Mục tiêu nghiên cứu đề tài nhằm giúp cho bản thân có kiến vững vàng hơn trong công tác giảng dạy và ôn tập cho học sinh; Giúp cho học sinh vững tin hơn trong việc ôn tập và làm bài thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT; Giúp học sinh lớp 9 tiếp cận và giải được dạng toán Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn trong chương trình THCS hiện hành.
Trang 1A. Đ T V N ĐẶ Ấ Ề
I. LÝ DO CH N Đ TÀIỌ Ề
Đ i m i phổ ớ ương pháp d y h c đạ ọ ược hi u là t ch c các ho t đ ngể ổ ứ ạ ộ
d y h c tích c c cho ngạ ọ ự ườ ọi h c. T đó kh i d y và thúc đ y nhu c u tìmừ ơ ậ ẩ ầ tòi, khám phá chi m lĩnh c a ngế ủ ườ ọi h c; phát tri n t duy, phát huy khể ư ả năng t h c c a h c sinh.ự ọ ủ ọ
Th c t cho th y qự ế ấ ua nh ng năm giang day trữ ̉ ̣ ở ương THCS. Tôi nhâǹ ̣ thây răng cac em hoc sinh, nhât la l p 9 phai chiu nhiêu ap l c trong viêc thí ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ơ ̉ ̣ ̀ ́ ự ̣
c đ c bi t là thi tuy n sinh vào l p 10 THPT và thi vao cac trử ặ ệ ể ớ ̀ ́ ương chuyên.̀
Ma cac ky thi đo, nôi dung đê thi th̀ở ́ ̀ ́ ̣ ̀ ương r i vao kiên th c c ban không̀ ơ ̀ ́ ứ ơ ̉ thê thiêu đo la ch̉ ́ ́ ̀ ương “Góc v i đớ ường tròn” SGK Toán 9 T p 2 Trang 88ậ Nhà xu t b n giáo d c. Đ bài thấ ả ụ ề ường cho dươi dang: Ch ng minh t giáć ̣ ứ ứ nào đó n i ti p m t độ ế ộ ường tròn. Phân l n cac em r t b i r i không lam̀ ớ ́ ấ ố ố ̀
được bai, b i vi cac em ch a nhân thây đ̀ ở ̀ ́ ư ̣ ́ ược cac d ki n c a bài toán đá ữ ệ ủ ̃ cho co liên quan đên môt kiên th c rât quan trong v d u hi u nh n bi t t́ ́ ̣ ́ ứ ́ ̣ ề ấ ệ ậ ế ứ giác n i ti p m t độ ế ộ ường tròn ma cac em đa đ̀ ́ ̃ ược hoc. Xuât phat t lý do đo,̣ ́ ́ ừ ́ qua nhi u năm giang day l p 9 va hoc hoi đông nghiêp, tôi rut ra đề ̉ ̣ ớ ̀ ̣ ̉ ở ̀ ̣ ́ ược môṭ
sô kinh nghiêm cho ban thân đê cùng các em giai quyêt đ́ ̣ ̉ ̉ ̉ ́ ược vân đê khó ̀ ́ khăn trên. Chinh vi vây tôi r t tâm đ c và chon đê taiở ́ ̀ ̣ ấ ắ ̣ ̀ ̀:
“ M t s phộ ố ương pháp ch ng minh t giác n i ti p cho h c sinh đ iứ ứ ộ ế ọ ạ trà ôn thi vào l p 10 THPT ớ ”
II. M C ĐÍCH VÀ NHI M V NGHIÊN C U C A Đ TÀIỤ Ệ Ụ Ứ Ủ Ề
2.1.M c đích nghiên c u ụ ứ
Đ tài này đề ược nghiên c u nh m m c đích:ứ ằ ụ
+ Giúp cho b n thân có ki n v ng vàng h n trong công tác gi ng d y và ônả ế ữ ơ ả ạ
t p cho h c sinh.ậ ọ
Trang 2+ Giúp cho h c sinh v ng tin h n trong vi c ôn t p và làm bài thi tuy nọ ữ ơ ệ ậ ể sinh vào l p 10 THPT.ớ
+ Giúp h c sinh l p 9 ti p c n và gi i đ c d ng toán ọ ớ ế ậ ả ượ ạ Ch ng minh tứ ứ giác n i ti p m t độ ế ộ ường tròn trong chương trình THCS hi n hành.ệ
+ Rèn luyên cho h c sinh vê kh năng giai toan, khuy n khích h c sinh tìṃ ọ ̀ ả ̉ ́ ế ọ
hi u cách gi i cho m t bài toán đ h c sinh phát huy để ả ộ ể ọ ược kh năng t duyả ư linh ho t, nh y bén khi tìm l i gi i bài toán, t o đạ ạ ờ ả ạ ược lòng say mê, sáng t oạ trong h c t p.ọ ậ
2.2. Nhi m v nghiên c u ệ ụ ứ
+ Đ a ra nh ng ki n th c, bai tâp c b n nh t c aư ữ ế ứ ̀ ̣ ơ ả ấ ủ d ng toán “ạ Ch ng minhứ
t giác n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn” ph nầ Hình h c 9, ch ra đ c môt sọ ỉ ượ ̣ ố
d u hi u nh n bi t và phấ ệ ậ ế ương pháp đ n gi n c n đ t c a hoc sinh trong quáơ ả ầ ạ ủ ̣ trinh giai toan.̀ ̉ ́
+ Đ xu t m t s phề ấ ộ ố ương pháp phân lo i toán theo th t t d đ n khó choạ ứ ự ừ ễ ế
h c sinh ti p c n t t , đ ng th i rèn luy n cho h c sinh tìm tòi l i gi i.ọ ế ậ ừ ừ ồ ờ ệ ọ ờ ả
III. Đ I TỐ ƯỢNG NGHIÊN C UỨ
