DẠNG 15 NGUYÊN hàm của hàm số LƯỢNG GIÁC

DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCI.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về nguyên hàm..  Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số... DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm

DẠNG TOÁN 15: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Nguyên hàm

 Định nghĩa:

• Cho hàm số f x( )

xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số ( )

F x

được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( )

trên K nếu F x′( ) = f x( )

với mọi

x K∈

2 Các công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác

1)

sinxdx= −cosx C+

∫

2)

1 sin(ax b dx) cos(ax b) C

a

∫

3)

cosxdx=sinx C+

∫

4)

a

∫

5)

( 2 )

2

1

1 tan tan cos x dx= + x dx= x C+

tan cos ax b dx= a ax b+ +C

+

∫ 7)

( 2 )

2

1

sin x dx= + x dx= − x C+

1

cot sin ax b dx= − ax b+ +C

+

∫ 9)

sin

cos

x

x

10)

cos

sin

x

x

3 Một số phương pháp tìm nguyên hàm:

• Phương pháp đổi biến số: Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau:

Cho hàm số u u x= ( )

có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y= f u( )

liên tục sao cho [ ( )]

f u x

xác định trên K Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

( ) ( )

f u du F u= +C

∫

thì

[ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( )]

f u x u x dx′ = f u x du x =F u x +C

• Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần:

Định lý: Nếu u u x= ( )

và v v x= ( )

là hai hàm có đạo hàm liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx u x v x′ = − u x v x dx′

hay

u dv u v= − v du

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về nguyên hàm

 Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

 Tính nguyên hàm của hàm dạng đối xứng

 Tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phân

 …

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) cos 2

A

( )d 1sin 2

2

∫

( )d 1sin 2

2

∫

C ∫ f x x( )d =2sin 2x C+

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác

2 HƯỚNG GIẢI:

Ta có thể sử dụng công thức

1 cos(ax b)dx sin(ax b) C

a

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn A

Tự luận: Áp dụng công thức

1 cos(ax b x)d sin(ax b) C

a

∫

với a≠0

; thay a=2

và b=0

để có kết quả

Trắc nghiệm: Nhập vào biểu thức vào máy tính

3

π

shift Sto A cos2A−

1 sin 2 0

d

x

chọn đáp án A

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

sau, mệnh đề nào sai.

A.

( ) ( )

f x dx F x= +C

∫

B. ( ∫ f x dx( ) )′ = f x( )

C. ( f x dx( ) )′= f x′( )

∫

D. ( f x dx( ) )′ =F x′( )

∫

Lời giải Chọn C

Ta có ∫ f x dx F x( ) = ( )+ ⇔C F x'( ) = f x( )

nên phương án A, B, D đúng

A

tanxdx= −ln cosx C+

∫

sin 2 cos

∫

C

cotxdx= −ln sinx C+

∫

cos 2sin

∫

Lời giải Chọn A

Xét

cos cos

Vậy khẳng định A đúng

( ) cos 3

6

f x =  x+π 

?

A.

1 ( ) sin 3

f x dx=  x+π +C

∫

( ) sin 3

6

f x dx=  x+π +C

∫

C

1 ( ) sin 3

f x dx= −  x+π +C

∫

1 ( ) sin 3

f x dx=  x+π+C

∫

Lời giải

Chọn D

f x dx=  x+π  d x+π =  x+π +C

hàm số còn lại?

A. f x( ) =sin 2x

và g x( ) =cos2 x

B. f x( ) =tan2 x

và

( ) 2 2

1 cos

g x

x

=

C f x( ) =e x

và g x( ) =e−x

D f x( ) =sin 2x

và g x( ) =sin2 x

Lời giải Chọn D

Vì ( 2 )/

sin x =2sin cosx x=sin 2x

Câu 5 Cho hàm số f x( ) cos = x

Tìm họ nguyên hàm của hàm số ( )2

( )

y= f x′

A

1

2 4

x

∫

B

1

2 4

x

∫

C

1

2

∫

D

1

2

∫

Lời giải

Chọn A

'( ) (cos ) ' sin

;

2 2 2 1 cos 2 x ( '( )) ( sin ) sin

2

1 cos 2 x 1

sin 2

x

2

cos sin

x dx x

∫

” Bạn An giải bằng phương pháp đổi biến như sau:

+ Bước 1: Đặt u=sinx

, ta có du=cosxdx + Bước 2:

sin

x = u = − +u

+ Bước 3: Kết luận

2

sin

x

x = − +x

∫

Hỏi bạn An sai ở bước nào?

