DẠNG 07 KHẢO sát đồ THỊ hàm số

KIẾN THỨC CẦN NHỚ: PHƯƠNG PHÁP Để nhận dạng hàm số khi biết đồ thị, BBT ta thực hiện các bước giải như sau: Tùy theo số hệ số cần tìm, lập hệ tương ứng các phương trình: Dựa vào các điể

DẠNG TOÁN 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ - NHẬN DẠNG HÀM SỐ, ĐỒ THỊ

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

PHƯƠNG PHÁP

Để nhận dạng hàm số khi biết đồ thị, BBT ta thực hiện các bước giải như sau:

Tùy theo số hệ số cần tìm, lập hệ tương ứng các phương trình: Dựa vào các điểm

đồ thị hàm số đi qua, các điểm cực trị (nếu có), phương trình các đường tiệm cận(nếu có) của đồ thị hàm số

Giải hệ vừa lập, từ đó suy ra hàm số cần tìm

Để lập được hệ phương trình nêu trên, ta cần nhớ các kiến thức cơ bản như sau:

 Điểm M x y( 0; 0)

là điểm cực trị của đồ thị hàm sốy= f x( )

khi và chỉ khi

( ) ( )

cx d

−

′ =+

 Phương trình các đường tiệm cận: Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang

a y c

=

và đường tiệm cận đứng

d x c

= −

 Các dạng đồ thị:

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Nhận biết hàm số thông qua đồ thị

 Nhận biết hàm số thông qua bảng biến thiên

 …

BÀI TẬP MẪU

đường cong trong hình trên?

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán nhận dạng đồ thị hàm số cơ bản

Đây chính là dạng của đồ thị hàm trùng phương có hệ số cao nhất dương, có ba điểm cực trị và cắt trục tung tại điểm có tung độ âm Khi đó chỉ có

4 2 2 1

y x= − x −

là thỏa mãn

Bài tập tương tự và phát triển:

Cách 1 : Từ đồ thị hàm số, ta thấy đây là đồ thị hàm số đa thức bậc 3 :

a>

+) Đồ thị cắt trục Oytại M(0; 2- )

, do đó d = −2

+) Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là

( 1;0 ;) ( )1;4

, do đó phương trình2

ê êë

=-)Vậy, đáp án đúng là C.

Câu 2. Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây?

A

3 2

1

13

Lời giải Chọn B

Quan sát đồ thị ta thấy:

+) Đây không phải dáng đồ thị hàm số trùng phương ⇒ Loại phương án C.

+) Đồ thị là đường cong kết thúc bằng việc đi xuống theo hướng từ trái sangphải ⇒

ê =ë, thoả mãn Vậy đáp án đúng là B.

Câu 3. Hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào?

Lời giải Chọn D

ê =ë

)Kiểm tra phương án D: hàm số bậc 4 trùng phương, hệ số a>0, cắt trụctung tại M(0; 3- )

, y¢= +x3 2x=x x( 2+2)

chỉ có một nghiệm x=0, thoả mãn.Vậy, đáp án đúng là phương án D.

x y x

−

=

−

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang theo thứ tự là x=2; y=2 Như vậy, chỉ có hai hàm số ở phương

án A và D thoả mãn điều kiện này

Mặt khác, theo hình vẽ, đồ thị hàm số cần tìm cắt trục Oy tại

10;

2

⇒Chỉ có hàm số cho ở phương án D thoả mãn

Câu 6. Hàm số nào trong các hàm số sau có đồ thị như hình vẽ bên dưới?

A.

11

x y x

x y x

−

=+

21

x y x

+

=+

11

x y x

−

=+

Lời giải Chọn B

Cách 1: Quan sát đồ thị, ta thấy:

+) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang theo thứ

tự là x=- 1; y=1 Như vậy, chỉ có hai hàm số ở phương án B và C thoả mãn điều kiện này

+) Mặt khác, theo hình vẽ, đồ thị hàm số cần tìm cắt trục Oy tại M(0; 1- )

⇔( )0 1

y

=-⇒ Hàm số cho ở phương án B thoả mãn, hàm số ở phương án C không thoả mãn

Cách 2: Từ hình vẽ nhận thấy cả hai nhánh của đồ thị hàm số có hướng đi

lên từ trái sang phải ⇒ hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇒

0

y¢> " Îx TXD

Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số cho ở phương án B thoả mãn điều kiện này