Đê tai đ̀ ̀ ược ap dung cho đ i t́ ̣ ố ượng hoc sinh l p 9 THCS hi n hành vạ̀ ớ ệ
đ c bi t dùng cho h c sinh l p 9 đ i trà ôn thi vao l p 10 THPT vê d ngặ ệ ọ ớ ạ ̀ ớ ̀ ạ bai tâp ̀ ̣ Ch ng minh t giác n i ti p m t đứ ứ ộ ế ộ ường tròn.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C UỨ
4.1. Nghiên c u lí lu nứ ậ : Tìm hi u, nghiên c u các tài li u v các v n để ứ ệ ề ấ ề liên quan đ n đ tài c a sang kiên kinh nghiêm.ế ề ủ ́ ́ ̣
4.2. Nghiên c u th c ti nứ ự ễ : Quan sát th c tr ng d y và h c môn Hình h cự ạ ạ ọ ọ nói chung và d y h c d ng toán ạ ọ ạ ch ng minh t giác n i ti p m t đứ ứ ộ ế ộ ườ ngtròn nói riêng cho đôi t ng hoc sinh l p 9 đ i trà. ́ ượ ̣ ớ ạ Thông qua các đ thiề tuy n sinh vào l p 10 THPT trên đ a bàn c a nh ng năm trể ớ ị ủ ữ ước, thông qua
Trang 3đ ng h c t p c a các em, đ t đó có c s phân d ng các d ng toán phùộ ọ ậ ủ ể ừ ơ ở ạ ạ
h p cho h c sinh đ ôn t p và làm bài thi. ợ ọ ể ậ
4.3. Th c nghi m s ph mự ệ ư ạ : Trong quá trình nghiên c u đ tài, tôi đãứ ề
kh o sát th c tr ng trả ự ạ ước khi nghiên c u và ti p t c kh o sát sau khi ápứ ế ụ ả
d ng đ tài đ xem xét tính kh thi và hi u qu c a các bi n đó.ụ ề ể ả ệ ả ủ ệ
4.4. Gi thuy t khoa h cả ế ọ :
N u trong quá trình h c t p em nào cũng có phế ọ ậ ương pháp h c t p t t,ọ ậ ố
bi t phân d ng bài t p, nh n ra d u hi u nh n bi t t giác n i ti p m tế ạ ậ ậ ấ ệ ậ ế ứ ộ ế ộ
đường tròn, trong chương “Góc v i đớ ường tròn” (Chương III Hình H c 9ọ
T p 2) thì k t qu ch t lậ ế ả ấ ượng s cao, h c sinh không ph i lo s nhi u vẽ ọ ả ợ ề ề
c a cac em hoc sinh r t y u. Chinh vi vây môt sô em có h c l c trung bình,ủ ́ ̣ ấ ế ́ ̀ ̣ ̣ ́ ọ ự
y u không lam đế ̀ ược bai tâp. Vi vây c n phai rèn luy n cho hoc sinh k̀ ̣ ̀ ̣ ầ ̉ ệ ̣ ỹ năng v hình và nhân thây đẽ ̣ ́ ược môi quan hê qua lai gi a Hình h c và cáć ̣ ̣ ữ ọ
đ n v ki n th c liên quan đê cac em co thê t minh phat hiên va vân dungơ ị ế ứ ̉ ́ ́ ̉ ự ̀ ́ ̣ ̀ ̣ ̣
no m t cách linh ho t vao viêc giai bai tâp, làm bài thi t tin h n.́ ộ ạ ̀ ̣ ̉ ̀ ̣ ự ơ
T th c t nguyên nhân trên và b ng kinh nghi m gi ng d y c a b nừ ự ế ằ ệ ả ạ ủ ả thân, đ nâng cao ch t lể ấ ượng d y h c b môn và phân lo i các d ng bàiạ ọ ộ ạ ạ
t p giúp h c sinh y u kém có c h i làm đậ ọ ế ơ ộ ược toán, tôi đã s u t m m t sư ầ ộ ố
d ng bài toán qua các đ thi năm trạ ề ước đ khi th c hi n h c sinh d ti pể ự ệ ọ ễ ế
c n, v i đ tài ậ ớ ề “ M t s phộ ố ương pháp ch ng minh t giác n i ti p choứ ứ ộ ế
h c sinh đ i trà ôn thi vào l p 10 THPT ọ ạ ớ ”
Trang 4Tôi đã h th ng m t s d ng bài t p mà h c sinh có h c l c y u, kémệ ố ộ ố ạ ậ ọ ọ ự ế
có th ti p c n và gi i để ế ậ ả ược. V i m i d ng tôi đ u đ a ra ki n th c cớ ỗ ạ ề ư ế ứ ơ
b n c n s d ng và các ví d minh ho phù h p. Ngoài ra còn có các d ngả ầ ử ụ ụ ạ ợ ạ bài t p liên quan nh m m c đích nâng cao ch t lậ ằ ụ ấ ượng d y h c b mônạ ọ ộ toán, kích thích lòng say mê h ng thú khi h c môn Toán, phát tri n t duyứ ọ ể ư
đ c l p sáng t o và năng l c t h c cho h c sinh l p 9.ộ ậ ạ ự ự ọ ọ ớ
II. TH C TR NGỰ Ạ
Nh chúng ta đã bi t trên đ a bàn t nh Hà Tĩnh công tác tuy n sinh vàoư ế ị ỉ ể
l p 10 THPT, S giáo d c và đào t o đã đ i m i hình th c thi tuy n nh mớ ở ụ ạ ổ ớ ứ ể ằ
ch n l c và phân lo i trình đ h c sinh. Phọ ọ ạ ộ ọ ương pháp thi tuy n g m 3 mônể ồ thi là Toán, Văn b t bu c và môn th ba. Sau khi thi tuy n S GDĐT sắ ộ ứ ể ở ẽ công b đi m và x p h ng trố ể ế ạ ường THCS theo đi m c a 3 môn tuy n sinhể ủ ể
