Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cauchy (Côsi)

Một vấn đề thường gặp trong đại số, làm cho học sinh lúng túng đó là những bài toán về bất đẳng thức đại số như bất đẳng thức Cauchy (Côsi ), bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Tchebychev, bất đẳng thức Beruoulli, bất đẳng thức Jensen . Thông thường những bài toán về loại này là những vấn đề khó. Thực sự nó là một phần quan trọng của đại số và những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống.

Đ  tài : ề  “ Ph ươ ng Pháp Ch ng Minh B t Đ ứ ấ ẳ ng Th c Cauchy  ứ

(Côsi )”

M C L C Ụ Ụ

GI I THI U CHUNGỚ Ệ

TÀI LI U THAM KH O      03Ệ Ả

B NG KÊ CÁC KÍ HI U VÀ T  VI T T T TRONG Đ  TÀI       Ả Ệ Ừ Ế Ắ Ề

A. Ph n m  đ uầ ở ầ

1. Lý do ch n đ  tài   .…………. . 04      ọ ề

2. M c đích nghiên c u………  ……   05      ụ ứ

3. Đ i tố ượng nghiên c u………   05      ứ

4. Nhi m v  nghiên c u………  05        ệ ụ ứ

5. Gi i h n đ  tài  05       ớ ạ ề

6. Phương pháp nghiên c u     06       ứ

7. Th i gian nghiên c u  …… 06      ờ ứ

B. Ph n n i dungầ ộ       

CÁC PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C CAUCHY(Ứ Ấ Ẳ Ứ CÔSI)

I. CÁC QUY T C C N CHÚ Ý KHI S  D NG B T Đ NG TH C CÔSIẮ Ầ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

      3.3.  K  thu t ch n đi m r i 16ỹ ậ ọ ể ơ

     3.4.  K  thu t đánh giá t  trung bình nhân sang trung bình c ng 21ỹ ậ ừ ộ

      3.5.  K  thu t nhân thêm h ng s  trong đánh giá t  TBN sang TBC 23ỹ ậ ằ ố ừ

      3.6.  K  thu t ghép đ i x ng 26ỹ ậ ố ứ

      3.7.  K  thu t ghép c p ngh ch đ o cho 3 s  , n s 29ỹ ậ ặ ị ả ố ố

      3.8.  K  thu t đ i bi n s 30ỹ ậ ổ ế ố

     3.9.  M t s  bài t p v n d ng 32ộ ố ậ ậ ụ

IV.  M T S   NG D NG KHÁC C A B T Đ NG TH C CAUCHY Ộ Ố Ứ Ụ Ủ Ấ Ẳ Ứ

4.1. Áp d ng b t đ ng th c đ  gi i phụ ấ ẳ ứ ể ả ương trình và h  phệ ương trình 34

