CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁN

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONGKHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁNChủ đề Phương trình đường thẳng trong không gian Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong

CÁC DẠNG TOÁN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN HÌNH HỌC 12 CÓ ĐÁP ÁNChủ đề Phương trình đường thẳng trong không gian

Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải (phần 2)

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có vecto chỉ phương u

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và song song với đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng, đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt đường thẳng d và song song với mặtphẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm, cắt và vuông góc với đường thẳngViết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng và cắt hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng và cắt 2 đường thẳngViết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng

Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Hình chiếu của một điểm lên đường thẳng, mặt phẳng

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Góc giữa hai đường thẳng; Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa điều kiện cho trước, bài toán về cực trị,

60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết (phần 1)

60 câu hỏi trắc nghiệm đường thẳng trong không gian có giải chi tiết (phần 2)

Chủ đề: Phương trình đường thẳng trong không gian

Các công thức về đường thẳng, phương trình đường thẳng trong không gian

I Phương trình đường thẳng

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm   và nhận

vectơ   làm vectơ chỉ phương Khi đó Δ có phương trình tham

số là :

+ Cho đường thẳng Δ đi qua điểm   và nhận

vectơ   sao cho a.b.c ≠ 0 làm vectơ chỉ phương Khi đó Δ cóphương trình chính tắc là :

II GócM

1 Góc giữa hai đường thẳng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng d1; d2 Trong đó:

· Đường thẳng d1 vectơ chỉ phương u1 →

· Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2 →

· Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được xác định bởi:

1 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua điểm M0( x0; y0;z0) và có vecto chỉ phương u→

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:

2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2.Trong đó:

·Đường thẳng d1 đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương u 1 →

· Đường thẳng d2 đi qua điểm N và có vectơ chỉ phương u 2 →

·Khoảng cách hai đường thẳng d1 và d2 là:

19 dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng trong đề thi Đại học có lời giải

1 Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(xo; yo; zo) và vecto chỉ phương u→ ( a; b; c) thì

+ Phương trình tham số của đường thẳng d: 

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng d ( với a.b.c ≠ 0 ) là:

A Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 

B Phương trình tham số của đường thẳng d: 

C Phương trình tham số của đường thẳng d: 

D Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ đi quaA(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0 Tìm mệnh đềđúng?

A Vậy phương trình tham số của ∆ là 

Phương trình chính tắc của ∆ là 

Chọn A

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho đường thẳng d biết d đi

qua A (1; 2; 3) và song song với (d’):    Tìm mệnh đề sai

A Một vecto chỉ phương của đường thẳng d là u→ ( -4; 4; 2)

B Vậy phương trình tham số của d là 

C Phương trình chính tắc của d là 

D đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: u d → = u d' → = ( 2; -2; -1)

Vậy phương trình tham số của d là 

Phương trình chính tắc của d là 

Chọn D

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d biết d đi

qua A (0; 2; -1) và song song với (d’):    Tìm mệnh đềsai ?

A Điểm M(2; 8; - 3) thuộc đường thẳng d

B Phương trình tham số của đường thẳng d: 

C Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) : x+ 3y- z+ 10= 0

D Phương trình chính tắc của đường thẳng d: 

Hướng dẫn giải:

Vì đường thẳng d // d’ nên vectơ chỉ phương của d là: u d → = u d' → = ( 1; 3; -1)

Vậy phương trình tham số của d là 

Cho t= 2 ta được điểm M ( 2; 8; -3) thuộc đường thẳng d

Phương trình chính tắc của d là: 

Mặt phẳng (P): x+ 3y – z+ 10= 0 có vecto pháp tuyến n→( 1; 3; -1)

=> Vecto chỉ phương của đường thẳng d là vecto pháp tuyến của măt phẳng (P)

=> đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

=> C sai

Chọn C

Dạng 2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) hoặc đường thẳng d đi qua M và song song với 2 mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).