A. Bước 1 B Bước 2 C Bước 3 D. Không sai

Lời giải

Chọn C

Dễ thấy bước 1,2 đúng

Bước 3 sai vì đưa về biến cũ sai, đúng phải là

2

x

x = − + = −u x+

∫

5

cos ( ) sin

x

f x

x

=

có một nguyên hàm F x( ) bằng

A

4

1

4sin x

4

1

4sin x

−

4

4

sin x

4

4

sin x

−

Lời giải Chọn B

x

của hàm sốy=xsin 2x

A

( ) cos 2 1sin 2

x

( ) cos 2 1sin 2

x

C

( ) cos 2 1sin 2

x

( ) cos 2 1sin 2

x

Lời giải

Chọn D

Ta có:

sin 2

∫

Đặt:

1

2

du dx

u x

=



=

Khi đó:

sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2

x

A

( ) sin cos

∫

B

( ) sin cos

f x dx= −x x− x C+

∫

C

( ) sin cos

f x dx= −x x+ x C+

∫

D

( ) sin cos

∫

Lời giải Chọn D

Tự luận: Đặt cos sin

cos sin - sin sin cos

( ) sin d

F x =∫x x x

là

A F x( ) sin= x x− cosx C+

B F x( )=xsinx−cosx C+

C

( ) sin cos

D F x( )=xsinx+cosx C+

Lời giải Chọn A

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

( ) cos cos cos sin

 Mức độ 2

( ) sin cos

Chọn kết quả đúng:

A

1 ( ) sin 2 cos 2

x

1 ( ) cos 2 sin 2

x

C

1 ( ) sin 2 cos 2

x

1 ( ) sin 2 cos 2

x

Lời giải

Chọn A

1 ( ) sin cos sin 2

2

Đặt

1 1

2 2

1

2

 =

∫

2 ( ) cos

A

2 ( ) ( 2)sin 2 cos

F x = x − x+ x x C+

2 ( ) 2 sin cos sin

F x = x x x− x+ x C+

C

2 ( ) sin 2 cos 2sin

F x =x x− x x+ x C+

D

2 ( ) (2 ) cos sin

F x = x x+ x x− x C+

Lời giải Chọn A

2 ( ) cos

Đặt

2

n

2 si os

c

du xdx

u x

x v

xdx dv

=

 2

sin 2 si

(

2sin 2 cos 2cos 2sin 2 cos 2sin

3 2

sin cos

x dx x

∫

ta được kết quả nào sau đây?

A

3 2

sin

x

∫

3 2

sin

x

∫

C

3 2

cos

x

∫

3 2

cos

x

∫

Lời giải Chọn C

( 2 )

1 cos sin sin sin sin

−

Đặt cosx t= ⇒ −sinxdx dt=

1 cos

cos

A F x( ) =2x xsin x+6 cosx x−12( xsin x c+ os x)+C

B

( ) cos 3 sin 6( cos sin )

C F x( ) =2x xsin x−6 cosx x+12( xsin x+cos x)+C

D

( ) cos 3 sin 6( cos sin )

Lời giải Chọn A

Đặt t= x

suy ra

3

2 cos

Đặt

3 2 cos

u t

dv tdt

 =

 =



suy ra

2 6 sin

du t dt

 =

 =

 Suy ra

I = t t−∫ t costdt

Tiếp tục tích phân từng phần 2 lần nữa ta được ( ) 2 sin3 6 cos -12 sin2 ( cos )

F t = t t+ t t t t+ t +C

Vậy

( ) 2 sin 6 cos 12( sin os )

Câu 5 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) (= +x 1).sin 2x

A

1 ( ) (sin 2 cos 2 )

2

∫

B

( ) ( 1) cos 2 sin 2

∫

C

1 ( ) (sin 2 cos 2 )

2

∫

D

( ) ( 1) cos 2 sin 2

∫

Lời giải.

Chọn D

Đặt

1

1

2

du dx

u x

=



= +

Khi đó

( 1).sin 2 ( 1) cos 2 cos 2 ( 1) cos 2 sin 2

3 2

sinx cos x dx

∫

A

3

3 2

sinx

3 cos cos x dx= x C+

∫

3 2

3 2

sinx

3 cos cos x dx= x C+

∫

C

3

3 2

sinx

3 cos cos x dx= − x C+

∫

3 2

3 2

sinx

3 cos cos x dx= − x C+

∫

Lời giải Chọn C

Đặt cosx t= ⇒ −sinxdx dt=

1

3

sin

1 cos

3

−

−

cos sin

d sin cos

x

+

−

∫

A

cos sin

d 2 sin cos sin cos

−

∫

B

cos sin

d 2 sin cos sin cos

−

∫

C

cos sin

d 3 sin cos sin cos

−

∫

D

cos sin

d 3 sin cos sin cos

−

∫

Lời giải.