4.2. M t s  bài t p tộ ố ậ ượng t  v n d ng  37ư ậ ụ

C. Ph n k t lu nầ ế ậ          38      

TÀI LI U THAM KH OỆ Ả

1 T p chí Toán h c tu i tr   ạ ọ ổ ẻ   ­ Nhà xu t b n giáo d c.ấ ả ụ

2 G.KORN­T.KORN. S  tay Toán h c ổ ọ  ( Phan Văn H p và Nguy n Tr ng Bá d ch ). Nhà xu t ạ ễ ọ ị ấ

b n đ i h c và trung h c chuyên nghi p giáo d c ­1997.ả ạ ọ ọ ệ ụ

3 Phan Huy Kh i. ả Tuy n t p các bài toán B t Đ ng Th c – T p 1 ể ậ ấ ẳ ứ ậ  Nhà xu t b n giáo d c ấ ả ụ

­1996

4 Tr n Văn H o (Ch  biên ) . ầ ạ ủ B t đ ng th c Cau chy ấ ẳ ứ  Nhà xu t b n giáo d c – 2001ấ ả ụ

5 Tr n Phầ ương ( Ch  biên) .ủ 15 K  thu t s  d ng b t đ ng th c Cauchy ỹ ậ ử ụ ấ ẳ ứ ­ Nhà xu t b n giáo ấ ả

d c – 2001ụ

6 Nguy n Vũ Thanh. ễ Ph ươ ng pháp gi i b t đ ng th c ả ấ ẳ ứ ­ Nhà xu t b n t ng h p đ ng tháp  –ấ ả ổ ợ ồ1994

7 Vũ Đình Hòa. TSKH. B t đ ng th c hình h c ấ ẳ ứ ọ  Nhà xu t b n giáo d c – 2001ấ ả ụ

8 Lê H ng Đ c. ồ ứ Ph ươ ng pháp gi i toán b t đ ng th c ả ấ ẳ ứ  Nhà xu t b n Hà N i– 2003ấ ả ộ

9 Tr n Văn H o.( Ch  biên). ầ ạ ủ Chuyên đ  B t đ ng th c.  ề ấ ẳ ứ Nhà xu t b n giáo d c.ấ ả ụ

10 TS. Tr n Vui.(Ch  biên). ầ ủ M t s  xu h ộ ố ướ ng đ i m i trong d y h c Toán   tr ổ ớ ạ ọ ở ườ ng THPT. Nhà xu t b n giáo d c.ấ ả ụ

B NG KÊ CÁC KÍ HI U VÀ CH  VI T T T TRONG  Đ  TÀI Ả Ệ Ữ Ế Ắ Ề

CÁC KÍ HI U TOÁN H CỆ Ọ T  VI T T TỪ Ế Ắ

1 / Lí do ch n đ  tài ọ ề : 

1.1  V  m t lý lu nề ặ ậ

Trí thông minh là s  t ng h p, ph i h p nh p nhàng các năng l c trí tu  nh  : quan sát, ghiự ổ ợ ố ợ ị ự ệ ư  

nh , óc tớ ưởng tượng và ch  y u là năng l c t  duy mà đ c tr ng là năng l c t  duy đ c l p, linhủ ế ự ư ặ ư ự ư ộ ậ  

ho t, sáng t o, v n d ng nh ng hi u bi t đã h c đ  gi i quy t v n đ  đạ ạ ậ ụ ữ ể ế ọ ể ả ế ấ ề ược đ t ra m t cách t t ặ ộ ố

nh t. Chính vì v y, ngh  quy t c a B  chính tr  v  c i cách giáo d c đã nh n m nh nhi m v  ấ ậ ị ế ủ ộ ị ề ả ụ ấ ạ ệ ụphát tri n trí thông minh cho h c sinh c p III nh t là h c sinh l p 10. Ngh  quy t đã ch  ra r t rõ ể ọ ấ ấ ọ ớ ị ế ỉ ấyêu c u “Phát tri n t  duy khoa h c” và “tăng cầ ể ư ọ ường   các em ý th c, năng l c v n d ng m t ở ứ ự ậ ụ ộcách thông minh nh ng đi u đã h c”.ữ ề ọ

     M t đi m đ i m i trong phộ ể ổ ớ ương pháp d y h c hi n nay luôn coi tr ng vi c ạ ọ ệ ọ ệ l y h c sinh ấ ọ

làm trung tâm, người th y ch  đóng vai trò là ngầ ỉ ười giúp các em đi đúng hướng, giúp các 

em ti p thu ki n th c m tế ế ứ ộ  cách ch  đ ng, sáng t o.ủ ộ ạ  Chính vì v y,   l p 10, ậ ở ớ vi c phát tri n ệ ể

trí thông minh cho các em thông qua môn toán là h t s c c n thi t.ế ứ ầ ế

1.2 V  m t th c ti nề ặ ự ễ

Ph n đ u đ  d y t t các môn h c nói chung và môn Toán nói riêng là nguy n v ng tha thi tấ ấ ể ạ ố ọ ệ ọ ế  