1 Phương pháp giải

Cách 1:

+ Cả hai trường hợp đều suy ra u d →⊥n P → và u d →⊥n Q →

Mà (P) và (Q) cắt nhau nên VTCP của d là u d →⊥ [n P →; n Q →]

+ Tìm một điểm M thuộc đường thẳng d

+ Đường thẳng d đi qua M và nhận vecto u d →⊥ [n P →; n Q →] làm vecto chỉ

phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

Cách 2:

Nếu d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) thì với mỗi điểm

M ( x; y;z) thuộc d là nghiệm của hệ phương trình:

phương trình (P) và Phương trình (Q) (*)

Đặt x= t ( hoặc y = t hoặc z = t) thay vào hệ (*) rồi rút y; z theo t

Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng d

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặtphẳng (α): x- 3y + z = 0 và (α’): x+y – z +4 = 0 Viết phương trình tham số củađường thẳng d

Cách 2: Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho y = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ 

Vậy điểm Mo( -2; 0; 2) thuộc đường thẳng d

Do u α → ( 1;-3; 1); n' α →( 1; 1; -1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1;1;2)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→(1; 1;2)

Vậy phương trình tham số của d là: 

Chọn C

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của mặt phẳng(P): y – 2z + 3 = 0 và mặt phẳng tọa độ (Oyz)

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d là (1; 1;2)

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (Oyz) có phương trình x= 0

Điểm M (x; y; z)∈ d khi tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Đặt z= t ta được:   là phương trình đường thẳng d

Chọn A

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; - 1) và song song vớiđường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng (α):x+ y - z + 3= 0 và (α’): 2x – y+ 5z– 4= 0

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng là: n α →(1; 1; -1); n α' →(2; -1; 5)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn A

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (α):2x+ y + 1= 0 và (β): x- y + z – 1 = 0

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của hai mặt phẳng n α →(2; 1; 0) và n β →(1; -1; 1)

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Điểm M (x; y; z) ∈ d khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Ta tìm một điểm thuộc đường thẳng d bằng cách cho x = 0 trong hệ (*)

Ta có hệ

Vậy điểm Mo (0; -1; 0) thuộc đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn C

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng ∆ là giao tuyếncủa hai mặt phẳng (α): x - 2y – z + 10= 0 và (β): 2x+2y – 3z – 40= 0 Phươngtrình đường thẳng d đi qua điểm M(2; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ là

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (α) có vec tơ pháp tuyến n α →(1; -2; -1)

Mặt phẳng (β) có vec tơ pháp tuyến n β →(2; 2; -3)

Đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương là u d → = [n α →;n α →]

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’nên

Suy ra u d →⊥n P → và u d →⊥ u d' →

Mà d’ không vuông góc với (P)

Nên VTCP của d là u d → = [n P →;u d' →]

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto u d → làm vecto chỉ

phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với

mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’: 

Hướng dẫn giải:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n P →(1; 1; -1)

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là: u d' →(1; 3; 2)

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [nP→; ud'→] =( 5; -3; 2)

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn B

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với

mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng 

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳngd’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: u→ = [ud'→;nOxy→] = ( 2; 1; 0)

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn C

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0

và đường thẳng ∆ :    Phương trình chính tắc đườngthẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với ∆ là

Hướng dẫn giải:

Dường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ →(2 ; 1 ;1)

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n P →(0 ; 1 ; - 2).

Gọi u d → là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: ud→= [nP→; uΔ→] = ( 3;-4; -2)

Vậy phương trình chính tắc của d là: 

Chọn D.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5=

0 và hai điểm A(0; 0; 1); B( 1; -1; 3) Trong các đường thẳng đi qua A và songsong với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là OB→( -1; 2; 3)

+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

1 Phương pháp giải

+ Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng ∆: u ∆ →

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q): n P →; n Q →

+ Trong cả hai trường hợp ta đều có một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

u→ = [u ∆ →; n P →] hoặc [n P →; n Q →]

+ Khi đó; đường thẳng d: đi qua điểm M và có vecto chỉ phương u→

=> phương trình đường thẳng d:

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

∆:   và mặt phẳng (P): x- 2y+ 3z+ 10 = 0 Viết phương trìnhđường thẳng d đi qua M( 1; -1; 1); nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc vớiđường thẳng ∆?

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

∆ :   và mặt (P): x+ 2y – 3z+ 4= 0 Phương trình tham sốcủa đường thẳng d nằm trong (P) , cắt và vuông góc đường thẳng ∆ là:

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ →( 1; 1; -1)

+ Do đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P)và vuông góc với đường thẳng ∆nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là : u→=[nP→;u∆→] = (1; -2; -1)

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( -3; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là u→ = (1; -2;

-1)

Vậy phương trình tham số của d là: 

Chọn B

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng

d:   và mặt phẳng (P): 2x+ y- 2z + 9= 0 Gọi A là giaođiểm của d và (P) Phương trình tham số của đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi quađiểm A và vuông góc với d là

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n P →( 2; 1; - 2)

+ Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u d →( -1;2; 1)

+ Do đường thẳng ∆ nằm trong (P) và vuông góc với d nên một vecto chỉ phươngcủa ∆ là:

u→ = [n P →;u d →] = (5; 0; 5) chọn ( 1; 0;1)

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm A(0; - 1; 4) và có vectơ chỉ phương là ( 1; 0;1)

Vậy phương trình tham số của ∆ 

Chọn C

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; -1; -1) vàB(1;2;0) Mặt phẳng (P): 3x- 2y+ z- 10= 0 Đường thẳng d đi qua M( -1; 2;2) nằmtrong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB Trong các đường thẳngsau đường thẳng nào song song với đường thẳng d?

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương AB→( 2; 3; 1)

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là M

=> Tọa độ của M( ) ( theo tham số t; dựa vào phương trình đường thẳng d)

=> Đường thẳng ∆ nhận vecto AM→( ) làm vecto chỉ phương.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 2; -1) và đường

thẳng d:  Phương trình đường thẳng đi qua điểm A, cắt d

và song song với mặt phẳng (Q): x+ y- z+ 3= 0 là:

Hướng dẫn giải:

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm

+ Gọi giao điểm của hai đường thẳng d và ∆ là B

Do B thuộc d nên B( 3+ t; 3+ 3t; 2t) => AB→( 2+ t;1+ 3t; 2t+ 1)

+ Đường thẳng ∆ đi qua A( 1; 2; -1) và nhận vecto AB→(1; - 2; - 1) làm vecto chỉ

phương nên phương trình của ∆ là: 

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hai điểm A( 1;1;0) và B( 2; -1; 2) Viết phương trình đường thẳng d

đi qua M(1;0;0) cắt đường thẳng AB và song song với mặt phẳng (P): 2x+ y+ 1= 0

z-Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1;0); nhận vectơ AB→(1; -2; 2) làm vecto chỉ

phương

=> Phương trình AB: 

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và AB là H(1+ t; 1-2t;2t)

+ đường thẳng d nhận vecto MH→( t; 1- 2t; 2t ) làm vecto chỉ phương

+ Mặt phẳng (P) nhận vecto n→( 2; 1;1) làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên MH→.n→ = 0 ⇔ 2t + 1(

1-2t) + 1.2t= 0

⇔ 2t+ 1= 0 ⇔ t= 1/2 => H(3/2;0;1)

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 0;0) và nhận vecto MH→(1/2;0;1) làm vecto chỉ

phương; chọn vecto ( 1; 0; 2)

=> Phương trình đường thẳng d: 

Chọn D

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:   ba điểm A(1;1;1); B( -2; 1; -1) vàC( 1; 0;2) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua O cắt d và song song với mặtphẳng (ABC)

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: AB→(-3; 0; -2); BC→(3; -1; 3)

Mặt phẳng (ABC) nhận vecto n→[AB→;BC→] = ( -2; 3;3) làm vecto pháp tuyến.

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là M( 1-t; 2t; 2+ t)

Đường thẳng ∆ nhận vecto OM→( 1-t; 2t; 2+t) làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (ABC) nên: n→. OM→ = 0

Hướng dẫn giải:

+ Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→(2; -3; 0).

+ Gọi giao điểm của đường thẳng d và ∆ là A( 1+2t; - 2+ t;1- t).

+ Đường thẳng ∆ nhận vecto MA→( 3+ 2t; - 3+ t; -2- t) làm vecto chỉ phương.