Vậy, B là phương án trả lời đúng

Câu 7. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

x y x

+

=+

Lời giải Chọn C

Từ bảng biến thiên, ta thấy

+) hàm số cần tìm có TXĐ: D=¡

Do đó, phương án D bị loại

+) hàm số cần tìm đồng biến trên ¡

Hàm số bậc 2 và hàm số bậc 4 trùng phương đã học không thể đơn điệu trên toàn tập xác định ¡

Căn cứ bảng biến thiên, ta có:

+) hàm số chỉ có một điểm cực trị ⇒y¢ chỉ đổi dấu một lần Do vậy, phương

án C bị loại vì hàm số cho ở PA này có

3

01

212

êê

ê ê

=-⇒y¢đổi dấu 3 lần

Kiểm tra phương án D: y¢=- 4x3- 2x=- 2 2x x( 2+1 ;) y¢= Û0 x=0;

y¢< Û >x y¢> Û <x

(thoả mãn)

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:

Hàm số cần tìm có ba điểm cực trị ⇒y′đổi dấu 3 lần ⇒y¢=0

có ba nghiệm phân biệt ⇔ab<0 Chỉ có phương án B thoả mãn điều kiện này

− −

=+

1 21

x y

x

−

=+

21

x y x

=+

21

x y x

−

=

−

Lời giải Chọn B

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta xác định được:

+) Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

x

¢= Þ ¢> " Î+

x

−

′= ⇒ <′ ∀ ∈+

TXĐ, thoả mãn

Quan sát đồ thị ta thấy đây là đồ thị của hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d a( ≠0)

Câu 2. Hàm số

21

x y x

Lời giải Chọn B

301

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 2− )

nên loại phương án C.

Câu 3. Cho hàm số y= f x( )

xác định, liên tục trên ¡

và có đồ thị như hình bên

Đồ thị nào dưới đây là đồ thị của hàm số y= f x( )+1

Gọi M x f x( ; ( ) )

thuộc đồ thị hàm số y= f x( )

Khi đó M x f x′( ; ( )+1)

là ảnh của( )

( ; )

M x f x

qua phép tịnh tiến theo vectơ r uuuuurv MM= ′=( )0;1

.Vậy đồ thị của hàm số f x( )

y= x − − = x − x +

Nhìn vào hình vẽ, ta có đồ thị ứng với hàm bậc bốn trùng phương có a>0

và a, b trái dấu Chọn đáp án A.

Câu 5. Cho hàm số

x a y

bx c

−

=+

có đồ thị như hình vẽ bên dưới Tính giá trị của biểuthức P a b c= + +

Ta có: Tiệm cận đứng: x=2 2

c b

⇒ − =

2b c 0

⇔ + = ( )1

.Tiệm cận ngang: y=1⇒ =1b 1⇔ =b 1( )2

x

−

=

−

Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2;0)

nên ta có:

20

x O

Ta có nhánh bên phải đồ thị đi xuống, suy ra a<0

.Mặt khác do đồ thị có ba cực trị suy ra ab<0

mà a< ⇒ >0 b 0

Mà giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm có tung độ y c= >0

.Vậy chọn đáp án A.

Câu 7. Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ

A.

2

x y x

−

=+

32

x y x

Ta có : Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là :x=2

và tiệm cận ngang y=2

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2 , 2;) ( +∞)

cx d

+

=+

có đồ thị như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Vì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên ad bc− <0

, với mọi

d x

c

≠ −

nên ad bc<

Mặt khác ( )C ∩Ox =A−b a;0÷

và

0

b a

= − >

nên cd <0

Suy ra0

B.a>0

,b≥0,c>0

C.a>0

,b≥0,c<0

D.a>0

,b<0,c≤0

Lời giải Chọn C

a b c

và x=2

, dođó

( ) ( ) ( ) ( )

b c

Câu 2. Cho hàm số f x( ) =ax3+bx2+ +cx d a b c d R( , , , ∈ )

có bảng biến thiên sau

' 0 0' 2 0

f f

có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 4. Cho hàm số

1

a x y

b x c

+

=+

có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Dựa vào BBT, ta có:

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

2

a y b

= = ⇒ =a 2 1 b( )

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng

1

c x b

x c

+

=+

có bảng biến thiên sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

có bảng biến thiên như sau:

Trong các số a b, và c có bao nhiêu số âm?