t cao xu ng. Đi u này s khi n các trừ ố ề ẽ ế ường n l c cao trong gi ng d y, ônỗ ự ả ạ
t p cho h c sinh đ đ t đậ ọ ể ạ ược yêu c u cao v ch t lầ ề ấ ượng tuy n sinh và tăngể
v trí x p h ng hàng năm. T th c ti n này mà không nh ng cán b qu n lýị ế ạ ừ ự ễ ữ ộ ả
mà các giáo viên luôn cùng h c sinh tìm tòi phọ ương pháp ki n th c tr ngế ứ ọ tâm đ nh m ôn t p cho h c sinh có k t qu ể ằ ậ ọ ế ả
V i nh ng trớ ữ ường n m nh ng vùng xa xôi khó khăn nh huy n Hằ ở ữ ư ệ ươ ngKhê thì vi c giúp h c sinh tăng lên n a đi m là cũng c m t v n đ đòi h iệ ọ ữ ể ả ộ ấ ề ỏ
s n l c r t nhi u c a c th y và trò thì m i có k t qu Đ c bi t trongự ổ ự ấ ề ủ ả ầ ớ ế ả ặ ệ quá trình gi ng d y và ôn t p cho h c sinh, ngả ạ ậ ọ ười th y ph i phân ra cácầ ả
d ng toán đ ôn t p cho phù h p v i trình đ nh n th c c a h c sinh. Đ cạ ể ậ ợ ớ ộ ậ ứ ủ ọ ặ
bi t là d ng toán ệ ạ Ch ng minh t giác n i ti p m t đứ ứ ộ ế ộ ường tròn thườ ng
g p trong đ thi vào l p 10 THPT. ặ ề ớ
Trước khi nghiên c u đ tài tôi đã kh o sát 90 em h c sinh c a kh i l pứ ề ả ọ ủ ố ớ
9 có h c l c tọ ự ương đương nhau trong m t trộ ường qua m i năm h c và tôiỗ ọ
Trang 5đã ra đ ki m tra d ng toán ề ể ạ Ch ng minh t giác n i ti p m t đứ ứ ộ ế ộ ường tròn, l y s li u đi u tra theo dõi k t qu c 3 khóa h c l p 9 trong nh ngấ ố ệ ề ế ả ả ọ ớ ữ năm li n k , k t qu cho th y nh sau:ề ề ế ả ấ ư
Năm hoc̣ Số
h cọ sinh
ng i thi u t tin. ạ ế ự
Trong chương trinh toan THCS, môn Hinh h c la rât quan trong va rât̀ ́ ̀ ọ ̀ ́ ̣ ̀ ́ cân thiêt câu thanh nên ch̀ ́ ́ ̀ ương trinh toan hoc c p THCS cung v i môn sồ ́ ̣ ấ ̀ ớ ́ hoc va đai sô. Hinh hoc la môt bô phân đăc biêt cua toan hoc. Phân môn Hinḥ ̀ ̣ ́ ̀ ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ ̣ ̉ ́ ̣ ̀ hoc nay co tinh tr u ṭ ̀ ́ ́ ư ượ̀ ng cao, hoc sinh luôn coi la môn hoc kho. V i môṇ ̀ ̣ ́ ớ Hình h c là môn khoa h c rèn luy n cho h c sinh kh năng đo đ c, tínhọ ọ ệ ọ ả ạ toán, suy lu n logíc, phát tri n t duy sáng t o cho h c sinh. Đ c bi t là rènậ ể ư ạ ọ ặ ệ luy n cho h c sinh đ i trà trong cách tìm l i gi i bài t p toán. Vi vây muônệ ọ ạ ờ ả ậ ̀ ̣ ́ hoc tôt môn hoc nay không nh ng đoi hoi h c sinh ph i co cac ki năng đọ ́ ̣ ̀ ữ ̀ ̉ ọ ả ́ ́ ̃
đ c và tính toan nh cac môn hoc khac ma con phai co ki năng ve hinh, khaạ ́ ư ́ ̣ ́ ̀ ̀ ̉ ́ ̃ ̃ ̀ ̉ năng t duy hinh h c, kha năng phân tich tim l i giai bai toan và kh năngư ̀ ọ ̉ ́ ̀ ờ ̉ ̀ ́ ả khai thác các cách gi i và phát tri n bài toán theo m t cách có h th ng. ả ể ộ ệ ố
Đi u đó đã d n đ n m t s th c tr ng là có không ít h c sinh l p 9 chề ẫ ế ộ ố ự ạ ọ ớ ỉ chuyên tâm vào h c môn Đ i s và b m c môn Hình h c. Nguyên nhânọ ạ ố ỏ ặ ọ thì có nhi u nh ng nguyên nhân c b n là các em không bi t đ nh hề ư ơ ả ế ị ướ ng
Trang 6ch ng minh, không tìm đứ ược m i liên h gi a các ki n th c và còn khôngố ệ ữ ế ứ
bi t cách trình bày l i gi i.ế ờ ả
V i t m quan tr ng nh v y, đ kh c ph c tình tr ng trên và giúpớ ầ ọ ư ậ ể ắ ụ ạ các em có cái nhìn đúng đ n v vi c h c b môn Hình h c. Trong quá trìnhắ ề ệ ọ ộ ọ
gi ng d y, bên c nh tìm ra phả ạ ạ ương pháp d y lý thuy t thích h p, ngạ ế ợ ườ i
th y luôn c g ng rèn cho h c sinh kh năng đ nh hầ ố ắ ọ ả ị ướng ch ng minh quaứ các n i dung bài t p, c ng c lý thuy t và bài t p luy n t p. ộ ậ ủ ố ế ậ ệ ậ
Trên th c t ngoài cách ch ng minh t giác n i ti p r t c b n thự ế ứ ứ ộ ế ấ ơ ả ể
hi n đ nh lý đ o “ T giác n i ti p ” Trang 88 SGK Toán 9 t p 2 thì SGKệ ở ị ả ứ ộ ế ậ