Do đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P) nên MA→.n→ = 0

⇔ 2( 3+ 2t) – 3( - 3+ t) + 0( - 2- t) = 0

⇔ 6+ 4t+ 9 – 3t = 0 ⇔t= -15

+ Đường thẳng ∆: đi qua M( -2; 1; 3) và nhận vecto MA→(- 27; -18; 13) làm

vecto chỉ phương nên phương trình 

Chọn A

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 :   và

song song với d2:   Đường thẳng d có phương

trình:  Gọi đường thẳng ∆ đi qua M( 0; -1; 1); cắt d và song songvới (P) Tìm giao điểm của đường thẳng d và ∆?

A ( - 4; 2; -6)    B (1; 2; - 1)     C ( 0; 2; - 2)    D (6; 2; 4)

Hướng dẫn giải:

+ Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương u1 →(-1; 2; 2) và đi qua A(-1; 2; 2)

+ Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương u2 →(1; -1; 1)

=> Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→= [u 1 →; u 2 →] = ( 4; 3; -1).

+ Gọi giao điểm của d và ∆ là H( 3- t; 2; 1- t )

Đường thẳng ∆ nhận vecto MH→(3- t; 3; - t ) làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng ∆ song song với (P) nên: n→. MH→ = 0

+ Gọi u d →; u d1 →; u d2 → lần lượt là vecto chỉ phương của đườg thẳng d; d1 và d2

+ Do đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d1 vàd2 nên ud →⊥u d1 →; u d →⊥u d2 →

+ Mà d1 và d2 chéo nhau

=> Vecto chỉ phương của d là u d → = [u d1 →; u d2 →]

Sau đó, áp dụng định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc củađường thẳng

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với haiđường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là u1→(-1; 1; -2) và u2→(1; -2; 0)

Hướng dẫn giải:

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương

là u 1 →; u 2 → nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u→= [u 1 →; u 2 →] =

(-4; -2; 1)

d đi qua điểm A (2; -1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng d là 

Chọn A

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; 3) và vuông góc với haiđường thẳng

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A(1 ;-1 ;1) ; B(-1 ;

2 ; 3) và đường thẳng ∆ :    Phương trình đường thẳng

d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳn AB và ∆ là

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB→( -2; 3; 2).

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương u ∆ →( -2; 1; 3)

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và ∆ nên một vecto chỉ

phương của đường thẳng d là: u→ = [u ∆ →; AB→] = ( -7;-2; -4) chọn vecto ( 7;2;

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương u1 →( 2; 1; 4)

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương u2 →(1;0; 2)

Do đường thẳng ∆ vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 nên một vecto chỉ

phương của đường thẳng ∆ là: u→ = [u 1 →; u 2 →] = ( 2;0;-1)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

• Bước 2: Tìm giao điểm A = α ∩ d2

• Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

• Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1

• Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2

• Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = α ∩ β

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d1, d và d2

Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=> MA→; MB→ cùng phương nên MA→ = k.MB→

Đường thẳng d1 qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương ud1 →(2 ;-2 ; 4)

Ta có AB→(2 ; -1 ;3)

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là [u d1 →; MA→] = (-2 ; 2 ; 2)

+ Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và chứa d2

Đường thẳng d2 qua C(-1; 3; -2) và có vecto chỉ phương ud2 →(-2; 3;-1)

Ta có: AC→(- 1; 1;2)

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là [u d2 →; AC→] = ( 7; 5; 1)

+ Khi đó đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng ∆ là [n P →; n Q →] = (8; 16; 24) =

Hướng dẫn giải:

Chọn D

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương u 1 →( 2 ; 1 ; -1)

Ta có AB→(0 ;1 ; 2)

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là n 1 → = [u 1 →; AB→] = ( 3 ; -4 ; 2).

+ Gọi (Q) =là mặt phẳng đi qua A và chứa d’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương u 2 →(1; -2; 1)

Ta có AC→( -1; 0; 1)

Mặt phẳng (Q) có một vecto pháp tuyến là n 2 → = [u 2 →; AC→] = ( -2 ; -2 ; -2)

+ Đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng ∆

có vectơ chỉ phương là [n 1 →;n 2 →] = (12; 2; -14) = 2( 6; 1; -7) và đi qua A nên có

phương trình tham số là: