Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác hóa

Sáng kiến này trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng lượng giác hóa. Với phương pháp này, chúng ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức một cách hiệu quả hơn bằng cách thay đổi hình thức của bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác.

CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 4

CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 4

CHƯƠNG II MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC 5

BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 5

CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 6

BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 6

I D ẠNG 1: S Ử DỤNG HỆ THỨC SIN 2 X + COS 2 X = 1 6

II.D ẠNG 2: S Ử DỤNG ĐÁNH GIÁ 9

III D ẠNG 3: S Ử DỤNG CÔNG THỨC 11

IV D ẠNG 4: S Ử DỤNG CÔNG THỨC SIN 2 T = 14

14

V D ẠNG 5: Đ ỔI BIẾN SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 15

VI M ỘT SỐ VÍ DỤ ĐẶC SẮC 17

KẾT LUẬN 22

TRONG TOÀN BỘ ĐỀ TÀI CHÚNG TÔI ĐÃ HỆ THỐNG LẠI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ THỂ DÙNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CHÚNG TÔI ĐÃ PHÂN LOẠI CHÚNG THEO TỪNG DẠNG, TRÌNH BÀY CỤ THỂ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ CHỨNG MINH VÀ CÓ NHỮNG VÍ DỤ MINH HỌA KÈM THEO MỖI PHƯƠNG PHÁP NHỮNG VÍ DỤ ĐÓ ĐƯỢC SẮP XẾP TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN PHỨC TẠP VỚI LỜI GIẢI KHÁ CHI TIẾT, ĐA DẠNG, BAO QUÁT MỌI KHÍA CẠNH LÍ THUYẾT VÀ DỄ HIỂU, CÓ THỂ GIÚP BẠN ĐỌC NẮM BẮT NHANH VÀ HIỆU QUẢ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ SAU KHI ĐỌC ĐỀ TÀI, BẠN ĐỌC SẼ CÓ THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP MỚI ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ MỘT CÁCH HIỆU QUẢ HƠN 22

TUY NHIÊN VÌ TRONG THỜI GIAN NGẮN VÀ KIẾN THỨC CHƯA SÂU RỘNG NÊN CÓ NHỮNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG LƯỢNG GIÁC HÓA ĐỂ CHỨNG MINH NHƯNG KHÔNG THEO MỘT PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CỤ THỂ NÀO MÀ DỰA VÀO NHỮNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG YẾU TỐ TRONG BÀI TOÁN ĐỂ CHỨNG MINH KHÔNG ĐƯỢC CHÚNG TÔI TRÌNH BÀY CỤ THỂ VÀ CHI TIẾT TRONG ĐỀ TÀI NÀY CHÚNG TÔI RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP, NHẬN XÉT CỦA BẠN ĐỌC VỀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI 22

TÀI LIỆU THAM KHẢO 23

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

1 2

Hi n nay, có r t nhi u phệ ấ ề ương pháp đ  ch ng minh b t đ ng th c đ i sể ứ ấ ẳ ứ ạ ố 

nh   d ng   các   b t   đ ng   th c   quen   thu c   nh   b t   đ ng   th c   Cauchy,ư ụ ấ ẳ ứ ộ ư ấ ẳ ứ  Bunhiacopski,…, hay v n d ng đ nh lí v  d u tam th c b c hai, kh o sát hàmậ ụ ị ề ấ ứ ậ ả  

s ,…ố

Trong đ  tài này, chúng tôi xin trình bày m t cách nhìn khác v  b t đ ngề ộ ề ấ ẳ  

th c đ i s , đó là cách nhìn dứ ạ ố ưới góc đ  lộ ượng giác. Phương pháp này được g iọ  

là phương pháp lượng giác hóa. V i phớ ương pháp này, chúng ta có th  ch ngể ứ  minh m t s  b t đ ng th c m t cách hi u qu  h n b ng cách thay đ i hình th cộ ố ấ ẳ ứ ộ ệ ả ơ ằ ổ ứ  

c a bài toán ch ng minh b t đ ng th c đ i s  tr  thành bài toán ch ng minh b tủ ứ ấ ẳ ứ ạ ố ở ứ ấ  

đ ng th c lẳ ứ ượng giác

Đ  tài đề ược chia làm 3 chương: 

Chương I:  M t s  tính ch t c  b n c a hàm lộ ố ấ ơ ả ủ ượng giác

Chương II: M i tố ương quan gi a các bi u th c đ i s  và bi u th cữ ể ứ ạ ố ể ứ

Vi c sai sót và h n ch  trong quá trình th c hi n đ  tài là đi u không thệ ạ ế ự ệ ề ề ể tránh kh i. Vì v y, chúng tôi r t mong nh n đỏ ậ ấ ậ ược s  ph n h i và góp ý chânự ả ồ  thành c a đ c gi  Xin chân thành c m  n.ủ ộ ả ả ơ

Qui Nh n, ngày 6 tháng 11 năm 2009ơ       Nhóm th c hi n đ  tàiự ệ ề

      CH    ƯƠ    NG I         MỘT  SỐ  TÍNH  CHẤT  CƠ  BẢN     

4. V i m i s  th c x, có m t s  a ớ ỗ ố ự ộ ố    sao cho x = tana

5. V i m i x, y th a xớ ọ ỏ 2 + y2 = 1 thì t n t i a ồ ạ  [0;2 ] sao cho x = cosa và y = sinaπ

đ i s  và bi u th c lạ ố ể ứ ượng giác tương  ng.ứ

Bi u th c đ i sể ứ ạ ố Bi u th c lể ứ ượng giác 

tương  ngứ Công th c lứ ượng giác

x2 – y2 cos2t – sin2t cos2t – sin2t = cos2t

th c đ i s  nh m giúp đ c gi  có th  đ nh hứ ạ ố ằ ộ ả ể ị ướng được phương pháp ch ng minh b t ứ ấ

đ ng th c đ i s  hi u qu  h n.ẳ ứ ạ ố ệ ả ơ

I. D

   ạ    ng 1    : Sử dụng hệ thức sin 2 x + cos 2 x = 1

1. Phương pháp

a. N u bài toán có xế 2 + y2 = 1 thì ta đ t x = sinu và y = cosu, v i uặ ớ [0;2 ]π

b. N u bài toán có xế 2 + y2 = r2 (r > 0) thì ta đ t x = rsinu và y = rcosu, v i uặ ớ [0;2 ]π

c. N u hai bi n tham gia có ràng bu c aế ế ộ 2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đ t ặ

         x =  sinu và y =  cosu , u [0;2 ]π

2. Ví d  minh h a ụ ọ

Ví d  1ụ  (Đ  thi đ i h c năm 1972 – Kh i A)ề ạ ọ ố

Cho 4 s  th c u, v, x, y sao cho u ố ự 2  + v 2  = x 2  + y 2  = 1. Ch ng minh r ng  ứ ằ

         ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 

Nhìn vào gi  thi t “4 s  th c u, v, x, y” r i l i “uả ế ố ự ồ ạ 2 + v2 = x2 + y2 = 1”, chúng ta liên 

tưởng r t nhanh đ n b t đ ng th c lấ ế ấ ẳ ứ ượng giác “l i h i” : sinợ ạ 2A + cos2A = 1. Và n y raả  

ý đ nh chuy n bài toán này qua lị ể ượng giác

Cách 1: Đ t u = cos , v = sin  v i ặ α α ớ α [0;2 ]π

      x = cos , y = sin  v i β β ớ β [0;2 ]π

Khi đó  P = u(y – x) + v(x + y) = cos (sin  – cos ) + sin (cos  + sin )α β β α β β

       = (sin cos  + cos sin ) – (cos cos  – sin sin )α β α β α β α β

       = sin(  +  ) – cos(  +  ) = α β α β  sin

  V n v i ý nghĩ đ a v  lẫ ớ ư ề ượng giác nh ng ta ti n thêm m t bư ế ộ ước. Nhìn trong P ta th yấ  

u và v đ ng riêng l , ta đ t chúng dứ ẻ ặ ướ ại d ng lượng giác m t cách riêng l , còn x và y ộ ẻ