đã chia nh đ hình thành b n d u hi u nh n bi t t giác n i ti p. Tuyỏ ể ố ấ ệ ậ ế ứ ộ ế nhiên ch a đ t các d u hi u thành m t h th ng phư ặ ấ ệ ộ ệ ố ương pháp ch ng minhứ
t giác n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn cho h c sinh; nhi u h c sinh không hi uọ ề ọ ể
c s c a d u hi u. D n đ n h c sinh r t lúng túng khi tìm cách ch ngơ ở ủ ấ ệ ẫ ế ọ ấ ứ minh t giác n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn
V i h c sinh l p 9 đây là d ng toán m i l nh ng l i h t s c quanớ ọ ớ ạ ớ ạ ư ạ ế ứ
tr ng giúp h c sinh nhìn nh n l i đọ ọ ậ ạ ược các bài toán đã gi i l p 8 ( Hìnhả ở ớ
ch nh t) đ có cách gi i hay cách lý gi i căn c khác.ữ ậ ể ả ả ứ
V i nh ng lý do trên đây trong đ tài này tôi đ a ra m t s cách đớ ữ ề ư ộ ố ể
ch ng minh m t t giác n i ti p sau khi h c sinh h c xong bài “T giác n iứ ộ ứ ộ ế ọ ọ ứ ộ
ti p m t đế ộ ường tròn”.
Trước th c tr ng trên, đòi h i ph i có các gi i pháp và phự ạ ỏ ả ả ương pháp
d y và h c sao cho phù h p, t đó đã thúc d c b n thân tôi tìm hi u và th cạ ọ ợ ừ ụ ả ể ự
hi n nghiên c u đ tài này.ệ ứ ề
III. CÁC BI N PHÁP ĐÃ TI N HÀNH Đ GI I QUY T V N ĐỆ Ế Ể Ả Ế Ấ Ề
Trong n i dung này tôi xin trình bày m t s d ng toán giúp h c sinhộ ộ ố ạ ọ
d ti p c n m t s d u hi u nh n bi t t giác n i ti p m t đễ ế ậ ộ ố ấ ệ ậ ế ứ ộ ế ộ ường tròn và
gi i đả ược m t s d ng toán đ n gi n, nh sau:ộ ố ạ ơ ả ư
Phương pháp 1: Ch ng minh các đi m cách đ u m t đi m.ứ ể ề ộ ể
Phương pháp 2: Đ nh lý thu n, đ nh lý đ o v “T giác n i ti p m t ị ậ ị ả ề ứ ộ ế ộ
D
C
Trang 7O A
D
B C
OA = OB = OC = OD thì ABCD là t giác n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn tâm O bán kính OA
(Hay t giác ABCD có A, B, C, D thu c đứ ộ ường tròn (O) thì t giác ABCDứ
n i ti p độ ế ường tròn (O)
D ng 2 ạ : (Tính ch t) N u t giác ABCD có:ấ ế ứ
0 180
C
A ho c ặ B D 180 0
thì ABCD là t giác n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn
V i bài toán đ c bi t h n, t giác ABCD có: ớ ặ ệ ơ ứ
0 90
BCD
BAD => BAD BCD 180 0
=>T giác ABCD n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính
BD. Đây là cách đ n gi n và thơ ả ường g p nh t. ặ ấ
b ch a AB ta s ch ng minh t giác ABCD n i ti p. ờ ứ ẽ ứ ứ ộ ế
Ta có: ADB ACB và AB c đ nh nên C và Dố ị
n m trên cung ch a góc ằ ứ d ng trên đo n AB (ự ạ theo
bài toán qu tích cung ch a góc ỹ ứ )
Suy ra b n đi m A, B, C, D cùng thu c m t đố ể ộ ộ ườ ng
tròn hay t giác ABCD n i ti p .ứ ộ ế
V y là ta có cách th t đ ch ng minh t giác n iậ ứ ư ể ứ ứ ộ
ti p m t đế ộ ường tròn
x
O A
D
B C
O A
D
B C
O A
D
B C
Trang 8V i trớ ường h p đ c bi t : Khi cho ợ ặ ệ = 90o ta có ADB ACB 90 0. Và hai đi m C, D liên ti p cùng nhìn đo n th ng AB c đ nh dể ế ạ ẳ ố ị ưới m t góc 90ộ 0 Suy ra t giác ABCD n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính AB
Ta có th xét thêm trể ường h p d a vào k t qu bài toán phợ ự ế ả ương tích: Từ
m t đi m M n m ngoài độ ể ằ ường tròn (O), vẽ
MA
=> MA.MB = MC. MD
Đ o l i: N u có: MA.MB = MC.ả ạ ế MD
và A MB; C MD. Ch ng minh t giác ABCD n i ti p.ứ ứ ộ ế
Ta d dàng ch ng minh ∆MAD ễ ứ ∆MCB (cgc) => MDA MBC Suy ra t giác ABCD n i ti p ( Qu tích cung ch a góc).ứ ộ ế ỹ ứ
V i trớ ường h p này đa ph n là ng d ng đ ch ng minh đ ng th c: a.b =ợ ầ ứ ụ ể ứ ẳ ứ c.d
Nh v y v i cách nghiên c u nh trên cùng v i đ nh nghĩa đư ậ ớ ứ ư ớ ị ường tròn
ta có m t s cách ch ng minh (d u hi u nh n bi t) nhanh t giác n i ti pộ ố ứ ấ ệ ậ ế ứ ộ ế
m t độ ường tròn đ v n d ng làm bài t p. ể ậ ụ ậ
V. M T S BÀI TOÁN CH NG MINH “T GIÁC N I TI P M T ĐỘ Ố Ứ Ứ Ộ Ế Ộ ƯỜNG TRÒN”.
D ng 1 ạ : T giác có 4 đ nh cách đ u m t đi m. Đi m đó là tâm c a đ ứ ỉ ề ộ ể ể ủ
ng tròn ngo i ti p t giác.
V i d ng toán này, ta ch ng minh các đi m cách đ u m t đi m. Đớ ạ ứ ể ề ộ ể ể
s d ng phử ụ ương pháp này, h c sinh c n bi t tìm đọ ầ ế ược đi m mà các đi mể ể khác cách đ u và bi t v n d ng c s nào đ ch ng minh. Giáo viên c nề ế ậ ụ ơ ở ể ứ ầ chu n b t t cho h c sinh các ki n th c liên quan ẩ ị ố ọ ế ứ (Đ ườ ng trung tuy n ng ế ứ
v i c nh huy n Bài: Hình ch nh t – Hình h c 8) ớ ạ ề ữ ậ ọ Tâm đường tròn ngo iạ
ti p tam giác vuông là trung đi m c nh huy n ( Hình h c 9 – Ôn tâpế ể ạ ề ọ
A
Trang 9N u hai hay nhi u tam giác vuông có c nh huy n chung thì ta có thế ề ạ ề ể
ch ng minh đa giác t o thành b i các đ nh c a các tam giác đó n i ti pứ ạ ở ỉ ủ ộ ế trong đường tròn. V i ki n th c trên ta có th ch ng minh đớ ế ứ ể ứ ược các d ngạ bài t p này.ậ
Bài toán 1.1:
Cho t giác ABCD có: ứ ABD ACD 90 0.
Ch ng minh các đi m A, B, C, D cùng thu c ứ ể ộ
m t đ ộ ườ ng tròn. Xác đ nh tâm đ ị ườ ng tròn.
Phân tích tìm l i gi i ờ ả : Đ ch ng minh cácể ứ
đi m A, B, C, D cùng thu c m t để ộ ộ ường tròn. Ta có th xét nh ng tam giácể ữ vuông nào có c nh huy n chung? D dàng ta tìm đạ ề ễ ược các tam giác vuông
có cùng c nh huy n. V y tâm c a đạ ề ậ ủ ường tròn là trung đi m c nh huy n.ể ạ ề
L i gi i ờ ả : G i O là trung đi m AD.ọ ể
∆ABD vuông t i B nên ∆ABD n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính AD
∆ACD vuông t i C nên ∆ACD n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính AD
=> A, B, C, D cùng thu c độ ường tròn đường kính AD
Tâm c a đủ ường tròn là trung đi m O c a đo n th ng AD.ể ủ ạ ẳ
Bài toán 1.2: Cho t giác ABCD có ứ ABC ADC 90 0. Ch ng minh các ứ
đi m A, B, C, D cùng thu c m t đ ể ộ ộ ườ ng tròn. Xác đ nh tâm đ ị ườ ng tròn.
N i AC, g i O là trung đi m AC.ố ọ ể
∆ABC vuông t i B nên ∆ABC n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính AC
∆ADC vuông t i D nên ∆ADC n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính AC
=> A, B, C, D cùng thu c độ ường tròn đường kính AC
Tâm c a đủ ường tròn là trung đi m O c a đo n th ng AC.ể ủ ạ ẳ
C B
A
O
D C
A
Trang 10Phân tích tìm l i gi i ờ ả : V i yêu c u bài toán, ta c n xét nh ng tam giácớ ầ ầ ữ vuông nào có cùng c nh huy n? Vì sao tam giác đó vuông ?ạ ề
L i gi i ờ ả :
Ta có BH là đường cao c a tam giác ABC nên ủ BHC 90 0
Suy ra ∆BCH vuông t i H nên ∆BCH n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính BC (1)
Tương t , ta có CK là đự ường cao c a tam giác ABC nên ủ BKC 90 0
Suy ra ∆BCK vuông t i K nên ∆BCK n i ti p đạ ộ ế ường tròn đường kính BC (2)
T (1) và (2) => B, H, C, K cùng thu c đừ ộ ường tròn đường kính BC
G i O là trung đi m BC=> Tâm đọ ể ường tròn là trung đi m O c a BC.ể ủ
Nh n xét chung ậ : V i d ng toán này ta có th d dàng ch ng minhớ ạ ể ễ ứ các đi m cùng thu c m t để ộ ộ ường tròn và xác đ nh đị ược tâm c a đủ ường tròn
đó. cách ch ng minh này các em c n ph i ch ng minh đỞ ứ ầ ả ứ ược tam giác vuông, các em hay sai sót ch ch ghi góc vuông. M t s em còn có th sở ỗ ỉ ộ ố ể ử
d ng ki n th c đụ ế ứ ường trung tuy n ng v i c nh huy n đ xác đ nh cácế ứ ơ ạ ề ể ị
đi m cách đ u m t đi m. Tuy nhiên cách ch ng minh đó dài dòng h n.ể ề ộ ể ứ ơ
D ng 2 ạ : T giác có t ng s đo hai góc đ i b ng 180 ứ ổ ố ố ằ 0
Ph ươ ng pháp: N u m t t giác có t ng s đo hai góc đ i nhau b ng 180ế ộ ứ ổ ố ố ằ 0
thì t giác đó n i ti p đứ ộ ế ược đường tròn (đ nh lý đ o trang 88 SGK Toán 9ị ả
t p 2). ậ
V i d ng toán này chúng ta c n nhìn nh n m t cách c th , phán đoánớ ạ ầ ậ ộ ụ ể
t t v c p góc đ i đi n, n u nh n đính sai c p góc d n đ n ch ng minhố ề ặ ố ệ ế ậ ặ ẫ ế ứ không hi u qu ệ ả
Bài toán 2.1: Cho t giác ABCD có ứ ABC ADC 90 0. Ch ng minh t giác ứ ứ ABCD n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn. Xác đ nh tâm đ ị ườ ng tròn.