Chọn A

Đặt sinx−cosx t= ⇒sinx−cosx t= 2, cos( x+sinx x)d =2 dt t

sin cos

t

−

Câu 8 Tính ∫ (1−x)cosxdx

ta được kết quả nào sau đây?

A (1−x)sinx−cosx C+

B (1−x)sinx+cosx C+

C (1+x)sinx−cosx C+

D (1−x)sinx−sinx C+

Lời giải.

Chọn A

Đặt

1

(1 x)cosxdx (1 x)sinx sinxdx (1 x)sinx cosx C

Câu 9 Tính ∫xsin 2( x+1)dx

A

cos 2 1 sin 2 1

x

B

cos 2 1 sin 2 1

x

C

cos 2 1 sin 2 1 2

x

D

cos 2 1 sin 2 1

x

Lời giải Chọn D

Đặt:

2

dx du

x u

=



=

2 cos

x dx x

∫

A

2 tan ln cos cos

x

∫

2 tan ln sin cos

x

∫

C

2 tan ln cos cos

x

∫

2 tan ln sin cos

x

∫

Lời giải Chọn C

Đặt:

2

cos

u x

du dx

x

=



.tan tan tan ln cos cos

x

x

 Mức độ 3

Câu 1 Biết F x( )

là một nguyên hàm của f x( ) =sin3xcosx

và F( )0 =π

Tính 2

F π

 ÷

 

A 2

F  = − ÷π π

 

1

F  = − ÷π π

 

C

1

F  = + ÷π π

 

D 2

F  = ÷π π

 

Lời giải Chọn C

Có

d sin cos d sin d sin

4

x

F x =∫ f x x=∫ x x x=∫ x x = +C

( )0 sin 04

4

F = ⇔π + = ⇔ =C π C π

( )

4

x

π π

 

Câu 2 Cho hàm số f x( ) (= ax b c x+ ) os

thỏa mãn

( ) sin 2sin cos

∫

Tính

= +2 2

A

3

S=

B S =4

C S =5

D S =6

Lời giải Chọn C

Khi đó

( ) ( ).sin sin

(ax b)sinx ac x C axos sinx bsinx acosx C

2 ( ) cos

2

x

f x =x

thỏa

1 (0) 2

Tính ( )

F π

A

2 1

2

B

2 1 ( )

4 2

F π =π − ×

C

2 1

4

D

2 1

2

Lời giải Chọn B

2

( ) ( ) 1 2 sin sin

2 2

x

F x = f x dx=  +x x− xdx

2 2

x

Vì

F = ⇒ + = ⇒ =C C

Vậy

2 1

2 2

x

F x =  +x x+ x

Do đó

2 1

2 2

F π = π − 

Câu 4 Gọi F x( )

là một nguyên hàm của hàm số f x( ) =xcos 2 x

Biết rằng

( )0 1 4

, giá trị F( )π

là:

A F( )π =1

B

( ) 1 4

C

( ) 1 2

D F( )π =0

Lời giải Chọn B

Đặt cos 2

u x

=



 =



suy ra

sin 2 2

du dx

x v

=





 =



Khi đó

( ) cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2

Do

( )0 1 4

nên C=0.

Từ đó suy ra

( ) 14

Câu 5 Cho hàm số f x( ) biết f x'( )=xsinx

và f( ) 0π =

Tính 3

f  π

 ÷

 

A

3 7

f   = − ÷π π

 

3 7

f   = − + ÷π π

 

C

3 7

f   = − − ÷π π

 

3 7

f   = + ÷π π

 

Lời giải Chọn A

( ) sin ( cos ) cos sin

,

f π = ⇒ = − ⇒C π f x = −x x+ x−π

Nên

3 7

f   = − ÷π π

 

Câu 6 Biết rằng I =∫e cos x2x 3 dx=e2x(acos 3x b+ sin 2x)+c

, trong đó a, b, c là các hằng

số Khi đó, tổng a b+

có giá trị là:

A

1 13

−

5 13

−

5 13

D

1 13

Lời giải Chọn C

Ta có:

(từng phần lần 1)

( )

cos 3 sin 3 cos3 sin 3

cos 3 sin 3

(từng phần lần 2)

Suy ra

cos3 sin 3

x

,

thỏa mãn hệ thức ∫ f x( )sinx dx=-f x( )cosx+∫πx cosx dx

Hỏi y= f x( )

là hàm số nào trong các hàm số sau?

