DẠNG 47 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP hàm số GIẢI PHƯƠNG TRÌNH mũ và LOGARIT

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:1... Lời giải Chọn BCâu 4... Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y.. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn... Có bao nhiêu giá trị Lời giải Chọn B... C

KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

1 Định lý: Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên

 a b; thì

* u v; �   a b; : f u  f v  �u v .

* Phương trình f x  k k const  có nhiều nhất 1 nghiệm trên khoảng  a b; .

2 Định lý: Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b; :

o Khi a1 thì loga bloga c�b c

o Khi 0 a 1 thì loga bloga c�b c

2 Logarit của một tích:

Cho 3 số dương a b b với , ,1 2 a�1, ta có

log ( ) loga b b  a b loga b

3 Logarit của một thương:

Cho 3 số dương a b b với , ,1 2 a�1, ta có

4 Logarit của lũy thừa:

Cho ,a b0, a� , với mọi 1 , ta có

5 Công thức đổi cơ số:

Cho 3 số dương , ,a b c với a� � , ta có1,c 1

loglog

log

c a

c

b b

a



.Đặc biệt:

1log



với  �0.

BÀI TẬP MẪU

Câu 47 . ĐỀ MINH HỌA LẦN 1 - BDG 2020-2021)

DẠNG TOÁN 47: ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

VÀ LOGARIT

Có bao nhiêu số nguyên a a �2

sao cho tồn tại số thực x thỏa mãn

Điều kiện x> Đặt 0. y=alogx+ > thì 2 0 yloga = -x 2�alogy+ = Từ đó ta có 2 x

hệ

log

log

22

x y

f y �f x sẽ kéo theo y� tức là phải có x, x= Tương tự nếu y x� y

Vì thế , ta đưa về xét phương trình x=alogx+ với 2 x> hay 0 log

2

a

Ta phải có x> và 2 x>xloga � >1 loga� <a 10

Ngược lại, với a< thì xét hàm số liên tục10

log log 1 log

Lời giải Chọn B

Câu 4 Giả sử a b; là các số thực sao cho: x3y3 a�103zb� đúng với mọi các số 102z

thực dương ; ;x y z thỏa mãn: logx y  z và logx2y2 z 1 Giá trị của a b là:

D.

252



Lời giải Chọn B

12

a 

và b 15Vậy

292

a b 

xy1 2 2xy 1 x2y.2x2 y. Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của y.

Lời giải Chọn B

x x



�

� � �Loại x 1 vì điều kiện của t nên f  2 2.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy GTNN của y bằng 2 khi x 2

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn

A 3 B 2 C 1 D Vô số.

Lời giải Chọn B

52

t t

y y

t t

y y

y y

Vậy có hai giá trị nguyên của x thỏa yêu cầu bài toán là x và 0 x 1

Điều kiện: a b 0

Điều kiện

02

Đặt22x2y2 3x y  , suy ra t

2 2

2 3

x y ��� x y� �� � ����  �� x y nên suy ra:

Vậy (**) vô nghiệm

- Với y thì hệ (*) trở thành 0 2

22

t t

Dễ thấy (***) luôn có ít nhất một nghiệm t1�x1.

Vậy có 2 giá trị nguyên của y thỏa mãn là y0, y 1

2 2 3

Vậy có 6 cặp số thỏa mãn đề bài

Ta có

3x 5y 10 x 3y 9 1 2 2 3x 5y 10 x 3y 9 3 9 3 5 10

Câu 5. Cho 0� �x 2020 và log (22 x  2) x 3y8y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên

thỏa mãn các điều kiện trên?

Lời giải Chọn D

Do 0� �x 2020 nên log (22 x luôn có nghĩa.2)

Ta có log (22 x  2) x 3y8y

3 2

log (    1) 1 3 2

2 log ( 1) 3 2

Ta có 0� �x 2020 nên 1�x1 2021� suy ra 0 log (� 8 x1) log 2021� 8 .

Lại có log 2021 3,668 � nên nếu y�� thì y�0;1;2;3

.Vậy có 4 cặp số ( ; )x y nguyên thỏa yêu cầu bài toán là các cặp (0;0), (7;1),

.ln 2

t

g x�  e   x là hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;� nên g x�  0

12

x

nên nghiệm đó là duy nhất

Vậy

1min

2

P 

tại

12

a a

Ta có:

2017

2017 2017

a a

a

Vậy có: 33 giá trị của a

Câu 8. Cho phương trình 2x m log2x m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị

Lời giải Chọn B

nên m�  17; 16; 15; ; 1 

Vậy có 17 giá trị của m

27 2

Lời giải Chọn D

ĐK:

10

4

32

x x

x y

Mà m�2019; 2019 và m�� nên có 2017 giá trị m thỏa mãn

Câu 11. Cho phương trình 3 3x 2x 1 3x m 2 3x  m 3 2 3x m 3, với m là

tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để phương trình có nghiệm

thực?

Lời giải Chọn A

ta có bảng biến thiên của g u :

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi

134

thực?

Lời giải Chọn A

Đặt u3x, với điều kiện u và đặt 0 g u    u2 u 3

3log 1 3log 1 3

Lời giải Chọn B

3 49

1 log log 4 8

4 log 33

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mvới m sao cho tồn tại số thực 1 x

5 log log x 3 m 3 1

Lời giải Chọn B

Điều kiện:x0

Đặt mlog 5x  thay vào phương trình 3 u  1 ta được: ulog 5m x 3� x u log 5m3.

Vì ulog 5m mlog 5u Từ đó ta có hệ Phương trình

5 5

log

log

33

x m

x y

Khi đó: x y

x x

Vậy có 2023 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu.

Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên m�20;20 để phương trình 7x m 6 log 67 x m 

có nghiệm thực

A 19 B 21 C 18 D 20

Lời giải Chọn D

Đặt: tlog 67 x m  �6x m 7t �6x 7t m Khi đó phương trình trở thành

giá trị nguyên của z để có đúng hai cặp  x y, thỏa mãn đẳng thức trên

Lời giải Chọn B

3 49

t t

Yêu cầu bài toán tương đương

49 27

1 log log 4 8

4 log 33

Điều kiện: x24xlog2m0



�

� ��

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) hoặc (2) có nghiệm

 1 có nghiệm khi và chỉ khi �����0 4 log2m 1 0 log2m 5 m 32

 2 có nghiệm khi và chỉ khi �����0 4 log2m 2 0 log2m 6 m 64

Vậy có 64 số