Phân tích tìm l i gi i ờ ả : V i bài t p này ta dớ ậ ễ
dàng ch n c p góc đ i di n.ọ ặ ố ệ
L i gi i ờ ả :
Xét t giác ABCD có ứ ABC ADC 90 0
=> ABC ADC 90 0 90 0 180 0.
Suy ra t giác ABCD n i ti p đứ ộ ế ường tròn
đường kính AC (T ng hai góc đ i di n b ng 180ổ ố ệ ằ 0 ) Tâm đường tròn là trung đi m O c a c nh AC.ể ủ ạ
O
D C B
A
Trang 11Nh n xét ậ : M t s em ch nêu hai góc b ng 90ộ ố ỉ ằ 0 nh ng ch a c ng t ng haiư ư ộ ổ góc. M t s em hay sai ph n gi i thích: ộ ố ở ầ ả Hai góc đ i di n b ng 180 ố ệ ằ 0 .
Bài toán 2.2: Cho n a đ ng tròn tâm (O) đ ng kính AB = 2R , phía trong ử ườ ườ
n a đ ử ườ n tròn v đ ẽ ườ ng tròn tâm (O’) đ ườ ng kính AO. T A k dây cung ừ ẻ
AC c t đ ắ ườ ng tròn (O’) t i D. T C h CH vuông góc AB. Ch ng minh t ạ ừ ạ ứ ứ giác ODCH n i ti p, xác đ nh tâm I c a đ ộ ế ị ủ ườ ng tròn này.
Phân tích tìm l i gi i ờ ả : V i bài t p này,ớ ậ
các em khó khăn h n trong vi c tìm c pơ ệ ặ
góc đ i di n đ ch ng minh t giác n iố ệ ể ứ ứ ộ
ti p. Giáo viên có th g i m , trong tế ể ợ ở ứ
giác ODCH có góc nào đ c bi t? (ặ ệ
Xét đường tròn (O’) có ADO 90 0 ( góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn)
=> ODC 90 0 (hai góc k bù); ề OHC 90 0 (CH vuông góc AB)
Xét t giác ODCH có: ứ ODC 90 0 (ch ng minh trên) và ứ OHC 90 0 (ch ng minh trên)ứ
=> ODC OHC 90 0 90 0 180 0
Suy ra t giác ODCH n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính OC. (T ng hai gócổ
đ i di n b ng 180ố ệ ằ 0 ) Tâm đường tròn là trung đi m I c a OC.ể ủ
Bài toán 2.3: T m t đi m S n m ngoài đ ng tròn (O), k hai ti p tuy n ừ ộ ể ằ ườ ẻ ế ế
SA, SB ( A, B là ti p đi m ), cát tuy n SCD ( C n m gi a S và D). G i H là ế ể ế ằ ữ ọ trung đi m CD. Ch ng minh các đi m S, A, H,O, B, cùng thu c m t đ ể ứ ể ộ ộ ườ ng tròn. Xác đ nh tâm đ ng tròn ị ườ
Phân tích tìm l i gi i ờ ả :
M c đ bài toán này khó h n làứ ộ ơ
chúng ta ph i ch ng minh 5 đi m cùngả ứ ể
thu c m t độ ộ ường tròn. Chúng ta có thể
chia nh đ ch ng minh các đi m thu cỏ ể ứ ể ộ
đường tròn. Ta có th ch ng minh t giácể ứ ứ
nào n i ti p độ ế ường tròn? (T giác SAOBứ
và t giác SHOB). ứ
V i t giác SAOB ta có th d dàng ch n c p góc đ i di n nh hìnhớ ứ ể ễ ọ ặ ố ệ ờ
v b i ti p tuy n SA, SB. V i t giác SHOB ta có nh n xét gì v đi m H?ẽ ở ế ế ớ ứ ậ ề ể
( Ki n th c c n dùng đây là quan h đ ế ứ ầ ở ệ ườ ng kính và dây). đây ta có thỞ ể
s d ng ki n th c ph n k t lu n đ suy ra v n đ c n ch ng minh choử ụ ế ứ ở ầ ế ậ ể ấ ề ầ ứ
đi m H. V i cách chia nh nh trên ta có th d dàng ch ng minh cácể ớ ỏ ư ể ễ ứ
đi m cùng thu c m t để ộ ộ ường tròn
H
IO' O
D
C
BA
Trang 12L i gi i ờ ả :
Xét t giác SAOB có: SA, SB là ti p tuy n c a đứ ế ế ủ ường tròn (O) nên
0 90
SBO
SAO => SAO SBO 90 0 90 0 180 0
Suy ra t giác SAOB n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính SO. (1)
( T ng hai góc đ i di n b ng 180 ổ ố ệ ằ 0 )Xét đường tròn (O) có H là trung đi m CD nên OH ể CD nên SHO 90 0 Xét t giác SHOB có ứ SHO SBO 90 0 90 0 180 0
Suy ra t giác SHOB n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính SO. (2)
( T ng hai góc đ i di n b ng 180 ổ ố ệ ằ 0 )
T (1) và (2) => S, A, O, H, B, cùng thu c đừ ộ ường tròn đường kính SO
Bài toán 2.4
( Ki m tra h c kì II năm 2015 – 2016) ể ọ
Cho tam giác nh n ABC(AB < AC) n i ti p ọ ộ ế
đ ườ ng tròn (O). V bán kính OD vuông góc v i ẽ ớ
dây BC t i I. Ti p tuy n đ ạ ế ế ườ ng tròn (O) t i C ạ
và D c t nhau t i M. Tia CM c t tia AD t i K, ắ ạ ắ ạ
tia AB c t tia CD t i E ắ ạ
a/ Ch ng minh t giác ODMC n i ti p m t ứ ứ ộ ế ộ
đ ườ ng tròn.