Lời giải Chọn A

có đường tiệm cận đứng là đường thẳng

c x b

= −

và đườngtiệm cận ngang là đường thẳng

a y b

=

Từ bảng biến thiên ta có

2

2 (1)

3 (2)3

c

c b b

Đồ thị hàm số u x( ) = f x( −2018)+2019

có được từ đồ thị hàm số f x( )

bằngcách tịnh tiến đồ thị hàm số f x( )

sang phải 2018 đơn vị và lên trên 2019đơn vị

Suy ra bảng biến thiên của u x( )

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g x( ) = u x( )

có 3 điểm cực trị

Câu 8. Cho hàm số y= f x( )

xác định trên ¡ . Biết đồ thị ( )C của hàm số y= f x( )

như hình vẽ

Xét trên khoảng(0;+∞)

, có y= f x( ) = f x( )

.Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( )

có điểm cực tiểu A(2; 5)−

.+ Xét hàm số

x c

+

=+

có đồ thị như hình vẽ a, b, c là các số nguyên Giá trịcủa biểu thức T = − +a 3b 2c

bằng:

Đồ thị hàm số trên hình vẽ có tiệm cận ngang là đường thẳng y= −1

x b y

x c

− +

=+

Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(0; 2 ,− ) ( )B 2;0

suy ra

2202

b c

b c

b c

Biết rằng đồ thị hàm số f x( ) đi qua điểm A( )0; 4

Khẳng định nào dưới đây

là đúng?

A f ( )1 =2

( )2 112

( )1 72

D f ( )2 =6

Lờigiải ChọnD

ta có

1

d c

, ( )2 vào ( )3

1

x x

+

=+.Vậy f ( )2 =6

− = −



⇔  − =

2323

x x

2

1 1 63

nên ta có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình f (1 3− x)+ =1 3

có nghiệm ⇔ ( ) (2 ) (2 )2

2t+1 + +t 3 ≥ 4t+1 ⇔ −119 ≤ ≤t 1

Biết phương trình f x( ) =0

có ba nghiệm x1<x2<x3

Giátrị của x x1 3 bằng

A −3

73

−

52

−

Lời giải Chọn C

Giả sử f x( ) =ax3+bx2+ +cx d a,( ≠0 )

Dựa vào đồ thị ta thấy ( )C

và dcắt nhau tại 3 điểm: A(−1;y A) ( ) (, B 1;0 ,C 3;y C)

21

x t x

=+

;

2

21

Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì f u( ) =m

có nghiệm thuộc đoạn

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f (2sinx+ =1) f m( )

có nghiệm thực?

Lời giải Chọn D

Ta có ∀ ∈x ¡ : 1 2sin− ≤ x+ ≤1 3

.Căn cứ vào đồ thị ta có − ≤2 f x( ) 2≤ ∀ ∈ −x [ 1;3]⇒ − ≤2 f(2sinx+ ≤ ∀ ∈1) 2 x ¡

Từ đó suy ra phương trình f (2sinx+ =1) f m( )

có nghiệm thực khi và chỉ khi

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤

, mà m nguyên dương nên m∈{1;2;3}

.Vậy có 3 số nguyên dương m thỏa mãn đề bài

Câu 6. Cho hàm số y= f x( )

liên tục trên ¡

có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu số nguyên mđể phương trình f f x( ( ) −m) =0

có tất cả 9 nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn A

Ta có

( )

( )0

có nhiều nhất 3 nghiệm thực phân biệt với

nên − − > −3 a 2

suy ra m> −2

.Với 1< <c 2

nên điều kiện (4) thỏa mãn

Tổng các giá trị nguyên của mđể phương trình f f x( ( ) + =1) m

có 3 nghiệmphân biệt bằng

Lời giải Chọn D

có 6 nghiệm phân biệt

có ba nghiệm phân biệt khi0

− < < −



⇔  < <

.Vậy m∈ −{ 12; 11; ; 2; 3; 4; ;13− − }

.Tổng cần tìm là S= − + =2 13 11

Câu 8. Cho hàm số f x( ) =ax3+bx2+ +cx d a b c d( , , , ∈¡ )

có đồ thị như hình vẽ bên

Đặt f x k( )= f( ( ( )));(f x k

hàm f k; =1;4)

Ta có

3 4

3

( ) 0 (1)( ) 0

2

( ) 0 (3)(1) : ( ) 0

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )

d f

12

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

?

Lời giải Chọn A