c a đ i ngũ giáo viên THPT. Nh  chúng ta đã bi t, Toán là khoa hoc suy di n tr u tủ ộ ư ế ễ ừ ượng nh ng ưToán h c THPT l i mang tính tr c quan, c  th  b i vì m c tiêu c a môn toán   trung h c là hình ọ ạ ự ụ ể ở ụ ủ ở ọthành nh ng bi u tữ ể ượng toán h c ban đ u và rèn luy n kĩ năng toán cho h c sinh, t o c  s  phát ọ ầ ệ ọ ạ ơ ởtri n t  duy và phể ư ương pháp cho h c sinh sau này. M t m t khác toán h c còn có tính th c tri n. ọ ộ ặ ọ ự ễCác ki n th c toán h c đ u b t đ u t  cu c s ng. M i mô hình toán h c là khái quát t  nhi u ế ứ ọ ề ắ ầ ừ ộ ố ỗ ọ ừ ềtình hu ng trong cu c s ng. D y h c toán h c   trung h c là  hoàn thi n nh ng gì v n có trong ố ộ ố ạ ọ ọ ở ọ ệ ữ ố

và các kí hi u toán h c. M i ti t h c là d p đ  h c sinh hình thành nh ng ki n th c và kĩ năng ệ ọ ỗ ế ọ ị ể ọ ữ ế ứ

m i, v n d ng m t cách sáng t o nh t, thông minh nh t trong vi c h c toán trong cu c s ng sau ớ ậ ụ ộ ạ ấ ấ ệ ọ ộ ốnày. Chính vì v y, ngậ ười giáo viên c n bi t phát huy tính tích c c, trí thông minh c a h c sinh ầ ế ự ủ ọthông qua gi  h c toán.ờ ọ

1.3 V  cá nhân ề

Xu t phát t  lý lu n và th c ti n trên, đ  góp ph n vào vi c “ Phát tri n t  duy khoa h c”ấ ừ ậ ự ễ ể ầ ệ ể ư ọ  

và “tăng cường   các em ý th c, năng l c v n d ng m t cách thông minh nh ng đi u đã h c” ở ứ ự ậ ụ ộ ữ ề ọcho h c sinh trong giai đo n hi n nay, và qua th c ti n ki m tra và gi ng d y h c sinh   trọ ạ ệ ự ễ ể ả ạ ọ ở ường , tôi nh n th y vi c hình thành nh ng ki n th c và kĩ năng m i trong ậ ấ ệ ữ ế ứ ớ Ph ươ ng pháp ch ng minh  ứ

B t đ ng th c Cauchy ( Côsi ) ấ ẳ ứ  , v n d ng m t cách sáng t o nh t, thông minh nh t trong vi c ậ ụ ộ ạ ấ ấ ệ

h c toán trong cu c s ng cho h c sinh là m t nhi m v  h t s c quan tr ng c a ngọ ộ ố ọ ộ ệ ụ ế ứ ọ ủ ười giáo viên. 

Đó là lý do t i sao tôi ch n đ  tài này.ạ ọ ề

2 M c đích nghiên c u:ụ ứ

    M tộ v n đ  th ng g p trong đ i s , làm cho h c sinh lúng túng đó là nh ng bài toán ấ ề ườ ặ ạ ố ọ ữ

v  b t đ ng th c đ i s  nh  ề ấ ẳ ứ ạ ố ư b t đ ng th c Cauchy (Côsi ), b t đ ng th c Bunhiacopski, b t  ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ ấ

đ ng th c Tchebychev, b t đ ng th c Beruoulli, b t đ ng th c Jensen  ẳ ứ ấ ẳ ứ ấ ẳ ứ  Thông thường nh ng bài ữtoán v  lo i này là nh ng v n đ  khó. Th c s  nó là m t ph n quan tr ng c a đ i s  và nh ng ề ạ ữ ấ ề ự ự ộ ầ ọ ủ ạ ố ữ

ki n th c v  b t đ ng th c trong đ i s  cũng làm phong phú h n ph m vi  ng d ng đ i s  trongế ứ ề ấ ẳ ứ ạ ố ơ ạ ứ ụ ạ ố  

cu c s ng.ộ ố

3 Đ i tố ượng nghiên c uứ

Nghiên c u ứ Ph ươ ng pháp ch ng minh b t đ ng th c Cauchy (Côsi)  ứ ấ ẳ ứ  là m t ph n ộ ầquan tr ng c a đ i s  10 trong chọ ủ ạ ố ương Toán THPT. Ph n nhi u nh ng bài toán t i  u đ i s  ầ ề ữ ố ư ạ ố

xu t phát t  yêu c u c a cu c s ng. M t ph n nào nh ng ki n th c v  t i  u đ i s  này cũng ấ ừ ầ ủ ộ ố ộ ầ ữ ế ứ ề ố ư ạ ố

