DẠNG 40 bất PHƯƠNG TRÌNH mũ LOGARIT vận DỤNG CAO

DẠNG TOÁN 40: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT VẬN DỤNG CAOII.. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ  Lý thuyết về bất phương trình mũ – lôgarit  Nhận dạng và phát triển các dạng toán tương tự 22...

DẠNG TOÁN 40: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ -LOGARIT VẬN DỤNG CAO

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Lý thuyết về bất phương trình mũ – lôgarit

 Nhận dạng và phát triển các dạng toán tương tự

22

Theo đề bài, ứng với mỗi số nguyên dương y có không quá 10 số nguyên xthỏa mãn bất phương trình (*) tương đương với tập nghiệm

2

1

; log2

=  ÷

chứa không quá 10 số nguyên, nghĩa là:

10 2

22

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN

nguyên không âm thì ( )x y,

chỉ có thể là: ( ) ( ) ( )0;0 , 0;1 , 0; 2 ,

( )1;0 , ( )1;1 , ( ) ( ) ( )2;0 ; 2;1 , 3;0

.Vậy tổng S=3

Ta có

x x+ − ≥ ⇔ + ≥ +x x

.Xét hàm số đặc trưng f t( ) = +t2 t

.Với giả thiết 1≤ ≤x 10

Có

x ≥ y + y x− + + y + y+ ⇔ +x x ≥y + y+ + y + y+

(2)Xét hàm số f t( ) = +t t

có 37= y2+2y+ ≤ ≤2 x 50⇒ ∈x {37;38; ;50}

có 14 cặp ( )x y;

thỏa mãn.Với y=6

.Suy ra hàm số y= f t( )

là hàm số đồng biến trên (0;+∞)

.Suy ra ( )1 ⇔ f x( + ≤1) f (cos2 y) ⇔ + ≤x 1 cos2 y⇔ ≤ −x sin2 y⇒ ≤x 0

vô lí

Vậy không tồn tại cặp số nguyên dương ( )x y;

nào thỏa mãn đề bài

thỏa mãn điều kiện logx(y x x+ + 2− ≤5) 2

thỏa mãn yêu cầu đề bài.

có không quá 30 nghiệm nguyên?

y x

y x y

logx y>1

suy ra 2x+ < < + ⇒ ≤ ⇒ ∈5 y x 10 x 3 x { }2;3

.Với x= ⇒ < < ⇒ ∈2 9 y 12 y {10;11}

.Với x= ⇒ < < ⇒ ∈3 11 y 13 y { }12

.Trong các cặp (x y; )

2 2

có f t′( ) = +2t t.2 ln 2 0, t > ∀ ∈ +∞t [0; )

.Suy ra f a( )≤ f ( )− ⇔ ≤ − ⇔ + ≤b a b a b 0

.Suy ra ( ) (2 )2 ( ) (2 )2

2x y+ + −x y − ≤ ⇔3 0 2x y+ + −x y ≤3

.Với giả thiết x y, là các số nguyên nên ( )2

2x y+

và ( )2

x y−

chỉ có thể xẩy ra các trường hợp sau:

23

3

13

3

13

13

−

Nhậ

n Loại Loại Loại Nhận Nhận Loại Loại LoạiVậy có tất cả 3 cặp nghiệm thỏa mãn

Câu 10. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( )x y;

.Xét hàm số ( ) 2

để tập nghiệm của bấtphương trình (3x+ 2− 3 3) ( x−2m) <0

chứa không quá 9 số nguyên?

Lời giải Chọn D

Gọi (3x+ 2− 3 3) ( x−2m)<0

(1)Đặt 3 , 0,

x

bất phương trình (1) trở thành(9t− 3) (t−2m) ( )<0 2+ Nếu

32

+ Nếu

32

Vậy có 3280 số nguyên dươngm

Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu bài toán

có không quá 30 nghiệm nguyên?

Lời giải Chọn B

Bảng xét dấu

A

2 2 33

m> +

2 2 33

m> −

C

2 2 33

m≥ −

D

2 2 33

m≥ − −

Lời giải Chọn B

( )

2 2

, ∀ ∈t (0;5)

.Xét hàm số f t( ) = t+ +3 5−t

m≥

14

m≤

100841

⇔ ≤

.Vậy

100841

m≤

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi

1

; 22

là nghiệm của bất phương trình (1) thì f y( )= − + ≤f( x k) 0

Mà − + < − + < < − +x 1 x 2 x k

và f y( ) đồng biến trên khoảng (− +∞x; )

, suy ra

( 1) ( 2) ( ) 0

f − + < − + < < − + ≤x f x f x k

, nên các số nguyên − + − +x 1, x 2, , − +x kđều là nghiệm của (1), hay nói cách khác bất phương trình (1) sẽ có k số nguyên y thỏa mãn yêu cầu ứng với mỗi x