đ ng v i nhau, có s  “g n bó” h n b i các d u + và ­ . Ta n y ra ý nghĩ: c  đ  s  ứ ớ ự ắ ơ ở ấ ả ứ ể ự

“g n bó”  y mà chuy n qua lắ ấ ể ượng giác

N u ta đ t  ế ặ  và    ta có ngay sin2α + cos2α = 1

Cách 2: Đ t  u = cos , v = sin  v i ặ β β ớ β [0;2 ]π

         ,   v i αớ [0;2 ]π

Ta c n ch ng minh  ầ ứ  ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤   

      Hay  

Chuy n qua lể ượng giác ta ph i ch ng minhả ứ

       ­1 ≤ cos sin  + sin cos   ≤ 1β α β α

         ­ 1 ≤ sin(  +  ) ≤ 1 (hi n nhiên)α β ể

V y đ ng th c đã đậ ẳ ứ ược ch ng minh.ứ

Ví d  2 [2]ụ  Cho a 2  + b 2  – 2a – 4b + 4 = 0. Ch ng minh r ng ứ ằ

Nh n xét: Nhi u bài toán ta ch a th y ngay y u t  đ  chuy n v  d ng lậ ề ư ấ ế ố ể ể ề ạ ượng giác, 

c n qua m t quá trình bi n đ i và đ t  n ph  thích h p m i có th  chuy n v  d ng ầ ộ ế ổ ặ ẩ ụ ợ ớ ể ể ề ạ

lượng giác thu n l i cho quá trình gi i.ậ ợ ả

Ch ng minh r ng   a ứ ằ 2 + b2 + 2(b – a) ≥ ­ 1 

Nh n xét: Khác v i các ví d  trên, đ  gi i quy t ví d  này ta c n bi n đ i b t đ ng ậ ớ ụ ể ả ế ụ ầ ế ổ ấ ẳ

th c c n ch ng minh v  d ng lứ ầ ứ ề ạ ượng giác quen thu c.ộ

       a2 + b2 + 2(b – a) ≥ ­ 1    (a – 1)2 + (b + 1)2   1

Ví d  4 [3]ụ  Cho các s  th c x,y không đ ng th i b ng 0. Ch ng minh r ng ố ự ồ ờ ằ ứ ằ

T  gi  thi t, ta có  6ừ ả ế

  v i A, B, C là 3 góc c a m t tam giácớ ủ ộ

   N u bài toán có ch a bi u th c d ng ế ứ ể ứ ạ  thì đ t x = tant, v i xặ ớ

   N u bài toán có ch a bi u th c d ng ế ứ ể ứ ạ  thì đ t x = tant,v i xặ ớ

b) N u ế thì t n t i ồ ạ ABC v i ớ

c) N u ế thì t n t i ồ ạ ABC v i ớ

Nh n xét: + Đ ng th c liên quan : tanậ ẳ ứ  tan  tan  tan  tan  tan

Nh n xét: V i a, b, c > 0 th a a + b + c = abc làm ta liên tậ ớ ỏ ưởng đ n công th c ế ứ

tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC trong đó A, B, C là 3 góc c a tam giác nh n ABC.ủ ọ

Đ t a = tanA, b = tanB, c = tanC trong đó A, B, C là 3 góc c a tam giác nh n ABC.ặ ủ ọ

Tương t  ự  = sinB ;   = sinC

(1)  sinA + sinB + sinC  luôn đúng v i m i tam giác ABC)ớ ọ

        p2 + m2cos2β + sin2β + n2(cos2α + sin2α) ≥ 2mncos  + 2npcos  – 2mncos(  +  )β α α β

        p2 + m2 + n2 ≥ 2mpcos  + 2npcos  + 2mncos  (Vì   +   +   = 180β α γ α β γ 0)

D  th y các s  ễ ấ ố  ; … ;   là n nghi m c a đa th c b c n sauệ ủ ứ ậ         

Do đó t ng các nghi m này làổ ệ

       Bài 1[2] Cho a 2  + b 2  = c 2  + d 2  = 1. Ch ng minh r ng ứ ằ

Bài 7[2] Ch ng minh r ng  ứ ằ   v i m i a, b  ớ ọ

Bài 8[2] Ch ng minh r ng v i m i c p s  th c x, y ta đ u có ứ ằ ớ ọ ặ ố ự ề

Bài 9 [6] Cho 3 s  th c x, y, z sao cho xyz > 0 và 3 s  th c a, b, c sao cho  ố ự ố ự

a) xyz        b) xy + yz + zx ≤  Bài 11[8] Cho x + y + z = xyz và x, y, z > 0. Ch ng minh r ng ứ ằ

Bài 12[8] Cho xy + yz + zx = 1 v i x, y, z > 0. Ch ng minh r ng  ớ ứ ằ

Bài 13 (Đ  thi toán Olyimpic 30­4,l n th  15­2009) ề ầ ứ

Ch ng minh v i m i a, b, c > 0 ta có ứ ớ ọ

Bài 14[8] Ch ng minh r ng v i m i x,y th a mãn  ứ ằ ớ ọ ỏ ta có

      Trong toàn b  đ  tài chúng tôi đã h  th ng l i m t s  b t đ ng th c đ i s  ộ ề ệ ố ạ ộ ố ấ ẳ ứ ạ ố

có th  dùng phể ương pháp lượng giác đ  ch ng minh. Chúng tôi đã phân lo i chúng ể ứ ạtheo t ng d ng, trình bày c  th  phừ ạ ụ ể ương pháp đ  ch ng minh và có nh ng ví d  minh ể ứ ữ ụ

h a kèm theo m i phọ ỗ ương pháp. Nh ng ví d  đó đữ ụ ượ ắc s p x p  t  đ n gi n đ n ph cế ừ ơ ả ế ứ  

t p v i l i gi i khá chi ti t, đa d ng, bao quát m i khía c nh lí thuy t và d  hi u, có ạ ớ ờ ả ế ạ ọ ạ ế ễ ể

th  giúp b n đ c n m b t nhanh và hi u qu  phể ạ ọ ắ ắ ệ ả ương pháp lượng giác trong ch ng ứminh b t đ ng th c đ i s  Sau khi đ c đ  tài, b n đ c s  có thêm m t phấ ẳ ứ ạ ố ọ ề ạ ọ ẽ ộ ương pháp 

m i đ  ch ng minh m t s  bài toán b t đ ng th c đ i s  m t cách hi u qu  h n.ớ ể ứ ộ ố ấ ẳ ứ ạ ố ộ ệ ả ơ

       Tuy nhiên vì trong th i gian ng n và ki n th c ch a sâu r ng nên có nh ng ờ ắ ế ứ ư ộ ữbài toán b t đ ng th c dùng lấ ẳ ứ ượng giác hóa đ  ch ng minh nh ng không theo m t ể ứ ư ộ

phương pháp đ t  n ph  c  th  nào mà d a vào nh ng tính ch t đ c bi t c a các hàmặ ẩ ụ ụ ể ự ữ ấ ặ ệ ủ  

s  lố ượng giác và nh ng y u t  trong bài toán đ  ch ng minh không đữ ế ố ể ứ ược chúng tôi trình bày c  th  và chi ti t trong đ  tài này. Chúng tôi r t mong nh n đụ ể ế ề ấ ậ ượ ực s  đóng góp, nh n xét c a b n đ c v  n i dung đ  tài.ậ ủ ạ ọ ề ộ ề

TÀI LI U THAM KH O Ệ Ả

[1]  Lê H ng Đ c(ch  biên), Đào Thi n Kh i, Lê Bích Ng c, Lê H u Trí,  ồ ứ ủ ệ ả ọ ữ

Các ph ươ ng pháp gi i –B ng ph ả ằ ươ ng pháp l ượ ng giác hóa , NXB Hà N i,  ộ 2006.

[2]  Lê H ng Đ c(ch  biên), Đào Thi n Kh i, Lê Bích Ng c,  ồ ứ ủ ệ ả ọ Ph ươ ng pháp  

gi i toán L ả ượ ng giác hóa, Hàm s  l ố ượ ng giác, H  th c l ệ ứ ượ , NXB ĐHSP,  ng