A

( ) lnx

π

= −

B

( ) lnx

π

= C f x( ) =πx.lnπ

D f x( ) = −πx.lnπ

Lời giải Chọn B

Ta có ∫ f x( )sin dx = x −∫ f x( ) ( d cosx)

Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có:

( )sin dx = ( ) ( d cos ) ( )cos cos d( ( ) )

( )cos ( ) dx

Mà theo giả thiết ∫ f x( )sinx dx=-f x( )cosx+∫πx cosx dx

Suy ra

ln

x

π

Câu 8 Một ô tô đang chạy với tốc độ 10 /m s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm

đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với v t( ) = − +5 10t (m s/ )

, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A 0, 2m B 2m C 10m D 20m

Lời giải Chọn C

Quãng đường vật di chuyển

( ) ( ) ( 5 10) 5 2 10

2

t

s t = v t dt = − +t dt=− + t C+

Tại thời điểm t=0

thì s t( ) =0

, do đó C=0

và

( ) 5 2 5( )2

t

s t = − + t=− t− + ≤

Xe dừng hẳn khi được quãng đường 10 m( )

kể từ lúc đạp phanh

Câu 9 Một chiếc ô tô đang đi trên đường với vận tốc v t( ) =2 t(0≤ ≤t 30) (m s/ )

Giả

sử tại thời điểm t=0

thì s=0

Phương trình thể hiện quãng đường theo thời gian ô tô

đi được là

A

( ) 3 4 3

B s=2 t m( )

C

( ) 3 4 3

D 2t m( )

Lời giải Chọn A

( ) ( )

1 1

3

1 2

t

+

+

sin cos 1 cos 2

sin cos 2 sin cos 2

m n

x

∫

với m n, ∈¥

Tính A m n= +

A A=5

C A=3

Lời giải Chọn C

cos sin sin cos cos 2

sin cos 2 sin cos 2

x

=

Đặt u=sinx+cosx+ ⇒2 du=(cosx−sinx dx)

( )3 ( 3 ) 2 2 ( )2

2

u

 Mức độ 4

sin 2 cos

d

1 cos

x

= +

∫

ta được kết quả có dạng

2

cos x acosx bln cosx 1 C

A.

1 4

a

b =

1

a

b = −

4

a

b =

1

a

b=

Lời giải Chọn B

Ta có

sin 2 cos

d

1 cos

x

= +

1 cos

x x

=

+

1 cos

x

x x x

= +

∫

( )

2 f cosx sin dx x

= ∫

Đặt: ⇒ =t cosx

Suy ra:

( )

t

t

=−  − + ÷ = −  − + + +÷

+

∫

Đổi lại biến số x, ta được:

2 2 2ln 1

I= − + −t t t+ + =C

2 cos x 2cosx 2ln cosx 1 C

vậy

b

Câu 2 Xác định các nguyên hàm:

sin 2 d 3cos 4sin 8

x x I

=

∫

có dạng

3cos sin

a

b

?

a b c d+ + + =

Lời giải Chọn B

Đặt:

3cos 4sin 8

t= x− x+ ⇒ =t2 3cos2x−4sin2 x+8

( )

7

x x t t

Suy ra:

2 d

2

7

t t

t

−

Vậy a=2,b=7,c=4,d= ⇒ + + + =8 a b c d 21

Câu 3 Xác định nguyên hàm: I =∫ (sin4x+cos4x)sin 2 dx x

? ta thu được kết quả có

dạng

3

C

Khi đó

a + =b

Lời giải

Chọn A

Không phải lúc nào cũng áp dụng ngay công thức hạ bậc vào các nguyên hàm khó đổi biến số, mà nên rút gọn thử xem biểu thức trong dấu nguyên hàm có thể đơn giản hơn được không

Ta có: (sin4x+cos4x)sin 2x ( ( 2 2 )2 2 2 )

sin x cos x 2sin xcos x sin 2x

2

1

= − ÷

(sin4 x cos4x)sin 2x

Suy ra:

2

1 1 cos 2 sin 2 d

2 2

∫

; đặt t=cos 2x⇒ = −dt 2sin 2 dx x

Suy ra

2

1 1 cos 2 sin 2 d

2 2

=  + ÷− ÷= − +

3

1

t

= −  + ÷+

Đổi lại biến số:

Khi đó

2

Câu 4 Xác định nguyên hàm

I

x

−

=

+

∫

ta thu được kết quả

Khi đó

2 2 ?

m + =n

A. 7

Lời giải

Chọn D

Đây là dạng nguyên hàm lượng của lượng giác đối xứng

Ta biến đổi như sau:

I

Đặt t=sinx+cosx→dt=(cosx−sin )dx x

Suy ra:

2

−

Vậy

2 2

m= n= ⇒ m +n =

(sin cos d)

sin 2 2

I

x

+

=

+

k

−

(k là một số

vô tỉ) Khi đó

2

16 ?

A. 19

Lời giải

Chọn A

Đây là dạng nguyên hàm lượng của lượng giác đối xứng

sin cos d sin cos d sin cos d sin 2 2 3 (1 2sin cos ) 3 sin cos

I

Đặt t=sinx−cosx→dt=(cosx+sin )dx x

2

arcsin arcsin

Câu 6 Xác định nguyên hàm:

I

−

=

+

∫

? ta thu được kết quả có dạng

ln

sin 2

C

+

Khi đó a b c+ + =?

Lời giải

Chọn B

Đây là dạng nguyên hàm của hàm lượng giác đối xứng

Ta có:

I

Đặt:

2

d (cos sin )d

sin cos

2







Suy ra:

2

I

t

−

−

2

d ln | 3 | ln | |

∫

1ln 3 1ln (sin cos ) 3 1ln 2 sin 2

vậy a=1,b=6,c=2

2

+

∫

với , , ,

a b c d

là các số tự nhiên và

a b

,

c d

là phân số tối giản Khẳng định nào sau đây đúng?

A c= − +a 2b

B c a= −2b

C c a= +2b

D c= − −a 2b

Lời giải

Chọn A

Biểu thức trong dấu nguyên hàm là hàm lượng giác đẳng cấp, rất dễ dàng đưa về hàm “tan” bằng cách chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất của hàm

“cos” như sau:

2

2

2

2

1 2 tan

cos

x

x

x

Đến đây ta tiến hành đặt:

2

t

+

Suy ra:

3 2 d. (3 2)d

4 1 ( 4)( 1)

I

Đến đây thuần túy là nguyên hàm phân thức Ta có:

2

−

arctan arctan

arctan(tan ) arctan( )

x

Vậy a=1,b=3,c=5

sin 2 cos

d

1 cos

x

+

=

+

∫

có dạng:

2

I = −a +  + + x C+

với a

là một số tự nhiên Khẳng định nào sau đây đúng?

A a∈ − −( 3, 1)

B a∈ −( 1,2)

C a∈( )3,5

D ( )1,3

Lời giải Chọn D

Đặt

2

2 2

1 tan

2

x

+

Khi đó ta có:

2

−

Suy ra

2

2

2

1 1

t

−

+ +

2 2

⇔ = − + ÷ = − +

2

+

Đổi lại biến số:

2

I = − +  + + + x C

Vậy a=2

4sin 7 cos 2

d sin 2cos 1

=

∫

2 3ln sin cos

I = x+ x a+ x b C+ +

Khi

đó

a + =b

Lời giải

Chọn C

4sinx 7 cosx 2 α sinx 2cosx 1 β cosx 2sinx γ

4sinx 7 cosx 2 α 2β sinx 2α β cosx α γ

⇒ + = ⇔ =

Suy ra

4sin 7 cos 2 cos 2sin

2 3ln sin 2 cos 1

Vậy a=2,b=1

3sin 2cos 1

d 2sin cos 1

=

∫

ta được?

A.

ln 2sin cos 1 ln 2 tan 1

x

.

B

ln 2sin cos 1 ln 2 tan 1

x

C

ln 2sin cos 1 ln 2 tan 1

x

D

ln 2sin cos 1 ln 2 tan 1

x

Lời giải Chọn D

Tách tử số theo mẫu số 3sinx+2cosx+ ≡1 α(2sinx+cosx+ +1) β(2cosx−sinx)+γ

3sinx 2cosx 1 2α β sinx α 2β cosx α γ

8 5

1

2 2

5

5

α

α β

α γ

γ

 =



− =

⇒ + = ⇔ =

Suy ra

8 1 2 cos sin 3 1

d

5 5 2sin cos 1 5 2sin cos 1

−

∫

1

ln 2sin cos 1

Với

1

1

d 2sin cos 1

=

∫

; ta đặt

2

2d

t

+

Khi đó

2

sin ;cos

−

Suy ra

2

2d

t

t

+

Thay vào I ta được

ln 2sin cos 1 ln 2 tan 1

x