được đ a vào chư ương trình ph  thông đó là ổ b t đ ng th c Cauchy(Côsi) ấ ẳ ứ

4 Nhi m v  nghiên c uệ ụ ứ

     Nghiên c u m t s  v n đ  v  ứ ộ ố ấ ề ềPh ươ ng pháp ch ng minh b t đ ng th c Côsi ứ ấ ẳ ứ  .Nh ng ữbài toán v  B t đ ng th c Côsi có n i dung r t h p d n và khó gi i quy t. M t trong nh ng ề ấ ẳ ứ ộ ấ ấ ẫ ả ế ộ ữnguyên nhân gây khó gi i quy t c a nó là vì phả ế ủ ương pháp ti p c n , m  x  v n đ  không ph i làế ậ ổ ẻ ấ ề ả  các phương pháp  thông thường hay hay được áp d ng trong đ i s  Đ  gi i quy t ph n nào ụ ạ ố ể ả ế ầ

nh ng khó khăn trên, tác gi  vi t sáng ki n kinh nghi m này nh m cung c p nh ng phữ ả ế ế ệ ằ ấ ữ ương pháp 

h c và gi i bài t p b t đ ng th c Cauchy cho các b n yêu thích toán h c, các th y cô giáo, các ọ ả ậ ấ ẳ ứ ạ ọ ầ

em h c sinh các trọ ường THPT và các em h c sinh đang h c l p 10 làm tài li u tham kh o và ti p ọ ọ ớ ệ ả ế

t c phát tri n.ụ ể

5 Gi i h n c a đ  tàiớ ạ ủ ề

Nghiên c u v  b t đ ng th c Cauchy (Côsi) đ c bi t là các phứ ề ấ ẳ ứ ặ ệ ương pháp ch ng minh và bàiứ  

t p v n d ng đ  giúp h c sinh có th  h c t t h n và hình thành nh ng ki n th c, kĩ năng m i, ậ ậ ụ ể ọ ể ọ ố ơ ữ ế ứ ớ

v n d ng m t cách linh ho t, sáng t o nh t, thông minh nh t trong vi c h c toán cũng nh  trong ậ ụ ộ ạ ạ ấ ấ ệ ọ ư

cu c s ng .ộ ố

6 Phương pháp nghiên c uứ

6.1 Ph ươ ng pháp nghiên c u lý lu n  ứ ậ

“Phát tri n t  duy khoa h c” và “tăng cể ư ọ ường   các em ý th c, năng l c v n d ng m t ở ứ ự ậ ụ ộcách thông minh nh ng đi u đã h c”.ữ ề ọ

6.2 Ph ươ ng pháp quan sát 

Nhìn nh n l i quá trình h c t p môn toán c a h c sinh c a trậ ạ ọ ậ ủ ọ ủ ường trong năm h c v a qua ọ ừ

Đ a ra m t s  bi n pháp đ  nâng cao k t qu  h c t p cho h c sinh c a trư ộ ố ệ ể ế ả ọ ậ ọ ủ ường trong giai 

đo n hi n nay.ạ ệ

B. PH N N I DUNG Ầ Ộ

CÁC PHƯƠNG PHÁP CH NG MINH B T Đ NG TH C CAUCHY (Ứ Ấ Ẳ Ứ CÔSI)

I. CÁC QUY T C C N CHÚ Ý KHI S  D NG B T Đ NG TH C CÔSIẮ Ầ Ử Ụ Ấ Ẳ Ứ

1.1. Quy t c song hành ắ : h u h t các BĐT đ u có tính đ i x ng do đó vi c s  d ng các ầ ế ề ố ứ ệ ử ụ

ch ng minh m t cách song hành, tu n t  s  giúp ta hình dung ra đứ ộ ầ ự ẽ ược k t qu  nhanh chóng và ế ả

đ nh hị ướng cách gii i nhanh h n.ả ơ

1.2. Quy t c d u b ng ắ ấ ằ : d u b ng “=” trong BĐT là r t quan tr ng. Nó giúp ta ki m tra ấ ằ ấ ọ ểtính đúng đ n c a ch ng minh. Nó đ nh hắ ủ ứ ị ướng cho ta phương pháp gi i, d a vào đi m r i c a ả ự ể ơ ủBĐT

1.3. Quy t c v  tính đ ng th i c a d u b ng ắ ề ồ ờ ủ ấ ằ : không ch  h c sinh mà ngay c  m t s  ỉ ọ ả ộ ốgiáo viên khi m i nghiên c u và ch ng minh BĐT cũng thớ ứ ứ ường r t hay m c sai l m này, áp d ng ấ ắ ầ ụliên ti p ho c song hành các BĐT nh ng không chu ý đ n đi m r i c a d u b ng. M t nguyên ế ặ ư ế ể ơ ủ ấ ằ ộ

t c khi áp d ng song hành các BĐT là đi m r i ph i đắ ụ ể ơ ả ược đ ng th i x y ra, nghĩa là các d u “ = ồ ờ ả ấ

” ph i đả ược cùng được th a mãn v i cùng đi u ki n c a bi n.ỏ ớ ề ệ ủ ế

1.4. Quy t c biên ắ : C  s  c a quy t c biên này là các bài toán quy ho ch tuy n tính, các bàiở ở ủ ắ ạ ế  toán t i  u, các bài toán c c tr  có đi u ki n ràng bu c, giá tr  l n nh t , giá tr  nh  nh t c a hàm ố ư ự ị ề ệ ộ ị ớ ấ ị ỏ ấ ủnhi u bi n trên m t mi n đóng. Ta bi t r ng các giá tr  l n nh t, nh  nh t thề ế ộ ề ế ằ ị ớ ấ ỏ ấ ường x y ra   các ả ở

v  trí biên và các đ nh n m trên biên.ị ỉ ằ

1.5. Quy t c đ i x ng ắ ố ứ : Các BĐT thường có tính ch t đ i x ng v y thì vai trò c a các ấ ố ứ ậ ủ

bi n trong BĐT là nh  nhau do đó d u “ = ” thế ư ấ ường x y ra t i v  trí các biên đó b ng nhau. N u ả ạ ị ằ ếbài toán có g n h  đi u ki n đ i x ng thì ta có th  ch  ra d u “ = ” x y ra khi các bi n b ng nhauắ ệ ề ệ ố ứ ể ỉ ấ ả ế ằ  

Đ  h c sinh d  nh , ta nói Trung bình c ng (TBC) ể ọ ễ ớ ộ  Trung bình nhân (TBN).

D ng 2 và d ng 3 khi đ t c nh nhau có v  t m thạ ạ ặ ạ ẽ ầ ường nh ng l i giúp ta nh n d ng khi s  ư ạ ậ ạ ử

d ng BĐT Côsi : (3) đánh giá t  TBN sang TBC khi không có c  căn th c.ụ ừ ả ứ

H  qu  3:ệ ả

III. Các k  thu t s  d ng c a b t đ ng th c Cauchy (Côsi )ỹ ậ ử ụ ủ ấ ẳ ứ

3.1. Đánh giá t  trung bình c ng sang trung bình nhânừ ộ

Đánh giá t  TBC sang TBN là đánh giá BĐT theo chi u “ừ ề ”.Đánh giá t  t ng sang tích.ừ ổ

a b ab

b c bc

c a ca

+ + +

Ch  nhân các v  c a BĐT cùng chi u ( k t qu  đỉ ế ủ ề ế ả ược BĐT cùng chi u) khi và ch  khi các v  ề ỉ ếcùng không không âm

C n chú ý r ng:  xầ ằ 2 + y2    2 x y2 2  =  2|xy|  vì  x, y không bi t âm hay dế ương

Nói chung ta ít g p bài toán s  d ng ngay BĐT Côsi nh  bài toán nói trên mà ph i qua m t ặ ử ụ ư ả ộvài phép bi n đ i đ n tình hu ng thích h p r i m i s  d ng BĐT Côsi.ế ổ ế ố ợ ồ ớ ử ụ

Trong bài toán trên d u  “ ấ  ”    đánh giá t  TBC sang TBN. 8 = 2.2.2 g i ý đ n s  d ng ừ ợ ế ử ụ

9 = 3.3 g i ý s  d ng b t đ ng th c Côsi cho ba s , 2 c p. M i bi n a, b đợ ử ụ ấ ẳ ứ ố ặ ỗ ế ược xu t hi n baấ ệ  

l n, v y khi s  d ng Côsi cho ba s  s  kh  đầ ậ ử ụ ố ẽ ử ược căn th c cho các bi n đó.ứ ế

Bài 4. Ch ng minh r ng:  3aứ ằ 3 + 7b3   9ab2   a, b   0

n n

n

n

CMR x x x x n

Đ i v i nh ng bài toán có đi u ki n là các bi u th c đ i x ng c a bi n thì vi c bi n đ i ố ớ ữ ề ệ ể ứ ố ứ ủ ế ệ ế ổ

đi u ki n mang tính đ i x ng s  giúp ta x  lí các bài toán ch ng minh BĐT d  dàng h n. ề ệ ố ứ ẽ ử ứ ễ ơBài  6. Cho  , , 0 1 1 1

n

n n

D u “ = ” (1) x y ra ấ ả  1+a = 1+b = 1+c   a = b = c

D u “ = ” (2) x y ra ấ ả  ab = bc = ca và a = b = c   a = b= c

D u “ = ” (3) x y ra ấ ả  3abc=1   abc = 1 

Trong các bài toán có đi u ki n ràng bu c vi c x  lí các đi u ki n mang tính đ ng b  và ề ệ ộ ệ ử ề ệ ồ ộ

đ i x ng là r t quan tr ng, giúp ta đ nh hố ứ ấ ọ ị ướng được hướng ch ng minh BĐT đúng hay sai.ứTrong vi c đánh giá t  TBC sang TBN có m t k  thu t nh  hay đệ ừ ộ ỹ ậ ỏ ượ ử ục s  d ng.  Đó là kĩ thu t ậtách ngh ch đ o.ị ả

Ta có : ( 2 )

ôsi 2

th  nh t là m t đa th c b c nh t b, th a s  th  hai là m t tam th c b c hai c a b) do đó ta có ứ ấ ộ ứ ậ ấ ừ ố ứ ộ ứ ậ ủ

th  tách h ng t  a thành t ng các h ng t  là các th a s  c a m u.ể ạ ử ổ ạ ử ừ ố ủ ẫ

Nh n xét ậ  : dưới m u s  b(a­b) ta nh n th y  b + ( a – b ) = a. Chuy n đ i t t c  bi u th c sang ẫ ố ậ ấ ể ổ ấ ả ể ứ

bi n a là 1 đi u mong mu n vì vi c x  lí v i m t bi n s  đ n gi n h n. Bi n tích thành t ng là ế ề ố ệ ử ớ ộ ế ẽ ơ ả ơ ế ổ

Đ i v i phân th c thì vi c đánh giá m u s , ho c t  s  t  TBN sang TBC hay ngố ớ ứ ệ ẫ ố ặ ử ố ừ ượ ạc l i 

ph i phu thu c  vào d u c a BĐT. ả ộ ấ ủ

3.3. K  thu t ch n đi m r i: ỹ ậ ọ ể ơ

Trong kĩ thu t ch n đi m r i, vi c s  d ng d u “ = ” trong BĐT Côsi và các quy t c v  tínhậ ọ ể ơ ệ ử ụ ấ ắ ề  

đ ng th i c a d u “ = ”, quy t c biên và quy t c đ i x ng s  đồ ờ ủ ấ ắ ắ ố ứ ẽ ượ ử ục s  d ng đ  tìm đi m r i c a ể ể ơ ủ

Ta ch n đi m r i: ta ph i tách h ng t  a ho c h ng t  ọ ể ơ ả ạ ử ặ ạ ử 1

a đ  sao cho khi áp d ng BĐT Côsi d u ể ụ ấ  

“ = ” x y ra khi a = 2. Có các hình th c tách sau:ả ứ

1 ;1    (1)

1

;     (2)1

a

a

a a

a

α

α

α α

a và3 4 a đ t giá tr  l n nh t khi a = 2, t c là chúng có đi m r i  a = 2.ạ ị ớ ấ ứ ể ơ

Bài  2. Cho a   2. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c: ị ỏ ấ ủ ể ứ S a 12

α α =

=        

2 1 4

4 là đáp s  đúng nh ng cách gi i trên đã m c sai l m ố ư ả ắ ầ

trong vi c đánh giá m u s : N u a ệ ẫ ố ế  2 thì  2 2 =2

 đánh giá sai

Ch ng h n ta ch n  s  đ  đi m r i (1ẳ ạ ọ ơ ồ ể ơ ):

( s  đ  đi m r i (2),(3),(4) h c sinh t  làm)ơ ồ ể ơ ọ ự

1 1 2

a a

=

2 1 2

α = = 4

Đ  th c hi n l i gi i đúng ta c n ph i k t h p v i kĩ thu t tách ngh ch đ o, ph i bi n đ i S sao ể ự ệ ờ ả ầ ả ế ợ ớ ậ ị ả ả ế ổcho sau khi s  d ng BĐT Côsi s  kh  h t bi n s  a   m u s ử ụ ẽ ử ế ế ố ở ẫ ố

ôsi   

3 2

a b c

α α

Vi c ch n đi m r i cho bài toán trên đã gi i quy t m t cách đúng đ n v  m t toán h c ệ ọ ể ơ ả ế ộ ắ ề ặ ọ

nh ng cách làm trên tư ương đ i c ng k nh. N u chúng áp d ng vi c ch n đi m r i cho b t ố ồ ề ế ụ ệ ọ ể ơ ấđăng th c Bunnhiacôpski thì bài toán s  nhanh g n h n, đ p h n.ứ ẽ ọ ơ ẹ ơ

Trong bài toán trên chúng ta đã dùng m t kĩ thu t đánh giá t  TBN sang TBC , chi u c a d uọ ậ ừ ề ủ ấ  

c a d u b t đ ng th c không ch  ph  thu c vào chi u đánh giá mà nó còn ph  thu c vào ủ ấ ấ ẳ ứ ỉ ụ ộ ề ụ ộ

bi u th c đánh n m   m u s  hay   t  s ể ứ ằ ở ẫ ố ở ử ố

Bài  5. Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá tr  nh  nh t c a bi u th c:ị ỏ ấ ủ ể ứ

Đ  tìm MinS ta c n chú ý S là m t bi u th c đ i x ng v i a,b,c,d > 0 do đó MinS n u có thể ầ ộ ể ứ ố ứ ớ ế ường 

đ t t i đi m r i t  do là “ là a = b = c = d > 0.( nói là đi m r i t  do vì a,b,c,d không mang m t ạ ạ ể ơ ự ể ơ ự ộgiá tr  c  th ). V y ta cho trị ụ ể ậ ước a = b = c = d d  đoánự         4 12 40

Min S = + =  T  đó suy ra ừcác đánh giá c a BĐT b  ph n ph i có đi u ki n d u b ng x y ra là t p con c a đi u ki n d  ủ ộ ậ ả ề ệ ấ ằ ả ậ ủ ề ệ ựđoán: a = b = c = d > 0 

Ta có s  đ  đi m r i :  ơ ồ ể ơ Cho a = b = c = d > 0 ta có:

3.4. K  thu t đánh giá t  trung bình nhân (TBN) sang trung bình c ng (TBC) ỹ ậ ừ ộ

N u nh  đánh giá t  TBC sang TBN là đánh giá v i d u  ế ư ừ ớ ấ a b , đánh giá t  t ng sang  ừ ổ tích, hi u nôm na là thay d u a + b b ng d u a.b thì ng ể ấ ằ ấ ượ ạ c l i đánh giá t  TBN sang TBC là thay ừ  

d u a.b b ng d u a + b . Và cũng c n ph i chú ý làm sao khi bi n tích thành t ng, thì t ng cũng  ấ ằ ấ ầ ả ế ổ ổ

ph i tri t tiêu h t bi n, ch  còn l i h ng s   ả ệ ế ế ỉ ạ ằ ố