳng thức sau:

1) + 4

> 0  x (điều phải chứng minh)

 Khai thác bài toán: Từ lời giải trên ta thấy:

(x-2

1)2 +4

 Khai thác bài toán:

Xét trường hợp đặc biệt với c = 1 ta có:

Giải

Ta có (1)  a2x2+ a2y2+b2x2+b2y2

 a2y2 - 2abxy+ b2x2  0

 (ay-bx)2  0 (2)

Bất đẳng thức (2) được chứng minh nên bất đẳng thức (1) đúng

Dấu “=” xảy ra  ay-bx = 0 

x

a

=

y b

 4(a2+ b2)  (a+b)2 (nhân cả hai vế với 8)

 4(a+b)(a2-ab+b2) (a+b)(a+b)2 ( chia cả 2 vế cho a+b >0)

Chẳng hạn: a2 > b2  a >b với a, b >0

m>n  am > an , m, nZ, a>1

Cần chỉ rõ các điều kiện ấy khi biến đổi tương đương

3.4 Bài tập tự giải:

Bài 1: So sánh 2 số A= 3 3-3 và B= 2 2-1( không dùng máy tính)

Bài 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên dương x, y thoả mãn xy<1 thì :

a  Bài 4: Chứng minh rằng x>1 ta có:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

a.3 Phủ định luận đề rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

a.4 Phủ định luận đề rồi suy ra điều trái ngược với điều đúng

a.5 Phủ định luận đề rồi suy ra kết luận của AB  B

Mặt khác 2ab  a2+ b2 nên 2ab  a2 + b2  2 (2)

Cộng (1) với (2) ta được a2 +2ab +b2  4

 (a + b)2  4  -2 a+b  2

Ví dụ 2:

Cho a, b, x,y liên hệ bởi a+b= 2xy

CMR: ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau là đúng: x2 >a; y2 >b Giải

Giả sử x2<a , y2 <b  x2 + y2 < a+b = 2xy

abc

ca bc

Vì abc>0 nên trong 3 số có ít nhất một số dương

Ngược lại cả ba số đều âm  abc <0 (vô lý)

Không mất tính tổng quát ta giả sử a> 0

 ab+bc+ca <0 (vô lý trái với giả thiết ab+bc+ca >0)

Vậy b>0, c>0 Cả ba số đều dương

4.3 Chú ý

Với những bài toán bất đẳng thức có dạng như trên ta nên sử dụng phương pháp phản chứng Tuy nhiên để sử dụng phương pháp này cần nắm vững 5 cách chứng minh và các tính chất của bất đẳng thức để biến đổi, lập luận

4.4 Bài tập tự giải:

1 Cho a>b >0 và

b a

ab



 1 <1 CMR: không thể có a<1; b<1

2 Cho a, b, c thoả mãn 0<a, b,c <1

CMR một trong ít nhất bất đẳng thức sau là sai

Nội dung của phương pháp này là tiền đề của phương pháp toán học

Cho mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n Nếu:

a     a+1 (trong đó vế trái có n dấu căn)

Giải

Kí hiệu Pn = 2 2 2

a a

a    (có n dấu căn) + Với n=1 ta có: P1= 2

a =a a+1 + Giả sử mệnh đề đúng với n=k tức là Pk  a+1

Ta sẽ chứng minh điều đó cũng đúng với n=k+1

Thật vậy theo giả thiết qui nạp rồi làm trội ta có

Pk+1= a 2 P k  a2  a  1 a2 a2  1 =  2

1



a =a+1 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

+ Với n=2 ta dễ dàng chứng minh được

b a

b a

2

k k b

b a

2

k k

B1 Đặt biến mới dựa theo biến cũ

B2 Biến đổi bất đẳng thức theo biến mới, chứng minh bất đẳng thức với biến mới

B3 Kết luận và trả về biến cũ

6.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1:

Chứng minh bất đẳng thức sau: abc  (b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

Với a, b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

z

x 

.2

Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z a=b=c

3

1+z

Do a+b+c =1 nên x+y+z = 0

Ta có: a2+b2+ c2 = (

3

1+x)2+(

3

1+y)2(3

1+z)2

2(x+y+z)+x2+y2+z2

Xảy ra đẳng thức  x=y=z  a=b=c=

3 1

6.3 Chú ý

Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần chú ý: + Đặt biến mới theo hệ điều kiện của biến cũ, kèm theo điều kiện của biến mới

+ Nắm được các phép biến đổi, các bất đẳng thức cơ bản, quen thuộc dễ áp dụng

+ Đổi về biến cũ



b c a

b



c b a

c



  3 2/ Cho x,y  0 thoả mãn: x2 x + y2 y = x x + y y

a

4

c a

b

4

b a

c

2

2 2

a

b b

1 1

(không xảy ra dấu bằng vì (1+qa)>1)

b) Tìm các giá trị của x sao cho P = -2 (Học sinh tự làm)

2/ Cho x  1, y  1 CMR:

xy y

x    

2 1

1 1

1

2 2

3/ Cho x,y  ; x,y  0 và x2+y2=1

1 1 1 1 1

1 64 với a,b,c >0 và a+b+c=1 5/ Cho a1, b1; CMR: a b 1 b a 1 ab

8 Phương pháp dùng tam thức bậc hai:



Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 F(x) cùng dấu với a

+ Nếu  >0 thì   x1, x2; x2>x1

x nằm ngoài khoảng hai nghiệm: x<x1, x>x2  a.F(x)<0

x nằm trong khoảng hai nghiệm (x1<x<x2)  a.F(x) <0

2 2 1 2 2

2 1 1 2 2 2

2 2 1 2 2 2 2

2 1

1b a b a b a a a n b b b n

2 2 1 2 2

2 2 1 2 2 2 2

2 1

Ví dụ 3:

Cho các số a, b, c, d thoả mãn a+d=c+b

CMR: Nếu lấy số m sao cho : 2m>ac  bd thì với mọi xR ta luôn có : (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2  0 (1)

Giải:

Dựa vào giả thiết a+d=c+b nên ta có:

(1)  x2 adxad x2 bcxbcm2  0

Vì a+c=b+d nên ta đặt y= x2-(a+d)x= x2+(b+c)x

Bất đẳng thức tương đương với: (y+ad)(y+bc)+m2 0

 abx2+y(a2x+b2x-c2x) +aby2  0

 abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2  0

Đặt F(x) = abx2+y(a2+b2-c2)x +aby2

Ta chứng minh F(x) 0 với mọi yR

Khi sử dụng phương pháp tam thức bậc hai cần lưu ý:

+ Nắm chắc định lý về dấu tam thức bậc hai

+ Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng 







 0 ) (

0 ) (

x F

x F

0 ) (

y F

y F

Trong đó F(x), F(y) là tam thức bậc hai đối với biến số x,y

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

8.4 Bài tập tự giải:

1/ Chứng minh rằng với mọi aR ta đều có :

3 1

1 3

m

x x

x m

x m

1 1

Trong đó mi là các số hữu tỷ dương

x x

x 1 2

2

1 không đổi thì tổng của chúng S= x1+ x2 + +xn có giá trị bé nhất khi

n

n m

x m

x m

1 1

Trong đó mi là các số hữu tỷ cho trước

3 Cho a1, a2 an R Ta có:

n

a a

a1  2    1 2   (1)

Dấu “=” xảy ra  ai cùng dấu(a1, a2 an>0)

Đặc biệt: a1a2  a1  a2

B Áp dụng:

1 Tìm cực trị của hàm số, biểu thức đại số:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Dễ dàng thấy hàm số xác định với mọi x

Ta có: y  x 1993  x 1994

Áp dụng bất đẳng thức a1a2  a1  a2

1 1

2 1

0 1 1 1 1

x

x x

1 1

1 1

2 2

1 1

x x

Cộng từng vế bất đẳng thức trên ta được:

1 1 1 1994 1993 1 1993

Phương trình(1)  x2+2xy+y2+1+2x+2y+5x+5y+5+4=-y2

 (x+y+1)2+5(x+y+1) +4=y2

Ta có có  S2+5S +4 F(S) có hai nghiệm S1=-1, S2=-4

0 ) (

a

s F

5

y x

Giá trị lớn nhất của S=x+y+1 là -1 

2

y x

2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình , hệ phương trình tam thức bậc hai thoả mãn điều kiện nào đó

Bài 1: Cho phương trình: a2x2 2  a2x2 1  2a2  1

Tìm giá trị của tham số a để phương trình có đúng hai nghiệm trên tập hợp

số nguyên

Giải;

Ta có: 2 2 2 2 2

2 1

c b - a F(-1)

c b a F(1)

) 1 ( ) 1 (

) 0 ( 2

) 1 ( ) 1 (

F F

F b

F F

F a

Thay vào F(x) ta được:

F(x) =       2  1  1  0  0

0 1 1

2

F F x F F F

2 1

2 2

2

F x

F x F x

F x

=         2

0 2

1 2

1

1 2

F x x

1

x x

x x x

1

x x

x x x x

F       =1+x+x2(*)

1 2

1 2

1

x x

x x x x

F Điều phải chứng minh

3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

5 13 4 16

2 6 12 3x

2

2

y y

4 6 12 3

2 2

y y

x x

Vậy nghiệm của phương trình là (x=2, y=2)

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

) 1 ( 0 3 4 2

x

x

y y

Thay x=-1 vào (2) ta có: y=1

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x=-1, y=1)

PHẦN THỨ HAI: ÁP DỤNG GIẢI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC

I Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức trong hình học:

1 Một số kí hiệu được dùng để chỉ các yếu tố của tam giác:

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1.1 a, b, c tương ứng với độ dài 3 cạnh BC, AC, AB của  ABC

1.2 , ,  tương ứng độ lớn của các góc tại ba đỉnh A, B, C của  ABC 1.3 ma, mb, mc tương ứng với độ dài các đường trung tuyến dựng từ các đỉnh A, B, C của  ABC

1.4 ha, hb, hc tương ứng với độ dài các đường cao dựng từ các đỉnh A, B, C của  ABG

1.5 la, lb, lc tương ứng với độ dài các đường phân giác dựng từ các đỉnh A,

B, C của  ABC

1.6 R,r tương ứng độ dài các bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC

1.7 SABC là diện tích tam giác ABC

1.8 ra, rb, rc tương ứng là các bán kính đường tròn bàng tiếp trong góc A,B,C của tam giác ABC

2 Một số kiến thức cơ bản cần dùng

2.1 Với ba điểm bất kì A B C ta luôn có: ABBC+CA

Dấu bằng xảy ra khi điểm C nằm giữa hai điểm A B

2.2 Trong một tam giác góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn Cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn

2.4 Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhỏ nhất

2.5 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm