Dạng 48 tìm tỷ số diện tích hp biết đồ thị của hàm số

Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate cóphương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y2 x225x2 như hình vẽ bên.. Câu 9: Cho hình phẳng giới hạn bởi

Nhận thấy kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị  C

sang bêntrái sao cho đường thẳng d x x:  trùng với trục tung khi đó 2  C là đồ thịcủa hàm trùng phương yg x  có ba điểm cực trị x1 1,x2 0,x3  Suy1

Ⓐ

Câu 2: Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị là đường cong  C trong hình bên.

Hàm số f x  đạt cực trị tại hai điểm x x thỏa 1, 2 f x 1  f x 2 0 Gọi ,A B

là hai điểm cực trị của đồ thị  C ;M N K là giao điểm của , ,  C với trục

hoành; S là diện tích của hình phẳng được gạch trong hình, S là diện2

tích tam giác NBK Biết tứ giác MAKB nội tiếp đường tròn, khi đó tỉ số

Kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị đồ thị  C sang

trái sao cho điểm uốn trùng với gốc tọa độ O (như hình dưới)

Do f x  là hàm số bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng O N�  .

cx d





 có đồ thị  C

Gọi giao điểm của hai đường tiệm cận

là I Điểm M0x y0; 0 di động trên  C , tiếp tuyến tại đó cắt hai tiệm cậnlần lượt tại A B, vàSIAB  Tìm giá trị 2 2

Nhận thấy kết quả bài toán không thay đổi khi ta tịnh tiến đồ thị  C

theo IOuur Khi đó hai tiệm cận của  C

1, 2

x x lần lượt là hai điểm cực trị thỏa mãn x2   và x1 2 f x 1 3f x 2 0

Đường thẳng song song với trục Ox và qua điểm cực tiểu cắt đồ thị hàm

số tại điểm thứ hai có hoành độ x và 0 x1   Tính tỉ số x0 1 12

Lời giải Chọn A

S 

Câu 5: Cho hàm số bậc bốn trùng phươngy f x  có đồ thị là đường cong trong

hình bên Biết hàm số f x  đạt cực trị tại ba điểm x x x x1, ,2 3 ( 1x2 x3)thỏa mãn x1  Gọi x3 4 S và 1 S là diện tích của hai hình phẳng được2

gạch trong hình Tỉ số

1 2

S

S bằng

A

2

7

1

7.15

Lời giải Chọn B

Rõ ràng kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị sang trái sao

0

x 

Gọi g x( )ax4bx2 , ta có hàm số ( )c g x là chẵn và có 3 điểm cực trị

tương ứng là 2;0; 2

là các nghiệm của phương trình 4ax32bx 0

Dựa vào đồ thị ( )g x , ta có (0) 0 g  Từ đó suy ra g x( )a x( 48 )x2 với a 0

Do tính đối xứng của hàm trùng phương nên diện tích hình chữ nhật

1 2

Tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được đồ thị mới như hình vẽ

Vì f x  là hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng nên

   3

.Chọn x1 1, x21, khi đó f x  x33x

Câu 7: Cho hàm số bậc ba f x  ax3bx2 cx d và đường thẳng d g x:   mx n

có đồ thị như hình vẽ Gọi S S S lần lượt là diện tích của các phần giới1, ,2 3

hạn như hình bên Nếu S1 thì tỷ số 4

2

3

S

S bằng

 Dựa vào đồ thị như hình vẽ, ta có: f x  g x  k x x  2 x2.

S

Câu 8: Cho hàm số y x 43x2 có đồ thị m  C m , với m là tham số thực Giả sử

 C m cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

Gọi S , 1 S , 2 S là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ Giá3



Lời giải Chọn A

Gọi x là nghiệm dương lớn nhất của phương trình 1 x43x2 m 0, ta có

.Vậy m  x14 3x12  54.

2022 Câu 9: Cho parabol   2

P y  x cắt trục hoành tại hai điểm A, B và

đường thẳng d y a:  0 a 4 Xét parabol  P2 đi qua A, B và co đỉnh thuộc đường thẳng y a Gọi S là diện tích hình phẳng giới1

hạn bởi  P1 và d S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2  P2 và trục hoành Biết S1 (tham khảo hình vẽ bên).S2

Tính T a38a2 48a.

A T 99. B T 64. C T 32. D T 72.

Lời giải Chọn B

- Gọi A, B là các giao điểm của  P1 và trục Ox �A2;0, B 2;0

0

212

ax ax

83

a



- Theo giả thiết: S1 S2 44  4 8

xứng Gọi S S S S là diện tích của các miền hình phẳng được đánh dấu1, , ,2 3 4

Nhận thấy kết quả bài toán không đổi khi ta tịnh tiến đồ thị  C sang bêntrái sao cho đường thẳng d x x:  trùng với trục tung khi đó 2  C là đồ thịcủa hàm trùng phương yg x  có ba điểm cực trị x1 1,x2 0,x3  Suy1

Ⓑ

Câu 2: Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau Mỗi mảnh được

trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp trong toánhọc Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemmiscate cóphương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y2 x225x2

như hình vẽ bên Tính diện tích S

của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài

54

Nên

5

( ) 0

Câu 4: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol  P y x:  2 và hai đường thẳng y a , y b

0 a b   Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol 1  P và đường thẳng y a

;  S2

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P

và đường thẳng y b Với điều

kiện nào sau đây của a và b thì S1  ?S2

b b



.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y x:  2 và đường thẳng y a là

 21

3

14d3



896

Ta có F x�   f x ,x�5;2

nên 2     2    

5 5

và đường Elip có phương trình

2

2 14

x

y

Diện tích của ( )H bằng

C

34



D

34

x y

2

2

31

1

31

t t

A S  1 B

43

S

23

S

13

S 

Câu 9: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường ysinx, ycosx và S , 1 S là diện tích của các2

phần được gạch chéo như hình vẽ Tính S12 ?S22



 , x 4



,

54

x y

Vậy

4 1

0

3

93

Gọi S S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1, 2 f x� 

và trục hoành nằm bên dưới và bên

trên Ox Khi đó 1   d

b a

b a

0d

S �x x S

Ta có S1 S2 4  2  4 2

0

12

�  � 

3 3

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x  và trục hoành là?

và nửa đường elip có phương trình

21

42

6 S

 ��  ��

Trong đó

2

2 1

a b c

0

dy

111

Câu 17: Cho hàm số y f x  Đồ thị của hàm số y f x�  như hình vẽ Đặt g x  2f x  x2.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Kết hợp với bảng biến thiên ta có:

Câu 18: Cho hàm số y x 43x2 có đồ thị m  C m , với m là tham số thực Giả sử  C m cắt trục

Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ

D

52

có đạo hàm trên �, đồ thị hàm số y f x�  như trong hình vẽ bên.

Hỏi phương trình f x  0 có tất cả bao nhiêu nghiệm biết f a  0?

Câu 22: Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t 

là thể tích nước bơm được sau t

giây Cho h t'  3at2bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong

bể là 150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 3

1100m Tính thể tích của nước trong

bể sau khi bơm được 20 giây

 

y f x y f x� 

Câu 24: Sau t giờ làm việc một người công nhân A có thể sản xuất với tốc độ được cho bởi công

thức p t'  100e 0,5t đơn vị/giờ Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ 8 giờ sáng Hỏi

người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị từ 9 giờ sáng tới 11 giờ trưa?

A 200 2 e0,52e1,5. B 200 2 e 0,52e 1,5.

C 200 2 e0,52e1,5. D 200 2 e 0,52e 1,5.

Lời giải

Mốc thời gian là 8 giờ nên 9 giờ thì t  , lúc 11 giờ thì 31 t

Vậy số đơn vị công nhân A sản xuất được là:

2022 Câu 25: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn 3;3 và đồ thị hàm số y f x� 

như hình vẽ bên Biết f(1) 6 và  2

1( ) ( )

Kết luận nào sau đây là đúng?

A Phương trình g x( ) 0 có đúng hai nghiệm thuộc 3;3.

B Phương trình g x( ) 0 không có nghiệm thuộc 3;3.

C Phương trình g x( ) 0 có đúng một nghiệm thuộc 3;3.

D Phương trình g x( ) 0 có đúng ba nghiệm thuộc 3;3.

 

1 1 3

Câu 26: Cho m là một số thực và kí hiệu S m là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng 

x x

Câu 28: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa

kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm

226( )

y x x

10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối

xứng Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để

trồng hoa trên dải đất đó?

56481

5

64 25

648

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường    E1 ; E2 ;x 4;x4 và diện

tích của dải vườn là

Câu 30: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang là một đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé

bằng 0,8m, chiều dài bằng 3m Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng.Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng là 0,6m Tính thể tích V của dầu có trong

thùng

Gọi S là diện tích của Elip ta có 1 1

1 2

2 5 5

.Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng MN 2

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng là 0,6m nên ta có phương trình của

đường thẳng MN là

15

y

y cắt Elip tại hai điểm M , N có hoành độ lần lượt là

34



và

34nên

2

3 4

1d4



 � 

.Đặt

34

x

thì t 3





Câu 32: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn

bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồnghoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của eliplàm trục đối xứng Biết kinh phí để trồng hoa là100.000 đồng/1m Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để2

trồng hoa trên dải đất đó?

56481

5

64 25

64 8

Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường    E1 ; E2 ; x 4; x4 và diện

tích của dải vườn là

Câu 33: Ba Tí muốn làm cửa sắt được thiết kế như hình bên Vòm cổng có hình dạng là một

parabol Giá 1m cửa sắt là 660.000 đồng Cửa sắt có giá là:2

355.10

8m

Lời giải

Từ hình vẽ ta chia cửa rào sắt thành 2 phần như sau:

Khi đó S S 1 S2  S1 5.1,5 S 7,5 1

Để tính S ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng của tích phân.1

Gắn hệ trục Oxy trong đó O trùng với trung điểm AB, OB�Ox OC, �Oy,

Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol Giả sử  P y ax:  2 bx c

Câu 34: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD3a và BC  với 0x  x 3a

Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang ABCD2

quanh đường thẳng BC và AD Tìm x để

1 2

75

a

x

Lời giải

2 1

123

V  �a �a x��

2 2

23

V  �a a� x��

� � Theo đề ta có

1 2

75

Câu 35: Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm

cầu đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng 6dm

y  , y 3 Khi quay hình phẳng  H quanh trục tung ta được hình dạng cái chum

Vậy thể tích cái chum là: 3 2 3 

Câu 36: Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D t 

đô la mỗi năm, với

  90 6 2 12

D t�  t t  t trong đó t là thời gian kể từ khi công ty bắt đầu vay nợ Sau 4

năm công ty đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nầncủa công ty này

30 12 1610640

Câu 37: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính

cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m

A

228

226

2128

2131

3 m .

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các đường

21, 82

42

x x

x



�

 � � � .Diện tích vòm cửa là

Câu 38: Chướng ngại vật “tường cong” trong một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông có chiều

cao từ mặt đất lên là 3,5 m Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng AB2 m.Thiết diện của khối tường cong cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là một hình

tam giác vuông cong ACE với AC4 m, CE3,5m và cạnh cong AE nằm trên mộtđường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất Tại vị trí M là trung điểm của AC

thì tường cong có độ cao 1m Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tường congđó

A 9,75m 3 B 10,5m 3 C 10 m 3 D 10, 25m 3

Lời giải

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ sao cho A O�

� cạnh cong AE nằm trên parabol  P y ax:  2bx đi qua các điểm  2;1

và

74;

Câu 39: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10 /m s thì người lái đạp phân, từ thời điểm đó, ô tô

chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( ) = - 5t+10(m s/ )

, trong đó t là khoảng thời

gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn ô

tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Lời giải

Ta có ô tô đi được thêm 2 giây nữa với vận tốc chậm dần đều v t( ) = - 5t+10(m s/ )

ứng dụng tích phân, ta có quãng đường cần tìm là:

A

B

C M

E

2 m 1

x y

3,5

Ta còn có công thức liên hệ giữa vận tốc và gia tốc: v=v0+at

Dựa vào phương trình chuyển động thì a= - 5(m s/ 2)

Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ mà trục đối xứng của Parabol trùng với trục tung, trục hoànhtrùng với đường tiếp đất của cổng.

Khi đó Parabol có phương trình dạng y ax 2 c

Câu 41: Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm , chiều cao trong lòng

cốc là 10cm đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi

nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đườngkính đáy

x O

h A

B C

α α

S(x)

  cm2

Câu 43: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol

có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A 800cm 2 B

2800cm

2400cm

3 . D 250 cm 2

Lời giải

Câu 44: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm

bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên Biết AB5

cm, OH  cm Tính diện tích bề mặt hoa văn đó.4

A

2160

cm

2140cm

214cm

Lời giải

Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm được phương trình là:   16 2 16

3

cm Diện tích của hình vuông là: S hv 100 cm2.

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:

Câu 45: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m

nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000 đồng/ m Hỏi cần bao nhiêu2

tiền để trồng cây trên dải đất đó

Câu 46: Ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi

đường kính của nửa đường tròn nhỏ Biết rằng nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là

32 và BAC�  � Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng30

Lời giải

Gọi V AID là thể tích vật thể khi quay miền phẳng chứa cung tròn AID quanh AB.

Gọi V ACB là thể tích vật thể khi quay miền phẳng chứa cung tròn ACB quanh AB.

tim IDCB ABC AID ABC

1

1923

3

C cau CHB x

.192

Câu 47: Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ, gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt nằm ngang và đặt

trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đốixứng nhau qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì

chiều cao h của mực cát bằng

3

4 chiều cao của bên đó Cát chảy từ trên xuống dưới vớilưu lượng không đổi 2,90cm3/ phút Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùngcủa cát tạo thành một đường tròn chu vi 8 cm Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuốngphần bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm?.

.Thể tích phần cát ban đầu bằng thể tích khối tròn xoay sinh ra khi ta quay nhánh bên phải của parabol trên quanh trục Oy và bằng lượng cát đã chảy trong 30 phút

Câu 48: Ông A muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên Biết

đường cong phía trên là parabol, tứ giác ABCD là hình chữ nhật và giá thành là 900 000đồng trên 1 m2 thành phẩm Hỏi ông A phải trả bao nhiêu tiền để làm cánh cửa đó?

C D

Câu 49: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 Trên đó người thiết kế hai

phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hìnhtròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn, cách nhau một khoảng bằng 4,phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhật Bản

.Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2.Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó?

A 2.388.000 B 3.895.000

C 1.194.000 D 1.948.000

Lời giải

.Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

 2

.Phương trình parabol  P