b/ Ch ng minh t giác ACKE n i ti p ứ ứ ộ ế
c/ Ch ng minh EK // DM. ứ
Phân tích tìm l i gi i ờ ả :
Phân tích tương t , ta có th ch ng minh t giác OCMD n i ti p.ự ể ứ ứ ộ ế
L i gi i ờ ả : Xét t giác ODMC có: CM, DM là ti p tuy n c a đứ ế ế ủ ường tròn (O) nên MCO MDO 90 0 => MCO MDO 90 0 90 0 180 0
Suy ra t giác ODMC n i ti p đứ ộ ế ường tròn đường kính OM. ( T ng hai gócổ
đ i di n b ng 180ố ệ ằ 0 )
D ng 3 ạ : T giác có góc ngoài t i m t đ nh b ng góc trong c a đ nh đ i ứ ạ ộ ỉ ằ ủ ỉ ố
di n ệ
Ph ươ ng pháp : N u m t t giác có m t góc ngoài b ng góc trong c a đ nh ế ộ ứ ộ ằ ủ ỉ
đ i di n thì t giác đó n i ti p đ ố ệ ứ ộ ế ượ c trong m t đ ộ ườ ng tròn. D ng toán này ạ
ch là h qu c a d ng 2 ỉ ệ ả ủ ạ
V i d ng toán này, đa s h c sinh không làm đớ ạ ố ọ ược vì ch ng minh cácứ góc b ng nhau không đằ ược. Giáo viên c n kh c ph c nhầ ắ ụ ược đi m nàyể
b ng cách: Chúng ta c n cho h c sinh n m các ki n th c liên quan gi a gócằ ầ ọ ắ ế ứ ữ
v i đớ ường tròn và áp d ng các tính ch t đó vào gi i quy t các bài t p. Taụ ấ ả ế ậ
có th s d ng các k t qu đã ch ng minh đ có để ử ụ ế ả ứ ể ược các góc b ng nhau.ằ
E
K
M I O
D
C B
A
Trang 13V i d ng toán này c n có các bài t p có h th ng đ h c sinh tích h pớ ạ ầ ậ ệ ố ể ọ ợ
phương pháp ch ng minh t t nh t.ứ ố ấ
Bài toán 3.1 (BT 39/SBT) Trên đ ườ ng tròn tâm O có m t cung AB và S là ộ
đi m chính gi a c a cung đó. Trên dây AB l y đi m E và H. Các đ ể ữ ủ ấ ể ườ ng
th ng SH, SE c t đ ẳ ắ ườ ng tròn t i C và D. Ch ng minh CDEH là m t t giác ạ ứ ộ ứ
n i ti p. ộ ế
Phân tích tìm l i gi i ờ ả : V i t giác CDEH, taớ ứ
không có các đ nh c a góc đ i là các góc vuông.ỉ ủ ố
V y ta c n ch ng minh nh th nào?ậ ầ ứ ư ế
Cách 1: Đ ch ng minh t giác CDEH n iể ứ ứ ộ
ti p đế ược ta c n chúng minh gócầ
0 180
DEH
DCH V y th xét quan h gi aậ ử ệ ữ
t ng s đo hai góc này v i s đo các cung có liênổ ố ớ ố
SEH ). Theo đ nh lý đ o ta c n ch ng minh đi u gì ? Hãy d a vàoị ả ầ ứ ề ự
đ nh nghĩa c a các góc đ xác đ nh tính ch t c a nó.ị ủ ể ị ấ ủ
L i gi i ờ ả : Xét đường tròn (O) có:
L i có ạ SEH + DEH = 1800 ( k bù) nên ề DCH + DEH = 1800
=> T giác CDEH n i ti p đứ ộ ế ường tròn (T ng hai góc đ i di n b ng 180ổ ố ệ ằ 0 )
Bài toán 3.2: Cho đ ng tròn (O) đ ng kính AB. T A k hai đ ngườ ườ ừ ẻ ườ
th ng c t ti p tuy n c a đẳ ắ ế ế ủ ường tròn t i đi m B E và F, c t đạ ể ở ắ ường tròn (O) C và D. Ch ng minh t giác CDFE n i ti p đở ứ ứ ộ ế ược
C
B A
Trang 14Tương t v i cách phân tích nh bài toán 3.1,ự ớ ư
đ ch ng minh t giác CDFE n i ti p ta c nể ứ ứ ộ ế ầ
ch ng minh c p góc nào b ng nhau? Cái khó c aứ ặ ằ ủ
bài toán là h c sinh ch a th y đọ ư ấ ượ ốc s đo c a haiủ
cung AB b ng nhau vì AB là đằ ường kính. Ta có
Xét t giác CDFE có: ứ AEF ADC. và ADC CDF 180 0 ( k bù )ề
=> AEF+ CDF= 1800 Suy ra: T giác CDFE n i ti p m t đứ ộ ế ộ ường tròn
(T ng hai góc đ i di n b ng 180 ổ ố ệ ằ 0 )
Bài toán 3.3 : Cho tam giác ABC nh n, ọ BAC 60 0 n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn (O; R). Ti p tuy n t i A c t BC t i M, v bán kính OI vuông góc BC (I ế ế ạ ắ ạ ẽ thu c đ ộ ườ ng tròn (O)), AI c t BC t i E. ắ ạ
a) Tính BOC và đ dài BC theo R ộ
b) Ch ng minh ∆MAE cân ứ
c) G i H là hình chi u c a A trên OM. Ch ng minh t giác OHCB n i ti p ọ ế ủ ứ ứ ộ ế Phân tích tìm l i gi i ờ ả :
Đ ch ng minh ể ứ t giácứ OHCB
n i ti p ta c n ch ng minh đi uộ ế ầ ứ ề
C
B A
Trang 15nh n sai hậ ướng ch ng minh vì khai thác t đ bài toán và các giá tr đãứ ừ ề ị
MBO MHC ( Hai góc t ươ ng ng ) ứ
Xét t giác BCHO có: ứ MHC MBO (cmt) và MHC MBO 180 0
=> MBO CHO 180 0
Suy ra t giác BCHO n i ti p đ ứ ộ ế ườ ng tròn. (T ng hai góc đ i di n b ng 180ổ ố ệ ằ 0 )
Nh n xét ậ : Ta v n s d ng phẫ ử ụ ương pháp ch ng minh trên nh ng đ ch ngứ ư ể ứ minh hai góc b ng nhau ta d a vào c s hai tam giác đ ng d ng theoằ ự ơ ở ồ ạ
trường h p c nh góc c nh, h c sinh khó khăn đ nh n bi tợ ạ ạ ọ ể ậ ế
Bài toán 3.4: ( Ki m tra h c kì II năm 2015 – 2016) Cho n a đ ng tròn ể ọ ử ườ (O), đ ườ ng kính BC = 2a, A là đi m trên n a đ ể ử ườ ng tròn, ACB (0 0 <
<90 0 ). Đ ườ ng tròn đ ườ ng kính AB c t BC t i D ( D khác B ), ti p tuy n v i ắ ạ ế ế ớ
đ ườ ng tròn này D c t AC t i I. V DE ở ắ ạ ẽ AB, DF AC ( E AB, F AC).
a) Tính góc AOC theo
b) Ch ng minh r ng BEFC là t giác n i ti p ứ ằ ứ ộ ế
c) Tính di n tích hình qu t ( ng v i cung nh AB và đ ệ ạ Ứ ớ ỏ ườ ng tròn (O),
đ ườ ng kính BC) và di n tích tam giác AOB. ệ
d) Ch ng minh r ng: DI là trung tuy n c a tam giác ADC. ứ ằ ế ủ
Trang 16V i ớ ADE ABC, ta ch ng minh nh th nào?ứ ư ế
Tương t ự ADE AFE, ta ch ng minh nh th nào?ứ ư ế
Giáo viên có th khai thác bài toán theo hể ướng khác: Ta có th ch ngể ứ minh tr c ti p ự ế ABC AFE được không? Ch ng minh hai góc tứ ương ngứ
c a hai tam giác đ ng d ng đủ ồ ạ ược không?
L i gi i ờ ả :
Cách 1: T giác AEDF n i ti p (T ng hai góc đ i di n b ng 180ứ ộ ế ổ ố ệ ằ 0 )
=> ADE AFE ( góc n i ti p cùng ch n cung AE )ộ ế ắ
0
90
ADB ( góc n i ti p ch n n a độ ế ắ ử ường tròn (O’)
=> ADE ABC ( cùng ph v i góc BDE)ụ ớ
Suy ra ABC AFE
Xét t giác BCFE có: ứ ABC AFE và AFE CFE 180 0 ( k bù)ề
=> ABC CFE 180 0 => T giác BCFE n i ti p đứ ộ ế ường tròn
Xét t giác BCFE có: ứ ABC AFE và AFE CFE 180 0 (k bù)ề
=> ABC CFE 180 0=> T giác BCFE n i ti p đứ ộ ế ường tròn
(T ng hai góc đ i di n b ng 180ổ ố ệ ằ 0 )
Bài toán 3.5: T m t đi m A ngoài đ ng tròn (O) ta v hai ti p tuy n ừ ộ ể ở ườ ẽ ế ế
AB, AC v i đ ớ ườ ng tròn. L y đi m D n m gi a B và C. Qua D v m t ấ ể ằ ữ ẽ ộ
đ ườ ng th ng vuông góc v i OD c t AB, AC l n l ẳ ớ ắ ầ ượ ạ t t i E và F. Ch ng ứ minh t giác AEOF n i ti p đ ứ ộ ế ườ ng tròn.
O'
IFE
A