Để có không quá 728 số nguyên y thì

Hệ bất phương trình đã cho có nghiệm ⇔x2−(m+2) x+2m+ ≥3 0

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để bất phương trình

log2

m x

m

æ ö÷ç

Û ³ ç ÷çè ø÷

, với m

+

Î ¢.Vậy với m

+

Î ¢ thì bất phương trình ( )2

có nghiệm tương ứng là

6 2 5

1log2

m x

m

æ ö÷ç

³ ç ÷çè ø÷

.Suy ra có vô số giá trị m

+

Î ¢ làm cho bất phương trình ( )1

có nghiệm

để bất phương trìnhsau nghiệm đúng với ∀ ∈x ¡

(6 2 7+ )x+ −(2 m) (3− 7)x−(m+1 2) x ≥0 ⇔2 3x( + 7)x+ −(2 m) (3− 7)x≥(m+1 2) x

2

x x

, ta có

2 31

t t

= −



⇔  =

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m≤1

Suy ra trong đoạn [−10;10]

có tất cả 12 giá trị nguyên của m

thỏa mãn yêu cầu bài toán

trên R

( ) 2 ln 2 1 0t ( )

f t′ = + > ∀ ∈ ⇒t R f t

đồng biến trên R

x y

+

=

− + gần với giá trị nào sau đây nhất?

Lời giải Chọn C

với

4≤ ≤x 2020,x∈¥

.+ Xét y=2

thì thành 4(x+4 log 1 0) 3 ≤

, BPT này cũng luôn đúng với mọi x mà

4≤ ≤x 2020,x∈¥

.Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x y; )

thỏa mãn yêu cầu bài toán

.Biết 0≤ ≤x 20

, số các cặp x y, nguyên thỏa mãn bất phương trình trên là

có x≥0

nên có 21 cặp (x y; )

thỏa mãn

, ta có

( ) ( )

2 2

2 31

t t

= −



⇔  =

Khi đó, ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên trên ta suy ra để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m<1

Suy ra trong đoạn [−10;10]

có tất cả 11 giá trị nguyên của m

thỏa mãn yêu cầu bài toán

9m x+4m x³ m.5m x

cónghiệm?

Lời giải:

m x

m

æ ö÷ç

Û ³ ç ÷çè ø÷

, với m

+

Î ¢.Vậy với m

+

Î ¢ thì bất phương trình ( )2

có nghiệm tương ứng là

6 2 5

1log2

m x

m

æ ö÷ç

³ ç ÷çè ø÷

.Suy ra có vô số giá trị m

+

Î ¢ làm cho bất phương trình ( )1

.Nếu

32

Nếu

32

Vậy có 3280 số nguyên dươngm thỏa mãn

thỏa mãn điều kiện x≤2020

có f t′( ) =3 ln 3 3 0, t + > ∀t

.Suy ra hàm số f t( ) = +3t 3t

.Với y=1

có 26≤ ≤x 2020

suy ra có 1995 cặp số ( )x y;

thỏa mãn Với y=2

có 242≤ ≤x 2020

suy ra có 1779 cặp số (x y; )

thỏa mãn Vậy có tất cả 3774 cặp số ( )x y;

Suy ra có 65024 giá trị m nguyênthỏa mãn.

Vậy có tất cả 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt

số nguyên x thỏa.

sao cho ứng với mỗi x có không quá 242 sốnguyên y thỏa mãn ( 2 ) ( )

đồng biến trên khoảng (0;+∞)

và f t( ) >0với mọi t>0

x y

+

=

− + gần với giá trị nào sau đây nhất?

với

4≤ ≤x 2020,x∈¥

.+ Xét y=2

thì thành 4(x+4 log 1 0) 3 ≤

, bất phương trình này cũng luôn đúng

với mọi x mà 4≤ ≤x 2020,x∈¥

.Trường hợp này cho ta 2017 cặp (x y; )

thỏa mãn yêu cầu bài toán

thỏa mãn đồng thời điều kiện

, ta có ( )* ⇔ − + − + +4y y 1 (y 3)2≤ ⇔ − ≤ ≤8 3 y 0

, do đó − ≤ <3 y 0

.+ TH2 0≤ ≤y 1

, ( )* ⇔4y y+ − + +1 (y 3)2 ≤ ⇔ − ≤ ≤8 11 y 0

, do đó y=0

Vậy cả 3 trường hợp cho ta − ≤ ≤3 y 0

, với điều này ta có

Vậy có 2 cặp nghiệm thỏa mãn

  3 

x m

y

ìï = ï

( )C2

tiếp xúc trong và đường tròn ( )C2

có bán kính lớn hơn đường tròn( )C1

.( )C1

Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( )x y;

.Xét hàm số ( ) 2

thỏamãn 3 5x+ 7y − 3 3x+ + 5y 2 + 2(x y+ − = 1) 0

đk ∀t

, phương trình có dạng: t2 −(m+ 2)t m+ 2 − = 1 0

Lời giải Chọn B

Điều kiện

22

x a

b b

3 2

( 4 )

2 log 3

Phân tích đáp án nhiễu

+) Đáp án C là do chưa thử lại khi a=1; a∈{-2; 1;0;1}−

.+) Đáp án A là do đánh giá từ