DẠNG 30 TÍNH đơn điệu của hàm số

DẠNG TOÁN 30: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐSỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.. Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y= f x là một hàm sốxác định trên K.. G

DẠNG TOÁN 30: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa 1.

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y= f x( )

là một hàm sốxác định trên K Ta nói:

đồng biến với u∈( )c d;

3 Định lí 1.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f x'( ) ≥ ∀ ∈0, x K

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f x'( ) ≤ ∀ ∈0, x K

4 Định lí 2.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K Khi đó:

thì hàm số f không đổi trên K

Chú ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa

khoảng Khi đó phải có thêm giả thuyết “ Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa

khoảng đó’ Chẳng hạn:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ ]a b;

và f x'( ) > ∀ ∈0, x ( )a b;

thì hàm số f đồng biến trên đoạn [ ]a b;

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên K

cx d

+

=+ Có TXĐ là tập D Điều kiện như sau:

+) Để hàm số đồng biến trên TXĐ thì y' 0,> ∀ ∈x D

+) Để hàm số nghịch biến trên TXĐ thì y' 0,> ∀ ∈x D

+) Để hàm số đồng biến trên khoảng ( )a b;

00

a

b c

00

a

b c

(Đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox thì không đơn điệu)

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

 Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng

BÀI TẬP MẪU Câu 30 (Minh họa 2021) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ¡ ?

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Tìm sự đồng biến, nghịch biến của hàm số cho trước

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1. Cho hàm số

21

x y x

−

=+

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ +∞; )

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( )0;2

2

x y

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

Câu 4. Cho hàm số

3 2 2 1

y x= − x + +x

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng

1

;13

 

 ÷

 

Câu 5. Cho hàm số y x= 4−2x2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞ −; 2)

, ( )0;1

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng(−∞ −; 2)

.Cách 2: Dùng chức năng mode 7 trên máy tính kiểm tra từng đáp án

Câu 6. Cho hàm số

3

2 20193

x

y= − + +x x

A Hàm số đã cho đồng biến trên ¡

B Hàm số đã cho nghịch biến trên (−∞;1)

y′ = −x x+ = −x ≥ ∀x

và y′ = ⇔ =0 x 1

(tại hữu hạn điểm)

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên ¡

Câu 7. Hàm số

5 23

x y

x

−

=+ nghịch biến trên

Hàm số

5 23

x y

x

−

=+

có tập xác định là D=¡ \{ }- 3

.( )2

và (− +∞3; )

Câu 8. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên ¡

0

2

x y

.Vậy hàm số

x x

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 3 ;+ ∞)

nên cũng đồng biến trên khoảng (3;+ ∞)

 Mức độ 2

Câu 1. Hàm số

=+2

21

y x

nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ∞)

và đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)

Câu 3. Cho hàm số

2 1

y= x −

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞)

B Hàm số nghịch biến trên

khoảng(−∞;0)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞)

D Hàm số đồng biến trên

(−∞ +∞; )

Lời giải Chọn A

Hàm số đồng biến trên khoảng (−1;3)

x y x

=

Lời giải Chọn A

y′ = ⇔ − x + x= ⇔ =x

hoặc x=2

.Xét dấu y′

Ta có: y′= −2f x′( ) = −2x2+4x> ⇔ ∈0 x ( )0; 2

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng (5;+∞)

B Hàm số đồng

biến trên khoảng (3;+∞)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1 )

D Hàm số

nghịch biến trên khoảng (−∞;3 )

Lời giải

Ta có: f x′( ) =0

02

x x

=



⇔  =

.Đồng thời f x′( ) <0⇔ ∈x ( )0;2

nên ta chọn đáp án theo đề bài là ( )0; 1

Ta có:

+) TXĐ: D=¡

+) y'= −3x2−2mx+4m+9

.Hàm số nghịch biến trên (−∞ +∞; )

A

12

m m

m m

khi và chỉ khi y′ ≤0

, ∀ ∈x ¡2

Ta có:

y′ = +x mx+

.Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞ +∞; )

Lời giải Chọn C

⇔ < <

Mà m∈¢

nên có 3 giá trị thỏa mãn

Câu 8. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

4

x y

x m

+

=+ đồngbiến trên khoảng (−∞ −; 7)

Tập xác định: D=¡ \{- m}

Ta có: ( )2

4

m y

x m

−

′ =+.Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞ −; 7) ⇔ >y′ 0

Từ bảng biến thiên ta thấy m≤2

6

13

2 6

1( ) 3

Dựa vào BBT ta có m≥ −4, suy ra các giá trị nguyên âm của tham số m là4; 3; 2; 1

− − − −

Câu 2. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

12

32

Lời giải Chọn B

• Tập xác định:D=¡ \ 2{ }

.Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi:' 0,

y ≥ ∀ ∈x D 1 ( )2 0,

2

m

x D x

x y

x m

−

=

− nghịch biếntrên khoảng

;2

Điều kiện: cos x m≠

m m

Đặt t= − 6−x

vì x∈ −( 8;5) ⇒ ∈ −t ( 14; 1− )

và t= − 6−x

đồng biến trên (−8;5)

.{ 9, 8, 7, 6, 5, 4, 1,0, 4,5,6,7,8,9}

Tập xác định : D=¡ .

3

2

32

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=1

Do đó ( )

( ) ( )0;

m= −

.Vậy có hai giá trị nguyên âm của tham số m thỏa mãn điều kiện bài ra

Câu 7. Cho hàm số

ln 4

ln 2

x y

−

=

− với m là tham số Gọi S là tập hợp các giá trịnguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( )1;e

Tìm số phần

tử của S

Lời giải Chọn C

, điều kiện t∈( )0;1( ) t 24

2 42

Để hàm số f x( )

đồng biến trên ( )1;e

thì hàm số g t( )

đồng biến trên ( )0;1( ) 0, t ( )0;1

g t′

2 4

0, 0;12

Câu 8. Tìm m để hàm số

cos 2cos

−

=

−

x y

A

22

D − <1 m<1Lời giải

Yêu cầu bài toán ⇔ =y′ 3x3−9x+2m+ ≥ ∀ ∈15 0, x (0;+∞)

và dấu bằng xảy ra tại

Ta có: y′ =(3x2−2x m+ ).2x3− + +x2 mx 1.ln 2

Hàm số đồng biến trên ( )1;2 ⇔ ≥y′ 0

, ∀ ∈x ( )1; 2(3x2 2x m).2x3− + +x2 mx 1.ln 2 0

, ∀ ∈x ( )1; 22

3x 2x m 0

, ∀ ∈x ( )1; 22

.Xét hàm số f x( ) = −3x2+2x

, với x∈( )1;2

Ta có: f x′( ) = − +6x 2

.Cho f x′( ) =0⇔ − + =6x 2 0 ⇔ =x 13

.Bảng biến thiên:

Vậy m≥ −1

thỏa yêu cầu bài toán